几何形的旋转

《图形的旋转》教学设计

安徽省芜湖县赵桥中学 林 霖

教学内容

人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级上册第二十三章第一节第一课时.

教学目标

(1) 知识技能

通过具体实例认识旋转，探索并理解它的概念和基本性质，能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形.

(2) 数学思考

在发现、探究的过程中完成对旋转这一图形变化从直观到抽象、从感性认识到理性认识的转变，体会类比和分类思想，发展学生直观想象能力，观察、分析、抽象概括的思维能力.

(3) 解决问题

在了解图形旋转的特征，并进一步应用所掌握的这些特征进行旋转变化的学习过程中，让学生从数学的角度认识现实生活中的现象，增强数学的应用意识.

(4) 情感态度

经历对生活中旋转图形的观察、讨论、实践操作，充分感知数学美，培养学习数学的兴趣和热爱生活的情感；通过小组合作交流活动，培养合作学习的意识和研究探索的精神.

教学重点

旋转的概念和性质，以及能够利用旋转的性质绘制旋转后的几何图形.

教学难点

旋转概念的形成过程和性质的探究过程，能根据旋转图形的性质解决实际问题.

教学方法

自主探究、合作交流与教师启发引导相结合.

教学手段

Flash课件、硬纸板、白纸、圆规、直尺、量角器、学案及实物投影.

教学过程

教学

环节 问题与情境 师生行为 设计意图 创设情境

导入新课

视频导入

教师：当今全球气候变暖的现象日趋严峻，世界各国都大力提倡绿色能源、低碳生活.世博园中有些场馆就体现出这一理念.

教师：风车在风的吹动下不停地转动，源源不断地提供着电能.生活中像这样转动的物体还有很多，例如小朋友荡秋千、时钟的指针、转动的风车、游乐园的大转盘„„它们把我们带进了一个个旋转的世界.

到底什么样的转动是旋转呢？它都有哪些性质呢？让我们一起走进这旋转的世界，去探索其中的奥秘吧！

板书：§23.1 图形的旋转

播放视频，以世博会为载体、以风车发电导入新课，充分调动学生的学习兴趣，也体现了数学来源于生活的理念.

几何形的旋转方法与例题

几何形的旋转是数学中常见的操作方法，通过围绕旋转中心点旋转图形，可以产生一系列有趣的变化和性质。本文将介绍几何形的旋转方法，并结合例题进行详细论述。

一、平面上的旋转方法

在平面几何中，常见的旋转方法有以下两种：

1. 以原点为旋转中心点的旋转：对于平面上的点A(x, y)，经过以原点O(0, 0)为中心点的逆时针旋转θ度后，新的坐标为A'(x', y')。根据旋转矩阵的定义，可以得到旋转后的坐标计算公式：

```

x' = x*cosθ - y*sinθ

y' = x*sinθ + y*cosθ

```

这种方法适用于旋转点或图形关于原点对称的情况。

2. 以任意点为旋转中心点的旋转：对于平面上的点A(x, y)，经过以点P(a, b)为中心点的逆时针旋转θ度后，新的坐标为A'(x', y')。根据旋转矩阵的定义，可以得到旋转后的坐标计算公式：

```

x' = (x-a)*cosθ - (y-b)*sinθ + a y' = (x-a)*sinθ + (y-b)*cosθ + b

```

这种方法适用于旋转点或图形关于任意点对称的情况。

二、几何形的旋转例题

1. 旋转矩形：设矩形ABCD的长为a，宽为b，以点O为中心逆时针旋转α度，求旋转后矩形的长和宽。

解析：以O为中心点旋转，将矩形四个顶点A、B、C、D依次进行旋转，记为A'、B'、C'、D'。由于矩形维持原始形状，我们只需计算A'、B'的横坐标之差即可求出旋转后的长和宽。

假设A点坐标为(x, y)，经过逆时针旋转α度后的坐标为(x', y')。则根据旋转公式可得：

```

x' = x*cosα - y*sinα

y' = x*sinα + y*cosα

```

对于A点有：x' - x = a

代入上述公式可得：a*cosα - b*sinα - a = 0

解上述方程可以求得旋转后矩形的长。

同理，对于B点有：y' - y = b 代入上述公式可得：b*cosα + a*sinα - b = 0

旋转平移翻折的几何变换与性质

旋转、平移和翻折是几何中常见的基本变换方式，它们在空间和平面几何中发挥着重要的作用。本文将介绍旋转平移翻折的几何变换及其性质，推导其数学表达式，并通过具体的实例来说明其应用。

一、旋转变换

旋转是指将平面或空间中的图形按照一定角度绕着旋转中心进行旋转的操作。对于平面上的点(x, y)，其绕原点逆时针旋转θ度后的新坐标可以由以下公式计算得出：

x' = x*cosθ - y*sinθ

y' = x*sinθ + y*cosθ

其中，x'和y'分别表示旋转后点的坐标，θ为旋转角度。

二、平移变换

平移是指将平面或空间中的图形沿着指定的方向和距离进行移动的操作。平移变换可以用一个向量来表示。对于平面上的点(x, y)，其平移(dx, dy)后的新坐标可以由以下公式计算得出：

x' = x + dx

y' = y + dy

其中，(dx, dy)为平移向量，x'和y'分别表示平移后点的坐标。

三、翻折变换 翻折是指将平面或空间中的图形沿着指定的轴进行对称的操作。对于平面上的点(x, y)，其关于直线y=k翻折后的新坐标可以由以下公式计算得出：

x' = x

y' = 2k - y

其中，(x', y')为翻折后点的坐标，k为翻折轴的位置。

以上是旋转、平移和翻折的几何变换的数学表达式。下面将通过实例说明它们在几何问题中的应用。

实例一：旋转变换

假设有一张平面上的三角形ABC，顶点分别为A(1, 2)，B(3, 4)和C(5, 6)。现在需要将该三角形绕原点顺时针旋转60度，求旋转后各顶点的坐标。

根据旋转变换的公式，旋转角度θ=60°，原点为旋转中心，可以计算得出旋转后的各顶点坐标为：

A'(1*cos60° - 2*sin60°, 1*sin60° + 2*cos60°) = (0.5, 2.598)

B'(3*cos60° - 4*sin60°, 3*sin60° + 4*cos60°) = (-1.133, 4.330)

《图形的旋转》观后感

《图形的旋转》属于“空间与图形”领域，在学习这部分内容之前，学生已经在三年级初步感受了生活中的平移和旋转现象，并能在方格纸上画出一个沿水平、垂直方向平移后的图形本课学习的内容是在上述基础上的延伸，把学生的视角引入到图形的旋转，意在通过欣探索、创作等一系列活动，使学生体验到简单图形变成复杂图形的过程，理解旋转的中心点，进一步发展学生的空间观念，为今后继续学习图形变换奠定基础。本堂课谢老师以学生的认识水平为出发点，通过创设生动、有趣的学习情境，开展观察、动手操作、合作交流等系列活动，放手让学生大胆的去想，去说，去做，使学生的空间观念，观察能力、想象能力和动手能力得到了进一步发展。

一、创设情境，激发兴趣上课伊始，谢老师用课件为学生展示了两个不同的钟面，引发认知冲突。接着让学生说生活中的旋转想象，激发学生的认知经验，然后课件演示了一些旋转现象，同时提出问题：“观察这些旋转想象，你发现了什么？”这样的设计，极大的吸引了学生的注意力，激发了学生的好奇心和求知欲，同时很自然的就将学生带入新课中。

二、探索新知，感受旋转

把一个简单图形旋转成复杂图形的过程本身就是复杂的，学生的获取不会一蹴而就。谢老师遵循“以学生为主体，教师为主导，数学活动为主线”的指导思想，放手让学生自己探究。意在通过欣赏、探索、创作等一系列活动，使学生体验到简单图形变成复杂图案的过程，一步发展学生的空间观念，为今后继续学习图形变换奠定基础。但对于五年级的学生而言，接受起来又绝非易事。开课伊始，通过欣赏漂亮的图片，让学生直观形成了知识的表象，为新课教学做了良好铺垫。教学中，先利用钟表（线的旋转）探索旋转的三要素，再上升到图形的旋转（面的旋转），学生知识的建构由浅入深，循序渐进，自然的突破了教学的重、难点。教学中学生动手操作、猜测验证等数学活动，始终以一个探索者、发现者的角色投入学习动，学得高效、学得深入，学得兴奋。著名教育学家皮亚杰说过：儿童思维是从动作开始的，与思维的联系，思维就得不到发展。”在学生经历了看一看，说一说的过程后，如何更有效发学生的好奇心和求知欲呢？张老师让学生通过身边最熟悉的教具量角器的旋转，逐步掌握的技巧：顺逆时针的方向、所绕点对旋转的影响、旋转90度怎么掌握以及怎么表述。先是的分解的逐步进行，再是一个完整的风车图，其间不断让学生做动作感受旋转，让学生深刻理解旋转要素。然后再让学生自己动手感受贴出旋转图充分感受旋转90度，突破教学难点。