上海市黄浦区届高三模拟考试数学试题及答案(理)

上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试卷

（2014年4月10日）

一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1.函数xxy11log2的定义域是 ．

2.函数xxy22sincos的最小正周期T ．

3.已知全集RU，集合|0,RAxxax，||1|3,RBxxx．若U()[2,4]CAB，则实数a的取值范围是 ．

4.已知等差数列*(N)nan的公差为3，11a，前n项和为nS，则nnnSnalim的数值是 ．

【答案】2

5.函数)1,0(|log|)(aaxxfa且的单调递增区间是 ．

6.函数)0()(2xxxf的反函数是)(1xf，则反函数的解析式)(1xf ．

7.方程1)34(log2xx的解x .

考点：解对数方程．

8.在ABC中，角CBA、、所对的边的长度分别为cba、、，且abcba3222，

则C .

9.已知i(i11x是虚数单位，以下同)是关于x的实系数一元二次方程02baxx的一个根，则实数a ，b ．

10.若用一个平面去截球体，所得截面圆的面积为16，球心到该截面的距离是3，则这个球的表面积是 ．

11.已知向量)1,0()4,3(ba，，则向量a在向量b的方向上的投影是 ．

【答案】4

【解析】试题分析：向量a在向量b的方向上的投影是230(4)(1)40(1)abb．

考点：向量的投影．

12.直线l的参数方程是12,(R,2xttytt是参数)，则直线l的一个方向向量是 ．(答案不唯一)

13.某个不透明的袋中装有除颜色外其它特征完全相同的8个乒乓球(其中3个是白色球，5个是黄色球)，小李同学从袋中一个一个地摸乒乓球(每次摸出球后不放回)，当摸到的球是黄球时停止摸球．用随机变量表示小李同学首先摸到黄色乒乓球时的摸球次数，则随机变量的数学期望值E ．

14.已知函数)(xfy是定义域为R的偶函数. 当0x时，2log20,21)(16xxxxfx． 若关于x的方程2[()]()0fxafxb(R)ab、有且只有7个不同实数根，则实数a的取值范围是 ．

【答案】524a-<<-

【解析】

二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

15.已知Rab、，且0ab，则下列结论恒成立的是 ( )．

A． abba2 B．2abba C．2||abba D．222abab

16.已知空间直线l不在平面内，则“直线l上有两个点到平面的距离相等”是“||l”的 ( )．

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件

【答案】B

【解析】

17.已知22R,0abab、，则直线0byaxl：与圆：022byaxyx的位置关系是（ ）．

A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定

18.给出下列命题：

(1)已知事件BA、是互斥事件，若35.0)(,25.0)(BPAP，则60.0)(BAP；

(2)已知事件BA、是互相独立事件，若60.0)(,15.0)(BPAP，则51.0)(BAP(A表示事件A的对立事件)；

(3)183)1(xx的二项展开式中，共有4个有理项．则其中真命题的序号是（ ）

A．(1)、(2)． B．(1)、(3)． C．(2)、(3)． D．(1)、(2)、(3)．

数倍，由此0,6,12,18k共4个数，即展开式中只有4个有理项，正确.选D.

考点：互斥事件的概率，互相独立事件的概率，二项展开式的通项公式.

三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

19.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

(理)已知直三棱柱111ABCABC中，0190,2,4ACBACBCAA，D是棱1AA的中点．如图所示．

(1)求证：1DC平面BCD；

(2)求二面角ABDC的大小．

C1

角与二面角互补或相等来求，下面就是想办法求法向量了，如平面ABD，可设(,,)nxyz是它的法向量，利用00nABnAD，得到220,20.xyz，只要令1x，就可得到一个法向量(1,1,0).

试题解析：(1)按如图所示建立空间直角坐标系．由题知，可得点(0,0,0)C、(2,0,0)A、

(0,2,0)B、(2,0,2)D、1(2,0,4)A、1(0,0,4)C．

于是，1(2,0,2),(2,0,2),(2,2,2)DCDCDB．

可算得110,0DCDCDCDB．

因此，11,DCDCDCDB．

又DCDBD，

所以，1DCBDC平面．

记n与1DC的夹角为，则111cos2||||nDCnDC， 23．

结合三棱柱可知，二面角ABDC是锐角，

∴所求二面角ABDC的大小是3．

考点：（1）线面垂直；（2）求二面角.

20.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．

已知复数12cosi,1isin,Rzxzxx．

(1)求||21zz的最小值；

(2)设21zzz，记zzxf(ImIm)(表示复数z的虚部). 将函数)(xf的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得的图像向右平移2个单位长度，得到函第19题图 Ａ O(Ｃ) 1B 1A

Ｄ

Ｂ

x y z

1C

数)(xg的图像. 试求函数)(xg的解析式．

12min||322(21)zz.

21.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

某通讯公司需要在三角形地带OAC区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC内，乙中转站建在区域AOB内．分界线OB固定，且OB=(13)百米，

边界线AC始终过点B边界线OCOA、满足00075,30,45AOCAOBBOC．

设OAx(36x)百米，OCy百米.

(1)试将y表示成x的函数，并求出函数y的解析式；

(2)当x取何值时？整个中转站的占地面积OACS最小，并求出其面积的最小值．

解得2(36)2xyxx．

(2)由(1)知，2(36)2xyxx， 第21题图 A B C

O

因此，20113sin75242AOCxSxyx

134[(2)4]42xx

223(当且仅当422xx，即4x时，等号成立)．

答：当400x米时，整个中转站的占地面积OACS最小，最小面积是4(223)10平方米. 12分

考点：求函数解析式，三角形的面积公式，分式函数的最值与基本不等式.

22.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

已知数列na满足nnnnnnaaaaa3,)1(,12121221(*Nn)．

(1)求753aaa、、的值；

(2)求12na(用含n的式子表示)；

(3) (理)记数列na的前n项和为nS，求nS(用含n的式子表示)．

定nS的最后一项na是项还是偶数项，这样分组才能明确.

试题解析：(1) nnnnnnaaaaa3,)1(,12121221(*Nn)，

1211324325465376(1)0,33,14,313,112,339.aaaaaaaaaaaa

(2)由题知，有*21213(1)(N)nnnnaan．

112123222325121121211225311313(1)3(1)(333)[(1)(1)(1)]3(1)3(1)nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaa

∴*213(1)1(N)2nnnan．

(理)(3) ∵*213(1)1(N)2nnnan，

∴*23(1)1(N)2nnnan．

∴21232nnnaa．

又1231nnnSaaaaa，

01当n为偶数时，12341()()()nnnSaaaaaa

122(32)(32)(32)n

233322nn．

02当n为奇数时，123421()()()nnnnSaaaaaaa

111221223(1)(32)(32)(32)12nnn

11223(1)322nnn．

综上，有2*1122333,22(N)3(1)3.22nnnnnnSnnn为偶数为奇数

考点：（1）数列的项；（2）数列的通项公式；（3）数列的前n项和与分组求和.