初中实数内容总结

《实数》知识全解

课标要求

理解无理数、实数的概念，实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义同样适用。会进行实数之间的基本运算，理解实数与数轴上的点的一一对应关系。

知识结构

（1）无理数、实数的概念

我们把无限不循环小数又叫做无理数。有理数和无理数统称为实数，实数和数轴上的点是一一对应的。

（2）实数的运算性质

有理数的运算法则及运算性质在实数范围内仍然适用，实数运算中新增加了乘方运算的逆运算——开方运算。在进行开方运算时要注意，如果被开方数比较复杂，则必须先对其进行整理（如将带分数化为假分数等），然后再进行求值。

内容解析

本节是在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到实数范围。从有理数到实数，这是数的范围的一次重要扩充，对今后学习数学有重要意义。实数的知识贯穿于中学数学学习的始终，对实数的认识应是逐步的。对于无理数的理解要注意与有限小数和无限小数的区别。对实数的分类可以有不同的方法，但要标准一致，不重不漏。对于实数的运算，要注意两点：一是有理数的运算律及运算性质在实数范围内仍然适用；二是涉及无理数的计算，可以取近似值，转化为有理数进行计算。

重点难点

重点是理解实数的意义，引入无理数使数扩展到实数域，在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数的相反数、倒数、绝对值的意义一样；难点是理解实数与数轴上的点的一一对应关系。

教法导引

本节是在有理数的基础上学习实数的初步知识，因此教学是要加强知识间的纵向联系。

学法建议

（1）学习时应注意新旧知识的联系。如利用有理数的知识学习无理数、实数；

（2）学习时要注意学习一些数学思想方法。如类比思想、数形结合思想等。

初中实数性质知识点总结

一、实数的基本性质

1. 实数的定义：实数是有理数和无理数的统称。有理数是可以表示为两个整数的比值的数，无理数是不能表示为有理数的数。

2. 实数的分类：实数可以分为有理数和无理数两类。有理数包括整数、分数以及可以表示为分数的小数，无理数包括无穷不循环小数和无穷循环小数。

3. 实数的有序性：实数集合中的任意两个数都可以进行大小比较，即两个实数之间存在大小关系，这就是实数的有序性。

4. 实数的稠密性：实数集合中任意两个不相等的实数之间一定存在一个实数，这就是实数的稠密性。

5. 实数的无后继性和无穷性：任意一个实数都有比它大的实数，实数集合是无穷的。

6. 实数的运算封闭性：实数集合中任意两个实数进行加、减、乘、除运算的结果仍然是一个实数。

7. 实数的运算性质：实数集合中的运算满足交换律、结合律、分配律等。

二、实数的代数性质

1. 实数的加法性质：

（1）交换律：对于任意实数a和b，有a+b=b+a；

（2）结合律：对于任意实数a、b和c，有(a+b)+c=a+(b+c)；

（3）加法单位元：对于任意实数a，有a+0=a；

（4）加法逆元：对于任意实数a，有a+(-a)=0。

2. 实数的减法性质：

减法可以看成加上一个数的相反数，所以减法的性质和加法的性质相同。

3. 实数的乘法性质：

（1）交换律：对于任意实数a和b，有a×b=b×a；

（2）结合律：对于任意实数a、b和c，有(a×b)×c=a×(b×c)；

（3）乘法单位元：对于任意实数a，有a×1=a； （4）乘法逆元：对于任意非零实数a，有a×(1/a)=1。

4. 实数的除法性质：

（1）除法分配律：对于任意实数a、b和c，有a÷(b+c)=a÷b+a÷c；

（2）除法与乘法结合：对于任意实数a、b和c，有a÷(b×c)=a÷b÷c。

5. 实数的乘方性质：

（1）乘方的分配律：对于任意实数a、b和c，有a^(b+c)=a^b×a^c；

实数知识点总结概括初中

一、实数的基本概念

1. 实数的定义

实数是包括有理数和无理数的数的集合，记作R。有理数包括整数和分数，而无理数是那些无法写成有理数形式的数，如π和√2等。实数的概念是对数的一个总称，它是数学研究和运用的基础。

2. 实数的表示

实数可以用小数表示，小数可以是有限的，也可以是无限的循环小数。有理数可以表示为有限小数或无限循环小数，而无理数通常用无限不循环小数表示。

3. 实数的分布

实数可以用数轴表示，数轴上的点对应着实数。实数在数轴上是连续的，任意两个实数之间都存在着无穷多个实数。这种连续的性质是实数的重要特点之一。

二、实数的性质

1. 实数的比较

实数之间可以比较大小，可以用不等式表达实数的大小关系。对于任意两个实数a和b，有a＜b、a＝b或a＞b三种可能的关系。

2. 实数的绝对值

实数的绝对值是这个实数到原点的距离，记作|a|，其中a是实数。绝对值有以下性质：

（1）若a＞0，则|a|=a；

（2）若a＜0，则|a|=-a；

（3）|a|=0的充分必要条件是a=0。

3. 实数的有序性

实数集合是有序的，即实数集合中的每个实数都可以和实数集合中的其他实数相比较大小。这种有序性是实数与数学中其他集合的一个重要区别。

4. 实数的密度

实数在数轴上是连续分布的，任意两个实数之间都存在着无穷多个实数。这种性质体现了实数的密度，也是实数在数学中的重要性质之一。 三、实数的运算

1. 实数的加法和减法

实数的加法和减法是最基本的运算，可以利用数轴对实数的加法和减法进行图形化表示，以便更直观地理解实数的运算。

2. 实数的乘法和除法

实数的乘法和除法是对实数进行组合和分解的运算，可以用数轴对实数的乘法和除法进行图形化表示，以便更直观地理解实数的运算。

3. 实数的乘方和开方

实数的乘方和开方是对实数进行多次相乘或多次开方的运算，可以用数轴对实数的乘方和开方进行图形化表示，以便更直观地理解实数的运算。

初中数学之实数教案

2018-12-04

一、内容特点

在知识与方法上类似于数系的第一次扩张，初中数学教案----实数。也是后继内容学习的基础。

内容定位：了解无理数、实数概念，了解（算术）平方根的概念；会用根号表示数的（算术）平方根，会求平方根、立方根，用有理数估计一个无理数的大致范围，实数简单的四则运算（不要求分母有理化）。

二、设计思路

整体设计思路：无理数的引入----无理数的表示----实数及其相关概念（包括实数运算），实数的应用贯穿于内容的始终。

学习对象----实数概念及其运算；学习过程----通过拼图活动引进无理数，通过具体问题的解决说明如何表示无理数，进而建立实数概念；以类比，归纳探索的方式，寻求实数的.运算法则；学习方式----操作、猜测、抽象、验证、类比、推理等。

具体过程：首先通过拼图活动和计算器探索活动，给出无理数的概念，然后通过具体问题的解决，引入平方根和立方根的概念和开方运算。最后教科书总结实数的概念及其分类，并用类比的方法引入实数的相关概念、运算律和运算性质等。

第一节：数怎么又不够用了：通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性；借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想；会判断一个数是有理数还是无理数，初中数学教案《初中数学教案----实数》。

第二、三节：平方根、立方根：如何表示正方形的边长？它的值到底是多少？并引入算术平方根、平方根、立方根等概念和开方运算。

第四节：公园有多宽：在实际生活和生产实际中，对于无理数我们常常通过估算来求它的近似值，为此这一节内容介绍估算的方法，包括通过估算比较大小，检验计算结果的合理性等，其目的是发展学生的数感。

第五节：用计算器开方：会用计算器求平方根和立方根。经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力。

第六节：实数。总结实数的概念及其分类，并用类比的方法引入实数的相关概念、运算律和运算性质等。