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![量子统计系综的基本原理[整理]](https://img.taocdn.com/s1/m/bc05d1dbd4bbfd0a79563c1ec5da50e2524dd18a.png)
一．量子统计系综的基本原理1．近点统计系综理论统计力学研究的对象是大量粒子组成的系统。
它的目的是一物质微观结构的动力学行为作为依据，应用统计的方法，解释物体在宏观上、整体上表现出来的物理性质。
物质微观粒子的动力学状态遵从量子力学的规律，在此基础上建立的统计力学称为量子统计力学。
近点统计力学是量子统计力学的经典极限。
引进系综和系综平均的概念是系综理论主要内容。
我们知道统计力学区别于力学的主要点在于：它不像力学那样，追求系统在一定初始条件下任何时刻所处的确切的动力学状态；而认为系统的动力学状态准从统计规律。
大量处于相同宏观条件下,性质完全相同而各处于某一微观运动状态、并各自独立的系统的集合称为统计系综。
系综理论中重要的物理量是密度函数。
密度函数对于整个像空间的积分应是一个与时间无关的常数，等于相点的总数。
因此引进几率密度函数()t p q ,,ρ是很方便的。
几率密度函数()t p q ,,ρ随时间的变化满足方程{}0,=+∂∂H t ρρ这个方程称为刘伟方程。
它表明，只要给出某一时刻的几率密度函数就可以确定以后任意时刻的几率密度。
容易看出，()t p q ,,ρ的函数形式与系统的宏观状态有关。
如果系统处于平衡态，则几率密度函数必不显含时间，只能()p q ,是的函数。
在平衡态的系综理论中，经常用到微正则系综、正则系综、巨正则系综和等温等压系综。
组成微正则系综的系统的特征是系统的能量、体积和总粒子数恒定，满足()E H p q <=,0,ρ和E E H ∆+>与温度恒定的大热源相接触，具有确定粒子数和体积的系统组成的统计系综称为正则系综。
正则系综的宏观状态的特征是系统的体积、粒子数和温度恒定；与温度恒定的大热源和化学势恒定的大粒子源接触，体积一定的系统组成的统计系统系综称为巨正则系统，巨正则系统的宏观状态的特征是系统的体积、化学势和温度恒定巨正则分配函数由下式决定()()[]γβμβμβd N p q H V N ⎰⎰+-∑=Ξ≥,exp ,,0与温度恒定的热源相接触，并通过无摩擦的活塞与恒压强源相接触，粒子数恒定的系统所组成的统计系综称为等温等压系综。
从经典力学到量子力学的思想体系探讨一、量子力学的产生与发展19世纪末正当人们为经典物理取得重大成就的时候，一系列经典理论无法解释的现象一个接一个地发现了。
德国物理学家维恩通过热辐射能谱的测量发现的热辐射定理。
德国物理学家普朗克为了解释热辐射能谱提出了一个大胆的假设：在热辐射的产生与吸收过程中能量是以 h为最小单位，一份一份交换的。
这个能量量子化的假设不仅强调了热辐射能量的不连续性，而且与辐射能量和频率无关由振幅确定的基本概念直接相矛盾，无法纳入任何一个经典范畴。
当时只有少数科学家认真研究这个问题。
著名科学家爱因斯坦经过认真思考，于1905年提出了光量子说。
1916年美国物理学家密立根发表了光电效应实验结果，验证了爱因斯坦的光量子说。
1913年丹麦物理学家玻尔为解决卢瑟福原子行星模型的不稳定（按经典理论，原子中电子绕原子核作圆周运动要辐射能量，导致轨道半径缩小直到跌落进原子核，与正电荷中和），提出定态假设：原子中的电子并不像行星一样可在任意经典力学的轨道上运转，稳定轨道的作用量fpdq必须为h的整数倍（角动量量子化），即fpdq＝nh，n称之为量子数。
玻尔又提出原子发光过程不是经典辐射，是电子在不同的稳定轨道态之间的不连续的跃迁过程，光的频率由轨道态之间的能量差△E＝hV确定，即频率法则。
这样，玻尔原子理论以它简单明晰的图像解释了氢原子分立光谱线，并以电子轨道态直观地解释了化学元素周期表，导致了72号元素铅的发现，在随后的短短十多年内引发了一系列的重大科学进展。
这在物理学史上是空前的。
由于量子论的深刻内涵，以玻尔为代表的哥本哈根学派对此进行了深入的研究，他们对对应原理、矩阵力学、不相容原理、测不准关系、互补原理。
量子力学的几率解释等都做出了贡献。
1923年4月美国物理学家康普顿发表了X射线被电子散射所引起的频率变小现象，即康普顿效应。
按经典波动理论，静止物体对波的散射不会改变频率。
而按爱因斯坦光量子说这是两个“粒子”碰撞的结果。
论述量子力学和经典力学在内容和表述上的区别与联系0 引言量子力学是反映微观粒子结构及其运动规律的科学。
它的出现使物理学发生了庞大变革，一方面令人们对物质的运动有了进一步的熟悉，另一方面令人们熟悉到物理理论不是绝对的，而是相对的，有必然局限性。
经典力学描述宏观物质形态的运动规律，而量子力学则描述微观物质形态的运动规律，他们之间有质的区别，又有密切联系。
本文试图通过解释、比较，找出它们之间的不同，进一步深切了解量子力学，更好的理解和掌握量子力学的概念和原理。
1 经典力学与量子力学在物理内容上的区别与联系经典力学大体内容及理论经典力学是在宏观和低速领域物理经验的基础上成立起来的物理概念和理论体系，其基础是牛顿力学（宏观物体运动规律）,麦克斯韦电磁学（场的运动规律）和热力学与统计物理学（物质的热运动规律）1.1.1牛顿力学的核心牛顿三大运动定律和万有引力定律作为牛顿力学的两大核心。
它们别离从力作用下物体的运动及物体之间的大体彼此作使劲。
牛顿力学解决了宏观低速物体运动的很多问题，为经典力学研究奠定了很好的理论基础。
1.1.2麦克斯韦方程组作为电磁学中最大体的实验定律归纳、总结和提高。
麦克斯韦方程组其大体表达式如下：(1)该方程反组映出一般情况下电荷电流激发电磁场和电磁场内部运动的规律。
麦氏方程揭露了电磁场可以独立于电荷与电流之外而存在，解决了电磁波的传播和辐射等问题，是经典电动力学的基础。
1.1.3热力学与统计物理学统计热力学从粒子的微观性质及结构数据动身,以粒子遵循的力学定律为理论基础;用统计的方式推求大量粒子运动的统计平均结果,以得出平衡系统各类宏观性质的值。
其研究对象是大量粒子组成的集合体，通过统计力学的方式，应用概率规律和力学定理求出大量粒子运动的统计规律。
它揭露了体系宏观现象的微观本质，可以从分子或原子的光谱数据直接计算体系平衡态的热力学性质。
可是由于其不涉及粒子的微观性，不能阐明体系性质的内在原因，不能给出微观性质与宏观性质之间的联系，不能对热力学性质进行直接的计算。
经典力学和量子力学的对比和联系经典力学和量子力学是两个不同的物理理论，经典力学主要研究物体在力的作用下的运动规律，而量子力学则研究微观粒子的行为。
虽然两者研究对象不同，但它们之间还是存在着联系和对比。
一、经典力学和量子力学的不同之处经典力学的理论基础是牛顿的力学定律，它以连续的物质作为研究对象，并假定物体的质量、速度、位置等量可以用确定的数值描述。
例如，当一个物体受到力的作用时，根据牛顿定律，我们可以计算出物体的加速度，速度和位移等运动规律。
相比之下，量子力学则不同，它研究的是微观世界中的物质粒子，如原子、分子、电子等微小的粒子。
量子力学中的基本假设是波粒二象性，即物质粒子既有波动又有粒子性。
这意味着我们无法精确地确定一个粒子的位置和速度，只能预测它出现在某个区域的概率。
二、牛顿力学和量子力学的联系虽然经典力学和量子力学截然不同，但是它们在某些方面还是有联系的。
其中最基本的联系在于牛顿力学中的力学定律可以通过量子力学中的运动方程式推导出来。
从数学上看，经典力学中的牛顿第二定律可以表达为：f = ma，其中f代表物体所受力的大小，m是物体的质量，a是物体受力后的加速度。
而在量子力学中，物体的运动由薛定谔方程描述。
这个方程实际上是一个波函数方程，它描绘的是一个粒子在空间的不同位置上出现的概率。
通过这个方程可以得到粒子的能量和动量，从而得到牛顿力学所描述的加速度。
另外，经典力学中的运动规律有时也可以用量子力学的概念描述。
例如，在量子力学中我们可以使用CSCO算子（这其实是对动量、角动量、能量和空间位置的同时测量的一种算子的缩写）来测量一个粒子的运动状态。
这些量子力学的概念和数学方法在描述和研究宏观物体的运动时也有用处。
三、经典力学和量子力学的应用经典力学和量子力学虽然各自有不同的适用范围，但都有广泛的应用。
经典力学主要应用于宏观物体的运动，如天体力学、机械工程和航天航空等领域。
在这些应用中，基于牛顿运动定律和经典力学方法可以有效地预测物体的运动规律，并进行物理设计和实验验证。
从量子力学到经典力学的近似与对应原理量子力学和经典力学是物理学中两个重要的理论体系，它们分别适用于微观和宏观世界的描述。
然而，这两个理论之间存在着一种近似与对应原理，即在某些条件下，量子力学可以近似为经典力学，而经典力学也可以通过适当的处理方法得到与量子力学相对应的结果。
量子力学是描述微观世界的理论，它通过波函数来描述粒子的运动状态。
在量子力学中，粒子的位置和动量并不具有确定的值，而是以概率的形式存在。
这种概率性描述与经典力学的确定性描述有着本质的不同。
然而，在某些情况下，当粒子的动能远大于其势能时，量子力学可以近似为经典力学。
这是因为在这种情况下，粒子的波长相对于其运动的尺度非常短，可以忽略波动性的影响，从而得到与经典力学相一致的结果。
另一方面，经典力学可以通过适当的处理方法得到与量子力学相对应的结果。
例如，可以通过引入波动方程来描述经典粒子的运动，从而得到与量子力学中的波函数相对应的波动函数。
这种处理方法被称为量子化方法，它将经典力学与量子力学建立了一种对应关系。
通过这种方法，可以将经典力学中的物理量与量子力学中的算符进行对应，从而得到相应的量子力学表达式。
近似与对应原理的存在使得我们可以在不同的尺度下使用不同的理论描述物理现象。
在微观尺度下，量子力学是不可或缺的，它可以描述微观粒子的行为，如原子、分子和基本粒子等。
而在宏观尺度下，经典力学更加方便和有效，它可以描述宏观物体的运动，如行星运动、机械振动等。
这种近似与对应原理使得物理学家可以根据具体情况选择合适的理论进行研究和分析。
除了近似与对应原理，量子力学和经典力学之间还存在一些其他的联系和相似之处。
例如，量子力学中的不确定性原理与经典力学中的测不准关系有着相似的含义。
它们都表明了在测量过程中存在着一定的不确定性，并且测量一个物理量的精度越高，对另一个物理量的测量精度就越低。
这种相似性使得我们可以通过对经典力学的研究和理解来更好地理解量子力学中的不确定性原理。
量子力学与统计物理学教案量子力学基础与量子统计理论一、引言量子力学是现代物理学的重要分支，它描述了微观世界的行为，对于理解原子、分子和物质的性质以及发展量子计算和量子通信等领域具有重要意义。
而统计物理学则研究了大量粒子的统计特性以及宏观系统的行为规律，是量子力学与热力学之间的桥梁。
本教案主要介绍量子力学的基础概念和原理，以及与统计物理学的关联。
二、量子力学基础1. 波粒二象性1.1 光的实验1.2 德布罗意假设2. 波函数和态矢量2.1 波函数的物理意义2.2 波函数的性质3. 测量和不确定性原理3.1 量子测量3.2 测不准原理4. 运动方程4.1 薛定谔方程4.2 哈密顿算符三、量子统计理论1. 统计物理学概述1.1 统计物理学的研究对象1.2 统计物理学的基本假设2. 系综理论2.1 微正则系综2.2 正则系综3. 量子统计分布3.1 玻色-爱因斯坦分布3.2 费米-狄拉克分布3.3 统计互为一致性原理四、量子力学与统计物理学的应用1. 原子物理学1.1 原子的能级结构和谱线1.2 原子的选择定则2. 分子物理学2.1 分子的振动和转动能级2.2 分子光谱学3. 凝聚态物理学3.1 固体的能带结构3.2 超导现象4. 量子信息与量子计算4.1 量子比特与量子门4.2 量子算法与量子通信五、教学方法1. 实验教学1.1 双缝干涉实验1.2 波粒二象性的演示2. 计算机模拟2.1 波函数演化模拟2.2 玻尔兹曼分布的计算3. 互动讨论3.1 学生讨论和提问环节3.2 案例分析和练习六、教学资源1. 教材推荐1.1 "量子力学导论"1.2 "统计物理学"2. 网络资源2.1 学术论坛和博客2.2 量子力学和统计物理学的教学视频七、教学评估1. 课堂测验1.1 选择题和判断题1.2 计算题和应用题2. 作业和实验报告2.1 论述题和分析题2.2 实验设计和数据处理3. 期末考试3.1 综合性试题3.2 理论与应用相结合的题目八、总结本教案结合了量子力学与统计物理学的基本概念和原理，以及相关的应用领域，为学生提供了系统且深入的知识体系。
经典力学和量子力学的比较经典力学和量子力学是物理学中两个重要的理论框架。
它们在描述和解释物质运动的过程中有着显著的区别，并且对于我们理解自然界的规律和现象起着至关重要的作用。
本文将对经典力学和量子力学进行比较，并探讨它们的差异和共同点。
一、基本概念经典力学是牛顿在17世纪提出的经典物理学理论，其核心概念是质点和力。
根据牛顿的三大定律，经典力学能够准确地描述质点的运动，并得出质点受力的加速度和速度变化关系。
而量子力学是20世纪初由普朗克、爱因斯坦等科学家发展起来的新兴物理学理论，它描述了微观世界（如原子、分子和粒子）中的粒子行为。
量子力学的核心概念是波粒二象性、不确定性原理和波函数。
相比于经典力学，量子力学更加复杂和抽象。
二、物理量的描述在经典力学中，物理量的描述是完全确定的。
质点的位置、速度、加速度等物理量可以通过准确的测量来获得。
质点的运动是可预测的，其轨迹可以用确定的方程描述，例如牛顿的运动定律和万有引力定律。
而在量子力学中，物理量的描述具有一定的模糊性。
根据不确定性原理，我们无法同时准确地确定一个粒子的位置和动量。
量子力学中的测量结果是概率性的，我们只能通过波函数的统计解释来描述粒子的运动状态。
三、力的作用在经典力学中，力的作用是直接的和可见的。
力使物体发生位移和变形，例如弹簧的弹性力、重力的作用等。
牛顿第三定律表明力是相互作用的，且大小相等、方向相反。
在量子力学中，力的作用方式更加微妙和难以理解。
量子力学中的力是通过波函数的演化来描述的，例如粒子之间的相互作用力、电磁力等。
量子力学更关注粒子的相互干涉和相位变化等现象，而不是力的直接作用方式。
四、独立性和可逆性在经典力学中，质点的运动是独立且可逆的。
质点之间的相互作用不受其他因素的影响，且运动可以按照时间的反方向进行。
例如，一个气体分子碰撞后可以恢复到碰撞前的状态。
而在量子力学中，微观粒子的运动具有独立性，但不可逆。
量子系统的演化是按照波函数的时间演进来描述的，其演化过程是不可逆的。
量子力学思考题1、以下说法是否正确：（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；（2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。
解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。
（2）对于宏观体系或 可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已经过渡到经典力学，二者相吻合了。
2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。
如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(rψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(rψ而完全确定。
由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。
从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。
3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。
解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112ψψψc c +=确定，2ψ中出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2*21*21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。
4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。
（1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=；（2）对其中的1c 与2c 是任意与r无关的复数，但可能是时间t 的函数。
这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。
统计物理中的经典统计与量子统计物理学中有两种统计学：经典统计和量子统计。
这两种统计学之间有很大的差异，它们受到不同的物理学规律的影响。
经典统计学认为粒子行为与热力学有关，并对其进行离散的描述。
而量子统计则建立在量子机制的基础上，并将粒子的行为归因于相互作用的微观层次。
这两种统计学有着独特的性质和应用。
一、经典统计1、概述经典统计学是以热力学理论为基础的统计学，它把粒子的行为描述为离散的对象。
经典统计学将热力学模型应用于描述非平衡系统，并研究系统中粒子之间的位能关系。
它还阐述了关于自由能、势能、熵、温度等基本物理量的性质。
经典统计学也是把握物理系统性质的重要工具，可以更精确地描述系统的微观行为。
2、主要方法经典统计学的基本方法主要是基于热力学的离散模型，可以用来描述与粒子交互相关的热力学性质。
它包括热力学系统中的熵、温度等量，还包括多粒子系统之间的位能统计，以及描述碰撞现象和熵现象的散射函数。
二、量子统计1、概述量子统计学是以量子力学为基础的统计学，它把粒子的行为描述为连续的对象。
量子统计学以量子力学的微观规律为基础，认为粒子的运动是势能场的作用下的线性积分。
它探索了粒子的组合态，以及粒子的能量状态一致性的规律。
由于量子统计深入研究物理系统，它受到许多物理学家的重视。
2、主要方法量子统计学的主要方法有量子能量积分、量子堆叠效应、量子激发态、量子态间的统计性质等。
通过这些方法，可以从物理系统的微观层次上研究粒子的行为以及粒子与环境的相互作用现象。
综上所述，物理学中的经典统计与量子统计是不同的，它们受到热力学和量子力学规律的影响，各自具有独特的性质。
经典统计以热力学模型为基础，研究系统内粒子之间的位能关系；量子统计基于量子力学原理，研究势能场作用下粒子的积分行为。
这两种统计学具有各自不同的特性，主要方法也不尽相同。
第三章 量子统计理论第一节 从经典统计到量子统计 量子力学对经典力学的改正 波函数代表状态 (来自实验观测) 能量和其他物理量的不连续性（来自Schroedinger 方程的特征） 测不准关系（来自物理量的算符表示和对易关系） 全同粒子不可区分（来自状态的波函数描述） 泡利不相容原理 （来自对易关系） 正则系综ρ不是系统处在某个()q p ,的概率，而是处于某个量子态的概率，例如能量的本征态。
配分函数 1E nnZ e k Tββ-==∑n E 为第n 个量子态的能量，对所有量子态求和（不是对能级求和）。
平均值1E nn e Zβ-O =O ∑O 量子力学的平均值第二节 密度矩阵 量子力学 波函数∑ψΦ=ψnnn C ,归一化平均值∑ΦO Φ=ψOψ=O *mn m n m n C C ,ˆˆ 统计物理系综理论：存在多个遵从正则分布的体系 ∴∑ΦO Φ=O *mn m n m n C C ,ˆ 假设系综的各个体系独立，m n C C m n ≠=*,0理解：m n C C *是对所有状态平均，假设每个状态出现的概率为...)(...m C ρ，对固定m ，－m C 和m C 以相同概率出现，所以∑ΦO Φ=O *nnn n n C C ˆ 如果选取能量表象，假设n nC C *按正则分布，重新记n n C C *为n n C C *1E nn nC C e Zβ-*=这里n n n E H Φ=Φˆ引入密度矩阵算符ρˆ[]nn n C HΦ=Φ=2ˆ0ˆ,ˆρρ显然∑ΦΦ=nn nn C 2ˆρ， ˆˆ,0H ρ⎡⎤=⎣⎦∴∑ΦOΦ=O n n ρˆˆ ()ρˆˆO=r T 归一化条件 1ˆ=ρr T 一般地 H e Zˆ1ˆβρ-=()H r e T Zˆˆ1β-O =O H r e T Z ˆβ-=这样，计算可以在任何表象进行 微正则系综⎪⎩⎪⎨⎧∆+〈〈Ω=ΦΦ=∑其它1ˆ22E E E EC C nnnn nn ρ(E ∆ « E)巨正则系综()()ˆˆˆˆ01ˆˆH N H N r NE N nne NZZ T eeeβμβμββμρ⎡⎤--⎣⎦⎡⎤--⎣⎦∞-====∑∑粒子数算符n 为N 固定的量子态第三节 玻色－爱因斯坦分布(BE)和费米－狄拉克分布（FD ） 体系：N 个独立的全同粒子，N 可变 单粒子能级i ε 巨正则分布,N E Nnn Z e N αβαβμ--==-↑∑∑对固定，所有量子态求和量子态：粒子按单粒子量子态的分布{},i n态粒子数第i Nnii↑=∑注意：i 不是粒子的指标，而是态的指标(){}()()ii ii Nn n i ii in n Z eeαβεαβε--++∑=∑=∑∑∑↑ N 可变的分布()()()i iin iiin i i i in n Z eeZ αβεαβε-+-+=∏=∏≡∏∑∑这里 i 记单粒子态例：单粒子两能级系统，玻色子，没简并()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑∑∞=+-∞=+-+-+-00,222111212211n n n n n n n n e e e Z εβαεβαεβαεβα计算平均粒子数()()()()()(){}1111jjj j i n Nn jn j in j jj j j j jin i i n i n i ni in n n n eZZ e n Z n e eZαβεαβεαβεαβερ--≠++-+-+∑==⎛⎫=∏ ⎪⎝⎭=∏∑∑∑∑∑∑∴()ln 1ii ii n ii in Z n eZ n αβεα-+∂==-∂∑（i ） 玻色－爱因斯坦情形11ii Z eαβε--=-∴,11i BE ien αβε+=-（ii ） 费米－狄拉克情形i n 只能取0，1两个值(),111i FD i iiZ een αβεαβε-++=+=+若第l 个能级l ε有l g 个简并量子态，则共有粒子,1lBE l l l FDlg ag n eαβε++==， αβμ=-平均粒子数,ll N a =∑若N 足够大，涨落相对可忽略，N 可认为常数。
第四节 理想玻色气体和Bose-Einstein 凝聚由于泡利不相容原理，玻色和费米气体低温下差别较大玻色气体的性质1、0≤μ选 00＝ε，由 00≤⇒≥μl a(这里μ是与能量零点有关)2、BE 凝聚∑-∑-==ikT iBE i e n N 11/)(,με单分子气体，3=r mp i i 22=ε分析表明 ∑⎰→ip d q d h g 333， g 为自旋简并度∴ 23()/411kT V gN dp ph e εμπ∞-=-⎰()()()3303230()/()/412124121kT kTV g m h e m V g d h eεμεμπεπε∞∞--=⋅-=⋅*-⎰⎰设Const VN=，不断降温，为保证对ε的积分为常数，μ 必须增加（即趋向于零） 当 C T T ==,0μ()()()32323042,13232 2.612c Cx N g x dxm k T x V he k T πεζζ∞==-↑Γ↑≈⎰黎曼函数232233.31C N T g m kV ⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭C T 称之为凝结温度S S g 12+=为自旋如果进一步降温，使 C T T <，似乎出现矛盾，因为μ不能再增加，但VN又要保持为常数。
问题产生于∑⎰→ip d q d h g 333这一过程近似略去了0=ε的贡献，而当 0,C T T <<0=ε的粒子贡献极大。
0,0a =μ~ 0/11kT e ε→∞-∴(*)只计算了0ε>的粒子数323/421kTV gd N mh eεεπεε∞>=-⎰32C T N N T ε>⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭0C T T <<32001C T N N N N T εε=>⎡⎤⎛⎫⎢⎥=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当 00T N N ε===,这并不奇怪当 0C T T << , 0N ε= ~ N 是个大数 这现象称之为BE 凝聚，是动量空间的凝聚。
讨论（i ） 显然，Fermi 体系不会凝聚，因为Pauli 原理。
（ii ） 对理想或排斥势的玻色体系，会发生凝聚但对吸引势的玻色体系，则不会发生凝聚，因为x p p∆=∆=,0,0应为∞，但吸引势体系无法保证这点。
（iii ） 凝聚是一种相变，像是二级相变，因为3201C T N N T ε=⎡⎤⎛⎫⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦是幂次行为第五节 理想费米气体和费米球 假设 221==g S1、K T 0=粒子的排列遵从 泡利不相容原理能量最低∴ 粒子按能级从低到高，每个能级两个自旋取向排列。
设最高能量为F ε,对应动量大小2,/2F F F p p m ε=。
在动量空间看，费米子的等能面为球面。
K T 0=时，全部费米子处于半径为F p 球内，这球称费米球。
用周期边界对自由粒子求解Shroedinger 方程22,,,,0,1,2,2p nx y z n L p E m μμπμ===±±=∴ 量子态求和 332i n Vd ph h μπ∞-∞→→=∑∑⎰考虑到简并，在动量dp p p +→的量子态数目为22334g Vg V d dp p p dp h hπΩ⋅⋅⋅⎰球面＝∴ 2333443FFp g V g V N p dp h h p ππ==⎰ ()2322232F N m V πε⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭F ε称费米能量，对应的等能面称费米面讨论设 ()0==T T μμ00()/111T kTf e εμεμ→-<=−−−→+如 00()/101T kTf eεμεμ→->=−−−→+如 这表明()εf 是个阶梯函数 F εμ=⇒0 思考题： μ 的物理意义K T 0=时的能量33230323230323()/50081882355l l lkTV d E a m h e V m d hV E m N h εμμπεεεπεεπμμ∞-==+===∑⎰⎰ ∴ 单粒子平均能量035εμ=当K T 0=,对费米气体，粒子仍然运动，例如，对电子气，这种运动产生的压强 ~ 410 个大气压。
2、,0K T ≠ 但 T « 0T0T 是从量子气体转变为经典气体的温度。
T « 0T 表明量子效应显著。
()/1121kT f e εμεμ-===+当11111~01k Tf e k Tf e εμεμ-=-==<+=+==+热运动能量的数量级为T k ,它使费米面变厚， 厚度 ~ T k 2。
fk Tk Tμμμε-+选()μ,,T V 为独立变数，巨正则系综的特性函数是热力热Ω~Ω-=~βeZ Z T k ln ~-=Ω()(1)i i ii Z Z e αβε-+=∏=∏+∴ ()()ln 1i ik Te αβε-+Ω=-+∑()()233230323230()()/4ln 14ln 14231kT V g k T e p dp hV g m k T e d hV g d m h e αβεαβεεμππεπεε∞∞-+-+-→-+⎡⎤=-+⎣⎦=-+⎰⎰⎰ ↑ 分部积分()0()/1kT f d I e εμεε∞-=+⎰ 是典型的费米积分当T 小 时 ,可以作低温展开,对()3/2f εε=，() ++=1222523652μπμT k II 的一级近似。
(T=0, 5225Iμ=; T>0, …) ∴()233203V k T m h πΩ≈Ω-Ω=↑~0时的K T 平均粒子数()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂Ω∂-= 2223233,81238~μπμπμT k m hV N V T假设 费米体系的粒子数不随温度而变 00T T T NN===∴ 2233218k T πμμμ⎡⎤⎛⎫++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=220112k T πμμμ⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≅ （练习：试推导）内能⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=Ω-= 2020125153~23μπμT k N E （由上面得到的表达式） 定容热容量 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=F V V T T k N T E C 22π kT F 0μ=称费米温度第六节 能斯脱定理和绝对熵热力学第二定律和热力学基本方程只定义了两个状态的熵之差。
● 能斯脱定理设()T S ∆为可逆等温过程的熵变，则()0lim 0=∆→T T S即 不会改变。
时，S K T 0=● 最小，时，00==S K T这便是热力学第三定律 经典统计∆Ω∆Ω=,ln k S ：可能状态数→ 量子统计ΩΩ=∆Ω=ln ln3k hk S ： 量子态数T=0K 时，Ω等于基态的简并度G , 若 G=1,自然S=0;若G ≠1,但一般GN则 SN k ln ,所以单粒子熵 0→NS对近独立的粒子体系，熵μ,~V BE FD BEFDT S ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂Ω∂-= ∏Ω-==iiZ e Z β()ln 1FD iBEi k Te βμε-⎡⎤Ω=±⎢⎥⎣⎦∑∑⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±-=i BE FD i BE FD i BE FD i BE FD i n n n n k 1ln 1ln对玻色子，()00,00≠===i n N n K T i 时，NSNk S ln ≈ ~ 0 对费米子，由于i n 在费米球内为1，在球外为0， S = 0第三定律的否定表述:绝对零度不能用有限手续达到 热力学过程：吸热 温度会增加，不可能放热 要求环境为低温，也不可能绝热 唯一选择，可逆绝热过程，因为可逆过程效率最高关键：假设（或已知）其他参量不变，如改变温度，S 也一定改变，因为S 是态函数练 习设有可逆绝热过程联系A 、B 两态()()()()112211102220,0,,0,T A x T B x dTS S T x S x C T dT S S T x S x C T==+==+⎰⎰x 为除T 以外所有参数，由能斯脱定理⎰⎰=⇒=221100T x T x B A TdTC T dT C S S如果1200T T >⇒>注意：如果没有()()21,0,0x S x S =，则上述推断不成立。
