2020-2021学年河南省郑州市九年级一模数学真题

如图3，测量者 使用Smart Measure测量一棵大树 的高，软件显示 ， ， ，请你根据数学知识求出大树 的高．（结果可保留根号）（为了计算方便，约定 ）．
21．已知关于x的二次函数 （k为常数且 ）．
（1）无论k取何值，此函数图象一定经过y轴上一点，该点的坐标为___________；
（2）试说明：无论k取何值，此函数图象一定经过点 ；
【详解】
解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程： ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题为增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
8．D
【分析】
证明DE=CE，由DE∥AC，推出△BDE∽△BAC，可得 ，求出DE即可．
解析式联立，解方程求得 的横坐标，根据定义求得 的横坐标，把横坐标代入反比例函数的解析式求得 的坐标，代入 即可求得 的值．
【详解】
解： 直线 与反比例函数 的图象交于点 ，
解 求得 （经检验，符合题意），
的横坐标为1，
的坐标为（1，1），
如图，过C点、A点作y轴垂线，垂足为G，H，
OA//BC，∠CGB=∠AHO=90°
（1）连线：观察图1所描点的分布，用一条光滑曲线将各点顺次连接起来，请作出函数图象；
（2）分析：已知点 在函数图象上，结合表格和函数图象填空；
若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 （填“>”，“=”或“<”）
（活动二）建模小组需要搭建一个无盖的长方体模型，如图2所示，其深为1米，底面积为1平方米．已知底面造价为1百元/平方米，侧面造价为0.5百元/平方米．设底面一边的长为x（米），模型总造价为y（百元）．

2020-2021学年河南省郑州市新郑市九年级第一学期期中数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分.1．已知一元二次方程3x2＝﹣4+2x的常数项为4，则二次项系数和一次项系数分别为（）A．3，﹣2B．﹣3，2C．3，2D．﹣3，﹣22．已知2a＝3b，且a≠0，则＝（）A．B．C．﹣D．﹣3．如图，菱形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，OA＝1，则菱形ABCD的面积为（）A．B．2C．2D．44．下列说法正确的是（）A．某同学连续投掷一枚质地均匀的硬币5次，有3次正面朝上，因此正面朝上的概率为B．50个人中一定有两人生日相同C．甲、乙射击命中目标的概率分别是和，则甲、乙各射击一次命中目标的概率为D．13个人中有两个人生肖相同的概率为15．已知△ABC∽△DEF，∠A＝∠D＝70°，∠B＝60°，则么∠F＝（）A．60°B．50°C．70°D．60°或50°6．如图，菱形ABCD对角线AC，BD交于点O，∠ACB＝15°，过点C作CE⊥AD交AD 的延长线于点E．若菱形ABCD的面积为4，则菱形的边长为（）A．2B．2C．4D．47．定义一种新运算“a△b”，对于任意实数a，b，a△b＝a2+2ab﹣b2﹣1，如3△4＝32+2×3×4﹣42﹣1，若x△k＝0（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根8．某品牌汽车为了打造更加精美的外观．特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为（）米．A．4.14B．2.56C．6.70D．3.829．如图，下列条件能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠CBD B．＝C．AB2＝AD•AC D．＝10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝60°，点D是斜边BC的中点，分别以点A，B为圆心，以BC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接EA，EB，ED得到四边形EBDA，依次连接四边形EBDA四条边中点得到四边形GHIJ，若AC＝2，那么四边形GHIJ的周长为（）A．2+B．2+2C．4+2D．4+4二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.11．一元二次方程ax2+x﹣2＝0有一个根为1，则a＝．12．如图，点D，E分别是△ABC两边AB，AC上的点，DE∥BC，若＝，AC＝5，则EC＝．13．一个不透明的袋子中装有2个红球和3个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球记下颜色后不放回，再从袋子里取出1个球，则两次取出的都是红球的概率是．14．某医药超市平均每天卖出口罩100个，每个盈利2元，为了尽快减少库存，该超市准备采取适当的降价措施．调查发现，如果每个口罩售价减少0.5元，那么平均每天可多售出80个．若该超市想平均每天盈利270元，每个口罩应降价多少元？若设每个口罩降价x 元，可列方程为．（不需要化简）15．已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB上靠近点B的四等分点，连接EC，将线段EC绕点E旋转，交∠BAD外角的平分线于点F，若AF＝，则FG的长为．三、解答题：本题共8个小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．解方程（1）2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）；（2）（x﹣1）2+3＝3x（用适当方法）．17．已知Rt△ABC的两直角边AB，AC的长分别为6cm和8cm，动点D从点A开始沿AB 边向点B运动，速度为1cm/s；动点E从点C开始沿CA边向点A运动，速度为2cm/s．若两点同时运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么何时△ADE与△ABC 相似？18．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x+m2+1＝0．（1）当方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围；（2）若方程有一根为1，求m的值并求出方程的另一根．19．从2021年起，很多省份的高考将采用“3+1+2”的模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．（1）若你在“1”中选择了你喜欢的物理，在“2”中已经选择了你喜欢的化学，则你选择地理的概率为．（2）若小王在“1”中选择了喜欢的历史，请用列表法表示他在“2”中所有可选科目的方案，由于大学后考研必须要考思想政治，小王不想到考研的时候出现知识空档期，而他对其他学科没有特别要求，那么他选择合适科目的概率是多少？20．如图，点D是△ABC边BC上一点，连接AD，过AD上点E作EF∥BD，交AB于点F，过点F作FG∥AC交BC于点G，已知＝，BG＝4．（1）求CG的长；（2）若CD＝2，在上述条件和结论下，求EF的长．21．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别过点A，D作AO，DO的垂线，两垂线交于点E．（1）请判断四边形AODE的形状并给出证明；（2）若四边形AODE的面积为12，点G是四边形AODE对角线AD的中点，且EG＝，请计算四边形AODE的周长．22．如图，在一块长AB＝80米，宽AD＝60米的矩形空地ABCD上修建两条水平和一条铅直道路，已知水平道路和铅直道路的宽之比为3：4，剩余空地面积为3456平方米．（1）请你计算水平和铅直道路的宽分别是多少米．（2）若将其中一条水平道路改为铅直道路，宽度也随之改变为铅直道路的宽度，也能保证剩余空地面积为3456平方米，你能说明理由吗？23．如图（1），点P是菱形ABCD对角线BD上的一点，连接AP，以AP为腰在AP的右侧作等腰三角形APE，且使∠APE＝∠ABC，AP＝PE．（1）当点E在菱形ABCD内，＝1时，＝；（2）如图（2），当点E在菱形ABCD内，＝k（k≠1），其他条件不变时，求值；（3）如图（3），当点E在菱形ABCD外，＝，BP＝6，菱形ABCD的面积为8，其他条件不变，请直接写出△DCE的面积．参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知一元二次方程3x2＝﹣4+2x的常数项为4，则二次项系数和一次项系数分别为（）A．3，﹣2B．﹣3，2C．3，2D．﹣3，﹣2【分析】直接利用一元二次方程中各项系数的确定方法分析得出答案．解：一元二次方程3x2＝﹣4+2x化为一般形式可得：3x2﹣2x+4＝0，∴二次项系数、一次项系数分别为：3，﹣2．故选：A．2．已知2a＝3b，且a≠0，则＝（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】根据比例的性质直接解答即可．解：∵2a＝3b，且a≠0，∴＝．故选：A．3．如图，菱形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，OA＝1，则菱形ABCD的面积为（）A．B．2C．2D．4【分析】根据菱形的对角线互相垂直且互相平分，可得出对角线AC的长度，依据勾股定理即可得到另一条对角线的的长度，进而根据公式可得出菱形的面积．解：∵对角线AC，BD交于点O，OA＝1，∴AC＝2AO＝2，∵菱形ABCD的边长为，∴AB＝，∴BO＝＝＝2，∴BD＝2BO＝4，∴菱形ABCD的面积＝BD×AC＝＝4，故选：D．4．下列说法正确的是（）A．某同学连续投掷一枚质地均匀的硬币5次，有3次正面朝上，因此正面朝上的概率为B．50个人中一定有两人生日相同C．甲、乙射击命中目标的概率分别是和，则甲、乙各射击一次命中目标的概率为D．13个人中有两个人生肖相同的概率为1【分析】利用概率的意义逐项进行判断即可．解：A．某同学连续投掷一枚质地均匀的硬币5次，有3次正面朝上，因此正面朝上的频率为，不是概率为，由于实验次数少，不能确定正面朝上的概率，所以选项A不符合题意；B．50个人中不一定有两人生日相同，也可能这50人的生日均不相同，因此选项B不符合题意；C．甲、乙射击命中目标的概率分别是和，则甲、乙各射击一次命中目标的概率不一定是，因此选项C不符合题意；D．根据“抽屉”原理可知，13个人中一定有两人的生肖相同，因此选项D符合题意，故选：D．5．已知△ABC∽△DEF，∠A＝∠D＝70°，∠B＝60°，则么∠F＝（）A．60°B．50°C．70°D．60°或50°【分析】△ABC中，根据三角形内角和定理即可求得∠C的度数，根相似三角形的对应角相等即可求得答案．解：在△ABC中，∵∠A＝70°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°．∵△ABC∽△DEF，∠A＝∠D＝70°，∴∠F＝∠C＝50°；故选：B．6．如图，菱形ABCD对角线AC，BD交于点O，∠ACB＝15°，过点C作CE⊥AD交AD 的延长线于点E．若菱形ABCD的面积为4，则菱形的边长为（）A．2B．2C．4D．4【分析】根据菱形的性质和30度角所对直角边等于斜边一半可得CE＝AD，再根据菱形面积即可得菱形的边长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，AB∥CD，∴∠EDC＝∠DAB＝2∠ACB＝30°，∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°，∴CE＝DC＝，∴菱形ABCD的面积＝AD•CE＝AD AD＝AD2＝4，∴AD＝2（负值舍去），则菱形的边长为2．故选：A．7．定义一种新运算“a△b”，对于任意实数a，b，a△b＝a2+2ab﹣b2﹣1，如3△4＝32+2×3×4﹣42﹣1，若x△k＝0（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【分析】利用新定义得到x2+2kx﹣k2﹣1＝0，然后利用Δ＞0可判断方程根的情况．解：由新定义得x2+2kx﹣k2﹣1＝0，∵Δ＝（2k）2﹣4×1×（﹣k2﹣1）＝8k2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．8．某品牌汽车为了打造更加精美的外观．特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为（）米．A．4.14B．2.56C．6.70D．3.82【分析】设该车车身总长为xm，利用黄金分割点的定义得到汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618x，则根据题意列方程x﹣0.618x＝1.58，然后解方程即可．解：设该车车身总长为xm，∵汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置，∴汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618x，∴x﹣0.618x＝1.58，解得x≈4.14，即该车车身总长约为4.14米．故选：A．9．如图，下列条件能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠CBD B．＝C．AB2＝AD•AC D．＝【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．解：∵AB2＝AD•AC，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC，故选：C．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝60°，点D是斜边BC的中点，分别以点A，B为圆心，以BC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接EA，EB，ED得到四边形EBDA，依次连接四边形EBDA四条边中点得到四边形GHIJ，若AC＝2，那么四边形GHIJ的周长为（）A．2+B．2+2C．4+2D．4+4【分析】在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝2，∠C＝60°，推出BC＝2AC＝4，AB ＝AC＝2，由BD＝CD，推出AD＝DB＝DC＝2，由作图可知，四边形ADBE是菱形，推出中点四边形GHIJ是矩形，求出IJ．IH，即可解决问题．解：在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝2，∠C＝60°，∴BC＝2AC＝4，AB＝AC＝2，∵BD＝CD，∴AD＝DB＝DC＝2，由作图可知，四边形ADBE是菱形，∴中点四边形GHIJ是矩形，∵AD＝AC＝DC，∴∠ADC＝60°，∵AE∥DB，∴∠EAD＝∠ADC＝60°，∵AE＝AD，∴△AED是等边三角形，∴AD＝DE＝2，∵AJ＝JE，AI＝ID，∴IJ＝DE＝1，∵BH＝DH，AI＝ID，∴IH＝AB＝，∴四边形GHIJ的周长＝2（1+）＝2+2，故选：B．二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.11．一元二次方程ax2+x﹣2＝0有一个根为1，则a＝1．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入关于x的一元二次方程ax2+2x＝0，列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可．解：∵一元二次方程ax2+x﹣2＝0的一个根为1，∴x＝1满足关于x的一元二次方程ax2+x﹣2＝0，∴a+1﹣2＝0，解得，a＝1；故答案是：1．12．如图，点D，E分别是△ABC两边AB，AC上的点，DE∥BC，若＝，AC＝5，则EC＝2．【分析】证明ADE∽△ABC，则利用相似比得到AE＝AC＝3，然后计算AC﹣AE即可．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴AE＝AC＝×5＝3，∴CE＝AC﹣AE＝5﹣3＝2．故答案为2．13．一个不透明的袋子中装有2个红球和3个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球记下颜色后不放回，再从袋子里取出1个球，则两次取出的都是红球的概率是．【分析】先画出树状图，共有20个等可能的结果，两次取出的都是红球的结果有2个，然后由概率公式求解即可．解：画树状图如图：共有20个等可能的结果，两次取出的都是红球的结果有2个，∴两次取出的都是红球的概率为＝，故答案为：．14．某医药超市平均每天卖出口罩100个，每个盈利2元，为了尽快减少库存，该超市准备采取适当的降价措施．调查发现，如果每个口罩售价减少0.5元，那么平均每天可多售出80个．若该超市想平均每天盈利270元，每个口罩应降价多少元？若设每个口罩降价x 元，可列方程为（2﹣x）（100+80×）＝270．（不需要化简）【分析】设每个口罩降价x元，则每个口罩盈利（2﹣x）元，平均每天的销售量为（100+80×）个，根据该超市每天销售口罩的利润＝每个口罩的盈利×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：设每个口罩降价x元，则每个口罩盈利（2﹣x）元，平均每天的销售量为（100+80×）个，依题意得：（2﹣x）（100+80×）＝270．故答案为：（2﹣x）（100+80×）＝270．15．已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB上靠近点B的四等分点，连接EC，将线段EC绕点E旋转，交∠BAD外角的平分线于点F，若AF＝，则FG的长为．【分析】过点F作FH⊥AD于H，FN⊥AM于N，由“HL”可证Rt△NFE≌Rt△BEC，可得∠BCE＝∠NEF，可证∠FEC＝90°，由勾股定理可求FC的长，通过证明△FHG∽△CDG，可得＝，即可求解．解：过点F作FH⊥AD于H，FN⊥AM于N，设∠BAD的外角为∠MAD，∵AF平分∠MAG，FH⊥AD，FN⊥AM，∴∠FAH＝45°，FN＝FH，∵FH⊥AD，∴∠FAH＝∠AFH＝45°，∴AH＝FH，∴AF＝FH＝，∴FH＝AH＝1，∴FN＝FH＝1，∵点E是边AB上靠近点B的四等分点，∴BE＝1，∴EC＝＝＝，∵将线段EC绕点E旋转，∴EC＝EF，在Rt△NFE和Rt△BEC中，，∴Rt△NFE≌Rt△BEC（HL），∴∠BCE＝∠NEF，∵∠BCE+∠BEC＝90°，∴∠BEC+∠NEF＝90°，∴∠FEC＝90°，∴CF＝EC＝，∵∠FHG＝∠D＝90°，∠FGH＝∠CGD，∴△FHG∽△CDG，∴＝，∴FG＝FC＝．三、解答题：本题共8个小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．解方程（1）2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）；（2）（x﹣1）2+3＝3x（用适当方法）．【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．解：（1）原方程可化为2x2﹣4x＝1，即x2﹣2x＝，配方得：x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，开方得：x﹣1＝±，解得：x1＝1+，x2＝1﹣；（2）原方程可化为（x﹣1）2+3﹣3x＝0，即（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0，提取公因式，得（x﹣1）（x﹣1﹣3）＝0，则x﹣1＝0或（x﹣1﹣3）＝0，解得x1＝1，x2＝4．17．已知Rt△ABC的两直角边AB，AC的长分别为6cm和8cm，动点D从点A开始沿AB 边向点B运动，速度为1cm/s；动点E从点C开始沿CA边向点A运动，速度为2cm/s．若两点同时运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么何时△ADE与△ABC 相似？【分析】分两种情况利用相似三角形的性质解答即可．解：设运动时间为t秒，则由题意得：AD＝tcm，AE＝（8﹣2t）cm，当△ADE∽△ABC时，∴，即，解得：t＝2.4，当△ADE∽△ACB时，∴，即，解得：t＝，∴经过2.4秒或秒．△ADE与△ABC相似．18．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x+m2+1＝0．（1）当方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围；（2）若方程有一根为1，求m的值并求出方程的另一根．【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式得到Δ＝（m﹣1）2﹣4×（m2+1）＞0，然后解不等式确定m的取值范围；（2）把x＝1是方程的一个根，代入方程求得m+m2+1＝0，解得m的值，代入求得答案即可．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（m﹣1）2﹣4×（m2+1）＝﹣2m﹣3＞0，∴m＜﹣；（2）∵方程有一根为1，将x＝1代入原方程中，得m+m2+1＝0，解这个方程，得m1＝m2＝﹣2，把m＝﹣2代入原方程中，得x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，即方程的另一根为2．19．从2021年起，很多省份的高考将采用“3+1+2”的模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．（1）若你在“1”中选择了你喜欢的物理，在“2”中已经选择了你喜欢的化学，则你选择地理的概率为．（2）若小王在“1”中选择了喜欢的历史，请用列表法表示他在“2”中所有可选科目的方案，由于大学后考研必须要考思想政治，小王不想到考研的时候出现知识空档期，而他对其他学科没有特别要求，那么他选择合适科目的概率是多少？【分析】（1）由概率公式即可得出答案；（2）先列表，共有12个等可能的结果，其中含有思想政治学科的方案有6个，然后由概率公式求解即可．解：（1）选择地理的概率为，故答案为：；（2）把化学、生物、思想政治、地理分别记为A、B、C、D，列表如下：共有12个等可能的结果，其中含有思想政治学科的方案有6个，∴小王选择合适科目的概率为＝．20．如图，点D是△ABC边BC上一点，连接AD，过AD上点E作EF∥BD，交AB于点F，过点F作FG∥AC交BC于点G，已知＝，BG＝4．（1）求CG的长；（2）若CD＝2，在上述条件和结论下，求EF的长．【分析】（1）由EF∥BD，推出＝＝，由FG∥AC，推出＝＝，可得结论．（2）由EF∥BD，推出＝，可得结论．解：（1）∵EF∥BD，∴＝＝，∵FG∥AC，∴＝＝，∵BG＝4，∴CG＝6．（2）∵CD＝2，CG＝6，∴DG＝CG﹣CD＝4，∵BG＝4，∴BD＝BG+DG＝8，∵＝，∴＝，∴＝，∴＝，∴EF＝21．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别过点A，D作AO，DO的垂线，两垂线交于点E．（1）请判断四边形AODE的形状并给出证明；（2）若四边形AODE的面积为12，点G是四边形AODE对角线AD的中点，且EG＝，请计算四边形AODE的周长．【分析】（1）根据菱形的性质可得对角线互相垂直，再根据已知条件即可得四边形AODE 是矩形；（2）由（1）知，四边形AODE是矩形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得AD 长，由四边形AODE的面积为12，可得AO•OD＝12，根据勾股定理可得AO+OD＝7，进而可得四边形AODE的周长．解：（1）四边形AODE是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOD＝90°，∵EA⊥AO，DO⊥AO，∴∠EAO＝∠DOA＝90°，∴四边形AODE是矩形；（2）由（1）知，四边形AODE是矩形，∴∠AED＝90°，∵点G是矩形AODE对角线AD的中点，∴EG＝AD＝，∴AD＝5，∵四边形AODE的面积为12，∴AO•OD＝12，在Rt△AOD中，根据勾股定理，得AO2+OD2＝AD2＝25，∴（AO+OD）2＝AO2+2AO•OD+OD2＝25+24＝49，∴AO+OD＝7，∴四边形AODE的周长为14．22．如图，在一块长AB＝80米，宽AD＝60米的矩形空地ABCD上修建两条水平和一条铅直道路，已知水平道路和铅直道路的宽之比为3：4，剩余空地面积为3456平方米．（1）请你计算水平和铅直道路的宽分别是多少米．（2）若将其中一条水平道路改为铅直道路，宽度也随之改变为铅直道路的宽度，也能保证剩余空地面积为3456平方米，你能说明理由吗？【分析】（1）把所修的道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可求解；（2）结合（1）求出每条水平道路的面积为80×6＝480（平方米），每条铅直道路的面积为60×8＝480（平方米），进而可得结论．解：（1）设水平道路和铅直道路的宽分别为3x米和4x米，由题意有（80﹣4x）（60﹣2×3x）＝3456，解得x1＝28（舍去），x2＝2．答：水平道路的宽为6米，铅直道路的宽为8米．（2）每条水平道路的面积为80×6＝480（平方米），每条铅直道路的面积为60×8＝480（平方米），∴将水平道路改为铅直道路，也能保证剩余空地面积为3456平方米．23．如图（1），点P是菱形ABCD对角线BD上的一点，连接AP，以AP为腰在AP的右侧作等腰三角形APE，且使∠APE＝∠ABC，AP＝PE．（1）当点E在菱形ABCD内，＝1时，＝1；（2）如图（2），当点E在菱形ABCD内，＝k（k≠1），其他条件不变时，求值；（3）如图（3），当点E在菱形ABCD外，＝，BP＝6，菱形ABCD的面积为8，其他条件不变，请直接写出△DCE的面积．【分析】（1）证明△APE∽△ABC，得到，进而证明△BAP∽△CAE，即可求解；（2）由（1）知，，即可求解；（3）证明AD⊥EF，由△BAP∽△CAE得到＝，由菱形ABCD的面积求出AO＝，进而求解．解：（1）连接AC，则△ABC为等腰三角形，BA＝BC，∵△APE为等腰三角形，且∠APE＝∠ABC，∵AP＝PE，∴∠EAP＝∠CAB，∴△APE∽△ABC，∴，∵∠EAP＝∠BAC，∴∠EAP＝∠PAC＝∠BAC＝∠PAC，即∠CAE＝∠BAP，在△BAP和△CAE中，∵，∠BAP＝∠CAE，∴△BAP∽△CAE，∴，故答案为1；（2）由（1）知，，而＝k（k≠1），故＝k；（3）连接AO交BD于点O，设CE交AD于点F，∵＝，BP＝6，由（1）知＝＝，故CE＝4，四边形ABCD为菱形，则∠DAC＝∠BAC，由△BAP∽△CAE得，∠ABP＝∠ACF，∵∠BAC+∠ABP＝90°，∴∠DAC+∠ACE＝90°，即AD⊥EF，∵△BAP∽△CAE，∴＝（三角形相似高的比等于相似比），设AB＝3x，则AC＝2x，AO＝x，则BO＝＝2x，则菱形ABCD的面积＝×AC•BD＝2AO•BO＝2x•2x＝8，解得x＝，故AO＝x＝，而＝，故AF＝，则DF＝AD﹣AF＝AB﹣AF＝3﹣＝，故△DCE的面积＝CE•DF＝×4×＝．。

2020-2021学年河南省郑州市枫杨外国语学校九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（共10小题）.1．下列说法正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直平分B．对角线相等的菱形是正方形C．两邻边相等的四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2．用配方法解一元二次方程2x2﹣4x﹣2＝1的过程中，变形正确的是（）A．2（x﹣1）2＝1B．2（x﹣2）2＝5C．D．3．如图，在长70m，宽40m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分），要使观赏路面积占总面积的，则路宽xm应满足的方程是（）A．（40﹣x）（70﹣x）＝400B．（40﹣2x）（70﹣3x）＝400C．（40﹣x）（70﹣x）＝2400D．（40﹣2x）（70﹣3x）＝24004．如图，分别旋转两个标准的转盘（若指针指向分割线，则重新转），两个转盘均被平分成三等份．则转得的两个数之积为偶数的概率为（）A．B．C．D．5．如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（）A．28cm2B．27cm2C．21cm2D．20cm26．关于x的一元二次方程ax2+5x+3＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．a＜且a≠0B．a＞C．a≤且a≠0D．a≥7．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋中白球约有（）A．5个B．10个C．15个D．25个8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CB，连接AE．下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为平行四边形；④S四边形AEBO＝S菱形ABCD中，正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，点P是等腰△ABC的腰AB上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（）A．2条B．3条C．4条D．5条10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（）A．2﹣2B．2C．3﹣1D．2二、填空题（每小题3分，共15分）11．若2x＝3y，且x≠0，则的值为．12．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根，则k应满足的条件是．13．如图，已知，D是BC的中点，E是AD的中点，则AF：FC＝．14．疫情期间，学校利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米）搭建一个矩形临时隔离点ABCD，如图所示，它的另外三边所围的总长度是10米，矩形隔离点的面积为12平方米，则AB的长度是米．15．如图，在矩形OAHC中，OC＝8，OA＝12，B为CH中点，连接AB．动点M从点O 出发沿OA边向点A运动，动点N从点A出发沿AB边向点B运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接CM，CN，MN，设运动时间为t（秒）（0＜t＜10）．则t＝时，△CMN为直角三角形．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．解下列方程（1）x2﹣3x﹣2＝0；（2）8﹣（x﹣1）（x+2）＝4．17．甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶．（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是；（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．18．已知＝＝＝＝k，求k2﹣3k﹣4的值．19．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC 三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．20．某租赁公司拥有汽车100辆．据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆，租出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车辆每月只需维护费100元．（1）当每辆车的月租金为4800元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？（2）规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到40.4万元？21．对于实数a，b，定义新运算“*”：a*b＝，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．（1）求（﹣7）*（﹣2）的值；（2）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，求x1*x2的值．22．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形，请说明理由；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形，请说明理由；（3）直接写出（2）中菱形AQCP的周长和面积，周长是cm，面积是cm2．23．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、点E分别在边AC、BC上，且DE∥AB．现将△CDE绕点C逆时针旋转某一角度，点D恰落在边AB上，连接BE．（1）当AC＝BC时，如图2，①线段AD与BE的数量关系是；②线段AD、BD、DE的数量关系是；（2）当AC＝nBC时（n＞0），如图3，①判断线段AD与BE的数量关系，并予以证明．②直接写出线段AD、BD、DE的数量关系，．参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列说法正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直平分B．对角线相等的菱形是正方形C．两邻边相等的四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形解：A．矩形的对角线相等且平分，故A原说法错误；B．对角线相等的菱形是正方形，正确；C．四条边相等的四边形是菱形，故C原说法错误；D．对角线互相垂直，平分且相等的四边形是正方形，故D原说法错误；故选：B．2．用配方法解一元二次方程2x2﹣4x﹣2＝1的过程中，变形正确的是（）A．2（x﹣1）2＝1B．2（x﹣2）2＝5C．D．解：∵2x2﹣4x＝3，∴x2﹣2x＝，则x2﹣2x+1＝1+，即（x﹣1）2＝，故选：C．3．如图，在长70m，宽40m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分），要使观赏路面积占总面积的，则路宽xm应满足的方程是（）A．（40﹣x）（70﹣x）＝400B．（40﹣2x）（70﹣3x）＝400C．（40﹣x）（70﹣x）＝2400D．（40﹣2x）（70﹣3x）＝2400解：由图可得，（40﹣2x）（70﹣3x）＝40×70×（1﹣），即（40﹣2x）（70﹣3x）＝2400，故选：D．4．如图，分别旋转两个标准的转盘（若指针指向分割线，则重新转），两个转盘均被平分成三等份．则转得的两个数之积为偶数的概率为（）A．B．C．D．解：根据题意列表如下：1253361544820661230∵共有9种等可能的结果，其中转得的两个数之积为偶数的有7种情况，∴转得的两个数之积为偶数的概率为；故选：C．5．如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（）A．28cm2B．27cm2C．21cm2D．20cm2解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，则矩形ABDC∽矩形FDCE，则，设DF＝xcm，得到：解得：x＝4.5，则剩下的矩形面积是：4.5×6＝27cm2．故选：B．6．关于x的一元二次方程ax2+5x+3＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．a＜且a≠0B．a＞C．a≤且a≠0D．a≥解：∵关于x的一元二次方程ax2+5x+3＝0有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝52﹣4×a×3＝25﹣12a＞0，解得：a＜，∵方程ax2+5x+3＝0是一元二次方程，∴a≠0，∴a的范围是：a＜且a≠0．故选：A．7．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋中白球约有（）A．5个B．10个C．15个D．25个解：设袋中白球有x个，根据题意得：＝0.6，解得：x＝10，经检验：x＝10是分式方程的解，答：袋中白球约有10个．故选：B．8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CB，连接AE．下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为平行四边形；④S四边形AEBO＝S菱形ABCD中，正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，BD＝2DO，又∵BC＝BE，∴AD＝BE，∴四边形AEBD是平行四边形，故③正确，∴AE＝BD，∴AE＝2DO，故①正确；∵四边形AEBD是平行四边形，四边形ABCD是菱形，∴AE∥BD，AC⊥BD，∴AE⊥AC，即∠CAE＝90°，故②正确；∵四边形AEBD是平行四边形，∴S△ABE＝S△ABD＝S菱形ABCD，∵四边形ABCD是菱形，∴S△ABO＝S菱形ABCD，∴S四边形AEBO＝S△ABE+S△ABO＝S菱形ABCD，故④正确；故选：D．9．如图，点P是等腰△ABC的腰AB上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（）A．2条B．3条C．4条D．5条解：∵BA＝BC，∴∠A＝∠C，①作PE∥BC，可得△APE∽△ABC．②作PF∥AC，可得△BPF∽△BAC．③作∠APG＝∠A，可得∠AGP∽△ABC，故选：B．10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（）A．2﹣2B．2C．3﹣1D．2解：由题意得：BM＝CN，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝4，在△ABM和△BCN中，AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，MB＝CN，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠BAM＝∠CBN，∵∠ABP+∠CBN＝90°，∴∠ABP+∠BAM＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示：连接OC交圆O于P，此时PC最小，∵AB＝4，∴OP＝OB＝2，由勾股定理得：OC＝＝2，∴PC＝OC﹣OP＝2﹣2；故选：A．二、填空题（每小题3分，共15分）11．若2x＝3y，且x≠0，则的值为．解：∵2x＝3y，且x≠0，∴x＝y，则＝＝．故答案为：．12．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根，则k应满足的条件是k≤且k≠0．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根∴k≠0且△＝（﹣4）2﹣4•k•3＝16﹣12k≥0，解得：k≤且k≠0，故答案为：k≤且k≠0．13．如图，已知，D是BC的中点，E是AD的中点，则AF：FC＝1：2．解：过点D作DM∥AC，交BF于M，则△BDM∽△BCF，△DEM∽△AEF，由△BDM∽△BCF，D是BC的中点，E是AD的中点可知，，则FC＝2DM根据△DEM∽△AEF得到AF＝DM，因而AF：FC＝DM：2DM＝1：2．14．疫情期间，学校利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米）搭建一个矩形临时隔离点ABCD，如图所示，它的另外三边所围的总长度是10米，矩形隔离点的面积为12平方米，则AB的长度是3米．解：设AB＝x米，则BC＝（10﹣2x）米，根据题意可得，x（10﹣2x）＝12，解得x1＝3，x2＝2（舍去），∴AB的长为3米．故答案为：3．15．如图，在矩形OAHC中，OC＝8，OA＝12，B为CH中点，连接AB．动点M从点O 出发沿OA边向点A运动，动点N从点A出发沿AB边向点B运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接CM，CN，MN，设运动时间为t（秒）（0＜t＜10）．则t＝或时，△CMN为直角三角形．解：过点N作OA的垂线，交OA于点F，交CH于点E，如图，∵B点是CH的中点，∴BH＝CH＝6，∵AH＝OC＝8，∴由勾股定理可求：AB＝10，∵AN＝t，∴BN＝10﹣t，∵NE∥AH，∴△BEN∽△BHA，∴＝，∴＝，∴EN＝（10﹣t），∴FN＝8﹣EN＝t，当∠CMN＝90°，由勾股定理可求：AF＝t，∴MF＝AM﹣AF＝12﹣t﹣t＝12﹣t，∵∠OCM+∠CMO＝90°，∠CMO+∠FMN＝90°，∴∠OCM＝∠FMN，∵∠O＝∠NFM＝90°，∴△COM∽△MFN，∴＝，∴＝，∴t＝，当∠MNC＝90°，∵FN＝t，∴EN＝（10﹣t），∵MF＝12﹣t，∴CE＝OF＝OM+MF＝12﹣t，∵∠MNF+∠CNE＝90°，∠ECN+∠CNE＝90°，∴∠MNF＝∠ECN，∵∠CEN＝∠NFM＝90°，∴△CEN∽△NFM，∴＝，∴＝，∵0＜t＜10，∴t＝，当∠NCM＝90°，由题意知：此情况不存在，综上所述，△CMN为直角三角形时，t＝或．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．解下列方程（1）x2﹣3x﹣2＝0；（2）8﹣（x﹣1）（x+2）＝4．解：（1）∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17，∴x＝，∴x1＝，x2＝；（2）原方程化为x2+x﹣6＝0，∵（x+3）（x﹣2）＝0，∴x+3＝0或x﹣2＝0，∴x1＝﹣3，x2＝2．17．甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶．（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是；（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．解：（1）∵蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶，∴甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是：；故答案为：；（2）根据题意画树状图如下：共有6种等可能的情况数，其中两人选购到同一种类奶制品的有2种，则两人选购到同一种类奶制品的概率是＝．18．已知＝＝＝＝k，求k2﹣3k﹣4的值．解：∵＝＝＝＝k，∴由等比性质可得：＝k，当a+b+c+d≠0时，k＝＝，当a+b+c+d＝0时，b+c+d＝﹣a，∴k＝＝＝﹣2，∴k2﹣3k﹣4＝（）2﹣3×﹣4＝﹣或k2﹣3k﹣4＝（﹣2）2﹣3×（﹣2）﹣4＝6．19．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC 三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．解：（1）△ABC是等腰三角形，理由：当x＝﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0，∴b＝c，∴△ABC是等腰三角形，（2）△ABC是直角三角形，理由：∵方程有两个相等的实数根，∴△＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形；（3）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∴原方程可化为：2ax2+2ax＝0，即：x2+x＝0，∴x（x+1）＝0，∴x1＝0，x2＝﹣1，即：这个一元二次方程的根为x1＝0，x2＝﹣1．20．某租赁公司拥有汽车100辆．据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆，租出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车辆每月只需维护费100元．（1）当每辆车的月租金为4800元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？（2）规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到40.4万元？解：（1）100﹣＝92（辆），（4800﹣500）×92﹣100×（100﹣92）＝394800（元），394800元＝39.48万元．答：当每辆车的月租金为4800元时，能租出92辆，此时租赁公司的月收益是39.48万元．（2）40.4万元＝404000元设上涨x个100元，由题意得：（4000+100x﹣500）（100﹣x）﹣100x＝404000整理得：x2﹣64x+540＝0解得：x1＝54，x2＝10∵规定每辆车月租金不能超过7200元，∴取x＝10，则4000+10×100＝5000（元）答：每辆车的月租金定为5000元时，租赁公司的月收益可达到40.4万元21．对于实数a，b，定义新运算“*”：a*b＝，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．（1）求（﹣7）*（﹣2）的值；（2）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，求x1*x2的值．解：（1）∵﹣7＜﹣2，∴（﹣7）*（﹣2）＝14﹣4＝10；（2）方程x2﹣5x﹣6＝0变形得：（x+1）（x﹣6）＝0，解得：x＝﹣1或x＝6，当x1＝﹣1，x2＝6时，x1*x2＝﹣6﹣36＝﹣42；当x1＝6，x2＝﹣1时，x1*x2＝36+6＝42．22．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形，请说明理由；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形，请说明理由；（3）直接写出（2）中菱形AQCP的周长和面积，周长是15cm，面积是cm2．解：（1）由题意得，BQ＝DP＝t，则AP＝CQ＝6﹣t，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝6﹣t，解得，t＝3，故当t＝3时，四边形ABQP为矩形；（2）由（1）可知，四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形，即＝6﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得，t＝，故当t＝时，四边形AQCP为菱形；（3）当t＝时，CQ＝6﹣t＝，∴菱形AQCP的周长为：4CQ＝4×＝15，菱形AQCP的面积为：CQ•AB＝×3＝，故答案为：15；．23．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、点E分别在边AC、BC上，且DE∥AB．现将△CDE绕点C逆时针旋转某一角度，点D恰落在边AB上，连接BE．（1）当AC＝BC时，如图2，①线段AD与BE的数量关系是AD＝BE；②线段AD、BD、DE的数量关系是DE2＝BD2+AD2；（2）当AC＝nBC时（n＞0），如图3，①判断线段AD与BE的数量关系，并予以证明．②直接写出线段AD、BD、DE的数量关系，DE2＝BD2+．解：（1）①如图1，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°，∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∴CD＝CE，如图2，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；②∵△ACD≌△BCE，∴∠A＝∠CBE＝45°，∴∠ABC+∠CBE＝90°，∴∠DBE＝90°，∴DE2＝BD2+BE2，∵AD＝BE，∴DE2＝BD2+AD2；故答案为：AD＝BE；DE2＝BD2+AD2；（2）①由（1）得∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠CDE，∴△ACB∽△DCE，∴＝，∵∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴＝＝n，∴AD＝nBE；②∵△ACD∽△BCE，∴∠A ＝∠CBE，∵∠A+∠ABC＝90°，∴∠ABC+∠CBE＝90°，∴∠DBE＝90°，∴DE2＝BD2+BE2，∴DE2＝BD2+．故答案为：DE2＝BD2+．。

2020-2021学年九年级第一学期期中考试数学试卷（含答案）一、选择题（每小题4分，共10小题，满分40分）1、抛物线y = 2(x+1)2-3的顶点坐标是（ ）A. (-1，-1)B. （1，3）C. (-1，3)D. （1，-3）2、在平面直角坐标系中，抛物线y=(x+5)(x-3)经变换后得到抛物线y=(x+3(x-5)，则这个变化可以是（ ）A. 向左平移2个单位B. 向右平移2个单位C. 向左平移8个单位D. 向右平移2个单位3、已知点A(1，-3)关于y 轴的对称点A ′在反比例函数y=k x 的图象上，则实数k 的值为（ ） A. 3 B. 31 C. -3 D. - 314、已知学校航母组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数关系式h=-t 2+24t+1，则下列说法中正确的是( )A. 点火后9s 点火后13s 的升空高度相同B. 点火后24s 火箭落于地面C. 点火后10S 的升空高度为139mD. 火箭升空的最大高度为145m5、已知y=x 2+(t-2)x-2，当x>1时y 随x 的增大而增大，则t 的取值范围是（ ）A. t > 0B. t = 0C. t < 0D. t ≥ 06、如图，已知D 、E 分别为AB 、AC 上的两点，且DE ∥BC ，AE=3CE ，AB=8，则AD 的长为( )A. 3B. 4C. 5D. 6第6题 第7题 第8题 第9题7、如图，一张矩形纸片ABCD 的长AB=a ，宽BC=b ，将纸片对折，折痕为EF ，所得矩形AFED 与矩形ABCD 相似，则a ：b=( )A. 2：1B. 2：1C. 3：3D. 3：28、如图，二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象的对称轴是直线x=1，则以下四个结论中：① abc>0，② 2a+b=0， ③ 4a+b 2< 4ac ，④ 3a+c< 0.正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 49、孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同.当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则这个小孔的水面宽度为（ ）A. 52米B. 43米C. 7米D. 213米10、若一次函数y=ax+b 与反比例函数y=c x的图象在第二象限内有两个交点，且其中一个交点的横坐标为-1，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图像可能是（ ）A B C D二、填空题（每小题5分，满分20分）11、若35a b b -=，则a b = . 12、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的部分图象如图所示，则关于x 的方程y=ax 2+bx+c 的两个根的和为 .第12题 第13题13、如图，点C 在反比例函数y=k x(x>0)的图像上，过点C 的直线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，且AB=BC ， 已知△AOB 的面积为1，则k 的值为 .14、已知抛物线y=ax 2+bx-1a与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛线上. （1）此抛物线的对称轴是直线 ；（2）已知点P （12，-1a），Q （2，2），若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，则a 的取值范围是 . 三、（每小题8分，满分16分）15、已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点（4，3），（2，-1），求此二次函数的表达式，并求出当0≤x ≤3时， y 的最值.16、已知234a b c ==，且a+3b-2c=15，求4a-3b+c 的值 四、（每小题8分，满分16分）17、如图，二次函数y=(x+2)2+m 的图像与y 轴交于点C ，点B 在抛物线上，且点B 与点C 关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A(-1,0)及点B.（1）求二次函数的解析式；（2）根据图像，写出满足kx+b ≥(x+2)2+m 的x 的取值范围.18、如图是反比例函数y=k x的图象，当-4≤x ≤-1时,-4≤y ≤-1. （1）求该反比例函数的解析式；（2）若M 、N 分别在反比例函数图象的两个分支上，请直接写出线段MN 长度的最小值五、（每小题10分，满分20分）19、如图，点R 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且AR> RB ，S 1表示AR 为边长的正方形面积，S 2表示以BC 为长，BR 为宽的矩形面积，S 3表示正方形ABCD 除去S 1和S 2剩余的面积，求S 3：S 2的值20、如图，在△ABC 中，AB=12cm ，AE=6cm ，EC=4cm ，且EC AE BD AD =.（1）求AD 的长； （2）求证：ACEC AD BD =.六、本题12分21、如图，函数y 1=k 1x+b 的图象与函数22k y x=的图象交于点A(2，1)、B ，与y 轴交于点C （0，3）. （1）求函数y 1的表达式和点B 的坐标； （2）观察图像，比较当x>0时y 1与y 2的大小.七、本题12分22、如图，开口向下的抛物线与x 轴交于点A （-1，0）、B （2，0），与y 轴交于点C(0，4)，点P 是第一象限内抛物线上的一点.（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）设四边形CABP 的面积为S 求S 的最大值.八、本题14分x（1≤x≤80）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x≤40 41≤x≤80售价（元/件）x+40 90每天销量（件） 200-2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元。