2020学年新教材高中数学4.5增长速度的比较4.6函数的应用(二)课件新人教B版必修二

,
a 4
5
2
4
2
经过了k-5=10-5=5秒,即m=5.
答案: 1ln 51
5
2
【内化·悟】 本题中用来求参数隐含的条件是什么? 提示:假设过5秒后甲桶和乙桶的水量 相等.
【类题·通】 怎样求应用性问题解析式中的参数? 应用性问题变量间的关系式中往往含有参数, 需要先确定参数值,解题中要认真审题,条件中 会给出特殊情况下的一对参数的对应值,用来 确定参数的值,这是解题的前提.
360
(1)此次行车最经济的车速是________. (2)如果不考虑其他费用,这次行车的总费用最 小值为________. 【思维·引】表示出行车的时间、总费用后利 用基本不等式求最小值及取最小值时的车速.
【解析】(1)总费用为y=36× 120 120 (4 x2 )6
＝7 200 2x 240.
类型三 幂函数、对数型函数模型的应用 角度1 幂函数模型的应用 【典例】已知A,B两地的距离是120 km,按交通法规规 定,A,B两地之间的公路车速应限制在50～100 km/h, 假设汽油的价格是6元/L,以x km/h速度行驶时,汽车 的耗油率为 (4 x2 ) L/h,支付司机每小时的工资36元.
殖地产卵,科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表
示为函数v=
1 2
log3
x 100
lg
x0
,单位是km/min,其中x表
示候鸟每分钟耗氧量的单位数,x0代表测量过程中某类
候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据:lg 2=0.30,
31.2=3.74,31.4=4.66).
(1)当x0=2,候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时,候鸟的飞行速度是多少 km/min? (2)当x0=5,候鸟停下休息时,它每分 钟的耗氧量为多少单位?

拟;(2)根据(1)中所选函数模型,求出函数解析式,进一步求得最大值.
规范展示 解:(1)用①来模拟比较合适.
因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多,然后向两边递减.
而②,③,④表示的函数在区间上是单调函数,所以②,③,④都不合适,故用①
来模拟比较合适.
(2)因为人均GDP为1时,A饮料的年人均销售量为2升;人均GDP为4时,A饮
(2)10年后该市人口总数:y=100(1+1.2%)10≈112.7(万).
(3)设该市经过x年人口总数将达120万,
则100(1+1.2%)x=120,∴1.012x=1.2,
∴x=log1.0121.2≈15(年).
故大约经过15年,该市人口总数将达120万.
反思感悟
指数函数模型在实际问题中应用较多,主要有两类
10
=10lg
-12
-12
2
,则能听到的最低声
W/m
=1,I=10
-12
强为 10-12 W/m2.
5×10-7
(3)当声强 I=5×10-7 W/m2 时,声强级 Y=10lg
10-12
5>50,所以这两名同学会影响其他同学休息.
=10lg(5×105)=50+10lg
延伸探究
(1)例2中条件不变,那么要达到比较理想的睡眠环境,声强I的取值范围是什
探究三
幂函数模型
【例3】 据市场分析,某产品当月产量在10 t至25 t时,月生产总成本y(单位:
万元)可以看成月产量x(单位:t)的二次函数;当月产量为10 t时,月总成本为
20万元;当月产量为15 t时,月总成本最低为17.5万元,且点(15,17.5)为该二

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y＝f(x)在区间[x1，x2](x1<x2 时)或[x2，
x1](x1>x2 时)上的平均变化率为
ΔΔxf＝f（x2）x2－－fx（1 x1）.
也就是说，平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改
变量之比，这也可以理解为：自变量每增加 1 个单位，函数值 平均将增加ΔΔxf 个单位．因此，可用平均变化率来比较函数值变 化的快慢．
栏目 导引
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
2．几类不同增长的函数模型
(1)一次函数模型
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1
(3)
1
1 2 1 4 1 2
, 2 , 4 可分别视为函数()
4
1
2
= ,() =
1
,ℎ()
2
在同一坐标系内分别作出这三个函数的图象,由图象易知
1
4
1
= 2,当 = 4时的函数值,
>
1
4
>ℎ
1
4
1
,即
1 4
2
1
>
1 2
4
>
1 2
.
4
反思
感悟
反思感悟
1.比较函数值大小的关键在于构造恰当的函数,若指数相同而底数不同,则考虑幂函数;若指数不同而底数
4
81
64
1.261
5
243
125
1.465
其中符合指数函数变化的函数是
6
729
216
1.630
1
7
2 187
343
1.771
8
6 561
512
1.892
…Hale Waihona Puke ……….
解析 (1)在一次函数、幂函数、对数函数和指数函数中,增长最快的是指数函数 = 5 ,故选D.
(2)通过观察、猜想、归纳,函数1符合指数函数的变化.
4.55 < 5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.
再计算按模型 = 7 + 1奖励时,奖金是否超过利润的25%,即当∈[10,1 000]时,利用计算器或
计算机作() = 7 + 1 − 0.25的图象(图略),由图象可知()在[10,1 000]上是减少的,因此
解析 由于指数函数增长迅速,而对数型函数增长缓慢,因此满足先上升后下降再上升的是() =

核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
(2)分析两函数在区间[－3，－1]上函数值变化的规律，并比较两函数在 该区间上函数值变化的快慢．
[解] (2)因为函数 f(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率ΔΔxf＝3>0，所以 函数 f(x)在区间[－3，－1]上随自变量的增大，函数值增大．
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
1．对 Δx，Δy 的理解 (1)Δx，Δy 是一个整体符号，而不是 Δ 与 x，y 相乘． (2)实数 x1，x2 在定义域内不相等，因此 Δx≠0，但 Δx 可正也可负；Δy ＝f(x2)－f(x1)是 Δx＝x2－x1 相应的改变量，Δy 的值可正可负，也可为零，因 此平均变化率可正、可负、也可为零．
随堂水平达标
课后课时精练
2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知函数 y＝2x，当自变量 x 由 2 变为 1.5 时，相应函数值的改变量 Δy
1 ＝____3____.
(2)函数 f(x)＝2x＋1 在区间[1,2]上的平均变化率为____2____． (3)一物体的运动方程为 s＝5t2(s 的单位：m，t 的单位：s)，则该物体从 1 s 到 3 s 这段时间内的平均速度是__2_0_____(m/s)．
f2－f1 22－12 解 在区间[1,2]上，函数 f(x)的平均变化率为 2－1 ＝ 1 ＝3，在
f4－f3 42－32 区间[3,4]上，函数 f(x)的平均变化率为 4－3 ＝ 1 ＝7.因为 7>3，所以 函数 f(x)＝x2 在区间[3,4]上函数值变化的较快．
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标

3幂函数模型：表达式为 fx＝axα＋ba，b，α 为常数，a≠0， α≠1，α>0，其增长情况由 a 和 α 的取值确定，常见的有二次函数模 型.
栏目导航
1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x 1 5 10 15
20
25
30
y1 2 26 101 226 401
626
901
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.5 增长速度的比较
栏目导航
学习目标
核心素养
1.了解和体会函数模型在实际生
活中的广泛应用．(一般)
1.通过三种不同增长的函数模型
2．理解直线上升、指数爆炸、对 差异的学习，培养逻辑推理的核
数增长的含义以及三种函数模型 心素养．
性质的比较．(重点)
2．借助函数模型的应用，提升数
栏目导航
当堂达标 固双基
栏目导航
1．我国工农业总产值从1999年到2019年的20年间翻了两番，设
平均每年的增长率为x，则有( )
A．(1＋x)19＝4
B．(1＋x)20＝3
C．(1＋x)20＝2
D．(1＋x)20＝4
D [本题为增长率模型函数，为指数函数形式：设1999年总产 值为1，则(1＋x)20＝4.]
远 大于
y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度
__越__来__越__慢___．
(3)存在一个x0，当x>x0时，有 ax>xn>logax .
栏目导航
2．增长率问题 日常生活中常见的问题，计算公式为y＝ N(1＋p)x ，若某月的 产值是b，月增长率为p，则此月开始第n个月后的产值是 b(1＋p)n .

解析：设计算机价格平均每年下降 p%， 由题意可得13＝(1－p%)3，∴p%＝1－1313， ∴9 年后的价格大约为 y＝8 100×1＋1313－19 ＝8 100×133＝300(元)． 答案：300
题型一 几类函数模型的增长差异[经典例题] 例 1 (1)下列函数中，增长速度最快的是( ) A．y＝2 018x B．y＝x2 018 C．y＝log2 018x D．y＝2 018x
1．下列函数中，随 x 的增大，y 的增长速度最快的是( )
A．y＝1010ex C．y＝x100
B．y＝100 ln x D．y＝100·2x
解析：指数函数增长速度快于幂函数．幂函数增长速率快于对 数函数．
答案：A
2．某商品价格前两年每年递增 20%，后两年每年递减 20%， 则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( )
2015 年后第 t(t＝0,1,2,3,4,5)年的二氧化硫排放总量最大值为 f(t)万 吨．
(1)求 f(t)的解析式； (2)求 2019 年全国二氧化硫排放总量要控制在多少万吨以内(精 确到 1 万吨)．
【解析】 (1)设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降
的百分比均为 r，因为 f(0)表示 2015 年的排放总量，所以由题意可
跟踪训练 2 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投 入．若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上， 每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发 资金开始超过 200 万元的年份是( )
(参考数据：lg 1.12≈0.05, lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A．2018 年 B．2019 年 C．2020 年 D．2021 年
状元随笔 本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求

在[1,1+Δx]上的平均变化率.
Δ
3+1 -3
(3)对于 y=3 , =
=2×3a>6,
Δ
(+1)-
log2 (+1)-log2
Δ
+1
对于 y=log2x,Δ =
=log2
(+1)-
1
1
=log2 1 + <log2 1 + =1.

1
x
所以 y=log2x 在[a,a+1]上的平均变化率小于 y=3x 在[a,a+1]上的平
(-0.9)-(-1)
-0.9-(-1)
f(-0.9)=-(-0.9)2+(-0.9)=-1.71,所以平均变化率为
=
-1.71-(-2)
=2.9.
0.1
5.函数f(x)=x2在区间[1,1.1]上的平均变化率是
.
答案:2.1
解析:f(1)=1,f(1.1)=1.21,该函数在区间[1,1.1]上的平均变化率为

2.填空.
平均变化率的求解步骤:
(1)确定区间[x1,x2](x2>x1);
(2)求出Δx=x2-x1;
(3)求出Δf=f(x2)-f(x1);
Δ
(4)求出平均变化率Δ
=
(2 )-(1 )
.
2 -1
3.做一做:y=x2+1在[1,1+Δx]上的平均变化率是 (
)
A.2 B.2x C.2+Δx
1.21-1
=2.1.
1.1-1
课堂篇探究学习
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测

2 -0
1 -0
范围内,甲的平均速度为
,乙的平均速度为
.
1 -0
1 -0
因为
2 -0
s2-s0>s1-s0,t1-t0>0,所以
1 -0
>
1 -0
,故③正确,④错误.
1 -0
(2)已知函数f(x)=3x,g(x)=2x,h(x)=log3x,比较这三个函数在区间[a,a+1](a>1)
(2)结合函数的图象,比较f(8),g(8),f(2 020),g(2 020)的大小.
解 (1)曲线C1对应函数g(x)=x3,曲线C2对应函数f(x)=2x.
(2)因为f(1)=21=2,g(1)=13=1,f(2)=22=4,g(2)=23=8,所以1<x1<2.
因为f(9)=29=512,g(9)=93=729,f(10)=210=1 024,g(10)=103=1 000,所以
【例1】 [2023辽宁沈阳高一]函数f(x)=ln x在区间[1,e]上的平均变化率
为
1
e-1
.
解析 函数 f(x)=ln x
(e)-(1)
在区间[1,e]上的平均变化率为
e-1
=
1
.
e-1
规律方法
Δ
平均变化率的求法:根据定义Δ
=
( 2 )-( 1 )
, 求出
2 - 1
变式训练1函数f(x)=-2x2+5在区间[2,2+Δx]内的平均变化率为
9<x2<10.由图象可知,当x1<x<x2时,f(x)<g(x);当x>x2时,f(x)>g(x).

A.y＝10 000x
D.y＝ e
C.y＝x1 000
B.y＝log2x
（
）
x

2
（2）四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1 024
32 768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
训练题3
“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.用现代
语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也
取不完.这样，每天剩下的部分都是前一天的一半，如
果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么x天后剩下的部分y
与x的函数关系式为 （ D
）
1
2
1
A.y＝ 2 x（x∈N*）
B.y＝ x （x∈N*）
C.y＝2 （x∈N ）
2
1
21
1
3


3
2
t

所以y＝ 5 (3-t )+ 5 t＝- 5 2 + 20 .
3
当t＝ 2
21
3
时，ymax＝ 20 ＝1.05，这时x＝ 4
＝0.75，3-x＝2.25.
由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投
入分别应为0.75万元和2.25万元，最大利润为1.05万元.
训练题 4
冬天来了，燕子要飞到温暖的南方去过冬，
若两岁燕子的飞行速度 v 与耗氧量 x 之间满足函数