人教版初二数学讲义《特殊三角形之直角三角形》
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有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，这是初中阶段研究的一个特殊三角形，它的性质和判定是常考内容，也是解决初中几何问题的常用手段．
一、直角三角形
1. 直角三角形的性质：⑴ 两锐角互余；⑵ 三边满足勾股定理；⑶ 斜边上的中线等于斜边的一半；⑷ 30角所对的直角边等于斜边的一半．
另外，直角三角形中还有一个重要的结论：两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即abch．
2. 直角三角形的判定：⑴ 有一个角是直角；⑵ 两锐角互余；⑶ 勾股定理的逆定理；⑷ 一条边上的中线等于这条边的一半．
二、等腰直角三角形 思路导航 知识互联网
题型一：直角三角形的性质及判定 11
特殊三角形之
直角三角形
2 等腰直角三角形是集等腰三角形和直角三角形为一体的特殊图形，除具备等腰三角形和直角三角形的所有性质以外，它的底边中线也同时具备了“三线合一”和“斜边中线”的共同特点，可谓“集大成者”．另外，等腰直角三角形还可以看成是正方形的“半成品”，因此“还原正方形”也是等腰直角三角形常用的辅助线做法之一．
【引例】 如图，正方形ABCD的边长为4，EF、分别在BCCD、上，且3BECF，AEBF、相交于M，求BM的长．
【解析】 ∵ABCD是正方形，∴4ABBC，90ABCC，
∵3BECF，∴ABEBCF△≌△，
∴BAECBF，∴90BME
又由勾股定理可知5AE，
在RtABE△中，BMAE，
∴ABBEAEBM，
∴125ABBEBMAE．
【例1】 1. 在ABC△中，若35A，55B，则这个三角形是__________三角形．
2. 如图，在ABC△中，90ACB，CDAB，若28A，则B_______，ACD________，BCD________．
3. 如图，已知图中每个小正方形的边长为1，
则点C到AB所在直线的距离等于 ．
（十三中分校期中）
4. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，BC＝2，CD＝3，则AB＝ ．
EABCDDCBA 典题精练 例题精讲
图2图1AMFDEFMDCBADCBAABC
3 5. 已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边上的中线长为2，且AC＋BC＝6，
则S△ABC＝
．
【解析】
1. 直角 2. 62；62；28
3. 2
4. 833．通过向外补形，将四边形问题转化为三角形问题来解决．
5. ∵AB边上的中线长为2，∴AB=4，∴AC2+BC2=AB2=16
∵AC＋BC＝6，∴236ACBC，即AC2+BC2+2ACBC=36
∴1S52ABCACBC△
【例2】 若直角三角形的两条直角边长为ab、，斜边为c，斜边上的高为h，
求证：⑴ 222111abh；⑵ abch．
【解析】 ⑴ ∵222abc，abch，
∴abch， 代入得22222ababh，
∴222111abh．
⑵ 由222abc，abch，
则22222aabbcch，
∴222222aabbcchh，即22abch，
∴abch．
特殊的直角三角形是指306090，，和454590，，的直角三角形，它们的三条边之间有特殊的比例关系，分别是1:3:2和1:1:2，熟练运用这种特殊的比例关系，能够在解题过程中大幅提高解题的速度与正确率．
【引例】 已知，RtABC△中，90C，30A，6AC，求BCAB、的长． 例题精讲 思路导航 题型二：特殊直角三角形的边角关系
4 【解析】 解法一：∵90C，30A，∴12BCAB，
设BCx，则2ABx， 那么22262xx，解得2x（舍负）
∴2BC，22AB．
解法二：∵90C，30A，∴::1:3:2BCACAB，
∴6233ACBC，∴222ABBC．
【例3】 ⑴ 在ABC△中，abc、、分别是ABC、、的对边，且::1:2:3ABC，则a与c的关系是____________．
⑵ 如图，把两块相同的含30角的三角尺如图放置，
若66ADcm，则三角尺的最长边长为 ．
（四中期中）
⑶ 如图，以等腰直角三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形1ABA，再以等腰直角三角形1ABA的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形11ABB，…，如此作下去，若1OAOB，则第8个等腰直角三角形的面积是 ．
【解析】 ⑴ 2ca；⑵ 12cm；⑶ 64．
【例4】 如图，点D、E是等边△ABC的BC、AC上的点，且CD＝AE，AD、BE相交于P点，BQ⊥AD。已知PE＝1，PQ＝3，求AD的长．
【解析】易证△ADC≌△BEA(SAS)
∴BE=AD，∠DAC=∠EBA
根据外角定义知，∴∠BPQ=60°
∴∠PBQ=30°
∴BP=2PQ=6
∴BE=7
∴AD=7
典题精练
题型三：直角三角形的斜边中线 B2B1A1OBAABCDEEPQDCBA
5
直角三角形的斜边中线是直角三角形中最重要的线之一，它既体现了特殊位置（中点），又体现了特殊数量关系（一半），可谓“一举两得”．除此之外更重要的是，一条斜边中线还可以把直角三角形分成两个等腰三角形，这种由特殊图形到特殊图形的变化是解决三角形问题的常用手段．
【引例】 请证明下列命题：
1. 直角三角形的斜边中线等于斜边的一半；
2. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
【解析】 1. 如图，RtABC△中，90ACB，D是AB的中点，
过B点作BC的垂线交CD延长线于E，
∵90ACB，90EBC，
∴ACBE∥，
∴BACABE，
∵ADBD，∴ACDBED△≌△，
∴ACBE，CDDE
∵ACBEACBEBCCBBC，，
∴ABCECB△≌△，∴ABCE，
∴2ABCD．
2. 如图，CD是ABC△的中线，且12CDAB， ∴CDADBD，
∴AACD，BBCD，
∵180AACDBCDB，
∴90ACDBCD，即90ACB
∴ABC△是直角三角形．
【例5】 如图，在ABC△中，BE、CF分别为边AC、AB上的高，D为BC的中点，DMEF于M．求证：FMEM．
【解析】 连接DF、DE．
∵BE、CF分别为边AC、AB上的高 例题精讲
典题精练 思路导航
EDCBAACBDMFEDCBA
6 ∴90BECBFC
又∵D为BC上的中点
∴BDCD
∵12DEBC，12DFBC
∴DEDF
又∵DMEF，∴EMFM
【例6】 如图，在ABC△中，若2BC，ADBC，E为BC边的中点．求证：2ABDE．
【解析】 如图，截取AC边中点F，连接EF、DF．
由中位线可得，12EFAB且BCEF．
DF为RtADC斜边上的中线，
∴DFCF．∴CDFC，
又∵DFEFDECEF，即2CDFEC，
∴DFEEDF，∴12DEEFAB，∴2ABDE．
【点评】 此题也可以取AB中点M，连接DMEM、，用类似方法证明．
还可以以AD为轴作轴对称用字母表示线段计算得结论，或以DE为中位线构造三角形．
【例7】 在RtABC△中，90ACB，ACBC，若214BCACAB，则B ．
（西城一模）
【解析】 15
作CHAB于点H，取AB中点D，连接CD
由ACBCABCH，及214BCACAB
可得14CHAB，
∵点D是AB的中点，∴12CDAB，∴12CHCD，
在RtCDH△中，90CHD，
∴30CDH，∴15B． FABDECEDCBAHDCBAMFEDCBA
7
训练1. 已知ABC△是等腰直角三角形，90A，M是BC中点，EF、分别在ABAC、上，且MEMF，试判断MEF△的形状．
【解析】 连接AM，
∵ABC△是等腰直角三角形，M是BC中点，
∴AMBC，AMBM，
∴90AMB，45BBAM，
∵MEMF，∴90EMF，
∴BMEAMF，
∴AMFBME△≌△，
∴MEMF，
∴MEF△是等腰直角三角形．
训练2. 如图，RtABC△中，90BAC，4AB，3AC，AHBC于H，作H关于AC的对称点D，连接CD，AMCD∥交BC于M，则BM的长等于________．
【解析】 2.5
训练3. 如图，在ABC△中，ABAC，120BAC，EF为线段AB的垂直平分线，求证：2FCBF．
【解析】 连接AF
∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AFBF，
∴BBAF，
∵ABAC，120BAC，∴30BC，
∴30BAF，∴90CAF．
在RtACF△中，90CAF，30C，
∴2FCAF，
∴2FCBF．
训练4. 一块四边形的草地ABCD，其中60A，90BD，20mAB，10mCD，求这块草地的面积．
【解析】 利用30，60，90这个三角形的三边比为132∶∶这一结论可求：
22003mABES△，2503mCDES△，故四边形的面积为21503m．
EDCBA 思维拓展训练(选讲)
FEMCBAFEMCBAFECB AAB CEFDCBAMHDCBA
