线性代数习题集v1答案(修订版)
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§1.1-§1.5 一、 单项选择1、A2、D3、A4、D5、B 二、 填空题1、332()a b -+2、983、1204、0 （提示：.,,003213231213213q x x x p x x x x x x x x x q px x -==++=++=++有对于） 三、计算题 1、402、第一列加到第二列，第二列加到第三列。
得 1... (32)10......000 00 (000)0......0021+---n na a a n=n n a a a n ...)1()1(21+-§1.5-1.6 一、 填空题1、1或-1或2或-22、n n n b a 1)1(+-+3、124、-4，-4 二、 单项选择1、C2、B3、BD 三、 解答题1、（1）-3 （2）4x （3）1)]()1[( (00)...............0......0......1])1[(...3,21 (1).....................1 (1)])1[(,--+-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+--+-n a x x a n a x ax a a x a n n xa a x a a x a n 列加到第一列乘提取公因式所有列加到第一列2、（1）032564220000011133000543213256422333001113377754321333231===++A A A（2）0325640033311000007775432132564223331100033777543213534===+A A§1.7一、126427811694143211111==D ,1264278125169425432511111-==D ,4864271251169251435111112==D ,726412581162541452111113-==D ,48125278125941532111114==D4,6,4,144332211==-====-==∴DDx D D x D D x D D x二、 D=0，即14-=或k三、 212,0±≠-≠≠k k D 且即四、设投资321321、x 、x x 、A 、A A 的钱分别为，即求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=++=++02222.015.012.010********x x x x x x x x 是否有解。
观察系数行列式024.0012221512111100101222.015.012.0111≠=-=-=D ，知方程组有唯一解，即可能实现预期的利润但只有唯一一种投资组合。
习 题 课 一、 选择填空1、C2、A3、0 二、 计算1、分析多项式，发现f(x)的最高次项若为四次，只能包含于44332211a a a a 和31134422a a a a 两项中，第一项4x 系数为24，第二项4x 系数为-24，所以4x 的系数为0。
因此最高次考虑3x ，分析发现每一项中必须有三个或者四个x 的因子才可能包含3x ，所以也只能从44332211a a a a 和31134422a a a a 中考虑，通过行列式定义可求得第一项中3x 的系数为24+24+24+24=96，第二项3x 的系数为-（-72+24+8+24）=16，即f(x)的最高次项3x 系数为112。
2、按第一列展开有，∑=----------------+-+=+++++++=+-=+++++==++=++=+=--+=ni in i nnn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x a x x a xa xa x a x xa a a x a x D D x a x a x xa a D x xa a xD a x a xD a a xD D 11122332211222233221221211111...)1(.........)()1()1(课 外 习 题 一、 选择题1、A2、B3、A 二、 填空题1、3)(b a -2、7104.6⨯-3、k=-2三、 计算1．（1）a+b+d (2)22y x2.证明：按第一列展开，得21)(---+=n n n abD D b a D ，n n n n n n n n b aD D b D D b aD D b aD D =-==-=-=-------)(......)()(122322211， 由此得，n n n b aD D +=-1------式（1）；同理可得n n n a bD D +=-1-------式（2）将式（1）乘以b 减去式（2）乘以a ，再除以a-b ，得到ba b a a b a b D n n n n n --=--=++++11113．用归纳法n=1时，)11(11111a a a D +=+=，结论成立。
假设结论对n-1阶行列式成立，对n 阶行列式n D ，先将n D 的最后一列元素看成是二数之和，即)11(...)]11(...[ (1)00001 (00)0..................10...0010...0010 (001)...111..................01...11101...11101 (1111)1...111..................11...11111...11111...11111 (1)11..................011...111011 (111)011 (111112111)121121112111321321321321∑∑=--=------+=++=+=+=+++++++=+++++++=ni in n n i i n n n n n n n n n nnn a a a a a a a a a a a a a D a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a D4．设原价为321、x 、x x ，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++315009.0*209.0*309.0*201765095.0*1095.0*109.0*202135095.0*159.0*2095.0*10321321321x x x x x x x x x利用克拉默法则解得600500400321===、x、xx§2.1-§2.2 矩阵的概念及运算 三、 单项选择1、C2、B3、C4、D5、A 四、 填空题1、s l =2、 123246369⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，14 3、214016⎛⎫ ⎪⎝⎭三、计算题1、Bz y Ay x ==,，其中201232415A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，310201013B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，123x x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，123y y y y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，123z z z z ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦x Ay ABz ==则有，而201310613232201124941501310116AB --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 112233613124910116x z x z x z -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦得，11232123312363,1249,1016.x z z z x z z z x z z z =-++⎧⎪=-+⎨⎪=--+⎩即1111231112132223231111242111217201110511114292AB A -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-----=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦、， 111123058111124056111051290TT A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=---=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦3、（1）2101021n λλ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭当时，＝21， 10101nn λλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故＝1。
123421211323221102320212133232211043202132nn n n n An En --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-⎧⎛⎫=⎨⎪-⎝⎭⎩ （2）当时，＝ 当时，＝1 当时，＝ 当时，＝1为奇数 故有为偶数()()()()()()232211111123111242121233333121111232332()333331112323332133312T T T T T T T T T T T T n n T n n A n A n A A A A A αββααβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ---⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭=====⎛===、 当时, 当时，＝＝＝＝ 故有⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭22222115()()22()()222A A B E B E B E B E B B E B E B E⎡⎤=⇔+=+⎢⎥⎣⎦⇔++⇔++=+⇔=、＝2 §2.3 逆 矩 阵四、 单项选择1、C2、A3、C4、C5、D 五、 填空题1、11213⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 13121⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2、4231⎛⎫ ⎪⎝⎭－－，23122-⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭1 3、－27 4、 210142013⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭－－－ 5、n k a n k a 1nak 1n n k a - 六、 解答题1、()11*1111131113233(1)2222A A A A A A A A A A ---------=-=-=-=-=-=- ()()11122(2),2233211020,121133121132111133033033121131101232111123110AB A B A E B A C A EC A E C C A E B A E A ---=+⇒-==--=-=-=≠--⎛⎫⎪=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭、令故可逆，且有： 故有()()()()1111111111111111413,1131414273127321101111683684302P P AP A P PA P P P P P P P P -------⎛⎫==Λ⇒=Λ ⎪--⎝⎭=ΛΛΛ=Λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 、()()()()32221422241024210242210A E A E A A E E A A EA E EA A E A E A E =⇒+-+=-+⇒+=-+++－、 故可逆，且＝()()()1****1*****50,00000A A A A E A A A A A A A A A A --=======、（1）若由知必不可逆。
