上海市闵行区2016届高三数学质量调研考试(二模)试卷-理(含解析)
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1 闵行区2015-2016学年第二学期高三年级质量调研考试
数 学 理试 卷
考生注意：
1．本试卷共4页，23道试题，满分150分。考试时间120分钟。
2．本考试分设试卷和答题纸。试卷包括三大题，第一大题为填空题，第二大题为选择题，第三大题为解答题。
3．答卷前，务必在答题纸上填写学校、姓名、准考证号。
4．作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。第二大题的作答必须涂在答题纸上相应的区域，第一、第三大题的作答必须写在答题纸上与试卷题号对应的位置。
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．函数3log(1)yx的定义域是 .
2．集合2|30Axxx，2Bxx，则UAB等于 .
3．若复数1i11i2b（i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数b的值为 .
4．已知函数3log1()21xfx，则1(0)f .
5．若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的 倍.
6．平面向量ar与br的夹角为60，1ar，(3,0)br，则2abrr .
7．已知ABC△的周长为4，且sinsin3sinABC，则AB边的长为 .
8．若61xx的展开式中的3x项大于15，且x为等比数列na的公比，
则1234limnnnaaaaaaLL .
9．若0m，0n，1mn，且1tmn（0t）的最小值为9，则t .
10．若以x轴正方向为始边，曲线上的点与圆心的连线为终边的角为参数，则圆2220xyx的参数方程为 .1cossinxy（02）
11．若AB是圆22(3)1xy的任意一条直径，O为坐标原点，则OAOBuuuruuur的值
2 为
．
12．在极坐标系中，从四条曲线1:1C，2:C（0），3:cosC，4:sin1C中随机选择两条，记它们的交点个数为随机变量，则随机变量的数学期望E= .
13．设数列na的前n项和为nS，22|2016|nSnan=+-（0a），则使得1nnaa（n*N）恒成立的a的最大值为 .
14． (理科）若两函数yxa与212yx的图像有两个交点A、B，O是坐标原点，OAB△是锐角三角形，则实数a的取值范围是 .
二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．如果ab，那么下列不等式中正确的是（ ）.
(A) 11ab (B) 22ab (C) lg1lg1ab (D) 22ab
16．若lm、是两条直线，m平面，则“lm”是“//l”的（ ）.
(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件
(C) 必要不充分条件 (D) 既非充分又非必要条件
17．如图，在正方体1111ABCDABCD中，E是1AA的中点，P为底面ABCD内一动点，设1PDPE、与底面ABCD所成的角分别为12、（12、均不为0)．若12，则动点P的轨迹为哪种曲线的一部分（ ）.
(A)直线 (B)圆 (C) 椭圆 (D) 抛物线
18．将函数()2sin2fxx的图像向右平移（0）个单位后得到函数()gx的图像 ．若对满足12()()4fxgx的12xx、，有12xx的最小值为．则（ ）.
（A） (B) （C）或 (D) 或
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19.（本题满分12分）
3 A
B C D P
P
A
B C D P
A
B C D 复数21sinicos2zxx，22sinicoszxx（其中xR，i为虚数单位）. 在复平面上，复数1z、2z能否表示同一个点，若能，指出该点表示的复数；若不能，说明理由．
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．
如图，在直角梯形PBCD中，//PBDC，DCBC，22PBBCCD，点A是PB的中点，现沿AD将平面PAD折起，设PAB．
（1）当为直角时，求异面直线PC与BD所成角的大小；
（2）当为多少时，三棱锥PABD的体积为26．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分．
为了配合今年上海迪斯尼游园工作，某单位设计了统计人数的数学模型()n*N：
以8122002000,(18)()36033000,(932)32400720,(3345)nnnfnnnn表示第n个时刻进入园区的人数；
4 以0,(118)()5009000,(1932)8800,(3345)ngnnnn表示第n个时刻离开园区的人数．
设定以15分钟为一个计算单位，上午9点15分作为第1个计算人数单位，即1n；9点30分作为第2个计算单位，即2n；依次类推，把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）．
（1）试计算当天14点至15点这一小时内，进入园区的游客人数(21)(22)(23)(24)ffff、离开园区的游客人数(21)(22)(23)(24)gggg各为多少？
（2）从13点45分（即19n）开始，有游客离开园区，请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻，并说明理由．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题,第(1)(2)小题满分各5分,第(3)小题满分6分．
已知椭圆：22221xyab(0)ab的右焦点与短轴两端点构成一个面积
为2的等腰直角三角形，O为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点A在椭圆上，点B在直线2y上，且OAOB，
求证：2211OAOB为定值；
（3）设点C在椭圆上运动，OCOD，且点O到直线CD的距离为常数d02d，求动点D的轨迹方程．
5
23．（本题满分18分）本题共有3个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．
已知n*N,数列na、nb满足:11nnaa,112nnnbba,记24nnncab．
（1）若11a，10b，求数列na、nb的通项公式；
（2）证明：数列nc是等差数列；
（3）定义2()nnnfxxaxb，证明：若存在k*N，使得ka、kb为整数，且()kfx有两个整数零点，则必有无穷多个()nfx有两个整数零点．
6
参考答案与评分标准
一、填空题（第1题至第14题）每题正确得4分，否则一律得0分．
1．1,； 2．2,3； 3．2；
4．9； 5．3； 6．19；
7．1； 8．1； 9．4；
10．1cossinxy（02）、 11．8； 12．1
13．12016 14．623,33、
二. 选择题（第15题至18题）每题正确得5分，否则一律得0分．
15．D； 16．C； 17．B； 18． C
三、解答题（第19题至23题）
19.（本题满分12分）
解：设复数1z，2z能表示同一个点，则cos2cosxx ……………………3分
解得cos1x或1cos2x， ………………………………7分
当cos1x时，得2sin0x，此时12izz； ……………9分
当1cos2x时，得23sin4x，此时1231i42zz； ……………11分
7 P
A
B C D
x y
z P
A
B C D 综上，复平面上该点表示的复数为i或31i42． ……………12分
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．
解：理:（1）当为直角时,即,,ABADAP两两互相垂直，以点A为坐标原点，,,ABADAP为坐标轴建立空间直角坐标系, ………………1分
则(1,0,0)(1,2,0)(0,2,0)(0,0,1)BCDP,(1,2,1)PCuuur,(1,2,0)BDuuur ……3分
设异面直线PC与BD所成角为,则
cosPCBDPCBDuuuruuuruuuruuur3010 ………………5分
故异面直线PC与BD所成角为30arccos10．…7分
（2）沿AD将平面PAD折起的过程中，始终
有PAAD，ABAD，ADPAB面，由
PABDABDPVV得 ……………………9分
2163PABSDA△11211sin32，2sin2
……………………12分
4或34． ……………………………14分
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分．
解：（1）当天14点至15点这一小时内进入园区人数为(21)(22)(23)(24)ffff
1314151612121212360[3333]3000417460（人） …………………3分
离开园区的人数(21)(22)(23)(24)=9000gggg（人） ………………6分
（2）（理）当0)()(ngnf时，园内游客人数递增；当0)()(ngnf时，
园内游客人数递减．
………………7分
①当1932n时，由812()()3603500120000nfngnn，可得：
当1928n时，进入园区游客人数多于离开园区游客人数，总人数越来越多；…9分
当3229n时，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少； ……11分
（049.246)28()28(gf；013.38)29()29(gf）
②当4533n时，由()()72023600fngnn递减，且其值恒为负数．
进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少． ………………13分
