2020-2021湖北省武汉市常青树实验学校九(上)月考数学-解析版

2020-2021学年湖北省武汉市武昌区八校联考九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.若关于x的方程(a+1)x2+2x−1=0是一元二次方程，则a的取值范围是()A. a≠−1B. a>−1C. a<−1D. a≠02.方程2x2=6x−9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为()A. 6，2，9B. 2，−6，9C. 2，−6，−9D. 2，6，−93.下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是()A. x2+4=0B. 4x2−4x+1=0C. x2+x+3=0D. x2+2x−1=04.抛物线y=x2+6x+7可由抛物线y=x2如何平移得到的()A. 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位B. 先向左平移6个单位，再向上平移7个单位C. 先向上平移2个单位，再向左平移3个单位D. 先回右平移3个单位，再向上平移2个单位5.三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2−12x+35=0的根，则该三角形的周长为()A. 12B. 14C. 12或14D. 以上都不对6.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长，设原正方形的空地的边长为x m，则可列方程为()A. (x+1)(x+2)=18B. x2−3x+16=0C. (x−1)(x−2)=18D. x2+3x+16=07.关于二次函数y=2x2+x−1，下列说法正确的是()A. 图象与y轴的交点坐标为(0,1)B. 图象的对称轴在y轴的右侧C. 当x<0时，y的值随x值的增大而减小D. y的最小值为−988.已知二次函数y=ax2−2ax+1(a<0)图象上三点A(−1,y1)，B(2,y2)C(4,y3)，则y1、y2、y3的大小关系为()A. y1<y2<y3B. y2<y1<y3C. y1<y3<y2D. y3<y1<y29.有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a⋅c≠0，a≠c.下列四个结论中，错误的是()A. 如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B. 如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C. 如果5是方程M的一个根，那么1是方程N的一个根5D. 如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=110.已知关于x的方程|x2+ax|=4有四个不相等的实数根，则a的取值范围是()A. a<−4或a>4B. a=4或a=−4C. −4<a<4D. 0<a<4二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.抛物线y=2x2−4x+8的对称轴是______．12.把二次三项式x2−6x+8化成(x+p)2+q的形式应为______．13.已知抛物线y=a(x+1)2+k(a>0)，当x______时，y随x的增大而增大．14.飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)关于滑行的时间t(单位：s)的函数解析式是s=60t−1.5t2，飞机着陆后滑行______米才能停下来．15.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，给出下列四个结论：①abc<0；②4a+c<2b；③m(am+b)+b>a(m≠−1)；④方程ax2+bx+c−3=0的两根为x1，x2(x1<x2)，则x2<1，x1>−3，其中正确结论的是______．16.已知抛物线y=−x2+mx+2m，当−1≤x≤2时，对应的函数值y的最大值是6，则m的值是______．三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）17.解方程：x2+3x−1=0(公式法)18.某地区2018年投入教育经费2500万元，2020年投入教育经费3025万元．(1)求2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率；(2)根据(1)所得的年平均增长率，预计2021年该地区将投入教育经费多少万元．19.若关于x的一元二次方程x2−3x+p=0有两个不相等的实数根分别为a和b、且a2−ab+b2=18．(1)求p的值；(2)求ba +ab的值．20.如图，抛物线y=ax2+bx过点P(−1,5)，A(4,0)．(1)求抛物线的解析式；(2)在第一象限内的物线上有一点B，当PA⊥PB时，求点B的坐标．21.如图平行四边形ABCD，E在AD边上，且DE=CD，仅用无刻度直尺作图并保留作图痕迹，不写画法．(1)在图1中，画出∠C的角平分线；(2)在图2中，画出∠A的角平分线．22.“武汉加油!中国加油!”疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力．某厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩．设增加x条生产线后，每条生产线每天可生产口罩y个．(1)直接写出y与x之间的函数关系式；(2)若每天共生产口罩6000个，在投入人力物力尽可能少的情况下，应该增加几条生产线？(3)设该厂每天可以生产的口罩w个，请求出w与x的函数关系式，并求出增加多少条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为多少个？23.(1)问题背景．如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是线段BC、线段CD上的点．若∠BAD=2∠EAF，试探究线段BE、EF、FD之间的数量关系．童威同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG=BE.连接AG，先证明△ABE≌△ADG.再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是______．(2)猜想论证．如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E在线段BC上、F 在线段CD延长线上．若∠BAD=2∠EAF，上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的证明．(3)拓展应用．如图3，在四边形ABCD中，∠BDC=45°，连接BC、AD，AB：AC：BC=3：4：5，AD=4，且∠ABD+∠CBD=180°.则△ACD的面积为______．24.抛物线G：y=ax2+c与x轴交于A、B两点，与y交于C(0,−1)，且AB=4OC．(1)直接写出抛物线G的解析式：______；(2)如图1，点D(−1,m)在抛物线G上，点P是抛物线G上一个动点，且在直线OD的下方，过点P作x轴的平行线交直线OD于点Q，当线段PQ取最大值时，求点P的坐标；(3)如图2，点M在y轴左侧的抛物线G上，将点M先向右平移4个单位后再向下平移，使得到的对应点N也落在y轴左侧的抛物线G上，若S△CMN=2，求点M的坐标．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由题意得：a+1≠0，解得：a≠−1．故选：A．根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程可得a+1≠0，再解即可．此题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2.【答案】B【解析】解：方程整理得：2x2−6x+9=0，则二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，−6，9．故选：B．方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)．3.【答案】D【解析】解：A、△=−16<0，方程没有实数根；B、△=0，方程有两个相等的实数根；C、△=1−12=−11<0，方程没有实数根；D、△=4+4=8>0，方程有两个不相等的实数根．故选：D．根据一元二次方程根的判别式，分别计算△的值，根据△>0，方程有两个不相等的实数根；△=0，方程有两个相等的实数根；△<0，方程没有实数根，进行判断．此题考查了用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况的方法．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．按照“左加右减，上加下减”的规律求解即可．【解答】解：因为y=x2+6x+7=(x+3)2−2．所以将抛物线y=x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到抛物线y=x2+6x+7．故选：A．5.【答案】A【解析】解：解方程x2−12x+35=0，得x1=5，x2=7，即第三边的边长为5或7．∵三角形两边的长是3和4，∴1<第三边的边长<7，∴第三边的边长为5，∴这个三角形的周长是3+4+5=12．故选A．首先利用因式分解法求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．本题考查了解一元二次方程−因式分解法，三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程.一元二次方程.掌握由实际问题抽象出一元二次方程是解题的关键.设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为(x−1)m，宽为(x−2)m根据长方形的面积公式列出方程即可．【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有(x−1)(x−2)=18．故选C．7.【答案】D【解析】解：A.图象与y 轴的交点坐标为(0,−1)，故A 选项不符合题意；B .图象的对称轴是x =−b 2a =−14在y 轴的左侧，故B 选项不符合题意； C .当x ≤−14时，y 的值随x 值的增大而减小，当x >−14时，y 的值随x 值的增大而增大，故C 选项不符合题意；D .∵y =2x 2+x −1=2(x +14)2−98，∴当x =−14时，y 取最小值，y 的最小值为−98，故D 选项符合题意；故选：D ．根据二次函数的性质和二次函数的最值即可求解．本题考查了二次函数的性质和二次函数的最值，解题的关键是逐个判断四个选项即可得出正确答案． 8.【答案】D【解析】解：y =ax 2−2ax +1(a <0)，对称轴是直线x =−−2a 2a =1，即二次函数的开口向下，对称轴是直线x =1，即在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小，A 点关于直线x =1的对称点是D(3,y 1)，∵2<3<4，∴y 2>y 1>y 3，故选：D ．求出抛物线的对称轴，求出A 关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的开口方向和增减性，即可求出答案．本题考查了学生对二次函数图象上点的坐标特征的理解和运用，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．9.【答案】D【解析】解：A 、如果方程M 有两个相等的实数根，那么△=b 2−4ac =0，所以方程N 也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；B、如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△=b2−4ac≥0，c a >0，所以a与c符号相同，ac>0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得125c+15b+a=0，所以15是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，(a−c)x2=a−c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意；故选：D．利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断B；利用一元二次方程的解的定义判断C与D．本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△>0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△<0⇔方程没有实数根．也考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的定义．10.【答案】A【解析】解：关于x的方程|x2+ax|=4有四个不相等的实数根，可得x2+ax=4与x2+ ax=−4都为两个不相等的实数根，∴a2−16>0，且a2+16>0，解得：a<−4或a>4．故选：A．利用绝对值的代数意义，结合根的判别式确定出a的范围即可．此题考查了根的判别式，根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；等于0，方程有两个相等的实数根；小于0，方程无实数根．11.【答案】直线x=1【解析】解：y=2x2−4x+8=2(x−1)2+6，故对称轴是直线x=1，故答案为直线x=1．运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式，根据二次函数的性质确定对称轴．本题考查的是二次函数的三种形式和性质，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键，掌握二次函数的对称轴和顶点坐标的确定．12.【答案】(x−3)2−1【解析】解：x2−6x+8=(x2−6x+9)−1=(x−3)2−1．故答案为：(x−3)2−1．二次三项式变形后，利用完全平方公式化简即可得到结果．此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．13.【答案】>−1【解析】解：∵抛物线y=a(x+1)2+k(a>0)，∴对称轴为直线x=−1，在对称轴右侧y随x的增大而增大；∵x>−1时，y随x的增大而证得；故答案为>−1．直接根据二次函数的性质进行解答即可．本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．14.【答案】600【解析】解：∵s=−32t2+60t=−32(t−20)2+600，∴当t=20时，s取得最大值600，即飞机着陆后滑行600米才能停下来，故答案为：600．将函数解析式配方成顶点式求出s的最大值即可得．本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为s的最大值是解题的关键．15.【答案】①②③【解析】解：抛物线开口向上，因此a>0，对称轴为x=−1<0，a、b同号，所以b>0，与y轴交于负半轴，c<0，所以abc<0，故①正确；当x=−2时，y=4a−2b+c<0，即4a+c<2b，因此②正确；当x=−1时，y最小=a−b+c，当x=m(m≠−1)时，y=am2+bm+c，有am2+bm+c>a−b+c，即m(am+b)+b>a，因此③正确；由抛物线与x轴的交点为(1,0)(−3,0)，因此方程ax2+bx+c−3=0的两根为x1，x2(x1<x2)，则x2>1，x1<−3，于是④不正确；综上所述，正确的结论有：①②③，故答案为：①②③．根据抛物线的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点以及最小值综合判断即可．本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数a、b、c的关系是正确判断的前提．16.【答案】−4+2√10【解析】解：抛物线的对称轴为直线x=−m2×(−1)=m2，当m2<−1，即m<−2时，则−1≤x≤2，y随x的增大而减小，即x=−1时，y=6，所以−(−1)2−m+2m=6，解得m=7(舍)；当−1≤m2≤2，即−2≤m≤4时，则−1≤x≤2，所以x=m2时，y=6，所以−(m2)2+m22+2m=6，解得m1=−4+2√10，m2=−4−2√10(舍去)；当m2>2，即m>4时，则−1≤x≤2，y随x的增大而增大，即x=2时，y=6，所以−22+2m+2m=6，解得m=52(舍)；综上所述，m的值为−4+2√10．故答案为：−4+2√10．先求出抛物线的对称轴方程为x=m2，讨论：若m2<−1，利用二次函数的性质，当−1≤x≤2时，y随x的增大而减小，即x=−1时，y=6，所以−(−1)2−m+2m=6；若−1≤m2≤2，根据二次函数的性质，当−1≤x≤2，所以x=m2时，y=6，所以−(m2)2−m2 2+2m=6；当m2>2，根据二次函数的性质，−1≤x≤2，y随x的增大而增大，即x=2时，y=6，所以−22+2m+2m=6，然后分别解关于m的方程确定满足条件的m的值．本题考查了二次函数的最值：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．17.【答案】解：∵a=1，b=3，c=−1△=b 2−4ac =13>0∴x =−b ±√b 2−4ac 2a =−3±√132x 1=−3+√132，x 2=−3+√132．【解析】根据公式法，可得方程的解．本题考查了解一元二次方程，利用公式法是解题关键，要用根的判别式． 18.【答案】解：(1)设2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率为x ，根据题意2019年为2500(1+x)万元，2020年为2500(1+x)2万元．则2500(1+x)2=3025，解得x 1=10%，x 2=−2.1(不合题意舍去)．答：2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%．(2)3025×(1+10%)=3327.5(万元)．故2021年该地区将投入教育经费3327.5万元．【解析】(1)一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，2019年要投入教育经费是2500(1+x)万元，在2020年的基础上再增长x ，就是2020年的教育经费数额，即可列出方程求解．(2)利用(1)中求得的增长率来求2021年该地区将投入教育经费．本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×(1+年平均增长率)年数=增长后的量．19.【答案】解：(1)∵a ，b 为方程x 2−3x +p =0的两个不相等的实数根， ∴a +b =3，ab =p ．∵a 2−ab +b 2=(a +b)2−3ab =32−3p =18，∴p =−3，当p =−3时，△=(−3)2−4p =9+12=21>0，∴p 的值为−3；(2)∵p =−3，∴ab =−3，∴b a +a b =a 2+b 2ab =(a+b)2−2ab ab =32−2×(−3)−3=−5．【解析】(1)先利用根与系数的关系得到a +b =3，ab =p ，利用a 2−ab +b 2=18求出p =−3；(2)利用根的判别式的意义确定p 的值为−3，然后把b a +a b 变形为(a+b)2−2ab ab ，最后利用整体代入的方法计算．本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=−b a ，x 1⋅x 2=c a .也考查了根的判别式． 20.【答案】解：(1)把点P(−1,5)，A(4,0)代入y =ax 2+bx 得{a −b =516a +4b =0，解得{a =1b =−4， 所以抛物线解析式为y =x 2−4x ；(2)过P 点作PD ⊥x 轴于D ，BE ⊥PD 于E ，∵P(−1,5)，A(4,0)，∴PD =5，OD =1，OA =4，∴AD =1+4=5，∴PD =AD =5，∠APD =45°，设B(x,x 2−4x)，则BE =x +1，PE =x 2−4x −5，∵PA ⊥PB ，∴∠BPE =45°，∴△PBE 是等腰直角三角形，∴BE =PE ，∴x +1=x 2−4x −5，整理得，x 2−5x −6=0，解得x =6或x =−1(舍去)，∴B(6,12)．【解析】(1)把点P(−1,5)，A(4,0)分别代入y =ax 2+bx 中得到关于a 、b 的方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式；(2)过P 点作PD ⊥x 轴于D ，BE ⊥PD 于E ，由P(−1,5)，A(4,0)得出PD =AD =5，从而得出∠APD =45°，然后根据PA ⊥PB 得出△PBE 是等腰直角三角形，设B(x,x 2−4x)，即可得到x +1=x 2−4x −5，解得即可．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，表示出线段的长度是解题的关键．21.【答案】解：(1)如图，射线CE即为所求，(2)如图，射线AT即为所求．【解析】(1)作射线CE即可．(2)连接BD，AC交于点O，作直线EO交BC于T，作射线AT即可．本题考查作图−复杂作图，平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．22.【答案】解：(1)由题意可知该函数关系为一次函数，其解析式为：y=500−20x；∴y与x之间的函数关系式为y=500−20x(0≤x≤25，且x为整数)；(2)由题意得：(10+x)(500−20x)=6000，整理得：x2−15x+50=0，解得：x1=5，x2=10，∵尽可能投入少，∴x2=10舍去．答：应该增加5条生产线．(3)w=(10+x)(500−20x)=−20x2+300x+5000=−20(x−7.5)2+6125，∵a=−20<0，开口向下，∴当x=7.5时，w最大，又∵x为整数，∴当x=7或8时，w最大，最大值为6120．答：当增加7或8条生产线时，每天生产的口罩数量最多，为6120个．【解析】(1)由题意可知该函数关系为一次函数，直接写出其解析式及自变量的取值范围即可；(2)生产线的条数乘以每条生产线生产的口罩数量=6000，据此列出一元二次方程，求解并根据题意作出取舍即可；(3)先根据题意写出关于x的二次函数，再将其配方，写成顶点式，然后根据二次函数的性质及x的取值范围可得答案．本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．23.【答案】EF=BE+DF83【解析】解：延长FD到点G.使DG=BE，连接AG，∵∠B+∠ADF=180°，∠ADF+∠ADG=180°，∴∠ADG=∠B，在△ABE和△ADG中，{BE=DG∠B=∠ADG AB=AD，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=2∠EAF，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD−∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△AGF中，{AE=AG∠EAF=∠GAF AF=AF，∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案为：EF=BE+DF．(2)结论EF=BE+FD不成立，结论：EF=BE−FD．理由如下：证明：如图2中，在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．∵在△ABG与△ADF中，{AB=AD∠ABG=∠ADF BG=DF，∴△ABG≌△ADF(SAS)．∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAD=∠BAG+∠GAD=∠DAF+∠GAD=∠GAF．∵∠BAD=2∠EAF，∴∠GAF=2∠EAF，∴∠GAE=∠EAF．∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF(SAS)．∴EG=EF∵EG=BE−BG∴EF=BE−FD．(3)如图3中，如图3中，过点D作DH⊥AB交AB的延长线于H，DK⊥AC交AC的延长线于K，DJ⊥BC于J．∵AB：AC：BC=3：4：5，∴可以假设AB=3k，AC=4k，BC=5k，∴AB2+AC2=BC2，∴∠BAC=90°，∵∠H=∠K=90°，∴四边形AHDK是矩形，∴∠HDK=90°，∵∠BDC=45°，∴∠BDH+∠CDK=45°，∵∠ABD+∠CBD=180°，∠ABD+∠DBH=180°，∴∠DBH=∠DBC，∵∠H=∠DJB=90°，DB=DB，∴△BDH≌△BDJ(AAS)，∴DH=DJ，∠BDH=∠BDJ，BH=BJ，∵∠BDJ+∠CDJ=45°，∠BHH+∠CDK=∠BDJ+∠CDK=45°，∴∠CDJ=∠CDK，∵∠K=∠DJC=90°，CD=CD，∴△CDK≌△CDJ(AAS)，∴DJ=DK，CJ=CK，∴DH=DK，∴四边形AHDK是正方形，∴BH+CK=BJ+CJ=5k，∴AH+AK=12k，∴AK=KD=6k，∵AD=4，∴AK=DK=2√2=6k，∴k=√23，∴AC=4√23，∴S△ACD=12⋅AC⋅DK=12⋅4√23×2√2=83．故答案为83．(1)延长FD到点G.使DG=BE.连结AG，即可证明△ABE≌△ADG(SAS)，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF(SAS)，可得EF=FG，即可解题；(2)在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG.根据(1)的证法，我们可得出DF=BG，GE= EF，那么EF=GE=BE−BG=BE−DF．(3)如图3中，如图3中，过点D作DH⊥AB交AB的延长线于H，DK⊥AC交AC的延长线于K，DJ⊥BC于J.证明四边形AHDK是正方形即可解决问题．本题考查了四边形综合题，三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形．24.【答案】y=14x2−1【解析】解：(1)∵点C(0,−1)，且AB=4OC．∴OC=1，AB=4，∵抛物线的对称轴为y轴，∴点A(−2,0)，点B(2,0)，∴{4a+c=0c=−1，∴{a=1 4c=−1，∴抛物线解析式为：y=14x2−1．故答案为：y=14x2−1．(2)∵D(−1,m)在y=14x2−1上，∴D(−1,−34)， ∴直线OD 的解析式为y =34x ， 设P(a,14a 2−1)，则Q(13a 2−13,14a 2−1)， ∴PQ =a −(13a 2−13)=−13(a −32)2+1312， ∵−13<0，∴当a =32时，PQ 的值最大，此时P(32,−716).(3)设点M(m,14m 2−1)，则N(m +4,14(m +4)2−1)， ∵点C(0,−1)，∴设直线MC 解析式为y =kx −1， 即：14m 2−1=mk −1，∴k =14m ，∴直线MC 解析式为y =14mx −1， 如图，过点N 作NE//y 轴交CM 于E ，∴点E(m +4,m(m +4)−1)，若点N 在y 轴左侧，EN =−m −4， ∵S △MNC =S △MNE +S △CNE ， ∴2=12×(−m −4)×(−m)， ∴m 1=−2−2√2，m 2=−2+2√2(舍去)， 当点N 在y 轴右侧，EN =m +4， ∵S △MNC =S △MNE −S △CNE ， ∴2=12×(m +4)×(−m)， ∴m 1=m 2=−2，综上所述点M(−2,0)或(−2−2√2,2+2√2).(1)先求出点A坐标，利用待定系数法可求抛物线解析式．(2)由题意直线OD的解析式为y=34x，设P(a,14a2−1)，则Q(13a2−13,14a2−1)，可得PQ=a−(13a2−13)=−13(a−32)2+1312，利用二次函数的性质求解即可．(3)先求出MC的解析式，分两种情况：①点N在y轴左侧．当点N在y轴右侧．利用三角形的面积和差关系可求解．本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，利用参数解决问题是本题的关键．第21页，共21页。

2020-2021学年湖北省武汉市硚口区九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.一元二次方程3x2−x−2=0的二次项系数是3，它的一次项系数是()A. −1B. −2C. 1D. 02.下列交通标志中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.3.抛物线y=12(x−3)2+5先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线是()A. y=12(x+1)2+2 B. y=12(x−1)2+2C. y=12(x+1)2+8 D. y=12(x−7)2+84.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B=108°，则∠D的大小为()A. 54°B. 62°C. 72°D. 82°5.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE//BC，M为BC边上一点(不与点B，C重合)，连接AM交DE于点N，则()A. ADAN =ANAEB. BDMN =MNCEC. DNBM =NEMCD. DNMC =NEBM6.关于一元二次方程x2+2x−4=0，下列结论错误的是()A. 有两个不相等的实数根B. 两实数根的和为2C. 若m是方程的一个根，则2m2+4m=8D. 两实数根的积为−47.如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，C为劣弧AB⏜上一点，且∠ACB=110°，则∠APB等于()A. 40°B. 55°C. 70°D. 35°8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，若AD=4BD，则AC的值为()BCA. √3B. √5C. 2D. √29.如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB=125°，则∠AOB的度数为()A. 120°B. 125°C. 135°D. 140°10.如图，已知直线y=x+1上的点A(−1,0)，点B(2,3)，若抛物线y=ax2−x+2(a为常数，a≠0)与线段AB有两个不同的公共点，则a的取值范围是()A. a≥3≤a<1B. a≤−3或34C. −3≤a<1或a≥3≤a<1D. 34二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.将点(2,1)绕原点顺时针旋转90°对应点的坐标为______．12.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=6，则CD的长为______．13.用一个圆心角为120°，半径为3的扇形制作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______．14.已知正八边形的半径为4，则它的面积为______．15.若△ABC的三边长为5，7，8，则△ABC内切圆的半径是______．16.如图，在矩形ABCD中，AB=2√3，∠DCA=30°，点F是对角线AC上从点A运动到点C，连接DF，作Rt∠DEF使∠DEF=90°，∠DFE=30°，且点E和点A位于DF两侧，则点E运动路径长是______．三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）17.解方程：x2−3x−5=0．18.如图，在⊙O中，AD=BC，求证：DC=AB．19.如图所示，△ABC∽△ADE，试说明△ABD∽△ACE．20.如图，在△ABC中，D为AB边上一点，AC2=AD⋅AB．(1)求证：△ACD∽△ABC；(2)若BD=2，AC=DC=√15，求AD和BC的长．21.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，点B在⊙O上，且PA=PB，直径AD延长线交PB的延长线于点C．(1)求证：PB为⊙O的切线；(2)连接OB、DP交于点E.若CD=2，CB=4，求①AO，AP的长；②PEDE的值．22.如图，⊙O的直径AB为10，弦AC为6，∠ACB的平分线交⊙O于D．(1)求AD的长；(2)若AE平分∠CAB交CD于点E，①求证：AD=DE；②求AE的长．23.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC边上的点，将DA绕D点逆时针旋转120°得到DE．(1)如图1，若∠DAC=30°．①求证：AB=BE；②直接写出BE2+CD2与AD2的数量关系为______；③求证：DEBE =CACB．(2)如图2，(1)中②的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．24.抛物线y=ax2−ax+b交x轴于A，B两点(A在B的左边)，交y轴于C，直线y=−x+4经过B，C两点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，P为直线BC上方的抛物线上一点，PD//y轴交BC于D点，过点D作DE，求m的最大值及此时P点坐标；DE⊥AC于E点.设m=PD+1021(3)如图2，点N在y轴负半轴上，点A绕点N顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点M处，且∠ANM+∠ACM=180°，求N点坐标．答案和解析1.【答案】A【解析】解：一次项系数为−1，故选：A．根据一元二次方程的定义即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义，本题属于基础题型．2.【答案】D【解析】解：A、不是中心对称图形；B、不是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、是中心对称图形．故选：D．根据中心对称图形的概念判断即可．本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.【答案】A(x−3)2+5的顶点(3,5)先向左平移4个单位长度，再向下平【解析】解：抛物线y=12移3个单位长度后得到点的坐标为(−1,2)，所以平移后所得的抛物线的解析式为y=1(x+1)2+2．2故选：A．(x−3)2+5的顶点(3,5)先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位把抛物线y=12长度后得到点的坐标为(−1,2)，即得到平移后抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式写出解析式即可．本题考查了二次函数图象与几何变换：先把二次函数的解析式配成顶点式然后把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题．4.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B=108°，∴∠D=180°−∠B=180°−108°=72°，故选：C．运用圆内接四边形对角互补计算即可．本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．5.【答案】C【解析】解：∵DN//BM，∴△ADN∽△ABM，∴DNBM =ANAM，∵NE//MC，∴△ANE∽△AMC，∴NEMC =ANAM，∴DNBM =NEMC．故选：C．先证明△ADN∽△ABM得到DNBM =ANAM，再证明△ANE∽△AMC得到NEMC=ANAM，则DNBM=NEMC，从而可对各选项进行判断．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．6.【答案】B【解析】解：A、△=22−4×(−4)=20>0，则方程有两个不相等的实数根，所以A 选项的结论正确；B、方程的两根的和为−2，所以A选项的结论错误；C、若m是方程的一个根，则m2+2m−4=0，即m2+2m=4，所以2m2+4m=8，所以C选项的结论正确；D、方程的两根的积为−4，所以D选项的结论正确．故选：B．根据判别式的意义对A进行判断；根据根与系数的关系对B、D进行判断；根据一元二次方程解的定义对C进行判断．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba ，x1x2=ca.也考查了根的判别式．7.【答案】A【解析】解：在优弧AB上取点D，连接BD，AD，OB，OA，∵∠ACB=110°，∴∠D=180°−∠ACB=70°，∴∠AOB=2∠D=140°，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠APB=360°−∠OAP−∠AOB−∠OBP=40°．故选：A．首先在优弧AB上取点D，连接BD，AD，OB，OA，由圆的内接四边形的性质与圆周角定理，可求得∠AOB的度数，然后由PA、PB是⊙O的切线，求得∠OAP与∠OBP的度数，根据多边形的内角和即可求得答案．此题考查了切线的性质、圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．准确作出辅助线是解此题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB=90°，∠A+∠ACD=90°．∵∠ACB=90°，∴Rt△ADC∽Rt△CDB，∴CDBD =ADCD=ACBC．设BD=x，则AD=4x，∴CD2=AD⋅BD=4x2，∴CD=2x，∴ACBC =2xx=2．故选：C．设BD=x，则AD=4x，证明Rt△ADC∽Rt△CDB，利用相似三角形的性质即可求出CD=2x，则可得出答案．此题主要考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．9.【答案】D【解析】解：∵点O是△ABC的外心，∴∠AOB=2∠C，∴∠C=12∠AOB，∵点I是△ABC的内心，∴∠IAB=12∠CAB，∠IBA=12∠CBA，∴∠AIB=180°−(∠IAB+∠IBA) =180°−12(∠CAB+∠CBA)，=180°−12(180°−∠C)=90°+12∠C，∴2∠AIB=180°+∠C，∵∠AOB=2∠C，∴∠AIB=90°+14∠AOB，∴4∠AIB−∠AOB=360°．故选：D．根据圆周角定义，以及内心的定义，可以利用∠C表示出∠AIB和∠AOB，即可得到两个角的关系．本题考查了三角形的内接圆与内心，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是正确利用∠C表示∠AIB的度数．10.【答案】B【解析】解：∵抛物线y=ax2−x+1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点，∴令x+1=ax2−x+2，则ax2−2x+1=0，∴Δ=4−4a>0，∴a<1，①当a<0时，此时函数的对称轴在y轴左侧，当抛物线过点A时，为两个函数有两个交点的临界点，将点A的坐标代入抛物线表达式得：a+1+2=0，解得a=−3，故a≤−3，②当a>0时，此时函数的对称轴在y轴右侧，当抛物线过点B时，为两个函数有两个交点的临界点，将点B的坐标代入抛物线表达式得：4a−2+2=3，，解得a=34，即：a≥34∴3≤a<1，4≤a<1或a≤−3，综上所述：34故选：B．分a>0，a<0两种情况讨论，确定临界点，进而可求a的取值范围．本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．11.【答案】(1,−2)【解析】解：如图，观察图象旋转后A(2,1)的坐标为(1,−2)．故答案为：(1,−2)．画出图形，利用图象法解决问题即可．本题考查旋转变换，解题的关键是理解题意，学会用图象法解决问题．12.【答案】10【解析】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA=r，OE=r−1，∵AB ⊥CD ，∴AE =BE =12AB =3， 在Rt △AOE 中，32+(r −1)2=r 2，解得r =5，∴CD =2r =10．故答案为10．连接OA ，如图，设⊙O 的半径为r ，则OA =r ，OE =r −1，利用垂径定理得到AE =BE =3，再根据勾股定理得到32+(r −1)2=r 2，然后解方程求出r ，从而得到CD 的长． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．13.【答案】1【解析】解：设圆锥底面的半径为r ，根据题意得2πr =120π×3180， 解得：r =1．故答案为：1．设圆锥底面的半径为r ，由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，则2πr =120π×3180，然后解方程即可．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14.【答案】32√2【解析】解：∵正八边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8内接于半径为R 的⊙O ．∴∠A 3OA 2=∠A 2OA 1=360°8=45°，∴∠A 3OA 1=90°，∵OA 3=OA 1=R ，∴A 3A 1=√A 3O 2+A 1O 2=√42+42=4√2，∵∠A 3OA 2=∠A 2OA 1=45°，∴A 3A 2⏜ =A 2A 1⏜ ，∴OA 2⊥A 1A 3，四边形A 1A 2A 3O 的面积为：12OA 2⋅A 3B +12OA 2⋅A 1B =12OA 2⋅A 1A 3=12×4×4√2=8√2；∴正八边形的面积S 为：4×8√2=32√2．求出四边形A 1A 2A 3O 的面积，可得结论．此题主要考查了正多边形和圆的有关计算，根据已知得出中心角∠A 3OA 1=90°，再利用勾股定理得出是解题关键．15.【答案】√3【解析】解：如图1，过B 作BE ⊥AC 于E ，设AE =x ，则CE =8−x ，在Rt △ABE 中，AE 2=AB 2−BE 2，∴AE 2=52−x 2，同理，在Rt △BCE 中，AE 2=72−(8−x)2，∴52−x 2=72−(8−x)2，∴x =52， ∴AE =52，BE =5√32， ∴S △ABC =12×AC ⋅BE =10√3， 如图2，设⊙O 是△ABC 的内切圆，AB 边切⊙O 于D 点，连接OD ，OA ，OB ，OC ，则OD ⊥AB ，设⊙O 的半径为r ，∴S △AOB =12×AB ⋅OD =12AB ⋅r ，同理，S △BOC =12×BC ⋅r ，S △AOC =12AC ⋅r ，∴S △ABC =S △AOC +S △BOC +S △AOB =12(AC +BC +AB)r ，∴12(8+7+5)r =10√3，∴r =√3，故答案为：√3．过B 作BE ⊥AC 于E ，设AE =x ，在直角△ABE 和△BCE 中，利用勾股定理表示出AE 2，令两个式子相等，得到关于x的方程，求解出x，从而得到BE的长度，进而求出△ABC的面积，如图2，设⊙O是△ABC的内切圆，且半径为r，△ABC的面积可以表12(AC+BC+ AB)r，令两个面积相等，即可求解出r．本题考查了三角形内切圆半径的求法，面积法是解决此类问题的通法，特别注意的是，过B作BE⊥AC于E，构造双勾股模型，求出BE的长度，是此题的突破口．16.【答案】2【解析】解：∵∠E1DF1=∠E2DF2=60°，∴∠E1DE2=∠F1DF2，∵DF1DE1=DF2DE2=2，∴△E1DE2∽△F1DF2，∴F1F2E1E2=DF2DE2=2，∠1=∠2，∴∠3=∠E2DF2=60°，作DG⊥E1E2，DH⊥F1F2，∵△E1DE2∽△F1DF2，∴DHDG =DF2DE2=2，∴DH=2DG=√3，∴DG=√32，∴点E在定直线l上，当F1与A点重合，F2与C点重合时，F1F2=AC=4，此时，E1E2=2，即点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是2．利用相似三角形的性质证明DG=√32，推出点E在定直线l上，当F1与A点重合，F2与C 点重合时，F1F2=AC=4，此时，E1E2=2，可得结论．本题考查矩形的性质，旋转变换，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是确定点E的运动轨迹，属于中考常考题型．17.【答案】解：∵x2−3x−5=0，∴a=1，b=−3，c=−5，∴△=9−4×(−5)=29，∴x=3±√292【解析】根据公式法即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．18.【答案】证明：∵AD=BC，∴AD⏜=BC⏜，∴AD⏜+AC⏜=BC⏜+AC⏜，即CD⏜=AB⏜，∴DC=AB．【解析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，由AD=BC得到AD⏜=BC⏜，把两弧都加上弧AC得到CD⏜=AB⏜，于是得到DC=AB．19.【答案】证明：∵△ABC∽△ADE，∴ABAC =ADAE，∠BAC=∠DAE．∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE．∵ABAC =ADAE且∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE．【解析】由相似三角形的性质可知：ABAC =ADAE，∠BAC=∠DAE，然后可证明∠BAD=∠CAE，最后依据相似三角形的判定定理进行证明即可．本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．20.【答案】证明：(1)∵AC2=AD⋅AB，∴ACAD =ABAC，又∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC；(2)设AD=x，∵AC2=AD⋅AB，∴x(x+2)=15，∴x=3或−5，∵x>0，∴AD=x=3，∵△ACD∽△ABC，∴ACAB =CDBC，∴BC=AB=5．【解析】(1)由比例式可得ACAD =ABAC，可得结论；(2)将BD，AC的值代入AC2=AD⋅AB，可求AD的长，由相似三角形的性质可得ACAB =CDBC，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理可求解．21.【答案】(1)证明：连接OB，∵PA为⊙O的切线，∴OA⊥PA，∠OAP=90°，∵OA=OB，PA=PB，OP=OP，∴△AOP≌△BOP(SSS)，∴∠OBP=∠OAP=90°，∴OB⊥PB，∴PB为⊙O切线；(2)解：①连接OP，BD，AD，OP与AD相交于点G，OB与DP相交于点E，设OB=OD=r，在Rt△OBC中，BC2+OB2=OC2，∴r2 +42 =(2+r)2 ，∴r=3，∴OB=OD=3，即OA=3，设PB=PA=x，在Rt△PAC中，AC2+PA2=PC2，∴x2+82=(x+4)2，∴x=6，∴PB=PA=6，②在Rt△PAO中，OP=√OA2+AP2=3√6，∵S△AOP=12AG⋅OP=12OA⋅AP，∴AG=65√5，在Rt△OAG中，OG=√AO2−AG2=35√5，∵△AOP≌△BOP，∴∠AOP=∠BOP，∵OA=OB，∴AG=BG，∠AGO=90°，∵OA=OD，∴BD=2OG=65√5，∵AD为直径，∴∠ABD=90°，∴OP//BD，∴∠BDP=∠OPD，∠DBO=∠POE，∴△BDE∽△POE，∴PEDE =OPDB=52．【解析】(1)连接OB，证明△AOP≌△BOP(SSS)，由全等三角形的性质得出∠OBP=∠OAP=90°，则可得出结论；(2)①连接OP，BD，AD，OP与AD相交于点G，OB与DP相交于点E，设OB=OD=r，由勾股定理得出r2 +42 =(2+r)2 ，可求出OA的长，设PB=PA=x，由勾股定理可求出x=6，则可得出答案；②由三角形面积求出AG的长，求出OG的长，证明△BDE∽△POE，由相似三角形的性质可得出答案．本题主要考查了切线的性质和判定，切线长定理，勾股定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解决问题的关键．22.【答案】解：(1)连接BD，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，又∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=45°，∵∠BAD=∠BCD=45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD=√2=5√2；(2)证明：①∵∠DAE=∠BAD+∠BAE，∠DEA=∠ACD+∠CAE，又∵∠BAD=∠ACD=45°，∠BAE=∠CAE，∴∠DAE=∠DEA，∴AD=DE；②过E作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，EH⊥BA于H，∴四边形CFEG是矩形，∵CE平分∠ACB，AE平分∠CAB，EF⊥AC，EG⊥BC，EH⊥AB，∴EF=EG=EH，∴四边形CFEG是正方形，∴CF=EG=EF=CG，在△AEH和△AEF中，{∠EAH=∠EAF AE=AE∠AFE=∠AHE，∴△AEH≌△AEF(ASA)，∴AF=AH，同理可得BG=BH，又∵AB=10，AC=6，∴BC=8，设CF=CG=x，则AF=AH=6−x，BH=BG=8−x，∴AB=6−x+8−x=10，∴x=2，∴AF=4=AH，EF=CF=2，在Rt△AFE中，AE2=EF2+AF2，∴AE=2√5．【解析】(1)先证△ABD是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可求解；(2)①由外角的性质可证∠DAE=∠DEA，可得结论；②先证明EF=EG=EH，CF=CG，由“ASA”可证△AEH≌△AEF，可得AF=AH，同理可得BG=BH，即可求AF=4=AH，EF=CF=2，在Rt△AFE中，利用勾股定理可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，求出AF的长是解题的关键．23.【答案】BE2+CD2=4AD2【解析】(1)①证明：如图1中，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠ACB=30°，∵∠DAC=30°∴∠DAC=∠ACB=30°，∠ADB=∠CAD+∠ACB=60°，∴∠BAD=90°，由旋转得：DE=DA=CD，∠BDE=∠ADB=60°，∴△BDE≌△BDA(SAS)，∴AB=BE．②解：∵△BDE≌△BDA，∴∠BED=∠BAD=90°，BE=AB，∴BE2+CD2=BE2+DE2=BD2，∵ADBD =cos∠ADB=cos60°=12，∴BD=2AD，∴BE2+CD2=4AD2．故答案为：BE2+CD2=4AD2．③∵∠DAC=∠ABC=30°，∠ACD=∠ACB，∴△DCA∽△ACB，∴DAAB =CACB，∵△BDE≌△BDA，∴DE=DA，BE=AB，∴DEBE =CACB；(2)能满足(1)中的结论．理由：将△ACD绕点A顺时针旋转120°得到△ABD′，使AC与AB重合，连接ED′，DD′，AE，设AB交DD′于点J．∵∠DBJ=∠ADJ=30°，∠BJD=∠D′JA，∴△BJD∽△D′JA，∴BJD′J =D′JAJ，∴BJDJ =D′JAJ，∵∠BJD′=∠DJA，∴△BJD′∽△DJA，∴∠JBD′=∠JDA=30°，同法可证，∠EBD=∠EAD=30°，∠ED′D=∠EAD=30°，∵∠ABC=∠D′BJ=∠EBD=30°，∴∠D′BE=90°，∵∠ADE=120°，∠ADD′=30°，∴∠D′DE=90°，∵∠ED′D=30°，∴D′E=2DE=2AD，在Rt△D′BE中，D′E2=D′B2+BE2，∵CD=BD′，∴CD2+BE2=4AD2．(1)①证明△BDE≌△BDA(SAS)，由全等三角形的性质可得结论．②利用全等三角形的性质以及勾股定理即可解决问题．③证明△DCA∽△ACB，由相似三角形的性质得出DAAB =CACB，由全等三角形的性质得出DE=DA，BE=AB，则可得出结论；(2)能满足(1)中的结论．将△ACD绕点A顺时针旋转120°得到△ABD′，使AC与AB重合，连接ED′，DD′，AE ，设AB 交DD′于点J.利用直角三角形30度角的性质以及勾股定理解决问题即可．本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形性质、勾股定理、旋转的性质、动点的运动路径问题等；解题关键是通过旋转变换构造全等三角形解决问题．24.【答案】解：(1)当x =0时，y =4；当y =0时，−x +4=0，x =4；∴B(4,0)，C(0,4)， ∵点B ，C 在抛物线上，∴{16a −4a +b =0b =4，解得：{a =−13b =4， ∴y =−13x 2+13x +4；(2)如图1，连接AD ，延长PD 交x 轴于H ，∵PD//y 轴，∴PH ⊥x 轴，设D(t,−t +4)，P(t,−13t 2+13t +4)，∵PD =−13t 2+13t +4−(−t +4)=−13t 2+43t ，∵S △ABC =S △ADC +S △ADB ，且A(−3,0)，B(4,0)，C(0,4)，∴12×7×4=12AC ⋅DE +12×7×(−t +4)， ∵AC =√32+42=5，∴DE =75t ，∵m =PD +1021DE ，∴m =−13t 2+43t +1021⋅75t =−13t 2+2t =−13(t −3)2+3，∴当t=3时，m有最大值是3，此时P(3,2)；(3)过N作NF⊥MC交MC于点F，过N点作NG⊥AC，交CA的延长线于点G，则∠G=∠CFN=90°，∴∠ACM+∠GNF=180°，由旋转得：AN=MN，∵∠ANM+∠ACM=180°，∴∠ANM=∠GNF，∴∠ANG=∠MNF，∵∠G=∠MFN=90°，∴△NGA≌△NFM(AAS)，∴NG=NF，∴NC平分∠ACM，∵CO⊥AB，∴OK=OA=3，∴K(3,0)，∴CK的解析式为：y=−43x+4，∴−43x+4=−13x2+13x+4，解得：x1=0，x2=5，∴M(5,−83)，设N(0,y)，∵AN=MN，∴(−3)2+y2=52+(y+83)2，解得：y=−133，∴N(0,−13 3 ).【解析】(1)利用直线y=−x+4经过B、C两点，先求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)根据表达式m=PD+1021DE，设出D点坐标(t,−t+4)，P(t,−13t2+13t+4)，用含t的代数式分别表达出线段PD、DE，转化成m关于a的二次函数，再求m的最大值及P点坐标；(3)根据条件∠ANM+∠ACM=180°，且AN=MN，利用三角形的全等去确定满足条件的M、N点，再根据函数解析式求它们的坐标．本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，还考查了用二次函数求最值，三角形全等的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识，合理运用二次函数的性质是解决本题的关键．。

湖北省武汉市武昌区部分学校2021-2022学年九年级上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．方程3x2＋1＝6x的二次项系数和一次项系数分别为（）A．3和6 B．3和－6 C．3和－1 D．3和12．下列图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（）A．3个球都是黑球B．3个球都是白球C．三个球中有黑球D．3个球中有白球4．已知⊙O的直径为6，点P到圆心O的距离为5，那么点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法确定5．设x1，x2是一元二次方程x2－2x－5＝0的两个根，则x1x2等于（）A．－5 B．－2 C．2 D．56．抛物线y＝（x―1）2－9经变换后得到抛物线y＝x2＋2x－8，则下列变换正确的是（）A．向左平移6个单位长度B．向右平移6个单位长度C．向左平移2个单位长度D．向右平移2个单位长度7．如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转角度α得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上．若∠A＝26°，∠BCA′＝44°，则α等于（）A．37°B．38°C．39°D．40°8．有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁，随机取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率为（）A．16B．13C．12D．239．如图，OD是△ABC的外接圆⊙O的半径，点P在OD上，OP＝2PD，EF是过点P的⊙O的弦．若∠A＝30°，BC＝6，则EF的长的取值范围是（）A．6＜EF≤12B．6＜EF≤8C．12EF≤D．8≤EF≤12 10．已知抛物线y＝4x2＋2x＋m，当－1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，则m的取值范围是（）A．14m=或－6＜m≤－2 B．14m=或－6≤m＜－2 C．－6≤m≤－2 D．m≥－2二、填空题11．若点A（m，5）与点B（－4，n）关于原点成中心对称，则m＋n＝________．12．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：由此表估计这个射手射击1次，击中靶心的概率是_______．（保留一位小数）13．疫情期间居民为了减少外出时间，大家更愿意使用APP在线上买菜，某买菜APP 今年一月份新注册用户为200万，三月份新注册用户为338万，设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是x，根据题意，可列方程为___________．14．正八边形的半径为6，则正八边形的面积为________．15．如图，已知点A是第一象限内的一个定点，若点P是以O为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接AP，以AP为边向AP右侧作等边三角形APB．当点P在⊙O上运动一周时，点B运动的路径长是_________．16．如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴在y 轴右侧，抛物线与x 轴交于点A （－2，0）和点B ，与y 轴的负半轴交于点C ，且OB ＝2OC ，则下列结论：①0a bc->；②2b －4ac ＝1；③14a =；④当－1＜b ＜0时，在x 轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M ，N （点M 在点N 左边），使得AN ⊥BM ．其中正确的结论是___________．三、解答题17．若关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a －3＝0有一个根为1，求a 的值及该方程的另一根．18．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△DEC ，点A ，B 的对应点分别为D ，E ，连接AD ．当点A ，D ，E 在同一条直线上时，求证：△ADC 是等边三角形．19．盲盒为消费市场注入了活力．某商家将1副单价为60元的蓝牙耳机、2个单价为40元的多接口优盘、1个单价为30元的迷你音箱分别放入4个外观相同的盲盒中． （1）如果随机抽一个盲盒，直接写出抽中多接口优盘的概率； （2）如果随机抽两个盲盒，求抽中总价值不低于80元商品的概率．20．在每个小正方形边长为1的网格中，△ABC 的顶点A ，C 均落在格点上，点B 在网格线上，以AB 为直径构造半圆⊙O ，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．（1）画AC 的中点F ，连接OF ； （2）画弦BD ，使BD 平分∠CBA ；（3）在线段AB 上有一点E ，使得BE ＝BC ，画出点E ．21．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP ，BP 的连接点P 在O 上，当点P 在O 上转动时，带动点A ，B 分别在射线OM ，ON 上滑动，OM ON ⊥．当AP 与O 相切时，点B 恰好落在O 上，如图2．请仅就图2的情形解答下列问题． （1）求证：2PAO PBO ∠=∠； （2）若O 的半径为5，203AP =，求BP 的长． 22．红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件．一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x （单位：元/件），月销售量为y （单位：万件）． （1）直接写出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值．23．△ABC和△GEF都是等边三角形．问题背景：如图1，点E与点C重合且B、C、G三点共线．此时△BFC可以看作是△AGC 经过平移、轴对称或旋转得到．请直接写出得到△BFC的过程．迁移应用：如图2，点E为AC边上一点（不与点A，C重合），点F为△ABC中线CD上一点，延长GF交BC于点H，求证：CE CH+=．联系拓展：如图3，AB＝12，点D，E分别为AB、AC的中点，M为线段BD上靠近点B的三等分点，点F在射线DC上运动（E、F、G三点按顺时针排列）．当12MG AG+最小时，则△MDG的面积为_______．24．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－4(a≠0)经过点A(－2，0)和点B(4，0)．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）点P为抛物线上第一象限内一点，若S△ABC＝2S△PBC，求点P的坐标；（3）如图2，点D是第二象限内抛物线上一点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD 的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．参考答案1．B【详解】解：2-+=，故二次项系数是3，一次项系数是－6．故选B．x x36102．B【分析】由题意依据一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形对各选项分析判断即可．【详解】解：A、C、D都是轴对称图形，只有B选项是中心对称图形.故选：B.【点睛】本题考查中心对称图形的识别，注意掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．B【分析】根据袋子中球的个数以及每样球的个数对摸出的3个球的颜色进行分析即可.【详解】袋中一共6个球，有4个黑球和2个白球，从中一次摸出3个球，可能3个都是黑球，也可能2个黑球1个白球，也可能2个白球1个黑球，不可能3个都是白球，故选项A、C、D都是可能事件，不符合题意，选项B是不可能事件，符合题意，故选B.【点睛】本题考查了确定事件及随机事件，把握相关概念，正确进行分析是解题的关键.4．C【分析】根据点P到圆心的距离和圆的半径大小比较就可以得到结果【详解】解：⊙O的直径为6，则半径为3，点P到圆心O的距离为5，5>3∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O外故选C 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，掌握是点和圆的位置关系解题的关键．点在圆上，则d =r ；点在圆外，d ＞r ；点在圆内，d ＜r （d 即点到圆心的距离，r 即圆的半径）． 5．A 【分析】由题意直接根据根与系数的关系进行计算求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得125cx x a==-. 故选：A. 【点睛】本题考查根与系数的关系，注意掌握若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，1212b c a ax x x x +=-=，．6．C 【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律． 【详解】解：y ＝（x ―1）2－9，顶点坐标是（1，−9）． y ＝x 2＋2x －8＝（x ＋1）2−9，顶点坐标是（−1，−9）．所以将抛物线y ＝（x ―1）2－9向左平移2个单位长度得到抛物线y ＝x 2＋2x －8， 故选：C ． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 7．D 【分析】由题意根据△ABC 绕顶点C 逆时针选择角度α得到△A ′B ′C ，且点B 刚好落在A ′B ′上．∠A =26°，∠BCA ′=44°，可以求得∠CBB ′和∠CB ′B 的度数，然后根据三角形内角和即可得到∠BCB ′的度数，从而可以得到α的度数． 【详解】解：∵△ABC绕顶点C逆时针选择角度α得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上，∠A=26°，∠BCA′=44°，∴∠A=∠A′=26°，CB=CB′，∴∠CBB′=∠A′+∠BCA′=70°，∵CB=CB′，∴∠CBB′=∠CB′B，∴∠CB′B=70°，∴∠BCB′=180°-70°-70°=40°.即α等于40°，故选：D．【点睛】本题考查三角形的旋转问题和三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．8．B【分析】根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的情况数，即可求出所求的概率．【详解】解：列表得：由表可知，所有等可能的情况有6种，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的2种，则P（一次打开锁）21 63 ==．故选：B. 【点睛】本题考查列表法与树状图法求概率，注意掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．9．C【分析】连接OC，OB，根据已知条件得到△OBC是等边三角形，求得OB=BC=6，得到OD=6，求得OP=4，当EF⊥OD时，连接OF，由勾股定理得到PF==求得EF=EF是过点P的直径时，EF=12，于是得到结论．【详解】解：连接OC，OB，∵∠A=30°，∴∠BOC=60°，∵OC=OD，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=6，∴OD=6，∵OP=2PD，∴OP=4，当EF⊥OD时，连接OF，∴PF==∴EF=当EF是过点P的直径时，EF=12，∴EF的长的取值范围是12EF，≤故选：C．本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，圆周角，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．10．A【分析】根据题意可知抛物线与x 轴有且只有一个公共点，即2142y x x =+和2y m =-图象只有一个交点，进而作出图象利用数形结合思维进行分析可得答案.【详解】解：2420++=x x m 等价于242+=-x x m抛物线与x 轴有且只有一个公共点，即为2142y x x =+和2y m =-图象只有一个交点，当11,2x y =-=，当11,6x y ==，作图如下：数形结合可得：14-=-m 或26≤-<m ， ∴14m =或62m -<≤-. 故选：A.【点睛】本题考查抛物线与平行x 轴线的交点问题．注意抛物线与x 轴有且只有一个公共点，即为2142y x x =+和2y m =-图象只有一个交点．【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数，进行求解即可．【详解】解：∵点A （m ，5）与点B （－4，n ）关于原点成中心对称，∴m =4，n =-5，∴m +n =-5+4=-1，故答案为：-1．【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，代数式求值，熟知关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．12．0.9【分析】用频率估计概率即可．【详解】解：从表中可以发现，随着射击次数的增加，击中靶心的频率越来越稳定．当射击次数为500时，击中靶心的频率为0.905，于是可以估计这个射手射击1次，击中靶心的概率是0.9． 故答案为：0.9．【点睛】本题考查了用频率估计概率，解题关键是明确大量反复试验下频率稳定值即概率． 13．2200(1)338x +=【分析】设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是x ，根据该买菜APP 今年一月份及三月份新注册用户人数，即可得出关于x 的一元二次方程．【详解】解：设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是x ，依题意，得：200（1＋x ）2＝338，故答案为：2200(1)338x +=【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14．【分析】正八边形的面积有八个全等的等腰三角形面积组成，计算一个等腰三角形的面积，乘以8即可．【详解】解：过A 作AM ⊥OB 于M ，如图所示，△ABO 为等腰三角形，OA =OB =6，∠AOB =360458︒=︒， ∵AM 是OB 上的高，∴∠AOM =∠OAM =45°，∴OM =AM ，∴sin45°=AM OA ，∴AM =sin 45=6OA ⨯︒∴11622AOB S OB AM =⋅=⨯⨯∴正八边形的面积为：8=故答案为【点睛】本题考查了正多边形的面积，等腰直角三角形，等腰三角形，锐角三角函数，熟练把多边形的面积转化为三角形面积的倍数计算是解题的关键．15．4π【分析】以点A 为旋转中心，将AO 逆时针旋转60°，得到线段AO '， 则点B 的运动轨迹为以点O’为圆心，2个单位长度为半径的圆，求出圆O '的周长即可.【详解】如图， 以点A 为旋转中心，将AO 逆时针旋转60°，得到线段AO '，，∵△APB 为等边三角形，∴AP=AB ，∵点P 是以O 为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，∴点B 的运动轨迹为以点O '为圆心，2个单位长度为半径的圆，∴点B 运动的路径长是224ππ⨯⨯=.【点睛】本题考查等边三角形的性质、点的轨迹，解题的关键是得出点B 的轨迹为以点O '为圆心，2个单位长度为半径的圆.16．②③【分析】依据抛物线的图像和性质，根据题意结合二次函数图象与系数的关系，逐条分析结论进行判断即可．【详解】①从图像观察，开口朝上，所以0a >，对称轴在y 轴右侧，所以0b <，图像与y 轴交点在x 轴下方，所以0c <， ∴0,0--><a b a b c，所以①不正确；②点(2,0)A -，与y 轴的负半轴交于点(0,)C c ，且2OB OC =，设(2,0)B c -代入2y ax bx c =++，得：2420ac bc c -+=，∵0c ≠∴241b ac -=，所以②正确；③∵(2,0)A -，(2,0)B c -，设抛物线解析式为：(2)(2)y a x x c =++，过(0,)C c∴4=c ac ∴14a =，所以③正确； ④如图：设AN ，BM 交点为P ，对称轴与x 轴交点为Q ，顶点为D ，根据抛物线的对称性，APB △是等腰直角三角形，∵(2,0)A -，(2,0)B c -∴22AB c =-，112PQ AB c ==- 又∵对称轴2(2)12-+-==--c x c ， ∴(1,1)---P c c 由顶点坐标公式可知241,4⎛⎫--- ⎪⎝⎭ac b D c a ∵14a = ∴()21,---D c cb ，由题意21c b c -<-，解得1b >或者1b <-由①知0b <∴1b <-，所以④不正确．故答案为：②③【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用了数形结合的思想，二次函数2y ax bx c =++（a ≠0），a 的符号由抛物线的开口决定；b 的符号由a 及对称轴的位置确定；c 的符号由抛物线与y 轴交点的位置确定，此外还有注意利用特殊点1，-1及2对应函数值的正负来解决是解题的关键．17．1a =，方程的另一根为2-．【分析】把1x =代入到方程230x ax a ++-=，求出a 的值，即可得到原方程为()()210x x +-=，由此即可求得另一个根．【详解】解：将1x =代入方程230x ax a ++-=，得130a a ++-=，解得1a =，∴原方程为220x x +-=，即()()210x x +-=，解得1x =或2x =-∴方程的另一根为2-．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解一元一次方程，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．18．见解析．【分析】根据三角形旋转得出,120=∠=∠=︒DC AC EDC BAC ，根据点A ，D ，E 在同一条直线上利用邻补角关系求出18060ADC EDC ∠=︒-∠=︒，根据等边三角形判定定理得出ADC 为等边三角形．【详解】证明：∵ABC 绕点C 逆时针旋转得到DEC ，∴,120=∠=∠=︒DC AC EDC BAC ，∵点A ，D ，E 在同一条直线上，∴18060ADC EDC ∠=︒-∠=︒，∵,60DC AC ADC =∠=︒，∴ADC为等边三角形．【点睛】本题考查三角形旋转性质，三点共线，领补角定义，等边三角形判定，掌握三角形旋转性质，三点共线，领补角定义，等边三角形判定是解题关键．19．（1）抽中多接口优盘的概率为12；（2）P（抽中商品总价值不低于80元）23=．【分析】（1）利用列举法求解即可；（2）先用列表法或树状图法得出所有的等可能的结果数，然后找到总价值不低于80元商品的结果数，最后根据概率公式求解即可．【详解】解：（1）∵随机抽取一个盲盒可以抽到蓝牙耳机，多接口优盘1，多接口优盘2，迷你音箱，一共4种等可能性的结果，其中抽到多接口优盘的结果数有2种，∴P抽到多接口优盘21 42==；（2）将蓝牙耳机记为A，多接口U盘记为1B、2B，迷你音箱记作C．则从4个盲盒中随机抽取2个的树状图如下：由上图可知，随机抽两个盲盒，所获商品可能出现的结果有12种，它们出现的可能性相等，其中抽中商品总价值不低于80元的结果有8种．∴P（抽中商品总价值不低于80元）82 123 ==．【点睛】本题主要考查了列举法求解概率，树状图或列表法求解概率，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．20．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）利用矩形的对角线互相平分，可知四边形AMCN是矩形，连接MN与AC的交点即为连接OF；（2）利用中位线易得OF∥BC，延长OF交⊙O于点D，平行线+等腰△OBD，得角平分线；，角平分线+垂线，构造等腰BAG，利用轴对称性，连接GH （3）连接AD，则AD BD并延长交AB于点E．【详解】解：（1）利用矩形的对角线互相平分，可知四边形AMCN是矩形，连接MN与AC的交点即为连接OF；（2）延长OF交圆O于D，连接BD即为所求；∵O、F分别是AB，AC的中点，∴OF是△ABC的中位线，∴OF∥BC，∴∠CBD=∠ODB，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠OBD=∠CBD，∴BD即为∠ABC的平分线；（3）连接AD，并延长与BC的延长线交于点G，设AC与BD交于点H，连接GH并延长，交AB于E，点E即为所求；∵AB是直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AG，∵BD平分∠ABC，∴∠GBD=∠ABD，又∵BD=BD，∴△ABD≌△GBD（ASA），∴AB=BG，∴H在线AG的垂直平分线上，∴HG=HA，∴∠GHD=∠AHD，∵∠BHC=∠AHD，∠BHE=∠GHD，∴∠BHE=∠BHC，又∵BH=BH，∠CBH=∠EBH，∴△BHE≌△BHC（ASA），∴BC=BE；【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，三角形中位线定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识见求解．21．（1）见解析；（2）【分析】（1）利用等腰三角形的性质及三角形的外角，找到角与角之间的等量关系，再通过等量代换即可证明；（2）添加辅助线后，证明三角形相似，得到对应角相等，所以角的正切值也相等，求出直角三角形的直角边长，再把BP放到直角三角形中，利用勾股定理求解．【详解】解：（1）证明：连接OP，取y轴正半轴与O交点于点Q，如下图：,=∴∠=∠，OP ON OPN PBO∠为PONPOQ△的外角，∴∠=∠+∠=∠，2POQ OPN PBO PBO∠+∠=∠+∠=︒，POQ POA POA PAO90∴∠=∠，PAO POQ2PAO PBO ∴∠=∠．（2）过点Q 作PO 的垂线，交PO 与点C ，如下图：由题意：在Rt APO 中，53tan 2043OP PAO AP ∠===，由（1）知：,QOC OAP APO OCQ ∠=∠∠=∠，Rt APO Rt OCQ ∽，3tan ,54CQ COQ OQ CO ∴∠===， 4,3CO CQ ∴==，541PC PO CO ∴=-=-=，PQ ∴==由圆的性质，直径所对的角为直角；在Rt QPB △中，由勾股定理得：BP =即BP =【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质、直角三角形、相似三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理、特殊角度的正切值，解得的关键是：掌握相关的知识点，会添加适当的辅助线，找到角与角、边与边的等量关系，通过等量代换，利用勾股定理建立等式求解．22．（1）5(4050)0.110(50100)x y x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩；（2）当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元；（3）4．【分析】（1）分4050x ≤≤和50x >两种情况，根据“月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件”即可得函数关系式，再根据0y >求出x 的取值范围；（2）在（1）的基础上，根据“月利润=（月销售单价-成本价）⨯月销售量”建立函数关系式，分别利用一次函数和二次函数的性质求解即可得；（3）设该产品的捐款当月的月销售利润为Q 万元，先根据捐款当月的月销售单价、月销售最大利润可得5070x <≤，再根据“月利润=（月销售单价-成本价a -）⨯月销售量”建立函数关系式，然后利用二次函数的性质即可得．【详解】解：（1）由题意，当4050x ≤≤时，5y =，当50x >时，50.1(50)0.110y x x =--=-+，0y ≥，0.1100x ∴-+≥，解得100x ≤，综上，5(4050)0.110(50100)x y x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩； （2）设该产品的月销售利润为w 万元，①当4050x ≤≤时，5(40)5200w x x =-=-，由一次函数的性质可知，在4050x ≤≤内，w 随x 的增大而增大，则当50x =时，w 取得最大值，最大值为55020050⨯-=；②当50100x <≤时，2(40)(0.110)0.1(70)90w x x x =--+=--+，由二次函数的性质可知，当70x =时，w 取得最大值，最大值为90，因为9050>，所以当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元；（3）捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元（大于50万元）， 5070x ∴<≤，设该产品捐款当月的月销售利润为Q 万元，由题意得：(40)(0.110)Q x a x =---+，整理得：221400.1()390240a a Q x a +=--+-+， 140702a +>， ∴在5070x <≤内，Q 随x 的增大而增大，则当70x =时，Q 取得最大值，最大值为(7040)(0.17010)903a a ---⨯+=-，因此有90378a -=，解得4a =．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键．23．（1）以点C 为旋转中心将AGC 逆时针旋转60︒就得到BFC △；（2）见解析；（3 【分析】（1）只需要利用SAS 证明△BCF ≌△ACG 即可得到答案；（2）法一：以FC 为边作120∠=︒CFK ，与HB 的延长线交于点K ，如图，先证明=FC FK ，然后证明FEC FHK ≌， 得到=CE KH ，则+=+=CE CH KH CH CK ，过点F 作FM ⊥BC于M ，求出KM =，即可推出KM =，则=CK ，即：+=CE CH ； 法二：过F 作FM BC ⊥，FN AC ⊥．先证明△FCN ≌△FCM 得到CM =CN ，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出CN FC =，再证明FNE FMH ≌ 得到=EN HM ，则2+==CE CH CM ；（3）如图3-1所示，连接DE ，GM ，AG ，先证明△ADE 是等边三角形，得到DE =AE ，即可证明GEA FED ≌得到30∠=∠=︒GAE FDE ，即点G 在BAC ∠的角平分线所在直线上运动．过G 作GP AC ⊥，则12=GP AG ，12MG AG +最小即是MG GP +最小，故当M 、G 、P 三点共线时，MG GP +最小；如图3-2所示，过点G 作GQ ⊥AB 于Q ，连接DG ，求出DM 和QG 的长即可求解．【详解】（1）∵△ABC 和△GEF 都是等边三角形，∴BC =AC ，CF =CG ，∠ACB =∠FCG =60°，∴∠ACB +∠ACF=∠FCG +∠ACF ，∴∠FCB =∠GCA ，∴△BCF ≌△ACG （SAS ），∴△BFC 可以看作是△AGC 绕点C 逆时针旋转60度所得；（2）法一：证明：以FC 为边作120∠=︒CFK ，与HB 的延长线交于点K ，如图，∵ABC 和GEF △均为等边三角形，∴60ACB ∠=︒，∠GFE =60°，∴120EFH ∠=︒，∴∠EFH +∠ACB =180°，∴180∠+∠︒=CEF CHF ，∵180∠+∠︒=CHF KHF ，∴∠=∠CEF KHF ．∵CD 是等边ABC 的中线，∴30DCB DCA ∠=∠=︒，∴18030K KFC FCK ∠=︒-∠-∠=︒，∴K FCK ∠=∠∴=FC FK ．在FEC 与FHK 中，CEF KHF K FCEFC FK ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()≌FEC FHK AAS ，∴=CE KH ，∴+=+=CE CH KH CH CK ，过点F 作FM ⊥BC 于M ，∴KM =CM ，∵∠K =30°， ∴12FM KF =∴KM ==，∴KM =，∴=CK，即：+=CE CH ；法二证明：过F 作FM BC ⊥，FN AC ⊥．∴CD 是等边ABC 的中线，∴30DCB DCA ∠=∠=︒，FM FN =，∴△FCN ≌△FCM （AAS ），FC =2FN ，∴CM =CN，CN ==， 同法一，∠=∠FEN FHM ．在FNE 与FMH 中，90FEN FHM FNE FMH FN FM ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()≌FNE FMH AAS∴=EN HM ，∴2+==CE CH CM ；（3）如图3-1所示，连接DE ，GM ，AG ，∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，CD ⊥AB ，∴DE ∥BC ，∠CDA =90°，∴∠ADE =∠ABC =60°，∠AED =∠ACB =60°，∴△ADE 是等边三角形，∠FDE =30°，∴DE =AE ，∵△GEF 是等边三角形，∴EF =EG ，∠GEF =60°，∴∠AEG =∠AED +∠DEG =∠FEG +∠DEG =∠FED ，∴()≌GEA FED SAS∴30∠=∠=︒GAE FDE ，即点G 在BAC ∠的角平分线所在直线上运动．过G 作GP AC ⊥，则12=GP AG ， ∴12MG AG +最小即是MG GP +最小，∴当M 、G 、P 三点共线时，MG GP +最小如图3-2所示，过点G 作GQ ⊥AB 于Q ，连接DG ，∴QG =PG ，∵∠MAP =60°，∠MP A =90°，∴∠AMP =30°，∴AM =2AP ，∵D 是AB 的中点，AB =12，∴AD =BD =6，∵M 是BD 靠近B 点的三等分点，∴MD =4，∴AM =10，∴AP =5，又∵∠P AG =30°，∴AG =2GP ，∵222AG PG AP =+，∴22245PG PG =+∴GQ GP ==∴1=2MDG MD G S Q =⋅．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性，勾股定理，解题的关键在于能够正确作出辅助线求解．24．（1）2142y x x =--；（2）(2+P ；（3）2EF =为定值． 【分析】（1）待定系数法求解析式即可；（2）由2=ABC PBC S S ，根据三角形中线的性质取AB 的中点(1,0)M 过点M 作直线BC 的平行线交抛物线于点P ，先求得直线BC 的解析式，进而求得直线PM 的解析式，联立抛物线解析式，进而即可求得点P 的坐标；（3）设(,)D m n ，由抛物线的对称性可得ABD △的外接圆圆心在1x =上，设(1,)G t ，过G作GH DE ⊥于H ，则GH 平分DE ，进而根据已知(,)D m n 在抛物线219(1)22y x =--上，且D 在第一象限，进而求得EF 的长为定值【详解】（1）∵抛物线经过(2,0),(4,0)A B -∴22042401644a b a b ⎧=--⎨=+-⎩解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴抛物线的解析式为2142y x x =--． （2）∵2142y x x =--，令0x =，则4y =-，则(0,4)C - ∴11641222=⨯=⨯⨯=ABC SAB OC ∵2=ABC PBC SS ∴6PBCS = 取AB 的中点(1,0)M∴6=MBC S过点M 作直线BC 的平行线交抛物线于点P ．()4,0,(0,4)B C -设直线BC 的解析式为y kx b =+，则404k b b +=⎧⎨=-⎩解得14k b =⎧⎨=-⎩ ∴直线BC 的解析式为4y x =-PM BC ∥设PM 的解析式为y x d =+，将(1,0)M 代入得1d =-∴PM 直线为：1y x =-联立21142y x y x x =-⎧⎪⎨=--⎪⎩得212302x x --= ∴246x x -=∴1222x x ==∵P 在第一象限∴2=+x∴(2++P ．（3）设(,)D m n∵A ，B 关于1x =对称∴ABD △的外接圆圆心在1x =上，设(1,)G t过G 作GH DE ⊥于H ，则GH 平分DE ．∴==-DH HE n t∴2()2=-=--=-EF DF DE n n t t n ．又∵,(2,0)=-GD GA A∴2222(1)()(21)(0)-+-=--+-m n t t已知(,)D m n 在抛物线219(1)22y x =--上． ∴219(1)22=--n m 即2(1)29-=+m n∴2222929++-+=+n n nt t t∴2220+-=n n nt∴(22)0+-=n n t∵D 在第一象限，0n ≠∴220+-=n t 即22-=t n∴2EF =为定值．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数交点问题，三角形的外心的性质，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键．。

2021年湖北省武汉市部分学校九年级元月调考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．将一元二次方程2x2﹣1＝3x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（）A．2，﹣1B．2，0C．2，3D．2，﹣32．下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列四个袋子中，都装有除颜色外无其他差别的10个小球，从这四个袋子中分别随机摸出一个球，摸到红球可能性最小的是（）A．B．C．D．4．已知⊙O的半径等于3，圆心O到点P的距离为5，那么点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O外C．点P在⊙O上D．无法确定5．一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（）A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝5C．（x﹣2）2＝3D．（x﹣2）2＝5 6．在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+2）（x﹣4）经变换后得到抛物线y＝（x﹣2）（x+4），则下列变换正确的是（）A．向左平移6个单位B．向右平移6个单位C．向左平移2个单位D．向右平移2个单位7．如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，使点D落在BC的延长线上．已知∠A＝33°，∠B＝30°，则∠ACE的大小是（）A．63°B．58°C．54°D．52°8．三个不透明的口袋中各有三个相同的乒乓球，将每个口袋中的三个乒乓球分别标号为1，2，3．从这三个口袋中分别摸出一个乒乓球，出现的数字正好是等腰三角形三边长的概率是（）A．B．C．D．9．如图，PM，PN分别与⊙O相切于A，B两点，C为⊙O上一点，连接AC，BC．若∠P ＝60°，∠MAC＝75°，AC＝，则⊙O的半径是（）A．B．C．D．10．已知二次函数y＝2020x2+2021x+2022的图象上有两点A（x1，2023）和B（x2，2023），则当x＝x1+x2时，二次函数的值是（）A．2020B．2021C．2022D．2023二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是．12．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，过点O的直线EF分别交边AB，CD于E，F两点，在这个平行四边形上做随机投掷图钉试验，针头落在阴影区域内的概率是．13．国家实施“精准扶贫”政策以来，贫困地区经济快速发展，贫困人口大幅度减少．某地区2018年初有贫困人口4万人，通过社会各界的努力，2020年初贫困人口减少至1万人．则2018年初至2020年初该地区贫困人口的年平均下降率是．14．已知O，I分别是△ABC的外心和内心，∠BOC＝140°，则∠BIC的大小是．15．如图，放置在直线l上的扇形OAB，由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③，若半径OA＝1，∠AOB＝90°，则点O所经过的路径长是．16．下列关于二次函数y＝x2﹣2mx+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2+2mx的图象的对称轴相同；②该函数的图象与x轴有交点时，m＞1；③该函数的图象的顶点在函数y＝﹣x2+1的图象上；④点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的图象上．若x1＜x2，x1+x2＜2m，则y1＜y2．其中正确的结论是（填写序号）．三、解答题（共8小题，共72分）17．若关于x的一元二次方程x2﹣bx+2＝0有一个根是x＝1，求b的值及方程的另一个根．18．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点D落在线段AB上．求证：DC平分∠ADE．19．小刚参加某网店的“翻牌抽奖”活动，如图，四张牌分别对应价值2，5，5，10（单位：元）的四件奖品．（1）如果随机翻一张牌，直接写出抽中5元奖品的概率；（2）如果同时随机翻两张牌，求所获奖品总值不低于10元的概率．20．如图是由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙P经过A，B 两个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．（1）在图（1）中，⊙P经过格点C，画圆心P，并画弦BD，使BD平分∠ABC；（2）在图（2）中，⊙P经过格点E，F是⊙P与网格线的交点，画圆心P，并画弦FG，使FG＝F A．21．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE．（1）求证：AE＝DE；（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积．22．疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况如图所示，y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为（30，900），其中0≤x≤30．校门口有一个体温检测棚，每分钟可检测40人．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？（3）检测体温到第4分钟时，为减少排队等候时间，在校门口临时增设一个人工体温检测点．已知人工每分钟可检测12人，人工检测多长时间后，校门口不再出现排队等待的情况（直接写出结果）．23．问题背景如图（1），△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．尝试应用如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等边△ABE，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若BD⊥BC，求的值．拓展创新如图（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值．24．如图，经过定点A的直线y＝k（x﹣2）+1（k＜0）交抛物线y＝﹣x2+4x于B，C两点（点C在点B的右侧），D为抛物线的顶点．（1）直接写出点A的坐标；（2）如图（1），若△ACD的面积是△ABD面积的两倍，求k的值；（3）如图（2），以AC为直径作⊙E，若⊙E与直线y＝t所截的弦长恒为定值，求t的值．2021年湖北省武汉市部分学校九年级元月调考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．将一元二次方程2x2﹣1＝3x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（）A．2，﹣1B．2，0C．2，3D．2，﹣3【分析】先化成一般形式，即可得出答案．【解答】解：将一元二次方程2x2﹣1＝3x化成一般形式是2x2﹣3x﹣1＝0，二次项的系数和一次项系数分别是2和﹣3，故选：D．2．下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】利用中心对称图形的定义进行解答即可．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是中心对称图形，故此选项符合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．3．下列四个袋子中，都装有除颜色外无其他差别的10个小球，从这四个袋子中分别随机摸出一个球，摸到红球可能性最小的是（）A．B．C．D．【分析】要求可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可．求比例时，应注意记清各自的数目．【解答】解：第一个袋子摸到红球的可能性＝；第二个袋子摸到红球的可能性＝＝；第三个袋子摸到红球的可能性＝＝；第四个袋子摸到红球的可能性＝＝．故选：A．4．已知⊙O的半径等于3，圆心O到点P的距离为5，那么点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O外C．点P在⊙O上D．无法确定【分析】根据①点P在圆外⇔d＞r．②点P在圆上⇔d＝r．③点P在圆内⇔d＜r，即可判断．【解答】解：∵r＝3，d＝5，∴d＞r，∴点P在⊙O外．故选：B．5．一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（）A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝5C．（x﹣2）2＝3D．（x﹣2）2＝5【分析】移项，配方，即可得出选项．【解答】解：x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣4x＝1，x2﹣4x+4＝1+4，（x﹣2）2＝5，故选：D．6．在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+2）（x﹣4）经变换后得到抛物线y＝（x﹣2）（x+4），则下列变换正确的是（）A．向左平移6个单位B．向右平移6个单位C．向左平移2个单位D．向右平移2个单位【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【解答】解：y＝（x+2）（x﹣4）＝（x﹣1）2﹣9，顶点坐标是（1，9）．y＝（x﹣2）（x+4）＝（x+1）2﹣9，顶点坐标是（﹣1，9）．所以将抛物线y＝（x+2）（x﹣4）向左平移2个单位长度得到抛物线y＝（x﹣2）（x+4），故选：C．7．如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，使点D落在BC的延长线上．已知∠A＝33°，∠B＝30°，则∠ACE的大小是（）A．63°B．58°C．54°D．52°【分析】先根据三角形外角的性质求出∠ACD＝63°，再由△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，得到△ABC≌△DEC，证明∠BCE＝∠ACD，利用平角为180°即可解答．【解答】解：∵∠A＝33°，∠B＝30°，∴∠ACD＝∠A+∠B＝33°+30°＝63°，∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，∴△ABC≌△DEC，∴∠ACB＝∠DCE，∴∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE＝63°，∴∠ACE＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝180°﹣63°﹣63°＝54°．故选：C．8．三个不透明的口袋中各有三个相同的乒乓球，将每个口袋中的三个乒乓球分别标号为1，2，3．从这三个口袋中分别摸出一个乒乓球，出现的数字正好是等腰三角形三边长的概率是（）A．B．C．D．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的乒乓球标号相同，并且三个标号符合三角形三边关系的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有27种等可能的结果，两次摸出的乒乓球标号相同，并且三个标号符合三角形三边关系的有15种结果，∴出现的数字正好是等腰三角形三边长的概率是＝．故选：B．9．如图，PM，PN分别与⊙O相切于A，B两点，C为⊙O上一点，连接AC，BC．若∠P ＝60°，∠MAC＝75°，AC＝，则⊙O的半径是（）A．B．C．D．【分析】连接OA、OC，过A点作AH⊥OC于H，如图，设⊙O的半径为r，根据切线的性质得到∠OAM＝90°，则∠OAC＝15°，再计算出∠AOH＝30°，则可表示出AH ＝r，OH＝r，利用勾股定理得到（r）2+（r+r）2＝（+1）2，然后解方程即可．【解答】解：连接OA、OC，过A点作AH⊥OC于H，如图，设⊙O的半径为r，∵PM与⊙O相切于A点，∴OA⊥PM，∴∠OAM＝90°，∵∠MAC＝75°，∴∠OAC＝15°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝15°，∴∠AOH＝30°，在Rt△AOH中，AH＝OA＝r，OH＝AH＝r，在Rt△ACH中，（r）2+（r+r）2＝（+1）2，解得r＝，即⊙O的半径为．故选：A．10．已知二次函数y＝2020x2+2021x+2022的图象上有两点A（x1，2023）和B（x2，2023），则当x＝x1+x2时，二次函数的值是（）A．2020B．2021C．2022D．2023【分析】根据题意得出x＝x1+x2＝﹣，代入函数的解析式即可求得二次函数的值．【解答】解：∵二次函数y＝2020x2+2021x+2022的图象上有两点A（x1，2023）和B（x2，2023），∴x1、x2是方程2020x2+2021x+2022＝2023的两个根，∴x1+x2＝﹣，∴当x＝x1+x2时，二次函数y＝2020x2+2021x+2022＝2020（﹣）2+2021•（﹣）+2022＝2022．故选：C．二．填空题（共6小题）11．在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是（1，﹣2）．【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），可得答案．【解答】解：在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是（1，﹣2），故答案为：（1，﹣2）．12．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，过点O的直线EF分别交边AB，CD于E，F两点，在这个平行四边形上做随机投掷图钉试验，针头落在阴影区域内的概率是．【分析】用阴影部分的面积除以平行四边形的总面积即可求得答案．【解答】解：∵四边形是平行四边形，∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，观察发现：图中阴影部分面积＝S四边形ABCD，∴点A落在阴影区域内的概率为，故答案为：．13．国家实施“精准扶贫”政策以来，贫困地区经济快速发展，贫困人口大幅度减少．某地区2018年初有贫困人口4万人，通过社会各界的努力，2020年初贫困人口减少至1万人．则2018年初至2020年初该地区贫困人口的年平均下降率是50%．【分析】设2018年初至2020年初该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据该地区2018年初及2020年初贫困人口的数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设2018年初至2020年初该地区贫困人口的年平均下降率为x，依题意得：4（1﹣x）2＝1，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝1.5（不合题意，舍去）．故答案为：50%．14．已知O，I分别是△ABC的外心和内心，∠BOC＝140°，则∠BIC的大小是125°或145°．【分析】利用圆周角定理得到∠BAC＝70°或∠BAC＝110°，由于I是△ABC的内心，则∠BIC＝90°+∠BAC，然后把∠BAC的度数代入计算即可．【解答】解：∵O是△ABC的外心，∴∠BAC＝∠BOC＝×140°＝70°（如图1）或∠BAC＝180°﹣70°＝110°，（如图2）∵I是△ABC的内心，∴∠BIC＝90°+∠BAC，当∠BAC＝70°时，∠BIC＝90°+×70°＝125°；当∠BAC＝110°时，∠BIC＝90°+×110°＝145°；即∠BIC的度数为125°或145°．故答案为125°或145°．15．如图，放置在直线l上的扇形OAB，由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③，若半径OA＝1，∠AOB＝90°，则点O所经过的路径长是π．【分析】点O所经过的路径是三个圆周长．【解答】解：点O所经过的路径长＝3×＝π．故答案为：π．16．下列关于二次函数y＝x2﹣2mx+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2+2mx的图象的对称轴相同；②该函数的图象与x轴有交点时，m＞1；③该函数的图象的顶点在函数y＝﹣x2+1的图象上；④点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的图象上．若x1＜x2，x1+x2＜2m，则y1＜y2．其中正确的结论是①③（填写序号）．【分析】利用二次函数的性质一一判断即可．【解答】解：①∵二次函数y＝x2﹣2mx+1的对称轴为直线x＝﹣＝m，二次函数y ＝﹣x2+2mx的对称轴为直线x＝﹣＝m，故结论①正确；②∵函数的图象与x轴有交点，则△＝（﹣2m）2﹣4×1×1＝4m2﹣4≥0，∴m≥1，故结论②错误；③∵y＝x2﹣2mx+1＝（x﹣m）2+1﹣m2，∴顶点为（m，﹣m2+1），∴该函数的图象的顶点在函数y＝﹣x2+1的图象上，故结论③正确；④∵x1+x2＜2m，∴＜m，∵二次函数y＝x2﹣2mx+1的对称轴为直线x＝m∴点A离对称轴的距离大于点B离对称轴的距离∵x1＜x2，且a＝1＞0∴y1＞y2故结论④错误；故答案为①③．三．解答题17．若关于x的一元二次方程x2﹣bx+2＝0有一个根是x＝1，求b的值及方程的另一个根．【分析】把x＝1代入方程计算求出b的值，进而求出另一根即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+2＝0有一个根是x＝1，∴1﹣b+2＝0，解得：b＝3，把b＝3代入方程得：x2﹣3x+2＝0，设另一根为m，可得1+m＝3，解得：m＝2，则b的值为3，方程另一根为x＝2．18．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点D落在线段AB上．求证：DC平分∠ADE．【分析】利用全等三角形的性质以及等腰三角形的性质即可解决问题．【解答】证明：由旋转可知，△ABC≌△DEC，∴∠A＝∠CDE，AC＝DC，∴∠A＝∠ADC，∴∠ADC＝∠CDE，即DC平分∠ADE．19．小刚参加某网店的“翻牌抽奖”活动，如图，四张牌分别对应价值2，5，5，10（单位：元）的四件奖品．（1）如果随机翻一张牌，直接写出抽中5元奖品的概率；（2）如果同时随机翻两张牌，求所获奖品总值不低于10元的概率．【分析】（1）根据概率公式计算可得；（2）画树状图列出所有等可能结果，再从中确定所获奖品总值不低于10元的结果数，利用概率公式计算可得．【解答】解：（1）∵在价值为2，5，5，10（单位：元）的四件奖品，价值为5元的奖品有2张，∴抽中5元奖品的概率为＝；（2）画树状图如下：由树状图可知共有12种等可能结果，其中所获奖品总值不低于10元的有8种，∴所获奖品总值不低于10元的概率为＝．20．如图是由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙P经过A，B 两个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．（1）在图（1）中，⊙P经过格点C，画圆心P，并画弦BD，使BD平分∠ABC；（2）在图（2）中，⊙P经过格点E，F是⊙P与网格线的交点，画圆心P，并画弦FG，使FG＝F A．【分析】（1）取格点T，连接AT交BC于点P，连接AC，取AC的中点W，作射线PW 交⊙P于点D，线段BD即为所求作．（2）取格点J，连接AB，AJ延长AJ交⊙P于Q，连接BQ可得圆心P，取格点R，D，连接FR，DR，作DR交⊙P于G，连接FG，可证F A＝FR＝FG，线段FG即为所求作．【解答】解：（1）如图，点P，线段BD即为所求作．（2）如图，点P，线段FG即为所求作．21．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE．（1）求证：AE＝DE；（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积．【分析】（1）欲证明AE＝DE，只要证明＝．（2）连接BD，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F．证明△ADE≌△CDF（AAS），推出AE＝CF，推出S△ADE＝S△CDF，推出S四边形AECD＝S△DEF，再利用等腰三角形的性质构建方程求出DE，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴＝，∵E是的中点，∴＝，∴＝，∴AE＝DE．（2）解：连接BD，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F．∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC＝∠DEC＝45°，DA＝DC，∵∠EDF＝90°，∴∠F＝90°﹣45°＝45°，∴DE＝DF，∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，∴S△ADE＝S△CDF，∴S四边形AECD＝S△DEF，∵EF＝DE＝EC+DE，EC＝1，∴1+DE＝DE，∴DE＝+1，∴S△DEF＝DE2＝+．22．疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况如图所示，y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为（30，900），其中0≤x≤30．校门口有一个体温检测棚，每分钟可检测40人．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？（3）检测体温到第4分钟时，为减少排队等候时间，在校门口临时增设一个人工体温检测点．已知人工每分钟可检测12人，人工检测多长时间后，校门口不再出现排队等待的情况（直接写出结果）．【分析】（1）由顶点坐标为（30，900），可设y＝a（x﹣30）2+900，再将（0，0）代入，求得a的值，则可得y与x之间的函数解析式；（2）设第x分钟时的排队等待人数为w人，根据w＝y﹣40x及（1）中所得的y与x之间的函数解析式，可得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案；（3）设人工检测m分钟时间后，校门口不再出现排队等待的情况，由于检测体温到第4分钟时，在校门口临时增设一个人工体温检测点，则体温检测棚的检测时间为（m+4）分钟，则学生到校的累计人数与人工检测m分钟后两种检测方式的检测人数之和相等时，校门口不再出现排队等待的情况，据此可列出关于m的方程，求解并根据问题的实际意义作出取舍即可．【解答】解：（1）∵顶点坐标为（30，900），∴设y＝a（x﹣30）2+900，将（0，0）代入，得：900a+900＝0，解得a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣30）2+900；（2）设第x分钟时的排队等待人数为w人，由题意可得：w＝y﹣40x＝﹣（x﹣30）2+900﹣40x＝﹣x2+60x﹣900+900﹣40x＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，∴当x＝10时，w的最大值为100，答：排队等待人数最多时是100人；（3）设人工检测m分钟时间后，校门口不再出现排队等待的情况，由题意得：﹣（4+m）2+60（4+m）﹣40×4﹣（40+12）m＝0，整理得：﹣m2+64＝0，解得：m1＝8，m2＝﹣8（舍）．答：人工检测8分钟时间后，校门口不再出现排队等待的情况．23．问题背景如图（1），△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．尝试应用如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等边△ABE，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若BD⊥BC，求的值．拓展创新如图（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值．【分析】问题背景由等边三角形的性质得出∠BAD＝60°，∠CAE＝60°，AD＝AB，AC＝AE，证得△ACD ≌△AEB（SAS），由旋转的概念可得出答案；尝试应用证明△ADE≌△ACB（SAS），由全等三角形的性质得出∠ADE＝∠ACB＝90°，DE＝CB，得出∠BDF＝30°，由直角三角形的性质得出BF＝DF，则可得出答案；拓展创新过点A作AE⊥AB，且使AE＝AD，连接PE，BE，由直角三角形的性质求出BE，PE的长，则可得出答案．【解答】问题背景解：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，∴∠BAD＝60°，∠CAE＝60°，AD＝AB，AC＝AE，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，∴△ACD≌△AEB（SAS），∴△ACD可以由△AEB绕点A顺时针旋转60°得到，即旋转中心是点A，旋转方向是顺时针，旋转角是60°；尝试应用∵△ACD和△ABE都是等边三角形，∴AC＝AD，AB＝AE，∠CAD＝∠BAE＝60°，∴∠CAB＝∠DAE，∴△ADE≌△ACB（SAS），∴∠ADE＝∠ACB＝90°，DE＝CB，∵∠ADE＝90°，∴∠ADF＝90°，∵∠ADC＝∠ACD＝60°，∴∠DCF＝∠CDF＝30°，∴CF＝DF，∵BD⊥BC，∴∠BDF＝30°，∴BF＝DF，设BF＝x，则CF＝DF＝2x，DE＝3x，∴；拓展创新∵∠ACB＝90°，∴点C在以AB为直径的圆上运动，取AB的中点D，连接CD，∴CD＝AB＝1，如图，过点A作AE⊥AB，且使AE＝AD，连接PE，BE，∵将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，∴∠P AC＝90°，P A＝AC，∵∠EAD＝90°，∴∠P AE＝∠CAD，∴△CAD≌△P AE（SAS），∴PE＝CD＝1，∵AB＝2，AE＝AD＝1，∴BE＝＝＝，∴BP≤BE+PE＝+1，∴BP的最大值为+1．24．如图，经过定点A的直线y＝k（x﹣2）+1（k＜0）交抛物线y＝﹣x2+4x于B，C两点（点C在点B的右侧），D为抛物线的顶点．（1）直接写出点A的坐标；（2）如图（1），若△ACD的面积是△ABD面积的两倍，求k的值；（3）如图（2），以AC为直径作⊙E，若⊙E与直线y＝t所截的弦长恒为定值，求t的值．【分析】（1）由A为直线y＝k（x﹣2）+1上的定点，可得k的系数为0，从而求得x值，则点A的坐标可得；（2）先求得顶点D的坐标，可得AD⊥x轴．分别过点B，C作直线AD的垂线，垂足分别为M，N，设B，C的横坐标分别为x1，x2由△ACD的面积是△ABD面积的两倍得出2x1+x2＝6．将抛物线解析式与直线y＝k（x﹣2）+1解析式联立，得出关于x的一元二次方程，方法一可以直接解方程，再结合2x1+x2＝6求得答案；方法二可以用韦达定理及2x1+x2＝6求得答案；（3）设⊙E与直线y＝t交于点G，H，点C的坐标为（a，﹣a2+4a），用含a的式子表示出点E的坐标，再由勾股定理得出关于a的方程；分别过点E，A作x轴，y轴的平行线交于点F，过点E作PE⊥GH，垂足为P，连接EH，用含a的式子表示GH2，根据GH为定值，可得答案．【解答】解：（1）∵A为直线y＝k（x﹣2）+1上的定点，∴A的坐标与k无关，∴x﹣2＝0，∴x＝2，此时y＝1，∴点A的坐标为（2，1）；（2）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴顶点D的坐标为（2，4），∵点A的坐标为（2，1），∴AD⊥x轴．如图（1），分别过点B，C作直线AD的垂线，垂足分别为M，N，设B，C的横坐标分别为x1，x2，∵△ACD的面积是△ABD面积的两倍，∴CN＝2BM，∴x2﹣2＝2（2﹣x1），∴2x1+x2＝6．联立，得x2+（k﹣4）x﹣2k+1＝0，①解得x1＝，x2＝，∴2×+＝6，化简得：＝﹣3k，解得k＝﹣．另解：接上解，由①得x1+x2＝4﹣k，又由2x1+x2＝6，得x1＝2+k．∴（2+k）2+（k﹣4）（2+k）﹣2k+1＝0，解得k＝±．∵k＜0，∴k＝﹣；（3）如图（2），设⊙E与直线y＝t交于点G，H，点C的坐标为（a，﹣a2+4a）．∵E是AC的中点，∴将线段AE沿AC方向平移与EC重合，∴x E﹣x A＝x C﹣x E，y E﹣y A＝y C﹣y E，∴x E＝（x A+x C），y E＝（y A+y C）．∴E（1+，）．分别过点E，A作x轴，y轴的平行线交于点F，在Rt△AEF中，由勾股定理得：EA2＝+＝+，过点E作PE⊥GH，垂足为P，连接EH，∴GH＝2PH，EP2＝，又∵AE＝EH，∴GH2＝4PH2＝4（EH2﹣EP2）＝4（EA2﹣EP2）＝4[+﹣]＝4[﹣a+1+﹣（﹣a2+4a+1）+1﹣+t（﹣a2+4a+1）﹣t2]＝4[（﹣t）a2+（4t﹣5）a+1+t﹣t2]．∵GH的长为定值，∴﹣t＝0，且4t﹣5＝0，∴t＝．。

2020—2021年人教版九年级数学上册月考测试卷【含答案】班级： 姓名：一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．﹣3的绝对值是（ ）A ．﹣3B ．3C ．-13D ．132是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等1的值（ ）A ．在1.1和1.2之间B ．在1.2和1.3之间C ．在1.3和1.4之间D ．在1.4和1.5之间3．下列结论成立的是（ ）A ．若|a|＝a ，则a ＞0B ．若|a|＝|b|，则a ＝±bC ．若|a|＞a ，则a ≤0D ．若|a|＞|b|，则a ＞b ． 4．若关于x 的一元二次方程2(2)26k x kx k --+=有实数根，则k 的取值范围为（ ）A ．0k ≥B ．0k ≥且2k ≠C ．32k ≥D ．32k ≥且2k ≠ 5．已知关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =，则a 的值为（ ）A ．0B ．±1C ．1D ．1-6．已知二次函数242y x x =-+，关于该函数在﹣1≤x ≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ）A ．有最大值﹣1，有最小值﹣2B ．有最大值0，有最小值﹣1C ．有最大值7，有最小值﹣1D ．有最大值7，有最小值﹣27．如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE ，且D 点落在对角线D ′处．若AB=3，AD=4，则ED 的长为（ ）A．32B．3 C．1 D．438．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．70°9．如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（）A．5B．2 C．52D．2510．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC 边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（）A．12B．920C．25D．13二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．计算: 225-（）=__________.2．因式分解：_____________.3．若a ，b 都是实数，b ＝12a -+21a -﹣2，则a b 的值为__________．4．如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点．若AD=6，DE=5，则CD 的长等于__________．5．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC 绕AC 的中点D 逆时针旋转90°得到△A'B ′C'，其中点B 的运动路径为BB '，则图中阴影部分的面积为__________．6．如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于H ，30,23A CD ︒∠==，则⊙O 的半径是__________．三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．解方程：24221933x x x x =+---+2．已知关于x 的一元二次方程2(3)0x m x m ---=.（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为1x ，2x ，且2212127x x x x +-=，求m 的值．3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.4．在平面直角坐标系中，直线1y 22x =-与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，二次函数21y bx 2x c =++的图象经过点B,C 两点，且与x 轴的负半轴交于点A ，动点D 在直线BC 下方的二次函数图象上.（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，连接DC,DB,设△BCD 的面积为S,求S 的最大值；（3）如图2，过点D 作DM ⊥BC 于点M ，是否存在点D ，使得△CDM 中的某个角恰好等于∠ABC 的2倍？若存在，直接写出点D 的横坐标；若不存在，请说明理由.5．某初级中学数学兴趣小组为了了解本校学生的年龄情况，随机调查了该校部分学生的年龄，整理数据并绘制如下不完整的统计图．依据以上信息解答以下问题：（1）求样本容量；（2）直接写出样本容量的平均数，众数和中位数；（3）若该校一共有1800名学生，估计该校年龄在15岁及以上的学生人数．6．我区“绿色科技公司”研发了一种新产品，该产品的成本为每件3000元．在试销期间，营销部门建议：①购买不超过10件时，每件销售价为3600元；②购买超过10件时，每多购买一件，所购产品的销售单价均降低5元，但最低销售单价为3200元．根据以上信息解决下列问题：（1）直接写出：购买这种产品件时，销售单价恰好为3200元；（2）设购买这种产品x件（其中x＞10，且x为整数），该公司所获利润为y 元，求y与x之间的函数表达式；（3）在试销期间销售人员发现：当购买产品的件数超过10件时，会出现随着数量的增多，公司所获利润反而减少这一情况．为使销售数量越多，公司所获利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、B2、B3、B4、D5、D6、D7、A8、B9、C10、D二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1、52-2、3、44、8．5、53 42π-6、2三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、x＝12、（1）证明见解析（2）1或23、（1）二次函数的解析式为233642y x x=--+；（2）当23x=-时，ADE∆的面积取得最大值503；（3）P点的坐标为()1,1-，(1,11-±，(1,219--.4、（1）二次函数的表达式为：213222y x x=--；（2）4；（3）2或2911.5、（1）样本容量为50；（2）平均数为14（岁）；中位数为14（岁），众数为15岁；（3）估计该校年龄在15岁及以上的学生人数为720人．6、(1)90；(2)2200(90)5650(1090)≥⎧=⎨-+<<⎩x x y x x x ；(3)3325元．。

湖北省武汉市硚口区2020～2021学年度第一学期12月九年级数学试题一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的字母代号涂黑.1．一元二次方程3x 2－x －2＝0的二次项系数是3，它的一次项系数是 A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．0 2．下列交通标志中，是中心对称图形的是A B C D 3.抛物线y =21(x －3)2＋5先向左平移4个单位长度再向下平移3个单位长度，得到的抛物 线是 A ． y =21(x ＋1)2＋2 B ．y =21(x －1)2＋2 C ． y =21(x ＋1)2＋8 D ．y =21(x －7)2＋8 4．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠B ＝108°，则∠D 的大小为（ ）A ．54°B ．62°C ．72°D ．82°5．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 和AC 上，DE ∥BC ，M 为BC 边上一点（不与点B 、C 重合），连接AM 交DE 于点N ，则 A ．AD AN AN AE = B ．BD MN MN CE = C ．DN NE MC BM = D ．DN NE BM MC=6．关于方程x 2＋2x －4＝0的根的情况，下列结论错误．．的是 A ．有两个不相等的实数根 B ．两实数根的和为2C ．两实数根的差为52D ．两实数根的积为－47．如图，P A 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，C 为⊙O 上一点，且∠ACB =110°， 则∠APB 等于 A ．40° B ．55° C ．70° D ．35° 8．如图，在R t △ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，若AD =4BD ，则BCAC的值为 A ．3 B ．5 C ．2 D ．29．如图，点I 和O 分别是△ABC 的内心和外心，若∠AIB =125°，则∠AOB 的度数为 A ．120° B ．125° C ．135° D ．140°10．如图，已知直线y =x ＋1上的点A （﹣1，0），点B （2，3），若抛物线y ＝ax 2﹣x +2 （a 为常数，a ≠0）与线段AB 有两个不同的公共点，则a 的取值范围是 A ．a ≥3 B ．a ≤﹣3或43≤a ＜1 C ．﹣3≤a ＜1或a ≥3 D ．43≤a ＜1二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11.将点（2，1）绕原点顺时针旋转90°对应的点坐标为 .12.如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，CE ＝1，AB ＝6，则CD 的长为 .13.用一个圆心角为120°，半径为3的扇形制作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为_____________.14.已知正八边形的半径为4，则它的面积为.15.若△ABC的三边长为5，7，8，则△ABC内切圆的半径是_________.16.如图，在矩形ABCD中，AB＝23，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是．三、解答题（共8小题，共72分）17．（本题8分）解方程：x2－3x－5=0．18．（本题8分）如图，在⊙O中，AD＝BC，求证：DC＝AB．19．（本题8分）如图，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE．20．（本题8分）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，AC2=AD·AB．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若BD=2，AC= DC=15，求AD和BC的长．21．（本题8分）如图，P A 为⊙O 的切线，A 为切点，点B 在⊙O 上，且P A =PB ，连AO 并延长交PB 的延长线于点C ，交⊙O 于点D ． （1）求证：PB 为⊙O 的切线；（2）连接OB 、DP 交于点E ．若CD =2，CB =4，求DEPE的值．22．（本题10分） 如图，直径AB =10，弦AC =6，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ． （1）求AD 的长；（2）若AE 平分∠CAB 交CD 于点E ，①求证：AD =DE ；②求AE 的长．23．（本题10分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，D 为BC 边上的点，将DA 绕D 点逆时针旋转120°得到DE ．（1）如图1，若∠DAC ＝30°.①求证： AB =BE ；②直接写出BE 2＋CD 2与AD 2的数量关系为 ；（2）如图2，点D 为BC 边上任意一点，线段BE 、CD 、AD 是否依然满足（1）中②的关系，请给出结论并证明.24．（本题12分）抛物线y ＝ax 2－ax ＋b 交x 轴于A ，B 两点（A 在B 的左边），交y 轴于C ，直线y ＝－x ＋4经过B ，C 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P 为直线BC 上方的抛物线上一点，PD ∥y 轴交BC 于D 点，过点D 作DE ⊥AC 于E 点．设m =PD +2110DE ，求m 的最大值及此时P 点坐标； （3）如图2，点N 在y 轴负半轴上，点A 绕点N 顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点M 处，且∠ANM ＋∠ACM ＝180°，求N 两点坐标．图图2图1MBAABEDC E DC B A硚口2020～2021学年度第一学期12月九年级数学试题参考答案一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）第10题 提示：∵ax 2﹣x ＋2＝x ＋1， ∴ax 2﹣2x ＋1＝0，∵抛物线y ＝ax 2﹣x ＋2（a ≠0）与线段AB 有两个不同的交点， ∴△＝4﹣4a ＞0，解得a ＜1，①当a ＜0时 ∵抛物线过定点（0，2），且对称轴x =a21＜0， ∴当x =－1时，y ≤0， ∴a ≤﹣3；②当a ＞0时，∵抛物线过定点（0，2），且对称轴x =a21＞0 ∴当x = 2时，y ≥3，解得：a ≥43， 又∵a ＜1， ∴43≤a ＜1， 综上可得：a ≤﹣3或43≤a ＜1，故选：B ． 二.填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（1，﹣2）； 12．10； 13．1 ； 14．322； 15．3； 16． 2． 第16题 提示：∵∠E 1DF 1＝∠E 2DF 2=60°，∴∠E 1DE 2＝∠F 1DF 2，∵11DE DF =22DE DF =2，∴ΔE 1DE 2∽ΔF 1DF 2， ∴2121E E F F =22DE DF =2，∠1＝∠2， ∴∠3＝∠E 2DF 2=60°， 作DG ⊥E 1E 2，DH ⊥F 1F 2，∵ΔE 1DE 2∽ΔF 1DF 2，∴DG DH =22DE DF =2， ∴DH =2DG =3，∴DG =23，∴点E 在定直线l 上，当F 1与A 点重合，F 2与C 点重合时，F 1F 2＝AC ＝4，此时，E 1E 2＝2， 即点F 从点A 到点C 的运动过程中，点E 的运动路径长是2． 三．解答题（共8小题，共72分）17．解：1=a ，3-=b ，5-=c ……………………3分△=()295-143422=⨯⨯--=-）（ac b ＞0 ……………………5分∴2293242±=-±-=a ac b b x ……………………6分 ∴22931+=x ，229-32=x …………………… 8分18．解：∵AD ＝BC ，∴AD =BC ……………………2分∴AD +AC =BC +AC ……………………4分 ∴ AB =CD ， ……………………6分 ∴ DC ＝AB ……………………8分19． 证明：∵△ABC ∽△ADE∴AE ACAD AB =，∠BAC =∠DAE ……………………2分 ∴AC AB =AEAD ，∠BAC －∠DAC =∠DAE －∠DAC ……………………4分 ∴ ∠BAD =∠CAE ……………………6分 ∴△ABD ∽△ACE ……………………8分 20． 解：（1）∵AC 2=AD ·AB ∴AC ABAD AC =……………………2分 ∵∠A=∠A ∴△ACD ∽△ABC ； ……………………3分 （2）设AD =x ， ∵AC 2=AD ·AB ， ∴x （x ＋2）=15；∴x =3或－5， ∵x ＞0， ∴AD =x =3 ……………………5分 ∵△ACD ∽△ABC ∴BC CDAB AC =∴BC=AB=5．…………………8分21．（1）证明：连接OB ，∵PA 为⊙O 的切线， ∴OA ⊥PA ，∠OAP =90°，…………1分 ∵OA =OB ，PA =PB ，OP =OP ，∴△AOP ≌△BOP ，∴∠OBP ＝∠OAP ＝90° ………2分 ∴OB ⊥PB ∴PB 为⊙O 切线 ……………………3分 （2）设OB =OD =r ，在Rt △OBC 中，2BC ＋2OB =2OC∴ r 2 ＋42 =（2＋r ）2 ， ∴r =3， ∴OB =OD =3， ……………………4分 设PB =PA =x ，在Rt △PAC 中，2AC ＋2PA =2PC∴222)4(8+=+x x ， 6=x ， ∴PB =PA =6 ， ……………………5分 在Rt △PAO 中，OP =22＋AP OA =63，S △AOP =21AG ·OP=21OA ·AP ，∴AG =556，在Rt △OAG 中，OG =22－AG OA =553，∵△AOP ≌△BOP ， ∴∠AOP =∠BOP ， ∵OA =OB ， ∴AG =BG ，∠AGO =90°， ∵OA =OD ， ∴BD =2OG =556， ∵AD 为直径， ∴∠ABD ＝90°， ∴OP //BD ， ∴∠BDP =∠OPD ，∠DBO =∠POE ， ∴△BDE ∽△POE ， ∴25==DB OP DE PE ． …………………………8分 22．解（1）连接BD ，∵AB 是⊙O 直径， ∴∠ACB =∠ADB =90° ………………1分 又∵CD 平分∠ACB ， ∴∠ACD =∠BCD=45°； ………………2分 ∵∠BAD =∠BCD=45°，∴等腰直角△ABD ， ∴AD=BD=210=52 …………3分 （2）证明：①∵∠DAE =∠BAD +∠BAE ，∠DEA =∠ACD +∠CAE ……………4分 又∵∠BAD=∠ACD =45°， ∠BAE=∠CAE ……………5分 ∴∠DAE =∠DEA ∴AD =DE ……………6分 ②过E 作EF ⊥AC 于F ，EG ⊥BC 于G ，EH ⊥BA 于H ，四边形CFEG 是正方形………7分 又∵AB =10，AC =6， ∴BC =8， ……………8分设CF =CG =x ，则AF =AH =6－x ，BH =BG =8－x ， ……………9分 ∴AB =6－x ＋8－x =10，x =2，在Rt ΔAFE 中，AE 2=EF 2＋AF 2，∴AE =25…………10分 23．证明：（1）①△ABD ≌△EBD ； ∴AB =BE ； ………………3分 ②BE 2+CD 2=4AD 2； ………………4分 ③略 ………………6分 （2）作∠BDF =120°交BA 延长线于F ，得△BED ≌△FAD ， ………………8分 ∴BE 2＋CD 2=AF 2＋CD 2=（2AG ）2+(2DG )2=4AD 2 ………………10 24．（1）当x =0时，y = 4； 当y =0时，－x ＋4=0，x = 4 ；∴B （4，0），C （0，4）， ………………1分 ∵点B ，C 在抛物线上， ∴b=4，16a －4a ＋b=0，∴a=31- …………2分 ∴ y ＝31-x 2＋31x ＋4 ……………3分 （2）连接AD ，作DH ⊥x 轴．A （－3，0），B （4，0），C （0，4），设D （t ，－t ＋4），P （t ，31-t 2＋31t ＋4），S △ABC ＝S △ADC ＋S △ADB ， 7421⨯⨯111447(4)222AC DE t ⨯⨯=+-，75DE t =， ……………5分 21433PD t t =-+，m ＝31-(t -3)2＋3， max 7516m =3， ∴P （3，3）． ……………7分（3）过N 作NH ⊥MC 交MC 于点H ，过N 点作ND ⊥AC 交AC 的延长线于点D ．……8分易证△NDA ≌△NHM ，∴NC 平分∠ACM ，CM 交x 轴的点坐标为（3，0），……9分 先求M （5，－83）， ……………10分 再求N （0，－133）． ……………12分。

2020-2021学年湖北省武汉市洪山区部分学校联考九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.将方程3x2+1=6x化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为3，则一次项系数、常数项分别是()A. −6、1B. 6、1C. 6、−1D. −6、−12.下列美丽的图案，是中心对称图形但不是轴对称图形的是()A. B.C. D.3.抛物线y=12x2经过平移得到抛物线y=12(x−6)2+3，平移过程正确的是()A. 先向左平移6个单位，再向上平移3个单位B. 先向左平移6个单位，再向下平移3个单位C. 先向右平移6个单位，再向上平移3个单位D. 先向右平移6个单位，再向下平移3个单位4.已知⊙O的直径为4，点O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是()A. 相交B. 相切 C. 相离 D. 无法判断5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC=CD，连接AC，若∠DAB=70°，则∠B的度数为()A. 50°B. 55°C. 65°D. 70°6.某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程()A. 50(1+x)2=175B. 50+50(1+x)2=175C. 50(1+x)+50(1+x)2=175D. 50+50(1+x)+50(1+x)2=1757.如图，在△ABC中，∠CAB=70°.在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′//AB，则∠BAB′=()A. 30°B. 35°C. 40°D. 50°8.如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径r=1，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则R的值是()A. R=2B. R=3C. R=4D. R=59.已知m，n是方程x2−2x−2016=0的两个实数根，则m2+2n的值为()A. 1008B. 2016C. 2018D. 202010.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(−1,0)，对称轴为直线x=2，下列结论，其中正确的结论有()(1)4a+b=0；(2)4a+c>2b；(3)5a+3c>0；(4)若点A(−2,y1)，点B(12,y2)，点C(52,y3)在该函数图象上，则y1<y3<y2；(5)m为任意实数，则m(am+b)<2(2a+b)．A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.在直角坐标系中，点M(5,7)关于原点O对称的点N的坐标是______．12.已知3是一元二次方程x2−4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是______ ．13.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为______ ．14.某幢建筑物，从5米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直(如图所示)，如果抛物线米，则水流下落点B离墙距离OB 的最高点M离墙1米，离地面203是______m.15.在等腰直角三角形纸片ABC中，点D是斜边AB的中点，AB=10，点E为BC上一点，将纸片沿DE折叠，点B的对应点为点B′，则△CEF的周长为______．16.在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是AB，AC的中点，若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，记直线BD1与CE1的交点为P，则点P到AB所在直线的距离的最大值为______．三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）17.已知关于x方程x2−6x+m+4=0有两个实数根x1，x2(1)求m的取值范围；(2)若x1=2x2，求m的值．18.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD=4，EM=6，求⊙O的半径．19.如图，已知二次函数y=ax2+2x+c图象经过点A(1,4)和点C(0,3)．(1)求该二次函数的解析式；(2)结合函数图象，直接回答下列问题：①当−1<x<2时，求函数y的取值范围：______．②当y≥3时，求x的取值范围：______．20.请仅用无刻度直尺完成下列画图，不写画法，保留作图痕迹．(1)如图1，在7×7的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上，过点A画一条直线平分△ABC的面积；(2)如图2，点E在正方形ABCD的内部，且EB=EC，过点E画一条射线平分∠BEC；(3)如图3，点A、B、C均在格点上，且∠BAC=120°，在优弧BC上画M、N两点，使∠MAN=60°．21.已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接OP．(1)如图1，AB交OP于点C，D为PB的中点，求证：CD//PA；(2)如图2，OP交⊙O于点E，EF⊥PB于点F，若PA=4√5，⊙O的半径为2√5，求EF的长．22.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)的部分数据如表：销售单价x(元)65707580销售量y(件)55504540(1)求y与x的函数关系式；(2)若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？(3)若该商场获得利润不低于500元，直接写出销售单价x的范围．23.已知如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC，点D在AB上，DE⊥AB交BC于E，点F是AE的中点．(1)线段FD与线段FC的数量关系______，位置关系______；(2)如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转a(0°<a<90°)，其它条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化，写出你的结论并证明；(3)将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC=4，BE=2√2，直接写出线段BF的范围．24.如图1，抛物线y=ax2与直线y=2x−3有唯一公共点P．(1)求抛物线解析式；(2)与y轴平行的直线交抛物线于D，交y=2x−3于E，若△PDE的面积为4，求直3线解析式；(3)如图2，抛物线和直线y=kx+3(k<0)交于A、B，过B作x轴的平行线，交抛物线于点C，在线段BC下方抛物线上有一动点Q，过Q作QM⊥BC，垂足为M，连接AC并延长交y轴于K，求QM⋅OK的值．BM⋅CM答案和解析1.【答案】A【解析】解：3x2+1=6x，3x2−6x+1=0，一次项系数是−6、常数项是1，故选：A．首先移项把6x移到等号左边，然后再确定一次项系数和常数项．此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．2.【答案】C【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项不符合题意；C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意．故选：C．根据中心对称图形和轴对称图形的定义进行判断．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3.【答案】Cx2向右平移6个单位所得抛物【解析】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=12(x−6)2．线的解析式为：y=12(x−6)2向上平移3个单位所得抛物线的解由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=12(x−6)2+3；析式为：y=12直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．4.【答案】B【解析】解：∵⊙O的直径为4，∴⊙O的半径为2，∵点O到直线l的距离为2，∴d=r∴l与⊙O的位置关系相切．故选：B．根据直线与圆的位置关系判定方法，假设圆心到直线的距离为d，当d>r，直线与圆相离，当d=r，直线与圆相切，当d<r，直线与圆相交，由⊙O的直径为4cm，点O到直线l的距离为4cm，得出d>r，进而l与⊙O的位置关系．此题主要考查了直线与圆的位置关系，解决问题的关键是判断出圆的半径与圆心到直线的距离，再根据判定方法得出位置关系．5.【答案】B【解析】解：∵BC=CD，∴CD⏜=CB⏜，∴∠BAC=∠DAC=12∠BAD=12×70°=35°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠∠B=90°−∠BAC=90°−35°=55°．故选：B．利用BC=CD得到CD⏜=CB⏜，根据圆周角定理得到∠BAC=∠DAC=35°，再利用AB为直径得到∠ACB=90°，然后利用互余计算∠B的度数．本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．【解析】解：二月份的产值为：50(1+x)，三月份的产值为：50(1+x)(1+x)=50(1+x)2，故第一季度总产值为：50+50(1+x)+50(1+x)2=175．故选：D．增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．本题主要考查了一元二次方程的运用，解此类题目时常常要按顺序列出接下来几月的产值，再根据题意列出方程即可．7.【答案】C【解析】解：∵CC′//AB，∠CAB=70°，∴∠C′CA=∠CAB=70°，又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，∴AC=AC′，即△ACC′为等腰三角形，∴∠BAB′=∠CAC′=180°−2∠C′CA=40°．故选：C．旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′=∠CAC′，AC=AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA=∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′．本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．8.【答案】C【解析】解：扇形的弧长是：90πR180=πR2，圆的半径r=1，则底面圆的周长是2π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：πR2=2π，∴R2=2，即：R=4，故选：C．利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算．本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；(2)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．9.【答案】D【解析】解：∵m方程x2−2x−2016=0的实数根，∴m2−2m−2016=0，∴m2=2m+2016，∴m2+2n=2m+2016+2n=2(m+n)+2016，∵m，n是方程x2−2x−2016=0的两个实数根，∴m+n=2，∴m2+2n=2×2+2016=2020．故选：D．利用一元二次方程根的定义得到m2=2m+2016，则m2+2n=2(m+n)+2016，再根据根与系数的关系得到m+n=2，然后利用整体代入的方法计算．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca．10.【答案】A【解析】解：∵对称轴为直线x=2，∴−b2a=2，∴b=−4a，∴b+4a=0，∴(1)正确；∵经过点(−1,0)，∴a−b+c=0，∴c=b−a=−4a−a=−5a，∴4a+c−2b=4a−5a+8a=7a，∵a<0，∴4a+c−2b<0，∴4a+c<2b，∴(2)不正确；∵5a+3c=5a−15a=−10a>0，∴(3)正确；∵|−2−2|=4，|12−2|=32，|52−2|=12，∴y1<y2<y3，∴(4)不正确；当x=2时，函数有最大值4a+2b+c，∴am2+bm+c≤4a+2b+c，∴(5)不正确；综上所述：(1)(3)正确，故选：A．由对称轴为直线x=2，可得b=−4a，当x=2时，函数有最大值4a+2b+c；由经过点(−1,0)，可得a−b+c=0，c=−5a；再由a<0，可知图象上的点离对称轴越近对应的函数值越大；再结合所给选项进行判断即可．本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．11.【答案】(−5,−7)【解析】解：点M(5,7)关于原点O对称的点N的坐标是(−5,−7)．故答案为：(−5,−7)．直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y)，进而得出得出答案．此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．12.【答案】1【解析】解：设另一个根为t，根据题意得3+t=4，解得t=1，则方程的另一个根为1．故答案为：1．设另一个根为t，根据根与系数的关系得到3+t=4，然后解一次方程即可．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca．13.【答案】12x(x−1)=4×7【解析】解：每支球队都需要与其他球队赛(x−1)场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：12x(x−1)=4×7．故答案为：12x(x−1)=4×7．关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．14.【答案】3【解析】解：地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式：y=a(x−1)2+203，把点A(0,5)代入抛物线解析式得：a=−53，∴抛物线解析式：y=−53(x−1)2+203．当y=0时，x1=−1(舍去)，x2=3．∴OB=3(m)．故答案为3．以地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，把题中已知点代入，求出解析式后，令y=0，即可解答．本题考查抛物线建模，在平面直角坐标系中求抛物线解析式，解决实际问题．15.【答案】5√2【解析】解：由折叠可知，∠B=∠DB′E，BE=B′E，BD=B′D，∵点D是斜边AB的中点，∴DC=DA=BD，∴∠A=∠DCA，CD=B′D，∴∠DCB′=∠DB′C，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=∠A，∴∠B=∠DCA，∵∠B=∠DB′E，∴∠DCA=∠DB′E，∵∠DCB′=∠DB′C，∴∠DCB′−∠DCA=∠DB′C−∠DB′E，即∠FCB′=∠FB′C，∴FC=FB′，∴△CEF的周长：EF+CF+EC=EF+FB′+EC=EB′+EC=BE+EC=BC．∵AB=10，∴CB=√22AB=√22×10=5√2．即△CEF的周长为5√2．故答案为5√2．先证明BF=CF，即可推出△EFC的周长=BC即可．本题考查翻折变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．16.【答案】1+√3【解析】解：如图，作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，PD1=2=2，则BD1=√AB2−AD1√42−22=2√3，故∠ABP=30°，则PB=2+2√3，故点P到AB所在直线的距离的最大值为：PG=1+√3，故答案为：1+√3．首先作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，则D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，进而求出PG的长．此题主要考查了几何变换以及等腰腰直角三角形的性质和勾股定理以及切线的性质等知识，根据题意得出PG的最长时P点的位置是解题关键．17.【答案】解：(1)∵关于x方程x2−6x+m+4=0有两个实数根，∴△=(−6)2−4×1×(m+4)≥0，解得：m≤5．(2)∵关于x方程x2−6x+m+4=0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=6，x1x2=m+4．又∵x1=2x2，∴x2=2，x1=4，∴4×2=m+4，∴m=4．【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；(2)根据根与系数的关系可得出x1+x2=6，x1x2=m+4，结合x1=2x2可求出x1，x2的值，再将其代入x1x2=m+4中可求出m的值．本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：(1)牢记“当△≥0时，方程有实数根”；(2)根据根与系数的关系结合x1=2x2，求出x1，x2的值．18.【答案】解：连接OC，∵M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理：EM⊥CD，CD=2，又CD=4则有：CM=12设圆的半径是x米，在Rt△COM中，有OC2=CM2+OM2，即：x2=22+(6−x)2，，解得：x=103．所以圆的半径长是103【解析】因为M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理，EM⊥CD，则CM=DM=2，在Rt△COM中，有OC2=CM2+OM2，进而可求得半径OC．此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r 2=d 2+(a2)2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．19.【答案】解：(1)将点A 和点C 的坐标代入函数解析式y =ax 2+2x +c ，得{a +2+c =4c =3， 解得{a =−1c =3， 二次函数的解析式为y =−x 2+2x +3；(2)①0<y ≤4 ;②0≤x ≤2 ．【解析】【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式的知识及二次函数的顶点坐标的知识，属于基础题，解答本题的关键是待定系数法的运用．(1)根据待定系数法，可得函数解析式；(2)根据函数图象即可得到结论．【解答】解：(1)见答案;(2)由图象知，①当−1<x <2时，函数y 的取值范围：0<y ≤4．②当y ≥3时，x 的取值范围：0≤x ≤2．故答案为：0<y ≤4，0≤x ≤2．20.【答案】解：(1)如图1，过点A 的直线AD 即为所求；(2)如图2，射线EF 即为所求；(3)如图3，优弧BC 上的M 、N 两点即为所求．因为MC 和BN 都是直径，所以∠BAN =∠MAC =90°，因为∠BAC =120°，所以∠BAM=∠CAN=120°−90°=30°，所以∠MAN=120°−30°−30°=60°．【解析】(1)如图1，在7×7的正方形网格中，过点A画一条直线平分△ABC的面积即可；(2)如图2，点E在正方形ABCD的内部，且EB=EC，过点E画一条射线平分∠BEC即可；(3)如图3，点A、B、C均在格点上，且∠BAC=120°，在优弧BC上画M、N两点，使∠MAN= 60°即可．本题考查了作图−应用与设计作图，解决本题的关键是掌握圆周角定理并熟练运用．21.【答案】(1)证明：∵PA，PB分别为⊙O的切线，∴∠APO=∠BPO，PA=PB，∴PC⊥AB，在Rt△PCB中，D为PB的中点，∴CD=12PB=PD，∴∠DCP=∠BPO，∴∠APO=∠DCP，∴CD//PA；(2)解：连接OB，∵PA，PB分别为⊙O的切线，∴OB⊥PB，PB=PA=4√5，∴OP=√PB2+OB2=√(4√5)2+(2√5)2=10，∵EF⊥PB，OB⊥PB，∴EF//OB，∴△PEF∽△POB，∴EFOB =PEPO，即EF2√5=10−2√510，解得：EF=2√5−2．【解析】(1)根据切线长定理得到∠APO=∠BPO，PA=PB，根据直角三角形的性质得到CD=PD，根据等腰三角形的性质得到∠DCP=∠BPO，根据平行线的判定定理证明结论；(2)连接OB，根据勾股定理求出OP，证明△PEF∽△POB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是切线的性质、切线长定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、平行线的判定，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．22.【答案】解：(1)设售量y(件)与销售单价x(元)的一次函数关系为y =kx +b(k ≠0)， 把(60,60)、(80,40)代入，得{60k +b =6080k +b =40， 解得{k =−1b =120， ∴销售量y 与销售单价x 的函数关系式y =−x +120(60≤x ≤87)；(2)w =(x −60)⋅y=(x −60)(−x +120)=−x 2+180x −7200(60≤x ≤87)；w =−(x −90)2+900，∵a =−1<0，∴当x <90时，w 随x 的增大而增大，∴x =87时，w 有最大值，其最大值=−(87−90)2+900=891，即销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元；(3)令w =500，则−(x −90)2+900=500，解得x 1=70，x 2=110，∵当x <90时，w 随x 的增大而增大，∴当销售单价的范围为70≤x ≤87时，该商场获得利润不低于500元．【解析】(1)先利用待定系数法求出销售量y 与销售单价x 的函数关系式y =−x +120；由于成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，可得到x 的取值范围为60≤x ≤87；(2)根据总利润等于每一件的利润乘以销售总量得到w =(x −60)⋅y ，把y =−x +120代入得到w =(x −60)(−x +120)=−x 2+180x −7200(60≤x ≤87)；然后配成顶点式为w =−(x −90)2+900，根据二次函数的性质得到当x <90时，w 随x 的增大而增大，则x =87时，w 有最大值，其最大值=−(87−90)2+900=891．(3)令w =500，则−(x −90)2+900=500，解得x 1=70，x 2=110，而当x <90时，w 随x 的增大而增大，即可得到当销售单价的范围为70(元)≤x ≤87(元)时，该商场获得利润不低于500元．本题考查的是一元二次方程的应用和二次函数的应用，先用待定系数法求出销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系，然后求出利润w与x之间的二次函数，然后利用二次函数的性质以及题目中对销售单价的要求，求出最大利润和最大利润时的单价．23.【答案】解：(1)DF=FC；DF⊥FC；(2)结论不变；理由：如图2中，延长AC到M使得CM=CA，延长ED到N，使得DN=DE，连接BN、BM.EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O．∵BC⊥AM，AC=CM，∴BA=BM，同法BE=BN，∵∠ABM=∠EBN=90°，∴∠NBA=∠EBM，∴△ABN≌△MBE，∴AN=EM，∠BAN=∠BME，∵AF=FE，AC=CM，∴CF=12EM，FC//EM，同法FD=12AN，FD//AN，∴FD=FC，∵∠BME+∠BOM=90°，∠BOM=∠AOH，∴∠BAN+∠AOH=90°，∴∠AHO=90°，∴AN⊥MH，FD⊥FC；(3)√2≤BF≤3√2．【解析】【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．(1)结论：FD=FC，DF⊥CF.理由直角三角形斜边中线定理即可证明；(2)如图2中，延长AC到M使得CM=CA，延长ED到N，使得DN=DE，连接BN、BM.EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O.想办法证明△ABN≌△MBE，推出AN=EM，再利用三角形中位线定理即可解决问题；(3)分别求出BF的最大值、最小值即可解决问题．【解答】解：(1)如图1中，∵∠ADE=∠ACE=90°，AF=FE，∴DF=AF=EF=CF，∴∠FAD=∠FDA，∠FAC=∠FCA，∴∠DFE=∠FDA+∠FAD=2∠FAD，∠EFC=∠FAC+∠FCA=2∠FAC，∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠BAC=45°，∴∠DFC=∠EFD+∠EFC=2(∠FAD+∠FAC)=90°，∴DF=FC，DF⊥FC，故答案为DF=FC；DF⊥FC．(2)见答案；(3)如图3中，当点E落在AB上时，BF的长最大，在等腰直角三角形ABC中，BC=4，∴AB=4√2，∵BE=2√2，∴AE=AB−BE=2√2，∵点F是AE的中点，∴EF=√2，∴BF的最大值=BE+EF=2√2+√2=3√2；如图4中，当点E落在AB的延长线上时，BF的值最小，最小值=√2．在等腰直角三角形ABC中，BC=4，∴AB=4√2，∵BE=2√2，∴AE=AB+BE=6√2，∵点F是AE的中点，∴EF=3√2，BF的最小值=EF−BE=√2．综上所述，√2≤BF≤3√2．故答案为√2≤BF≤3√2．24.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2与直线y=2x−3有唯一公共点P．∴ax2=2x−3，∴△=4−12a=0，∴a=1 3∴抛物线解析式：y=13x2；(2)∵抛物线y=13x2与直线y=2x−3有唯一公共点P，∴13x2=2x−3，∴x=3，∴点P(3,3)设与y轴平行的直线为x=m，设D(m,13m2)，E(m,2m−3)，∴S△PDE=12×|13m2−2m+3|×|m−3|=43，∴|m−3|3=8，∴m=5或1，∴与y轴平行的直线为x=5或x=1；(3)设B(n,13n2)，C(−n,13n2)，Q(p,13p2)，∴QMBM⋅CM =13n2−13p2(n−p)(p+n)=13，设AC：y=k1x+b1，和y=13x2联立，∴13x2−k1x−b1=0，由根与系数关系−nx A=−3b1，同理nx A=−9，∴−3b1=9，∴b1=−3，∴OK=3，∴QM⋅OKBM⋅CM =13×3=1．【解析】(1)由抛物线y=ax2与直线y=2x−3有唯一公共点P.可得△=4−12a=0，即可求解；(2)先求出点P(3,3)，设D(m,13m2)，E(m,2m−3)，由三角形面积公式可求解；(3)设B(n,13n2)，C(−n,13n2)，Q(p,13p2)，由两点距离公式可求QMBM⋅CM=13，设AC：y=k1x+b1，直线AC，AB和y=13x2联立，由根与系数关系可求−nx A=−3b1，nx A=−9，可求b1=−3，可得OK=3，即可求解．本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，三角形面积公式，两点距离公式，利用根与系数关系解决问题是本题的关键．。

武汉市江岸区2019-2020学年上学期九年级9月月考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x2+2x﹣4＝0B．6x2+2＝6x2﹣xC．﹣3x+2＝0D．x2+2xy﹣3y2＝02．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1•x2的值是（）A．3B．﹣3C．2D．﹣23．（3分）某旅游景点8月份共接待游客25万人次，10月份共接待游客64万人次．设每月的平均增长率为x，则可列方程为（）A．25（1+x）2＝64B．25（1﹣x）2＝64C．64（1+x）2＝25D．64（1﹣x）2＝254．（3分）要得到二次函数y＝﹣x2+2x﹣2的图象，需将y＝﹣x2的图象（）A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位B．向右平移2个单位，再向上平移2个单位C．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位5．（3分）对于抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣3的说法错误的是（）A．抛物线的开口向下B．抛物线的顶点坐标是（1，﹣3）C．抛物线的对称轴是直线x＝1D．当x＞1时，y随x的增大而增大6．（3分）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的根，则该三角形的周长为（）A．8B．10C．8或10D．127．（3分）关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（）A．a≥1B．a＞1且a≠5C．a≥1且a≠5D．a≠58．（3分）8月23号到校前，小希将收到学校的一条短信通知发给若干同学，每个收到的同学又给相同数量的同学转发了这条短信，此时收到这条短信的同学共有157人，小希给（）个同学发了短信．A．10B．11C．12D．139．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+2x﹣3的图象如图所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y的最小值是﹣3D．y的最小值是﹣410．（3分）对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于A n，B n两点，以A n B n 表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+A3B3+…+A2019B2019的值是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）函数y＝（m2﹣3m+2）x2+mx+1，则当m＝时，它为正比例函数；当m＝时，它为一次函数；当m时，它为二次函数．12．（3分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点，若△PCD 是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为．13．（3分）若关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围是．14．（3分）已知二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系为．15．（3分）已知a2﹣6a﹣5＝0和b2﹣6b﹣5＝0中，a≠b，则的值是．16．（3分）已知二次函数y＝（x﹣2a）2+（a﹣1）（a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a＝﹣1，a＝0，a＝1，a＝2时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y＝．三、解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）解方程：（1）（x﹣2）2＝（2x+3）2（用合适的方法）（2）3x2﹣4x+2＝0（用公式法解）18．（8分）将二次函数一般式：y＝x2﹣6x+21用配方法化成顶点式y＝a（x﹣h）2+k的形式，并指出其对称轴，顶点坐标，增减性．19．（8分）已知x1，x2是方程2x2﹣5x+1＝0的两个实数根，求下列各式的值：（1）x1x22+x12x2（2）（x1﹣x2）220．（8分）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当一矩形ABCD的对角线长为AC＝，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长．22．（10分）如图，利用一面长为34米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏）设矩形ABCD的边AD长为x米，AB长为y米，矩形的面积为S 平方米，且x＜y．（1）若所用铁栅栏的长为40米，求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围：（2）在（1）的条件下，求S与x的函数关系式，并求出怎样围才能使矩形场地的面积为192平方米？23．（10分）已知：如图，正方形ABCD，点E是DC边上的一动点，过点C作AE的垂线交AE延长线于点F，过D作DH⊥CF，垂足为H，点O是AC中点，连HO．（1）如图1，当∠CAE＝∠DAE时，证明：AE＝2CF；（2）如图2，当点E在DC上运动时，线段AF与线段HO之间是否存在确定的数量关系？若存在，证明你发现的结论：若不存在，请说明理由；（3）当E为DC中点时，AC＝2，直接写出AF的长．24．（12分）如图，已知抛物线C1：y＝a（x+2）2﹣5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B 的左边），点B的横坐标是1．（1）求P点坐标及a的值；（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．2019-2020学年湖北省武汉六中上智中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x2+2x﹣4＝0B．6x2+2＝6x2﹣xC．﹣3x+2＝0D．x2+2xy﹣3y2＝0【解答】解：A、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；B、由原方程得到x+2＝0，未知数的最高次数是1，属于一元一次方程，故本选项错误；C、该方程中未知数的最高次数是1，属于一元一次方程，故本选项错误；D、该方程中含有2个未知数，属于二元二次方程，故本选项错误；故选：A．2．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1•x2的值是（）A．3B．﹣3C．2D．﹣2【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，∴x1•x2＝＝﹣3．故选：B．3．（3分）某旅游景点8月份共接待游客25万人次，10月份共接待游客64万人次．设每月的平均增长率为x，则可列方程为（）A．25（1+x）2＝64B．25（1﹣x）2＝64C．64（1+x）2＝25D．64（1﹣x）2＝25【解答】解：设每月的平均增长率为x，依题意得：25（1+x）2＝64．故选：A．4．（3分）要得到二次函数y＝﹣x2+2x﹣2的图象，需将y＝﹣x2的图象（）A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位B．向右平移2个单位，再向上平移2个单位C．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位【解答】解：原抛物线的顶点坐标为（0，0），新抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），∴将原抛物线向右平移1个单位，再向下平移1个单位可得到新抛物线．故选：D．5．（3分）对于抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣3的说法错误的是（）A．抛物线的开口向下B．抛物线的顶点坐标是（1，﹣3）C．抛物线的对称轴是直线x＝1D．当x＞1时，y随x的增大而增大【解答】解：y＝﹣（x﹣1）2﹣3中a＝﹣＜0，开口向下，顶点坐标为（1，﹣3），对称轴为x＝1，当x＞1时，y随着x的增大而减小．故选：D．6．（3分）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的根，则该三角形的周长为（）A．8B．10C．8或10D．12【解答】解：x2﹣6x+8＝0（x﹣4）（x﹣2）＝0∴x1＝4，x2＝2，由三角形的三边关系可得：腰长是4，底边是2，所以周长是：4+4+2＝10．故选：B．7．（3分）关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（）A．a≥1B．a＞1且a≠5C．a≥1且a≠5D．a≠5【解答】解：分类讨论：①当a﹣5＝0即a＝5时，方程变为﹣4x﹣1＝0，此时方程一定有实数根；②当a﹣5≠0即a≠5时，∵关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根∴16+4（a﹣5）≥0，∴a≥1．∴a的取值范围为a≥1．故选：A．8．（3分）8月23号到校前，小希将收到学校的一条短信通知发给若干同学，每个收到的同学又给相同数量的同学转发了这条短信，此时收到这条短信的同学共有157人，小希给（）个同学发了短信．A．10B．11C．12D．13【解答】解：设小希给x个同学发了短信，依题意，得：1+x+x2＝157，解得：x1＝﹣13，x2＝12．故选：C．9．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+2x﹣3的图象如图所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y的最小值是﹣3D．y的最小值是﹣4【解答】解：y＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），则该抛物线与x轴的两交点横坐标分别是﹣3、1．又y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴该抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），对称轴为x＝﹣1．A、无法确定点A、B离对称轴x＝﹣1的远近，故无法判断y1与y2的大小，故本选项错误；B、无法确定点A、B离对称轴x＝﹣1的远近，故无法判断y1与y2的大小，故本选项错误；C、y的最小值是﹣4，故本选项错误；D、y的最小值是﹣4，故本选项正确．故选：D．10．（3分）对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于A n，B n两点，以A n B n 表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+A3B3+…+A2019B2019的值是（）A．B．C．D．【解答】解：当y＝0时，x2﹣x+＝0，（x﹣）（x﹣）＝0，解得x1＝，x2＝，∴A n，B n两点为（，0），（，0），∴A n B n＝﹣，∴A1B1+A2B2+A3B3+…+A2019B2019＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．故选：D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）函数y＝（m2﹣3m+2）x2+mx+1，则当m＝1或2时，它为正比例函数；当m＝1或2时，它为一次函数；当m m≠1且m≠2时，它为二次函数．【解答】解：m2﹣3m+2＝0，则（m﹣1）（m﹣2）＝0，解得：m1＝1，m2＝2，故m≠1且m≠2时，它为二次函数；当m＝1或2时，它为一次函数；故答案为：1或2；1或2；m≠1且m≠212．（3分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点，若△PCD 是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为（1+，2）或（1﹣，2）．【解答】解：当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3），∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，∴点P为直线y＝2与抛物线y＝﹣x2+2x+3的交点，当y＝2时，﹣x2+2x+3＝2，解得x1＝1+，x2＝1﹣，∴P点坐标为（1+，2）或（1﹣，2）．故答案为（1+，2）或（1﹣，2）．13．（3分）若关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围是k≥﹣，且k≠0．【解答】解：∵a＝k，b＝2（k+1），c＝k﹣1，∴△＝4（k+1）2﹣4×k×（k﹣1）＝3k+1≥0，解得：k≥﹣，∵原方程是一元二次方程，∴k≠0．故本题答案为：k≥﹣，且k≠0．14．（3分）已知二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系为y2＞y1＞y3．【解答】解：B（2，y2），C（5，y3），在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵2＜5，∴y2＞y3，根据二次函数图象的对称性可知，A（﹣1，y1）中，与D（3，y）对称，可得y1＞y3，故y2＞y1＞y3，故答案是：y2＞y1＞y3．15．（3分）已知a2﹣6a﹣5＝0和b2﹣6b﹣5＝0中，a≠b，则的值是﹣．【解答】解：由已知可得：a、b为方程x2﹣6x﹣5＝0的两个根，∴a+b＝6，ab＝﹣5．∴＝＝＝﹣，故答案为：﹣．16．（3分）已知二次函数y＝（x﹣2a）2+（a﹣1）（a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a＝﹣1，a＝0，a＝1，a＝2时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y＝．【解答】解：由已知得抛物线顶点坐标为（2a，a﹣1），设x＝2a①，y＝a﹣1②，①﹣②×2，消去a得，x﹣2y＝2，即y＝x﹣1．三、解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）解方程：（1）（x﹣2）2＝（2x+3）2（用合适的方法）（2）3x2﹣4x+2＝0（用公式法解）【解答】解：（1）（x﹣2）2＝（2x+3）2，（x﹣2）＝±（2x+3），x﹣2＝﹣（2x+3）或x﹣2＝2x+3，解得x1＝﹣，x2＝﹣5；（2）3x2﹣4x+2＝0，b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×2＝24，x＝，x1＝，x2＝．18．（8分）将二次函数一般式：y＝x2﹣6x+21用配方法化成顶点式y＝a（x﹣h）2+k的形式，并指出其对称轴，顶点坐标，增减性．【解答】解：y＝x2﹣6x+21＝（x﹣6）2+3，则该函数的对称轴是直线x＝6，顶点坐标为（6，3），当x＜6时，y随x的增大而减小，当x＞6时，y 随x的增大而增大．19．（8分）已知x1，x2是方程2x2﹣5x+1＝0的两个实数根，求下列各式的值：（1）x1x22+x12x2（2）（x1﹣x2）2【解答】解：x1+x2＝，x1x2＝，（1）原式＝x1x2（x1+x2）＝×＝；（2）原式＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（）2﹣4×＝．20．（8分）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？【解答】解：以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，则设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），代入（3，0）求得：a＝．将a值代入得到抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+3（0≤x≤3），令x＝0，则y＝＝2.25．故水管长为2.25m．21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当一矩形ABCD的对角线长为AC＝，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长．【解答】（1）证明：△＝（2k+1）2﹣4（4k﹣3）＝4k2+4k+1﹣16k+12＝4k2﹣12k+13＝（2k﹣3）2+4，∵（2k﹣3）2≥0，∴△＞0，∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据题意得AB+BC＝2k+1，AB•BC＝4k﹣3，而AB2+BC2＝AC2＝（）2，∴（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31，整理得k2﹣k﹣6＝0，解得k1＝3，k2＝﹣2，而AB+BC＝2k+1＞0，AB•BC＝4k﹣3＞0，∴k的值为2，∴AB+BC＝5，∴矩形ABCD的周长为10．22．（10分）如图，利用一面长为34米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏）设矩形ABCD的边AD长为x米，AB长为y米，矩形的面积为S 平方米，且x＜y．（1）若所用铁栅栏的长为40米，求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围：（2）在（1）的条件下，求S与x的函数关系式，并求出怎样围才能使矩形场地的面积为192平方米？【解答】解：（1）y＝﹣2x+44，自变量x的取值范围5≤x＜；（2）S＝﹣2x2+44x，﹣2x2+44x＝192解得x1＝6，x2＝16，∵x2＝16＞∴不合题意，舍去．∴AD长6米，AB长32米．23．（10分）已知：如图，正方形ABCD，点E是DC边上的一动点，过点C作AE的垂线交AE延长线于点F，过D作DH⊥CF，垂足为H，点O是AC中点，连HO．（1）如图1，当∠CAE＝∠DAE时，证明：AE＝2CF；（2）如图2，当点E在DC上运动时，线段AF与线段HO之间是否存在确定的数量关系？若存在，证明你发现的结论：若不存在，请说明理由；（3）当E为DC中点时，AC＝2，直接写出AF的长．【解答】（1）证明：如图1，延长AD、CH交于M，∵AF⊥CF，∴∠AFC＝∠AFM＝90°，∵∠DAE＝∠CAE，AF＝AF，∴△ACF≌△AMF（ASA），∴CF＝FM，∴CM＝2CF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠CDM＝90°，∵∠ADE＝∠EFC＝90°，∠AED＝∠CEF，∴∠ECF＝∠EAD，∴△ADE≌△CDM（ASA），（2）解：AF＝OH，理由是：如图2，过O作ON⊥DH于N，OM⊥CH于M，连接OD，∴∠OMH＝∠ONH＝∠MHN＝90°，∴四边形MONH为矩形，∴∠MON＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴OD＝OC，∠DOC＝90°，∴∠MOC＝∠DON，∵∠OMC＝∠OND＝90°，∴△OMC≌△OND（AAS），∴OM＝ON，∴矩形MONH是正方形，∴OH＝OM，△ACF中，∵OA＝OC，OM∥AF，∴CM＝FM，∴AF＝2OM，∴＝，即AF＝OH；（3）∵∠ADE＝∠EFC＝90°，∠AED＝∠CEF，∴△ADE∽△CFE，∴＝＝2，∵四边形ABCD是正方形，且AC＝2，∴AD＝CD＝2，∵E是CD的中点，由勾股定理得：AE＝＝＝，设EF＝x，则CF＝2x，∴CE＝x＝1，x＝，∴EF＝，∴AF＝+＝；故答案为：．24．（12分）如图，已知抛物线C1：y＝a（x+2）2﹣5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B 的左边），点B的横坐标是1．（1）求P点坐标及a的值；（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．【解答】解：（1）由抛物线C1：y＝a（x+2）2﹣5得，顶点P的坐标为（﹣2，﹣5），∵点B（1，0）在抛物线C1上，∴0＝a（1+2）2﹣5，解得a＝；（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G，∵点P、M关于点B成中心对称，∴PM过点B，且PB＝MB，∴△PBH≌△MBG，∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3，∴顶点M的坐标为（4，5），（也可以用中点坐标公式）抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到，∴抛物线C3的表达式为y＝（x﹣4）2+5；（3）∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到，∴顶点N、P关于点Q成中心对称，由（2）得点N的纵坐标为5，设点N坐标为（m，5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PK⊥NG于K，∵旋转中心Q在x轴上，∴EF＝AB＝2BH＝6，∴FG＝3，点F坐标为（m+3，0）．H坐标为（﹣2，0），K坐标为（m，﹣5），∵顶点P的坐标为（﹣2，﹣5），根据勾股定理得：PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104，PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50，NF2＝52+32＝34，①当∠PNF＝90°时，PN2+NF2＝PF2，解得m＝，∴Q点坐标为（，0）．②当∠PFN＝90°时，PF2+NF2＝PN2，解得m＝，∴Q点坐标为（，0）．③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90°综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形．。

湖北初三初中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.在实数－3、0、2、3中，最小的实数是（）．A．－3B．0C．2D．32.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）．A．x≥－3B．x＞3C．x≥3D．x≤33.如图，把一块含有30°角（∠A=30°）的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1=40°，那么∠AFE（）．A．50°B．40°C．20°D．10°4.下表是山西省11个地市去年5月份某日最高气温（℃）的统计结果：A．27℃，28℃ B．28℃，28℃C．27℃，27℃ D．28℃，29℃5.计算6x3•x2的结果是（）．A．6x B．6x5C．6x6D．6x96.如图，△ABO缩小后变为，其中A、B的对应点分别为，均在图中格点上，若线段AB 上有一点，则点在上的对应点的坐标为（）．A、 B、 C、 D、7.下列几何体中，主视图相同的是（）．A．①②B．①③C．①④D．②④8.要判断小强同学的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近几次数学考试成绩的（）．A．方差B．众数C．平均数D．中位数9.观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第（）个图形共有120个．A．10B．13C．15D．1610.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰落在∠BCD的平分线上时，CA1的长为（）．A．B．C．D．二、填空题1.计算；分解因式：= ；2.2015羊年春晚在某网站取得了最高同时在线人数超14 000 000的惊人成绩，创下了全球单平台网络直播纪录。

其中，14 000 000用科学计数法可表示为；3.有三张正面分别写有数字﹣1，1，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率为；4.甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0．5h（休息前后的速度一致），如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．则当乙车行驶小时后，两车恰好相距50km．5.如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．线段DC上有一点E ，当△ABE 的面积等于5时，点E 的坐标为 ．6.如图，AB 是⊙O 的直径，延长OB 至P ，使BP=OB ，点C 为圆上除A 、B 外的任一点．设∠PCB=α，∠POC=β．则tanα•tan 的值为 ．三、解答题1.（本题8分）已知直线y ＝2x －b 经过点（1，－1），求关于x 的不等式2x －b≥0的解集．2.（本题8分）如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD上．（1）求证：BE ＝CE ；（4分）（2）若BE 的延长线交AC 于点F ，且BF ⊥AC ，垂足为F ，如图2，∠BAC ＝45°，求证：△AEF ≌△BCF ．（4分）3.（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点都在格点上，点A 的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1，并直接写出点A 1的坐标．（4分） （2）画出△A 1B 1C 1绕原点O 旋转180°后得到的△A 2B 2C 2，若△A 1B 1C 1内一点P 的坐标为（a,b ），请直接写出点P 在△A 2B 2C 2内对应点P′的坐标．（4分）4.（本题8分）如图所示．P 是⊙O 外一点．PA 是⊙O 的切线．A 是切点．B 是⊙O 上一点．且PA=PB ，连接AO 、BO 、AB ，并延长BO 与切线PA 相交于点Q ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线；（4分）（2）设∠AOQ=，若，OQ= 15，求AB的长．（4分）5.（本题10分）我区某电子器件厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，在试销过程中发现，每月销售量（万件）与销售单价（元）之间的关系可以近似地看作一次函数．（利润=售价﹣制造成本）（1）写出每月的总利润（万元）与销售单价（元）之间的函数关系式；（3分）（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（4分）（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？（3分）6.（本题10分）等边⊿ABC的边长为6，点E、F分别是边AC、BC上的点，连结AF，BE相交于点P．（1）若AE=CF：①求∠APB的度数．（3分）②若AE=2，试求的值．（3分）（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．（4分）四、判断题（本题12分）如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=﹣x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．（1）求a，b的值；（3分）（2）点P是线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过点P作PF⊥MC于点F，设PF的长为t，MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（4分）（3）如图（3），将直线AB绕点A顺时针旋转15度交抛物线对称轴于点C, 点P为线段OA上的一个动点（与点O、点A不重合），以点O为圆心、以OP为半径的圆弧与线段OC交于点M，以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点N，连接MN．在点P运动的过程中，四边形OMNA的面积有最大值还是有最小值？请求出该值．（5分）湖北初三初中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.在实数－3、0、2、3中，最小的实数是（）．A．－3B．0C．2D．3【答案】A．【解析】先对实数从小到大排序，即-3＜0＜2＜3，其中-3最小．故选：A．【考点】比较实数的大小．2.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）．A．x≥－3B．x＞3C．x≥3D．x≤3【答案】C．【解析】根据二次根式有意义的条件可得：x-3≥0，解得x≥3．故选：C．【考点】二次根式有意义的条件．3.如图，把一块含有30°角（∠A=30°）的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1=40°，那么∠AFE（）．A．50°B．40°C．20°D．10°【答案】D．【解析】由矩形的性质可得EF∥CD，根据平行线的性质及三角形外角的性质可知，∠A+∠AFE=∠1=40°，所以∠AFE=10°．故选：D．【考点】平行线的性质；三角形外角的性质．4.下表是山西省11个地市去年5月份某日最高气温（℃）的统计结果：A．27℃，28℃ B．28℃，28℃C．27℃，27℃ D．28℃，29℃【答案】B．【解析】众数是一组数据中出现次数最多的数，28℃出现次数最多，所以x众数是28℃，求中位数时首先要对这些数据进行排序，27＜27＜27＜28＜28＜28＜28＜29＜30＜30＜31，正中间的数是28，所以中位数是28．故选：B．【考点】众数；中位数．5.计算6x3•x2的结果是（）．A．6x B．6x5C．6x6D．6x9【答案】B．【解析】根据同底数幂的乘法公式可得，6x3•x2=6x5．故选：B．【考点】同底数幂的乘法．6.如图，△ABO缩小后变为，其中A、B的对应点分别为，均在图中格点上，若线段AB上有一点，则点在上的对应点的坐标为（）．A、 B、 C、 D、【答案】D．【解析】根据A，B两点坐标以及对应点，点的坐标得出坐标变化规律，进而得出坐标为．故选：D．【考点】位似变换；坐标与图形的性质．7.下列几何体中，主视图相同的是（）．A．①②B．①③C．①④D．②④【答案】B．【解析】圆柱的主视图是长方形，圆锥的主视图是三角形，长方体的主视图是长方形，球的主视图是圆，所以圆柱和长方体的主视图相同．故选：B．【考点】立体图形的三视图．8.要判断小强同学的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近几次数学考试成绩的（）．A．方差B．众数C．平均数D．中位数【答案】A．【解析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，所以要判断小强同学的数学考试成绩是否稳定，需要知道他最近几次数学考试成绩的方差．故选：A．【考点】方差．9.观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第（）个图形共有120个．A．10B．13C．15D．16【答案】C．【解析】第1个图形有1个，第2个图形有3个，3=1+2，第3个图形有6个，6=1+2+3，第4个图形有10个，10=1+2+3+4，所以第n个图形有1+2+3+4+…+n=个，当=120，解得n=15．故选：C．【考点】图形的变化规律类．10.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰落在∠BCD的平分线上时，CA1的长为（）．A．B．C．D．【答案】C．【解析】过A1作A1M⊥BC，垂足为M，设CM=A1M=x，则BM=4－x，在Rt△A1BM中，，∴，解得x =A1M=，∴在等腰Rt△A1CM中，C A1=．【考点】勾股定理；折叠的性质．二、填空题1.计算；分解因式：= ；【答案】．【解析】有公因式的先提取公因式，然后进行分解因式，．故答案为：．【考点】因式分解．2.2015羊年春晚在某网站取得了最高同时在线人数超14 000 000的惊人成绩，创下了全球单平台网络直播纪录。