第一章函数与极限
一. 函数的概念
1. 两个无穷小的比较
设 lim f(x) 0, limg(x) 0 且血丄凶 l g(x)
(1) l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[ g(x)]，称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。
(2) l 工0,称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
(3) l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2. 常见的等价无穷小 当x - 0时
a
1 - cos.L X — sin x ~ x ，tan x
~ x ， arcsinx ~ x ， arccosx ~ x ，
x
1- cos x ~ x A 2/2 ， e -1 ~ x ， ln(1 x) ~ x ， (1 x) 1~ x
求极限的方法
1 •两个准则
准则1.单调有界数列极限一定存在
准则2.(夹逼定理)设g(x) < f (x) < h(x) 若 lim g(x) A,lim h(x) A ，则 lim f(x) A 2 •两个重要公式 sin x 彳 公式1 lim 1 x 0
x 公式 2lim (1 x)1/x e
x 0
3 •用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4•用泰勒公式
当x 0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次
sin x
cosx
2
x
3
x
2! 3!
3
5
x x 3!
5!
2
4
x x
2!
4!
n! OX 〉
2n 1
1)n
A
/ 2n 1
、
o(x )
2n
n
x
2n
x x
同样适用.
使用洛必达法则时必须注意以下几点：
(1) 洛必达法则只能适用于“ 0
”和“一”型的未定式，其它的未定式须
先化简变形成“
”或“一”型才能运用该法则；
(2) 只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；
(3) 洛必达法则的条件是充分的，但不必要.因此，在该法则失效时并不 能断
In(1 x)
3
f...
(
1)
n n 1 x
/ n
o(x )
n
(1 x)
(1) 2!
x 2 (1)-(
(n 1))x n
n!
o(x n )
arcta n x
2n 1
n 1
X 2n 1
1)
o(x )
2n 1
5 •洛必达法
则 定理1
(1) f(x)、F(x)满足下列条件: lim F(x) 0 ;
x x o
(2) (3) 设函数 lim f (x) 0 , x x
f(x)与F(x)在X 。的某一去心邻域内可导，且 上存在(或为无穷大)，则im 丄© -■ ■ x x
0 F(x)
3存在时，佃出
x x
0 F(x) lim
x x
o
F (x)
F (x) 0 ;
..f (x) lim x x
0 F (x) 这个定理说明：当 匕为无穷大时, lim
x
冷 F (x)
lim 卫勺也是无穷大. x X o F(x)
也存在且等于lim x x 0
F (x)
f (x).当
lim x x
o F (x)
这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值 的方法称为洛必达(L H ospital )法则.
一型未定式 X o
定理2设函数f(x)、
lim f(x)
x X 0
f(x)与F(x)在X 。的某一去心邻域内可导，且 F(x) 0 ;
..f (x) lim
x
x
F (x) (1) (2) F(x)满足下列条件:
,lim F(x) ;
x x o
存在(或为无穷大)，则叫鵲
注：上述关于x x 0时未定式一型的洛必达法则，对于x
(3) ..f (x) lim x x
o F (x)
时未定式一型
定原极限不存在.
6. 利用导数定义求极限
基本公式lim f(X0—X) f(X0) f'(X0)(如果存在)
0x
X
7. 利用定积分定义求极限
三. 函数的间断点的分类
函数的间断点分为两类： (1)第一类间断点
设X o 是函数y = f (x)的间断点。如果f (x)在间断点X o 处的左、右极限都存在, 则称x o 是f (x)的第一类间断点。左右极限存在且相同但不等于该点的函数值为 可去间断点。左右极限不存在为跳跃间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳 跃间断点。 (2)第二类间断点
第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。 常见的第二类间断点有无 穷间断点和振荡间断点。
四. 闭区间上连续函数的性质
在闭区间［a,b ］上连续的函数f (x)，有以下几个基本性质。这些性质以后都 要用至V 。
定理1.(有界定理)如果函数f (x)在闭区间［a,b ］上连续，则f (x)必在［a,b ］上有 界。
定理2.(最大值和最小值定理)如果函数f (x)在闭区间［a,b ］上连续，则在这个 区间上一定存在最大值M 和最小值m 。
定理3.(介值定理)如果函数f (x)在闭区间［a,b ］上连续，且其最大值和最小值 分别为M 和m ，则对于介于m 和M 之间的任何实数c,在［a,b ］上至少存在一个E 使得f ( E ) = c
推论：如果函数f (x)在闭区间［a,b ］上连续，且f (a)与f (b)异号，则在(a,b) 内至少存在一个点E ，使得f (E ) = 0这个推论也称为零点定理
1 n k
基本格式lim -
f(—) n
n k i n
1
f(x)dx (如果存在)
