浙江省温州新力量联盟2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题(解析版)

2020学年第一学期温州新力量联盟期中联考高一数学试题第Ⅰ卷（选择题共52分）一、单项选择题：本题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个符合要求.1. 设集合()(){}110A x x x =-+=，则（ ） A. A ∅∈ B. 1A ∈C. 1A -⊆D. {}1A ⊆-【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意得{}1,1A =-，再根据元素与集合，集合与集合的关系求解. 【详解】解：解方程()()110x x -+=得1x =±，故{}1,1A =-. 故1A ∈，1A -∈，A ∅⊆，{}1A ⊇-. 故选：B.2. 命题“1x ∃≥，使21x >.”的否定形式是（ ） A. “1x ∃<，使21x >.” B. “1x ∃<，使21x ≤.” C .“1x ∀≥，使21x >.” D. “1x ∀≥，使21x ≤.”【答案】D 【解析】 【分析】根据存在性命题的否定直接写出即可.【详解】命题“1x ∃≥，使21x >.”的否定形式为：1,x ∀≥“使21x ≤”， 故选：D【点睛】本题主要考查了含有存在性量词的命题的否定，属于容易题. 3. 以下函数中为奇函数的是（ ）A. 2y x =-B. 2y x =-C. 2yx D. 2y x=，()0,1∈x 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义对选项中的函数逐一判断即可，判断过程逐一观察函数定义域是否关于原点对称. 【详解】()2f x x =-的定义域为R ，定义域关于原点对称，()()2f x x f x -==-，2y x =-是奇函数，A 符合题意；2y x =-即不是奇函数又不是偶函数，B 不合题意；2yx 是偶函数，C 不合题意；2y x=， ()0,1∈x ，定义域不关于原点对称，即不是奇函数又不是偶函数，D 不合题意, 故选：A.4. 设x ∈R ，则“05x <<”是“1213x <+<”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】求得不等式，从充分性和必要性两方面进行判断即可. 【详解】由1213x <+<解得01x <<，若05x <<，无法推出01x <<，故充分性不成立； 若01x <<，则05x <<，故必要性成立； 所以“05x <<”是“01x <<”的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，属简单题. 5. 下列函数中，与函数1y x =+是相等函数的是（ ）A. 2y =B. 1y =C. 21x y x=+D. 1y =【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的基本概念和相等函数的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，函数2y =的定义域为{|1}x x ≥-，与函数1y x =+的定义域不同，不是相等函数；对于B 中，函数11y x =+和1y x =+定义域和对应法则分别对应相同，是相等函数；对于C 中，函数21x y x=+的定义域为{|0}x x ≠，与函数y ＝x ＋1的定义域x ∈R 不同，不是相等函数；对于D 中，11y x ==+与函数1y x =+的定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数.故选：B.【点睛】本题主要考查了函数的基本概念，以及相等函数的判定，其中解答中熟记相等函数的判定方法是解答的关键，属于基础题.6. 已知函数y ＝21,02,0x x x x ⎧+≤⎨->⎩，则使函数值为5的x 的值是（ ） A. 2-或2 B. 2或52-C. 2-D. 2或2-或52-【答案】C 【解析】 【分析】对x 分0x ≤，0x >两种情况讨论，即得解.【详解】当0x ≤时，令5y =，得215x +=，解得2x =-； 当0x >时，令5y =，得25x -=，解得52x =-，不合乎题意，舍去. 综上所述，2x =-. 故选：C.【点睛】本题主要考查根据分段函数的函数值求自变量的值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.7. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上单调，且()()21f f -<，则下列不等式成立的是（ ）A. (1)(2)(3)-<<f f fB. (2)(3)(4)<<-f f fC. 1(2)(0)2⎛⎫-<< ⎪⎝⎭f f f D. (5)(3)(1)<-<-f f f【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得函数()f x 在(-∞，0]上为增函数，结合函数()f x 是定义在R 上的偶函数，可得答案． 【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(-∞，0]上有单调性，且(2)f f -<（1）(1)f =-，故函数()f x 在(-∞，0]上为增函数， 则(5)(5)(3)(1)f f f f =-<-<-， 故选：D ．8. 已知函数)26g x =+，则()g x 的最小值是（ ）A. 6-B. 8-C. 9-D. 10-【答案】A 【解析】 【分析】设()22t t =≥，换元得到()()2102g t t t =-≥，计算最小值得到答案.【详解】)26gx =+，设()()2222t t x t =≥∴=-()()()222486102g t t t t t =-+--=-≥故 ()()min 26g t g ==-，即当0x =时，有最小值6- 故选：A【点睛】本题考查了换元法求解析式，函数的最小值，换元法忽略定义域是容易发生的错误. 9. 若关于x 的不等式220x ax +-<在区间[]1,5上有解，则实数a 的取值范围是（ ） A. 23,15⎛⎫-⎪⎝⎭B. 23,5⎛⎤-∞-⎥⎝⎦C. (),1-∞D. (],1-∞【答案】C 【解析】 【分析】用分离参数法转化为求函数的最值．【详解】因为关于x 的不等式220x ax +-<在区间[]1,5上有解，所以222x a x x x-<=-在[1,5]上有解，易知2=-y x x 在[1,5]上是减函数，所以[1,5]x ∈时，max2211x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭， 所以1a <． 故选：C10. 已知函数()2,02,0x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩，则()0,1k ∈时，关于x 的方程()f f x k =⎡⎤⎣⎦的根的个数是（ ） A. 6 B. 5C. 4D. 3【答案】B 【解析】 【分析】先画出函数的图像，然后换元，设()f x t =，则()f t k =，由于()0,1k ∈，所以由图像可得方程()f t k =有3个根123,,t t t ，其中123(1,0),(0,1),(1,2)t t t ∈-∈∈，再结合图像分别求解方程11(),(1,0)f x t t =∈-，22(),(0,1)f x t t =∈，33(),(1,2)f x t t =∈的根的个数即可得答案【详解】解：()f x 的图像如图所示，设()f x t =，则()f t k =，因为()0,1k ∈，所以方程()f t k =有3个根123,,t t t ，其中123(1,0),(0,1),(1,2)t t t ∈-∈∈， 所以由函数的图像可得方程11(),(1,0)f x t t =∈-有一个根，方程22(),(0,1)f x t t =∈有三个根，方程33(),(1,2)f x t t =∈有一个根，所以关于x 的方程()f f x k =⎡⎤⎣⎦的根的个数为5， 故选：B【点睛】此题考查函数与方程，利用了换元法和数形结合的方法，解题的关键是准确的画出函数的图像，将方程的根的个数转化为两函数图像的交点个数二、多项选择题：本题共3个小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求.全部选对得4分，部分选对得2分，错选得0分.11. 若幂函数()f x x α=的图象经过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则函数()f x 具有的性质是（ ）A. 在定义域内是减函数B. 图象过点()1,1C. 是奇函数D. 其定义域是R【答案】BC 【解析】 【分析】先由已知条件求出函数解析式，然后对选项依次分析判断即可 【详解】解：因为幂函数()f x x α=的图象经过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以122α=，解得1α=-， 所以()11x xf x -==，由反比例函数的性质可知，()1f x x=在(,0)-∞和(0,)+∞上递减，所以A 错误； 当1x =时，()11f =，所以函数图象过点()1,1，所以B 正确； 因为11()()f x f x x x-==-=--，所以()f x 为奇函数，所以C 正确； 函数定义域为(,0)(0,)-∞+∞，所以D 错误，故选：BC12. 如果0a b <<，那么下列不等式正确的是（ ） A.11a b< B. 22ac bc <C. 11a b b a+<+ D. 22a ab b >>【答案】CD 【解析】 【分析】根据0a b <<，得到0,0,0b a a b ab ->-<>，然后逐项作差判断即可. 【详解】0a b <<，0,0,0b a a b ab ∴->-<>，A ．110b aa b ab--=>，故错误； B ．()222ac bc c a b -=-，当0c时，220ac bc -=，故错误；C ．()11110a b a b a b a b b a ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故正确； D ．2()0a ab a a b -=->，2()0=->-b a b ab b ，故正确． 故选：CD ．【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题.13. 设函数()f x 的定义域为R ，满足()()12f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()()1f x x x =-.若对任意(],x m ∈-∞，都有()89f x ≥-，则实数m 的值可以是（ ）A. 94B. 73C. 52D.83【答案】AB 【解析】 【分析】因为(1)2()f x f x +=，可得()2(1)f x f x =-，分段求解析式，结合图象可得． 【详解】解：因为(1)2()f x f x +=，()2(1)f x f x ∴=-，函数图象如下所示：(0x ∈，1]时，1()(1)[4f x x x =-∈-，0]，(1x ∴∈，2]时，1(0x -∈，1]，1()2(1)2(1)(2)[2f x f x x x =-=--∈-，0]；(2x ∴∈，3]时，1(1x -∈，2]，()2(1)4(2)(3)[1f x f x x x =-=--∈-，0]，当(2x ∈，3]时，由84(2)(3)9x x --=-解得73x =或83x =， 若对任意(x ∈-∞，]m ，都有8()9f x -，则73m ．故选：AB ．【点睛】本题考查分段函数的性质的应用，解答的关键是根据函数的性质画出函数图象，数形结合即可得解；第Ⅱ卷（非选择题共98分）三、填空题：本题共4个小题，每小题4分，共16分.14. 已知集合{}1A x ax ==，{}1,2B =，若A B ⊆，则实数a 的取值集合是_______.【答案】10,,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】根据题意，分A =∅和A ≠∅两种情况讨论即可得答案.【详解】解：因为A B ⊆，所以当A =∅时，满足A B ⊆，此时0a =； 当A ≠∅时，1a A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，由A B ⊆得11a=或12a =，故12a =或1a =.故实数a 的取值集合是10,,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故答案为：10,,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【点睛】易错点点睛：本题考查集合与集合的关系求参数问题，解题过程中，容易忽略讨论A =∅情况，故在解题时，先判断A 是否为空集，分类讨论解决，是基础题.15. 若函数()221f x x mx =+-在区间[)1,+∞上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是_______. 【答案】4m ≥- 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴方程，然后由题意可得14m-≤，解不等式可求出m 的取值范围 【详解】解：函数()221f x x mx =+-的对称轴方程为4m x =-，因为函数()221f x x mx =+-在区间[)1,+∞上是单调递增函数，所以14m-≤，解得4m ≥-， 故答案为：4m ≥-16. 若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式中恒成立的是_______.①112ab >；②228a b +≥；2ab ≥；④111a b+≥. 【答案】②④ 【解析】 【分析】利用基本不等式和题设得到答案即可． 【详解】解：0a >，0b >，且4a b +=，42a b ab ∴+=，即4ab ，当且仅当2a b ==时取等号，∴114ab，故选项①错误； 222()82a b a b++=，当且仅当2a b ==时取等号，∴选项②正确； 42a b ab +=，即2ab ，∴选项③错误；1111111()()(2)(221)1444b a a b a b a b a b +=++=+++=，当且仅当2a b ==时取等号，∴选项④正确， 故答案为：②④．【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 17. 设函数()1x f x x -=，当a ＜b ，且f （a ）=f （b ）时，则11a b+=______． 【答案】2 【解析】 【分析】由f （a ）=f （b ）等号两边平方，移项后利用平方差公式，即可得到11a b+=2． 【详解】解：依题意，f （x ）=|1-1x|， 由f （a ）=f （b ）得|1-1a |=|1-1b|， 所以21(1)a -=21(1)b -，即[（1-1a ）+（1-1b ）][（1-1a ）-（1-1b）]=0，所以（2-1a -1b ）（1b -1a）=0，因为a ＜b ， 所以11b a-≠0， 所以2-1a -1b =0，即11a b+=2． 故答案为2．【点睛】本题主要考查因式分解，绝对值的处理，平方差公式的应用．属于中档题．四、解答题：本大题共6个大题，满分82分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.18. 已知集合{}3A x x a =<+，501x B x x ⎧⎫-=>⎨⎬+⎩⎭.（1）若2a =-，求()RAB ；（2）若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}11x x -<≤；（2）(],4-∞-.【解析】【分析】（1）先求出集合A ，B 和B R ，再利用交集运算即得结果；（2）先根据充分不必要条件得到集合A ，B 的包含关系，再列关系计算即可.【详解】（1）∵{|1B x x =<-或}5x >，∴{}15R B x x =-≤≤， 当2a =-时，{}1A x x =<，因此，{}11R A B x x =-≤<；（2）∵x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，∴A B ⊆，且A B ≠，又{}3A x x a =<+，{|1B x x =<-或}5x >.∴31a +≤-，解得4a ≤-.因此，实数a 的取值范围是(],4-∞-.19. 已知函数()22f x x x =-，x ∈R .（Ⅰ）在给定的直角坐标系内作出函数()f x 的图象（不用列表）；（Ⅱ）由图象写出函数()f x 的单调区间，并指出单调性（不要求证明）；（Ⅲ）若关于x 的方程()f x t =有3个不相等的实数根，求实数t 的值（只需要写出结果）.【答案】（Ⅰ）图象见解析；（Ⅱ）(],1-∞-减函数：()1,0-增函数；()0,1减函数；[)1,+∞增函数；（Ⅲ）0t =.【解析】【分析】（Ⅰ）0x ≥时，2()2f x x x =-，作出二次函数的图象，再把它关于y 轴对称，即可得()f x 的图象，（Ⅱ）根据单调性与图象的关系写出单调区间；（Ⅲ）由直线y t =与函数()f x 的图象有三个交点可得．【详解】（Ⅰ）如图所示：（Ⅱ）(],1-∞-减函数：()1,0-增函数；()0,1减函数；[)1,+∞增函数.（Ⅲ）0t =.20. 已知关于x 的不等式2260kx x k -+<.（1）若不等式的解集为()2,3，求实数k 的值；（2）若0k >，且不等式对()1,3x ∀∈都成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）25k =；（2）20,7⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【解析】【分析】（1）由于不等式2260kx x k -+<的解集为()2,3，所以2和3是方程2260kx x k -+=的两根且0k >，再利用根与系数的关系可求出实数k 的值；（2）令()226f x kx x k =-+，则原问题等价于()()1030f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，解不等式组可求得结果 【详解】（1）∵不等式2260kx x k -+<的解集为()2,3，∴2和3是方程2260kx x k -+=的两根且0k >， 由根与系数的关系得：223k +=，解得：25k =. （2）令()226f x kx x k =-+，则原问题等价于()()1030f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩， 即44609660k k k k -+≤⎧⎨-+≤⎩，解得：27k ≤.又0k >，∴实数k 的取值范围是20,7⎛⎤ ⎥⎝⎦. 21. 设函数()f x 是定义在()4,4-上的奇函数，已知()21f =，且当40x -<≤时，()4mx n f x x +=+. （Ⅰ）求()0,4x ∈时，函数()f x 的解析式；（Ⅱ）判断函数()f x 在()0,4上的单调性，并用定义证明.【答案】（Ⅰ）()4x f x x=-；（Ⅱ）增函数，证明见解析. 【解析】【分析】 （Ⅰ）由(2)1f =和(0)0f =解得,m n ，然后再由奇函数的定义求得(0,4)∈时的解析式；（Ⅱ）可把函数式变形为基本初等函数的运算结果，从而得出增减性，然后用单调性的定义证明．【详解】（Ⅰ）由题可知，2(2)12(0)04m n f n f -+⎧-==-⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，解得10m n =⎧⎨=⎩； ∴当()4,0x ∈-时，()4x f x x =+. 当()0,4x ∈时，()4,0x -∈-，()()44x x f x f x x x -=--=-=-+-+. ∴()0,4x ∈，()4x f x x=-. （Ⅱ）∵444()1444x x f x x x x -+==-=-----， ∴函数()f x 在()0,4上为增函数.证明：设1x ，2x 是()0,4上任意实数，且12x x <.则()()1212441144f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=----- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭()()1212124444444x x x x x x -=-+=⋅----. ∵104x <<，204x <<且12x x <，∴140x -<，240x -<，120x x -<.∴()()120f x f x -<，即：()()12f x f x <.∴函数()f x 在()0,4上为增函数.【点睛】函数的单调性与奇偶性是函数的的两个重要性质，它反应了函数的对称性，变化趋势，在研究函数问题时常常需要研究函数的这两个性质，掌握奇偶性与单调性的定义是解题关键．解决这两个性质常常用它们的定义证明求解．22. 新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品.此药品的年固定成本为250万元，每生产x 千件需另投入成本为()C x .当年产量不足80千件时，()21103C x x x =+（万元）.当年产量不小于80千件时，()10000511450C x x x=+-（万元）.每件商品售价为0.05万元，在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完.（Ⅰ）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（Ⅱ）该公司决定将此药品所获利润的1%用来捐赠防疫物资.当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？此时可捐赠多少万元的物资款？ 【答案】（Ⅰ）2140250,0803()100001200,80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（Ⅱ）当年产量为100千件时，该厂在这一药品生产中所获利润最大，可捐赠10万元物资款.【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意得x 千件药品销售额为0.051000x ⨯万元，进而得2140250,0803()100001200,80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩； （Ⅱ）当080x <<时，由二次函数性质得当60x =时，()L x 取得最大值()60950L =万元，当80x ≥时，由基本不等式得当100x =时，()L x 取得最大值1000万元，进而得年产量为100千件时，该厂在这一药品生产中所获利润最大，可捐赠10万元物资款.【详解】（Ⅰ）因为每件药品售价为0.05万元，则x 千件药品销售额为0.051000x ⨯万元，依题意得：当080x <<时，21()(0.051000)102503L x x x x ⎛⎫=⨯-+- ⎪⎝⎭21402503x x =-+-. 当80x ≥时，10000()(0.051000)511450250L x x x x ⎛⎫=⨯-+-- ⎪⎝⎭100001200x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.所以2140250,0803()100001200,80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. （Ⅱ）当080x <<时，21()(60)9503L x x =--+.此时，当60x =时，()L x 取得最大值()60950L =万元.当80x ≥时，10000()12001200L x x x ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭12002001000=-=. 此时10000x x=，即100x =时，()L x 取得最大值1000万元. 由于9501000<，所以当年产量为100千件时，该厂在这一药品生产中所获利润最大，此时可捐赠10万元物资款.【点睛】关键点点睛：本题考查数学应用题，解决问题的关键是根据题意，建立数学模型，将实际问题数学化，再根据数学二次函数最值与基本不等式的知识求解得答案，最后回归实际应用问题，作答，考查知识迁移应用能力，数学建模能力，是中档题.23. 如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数()f x =的定义域为{2|10x ax bx a +++≥且}0x ≥. （Ⅰ）若2a =-，3b =，求()f x 的定义域；（Ⅱ）当1a =时，若()f x 为“同域函数”，求实数b 的值；（Ⅲ）若存在实数0a <且1a ≠-，使得()f x 为“同域函数”，求实数b 的取值范围.【答案】（Ⅰ）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）-；（Ⅲ）()1,0-.【解析】【分析】 （Ⅰ）当2a =-，3b =时，解出不等式组223100x x x ⎧-+-≥⎨≥⎩即可；（Ⅱ）当1a =时，()0)f x x =≥，分0b ≥、0b <两种情况讨论即可；（Ⅲ）分10a -<<、10a -<<且0b ≤、10a -<<且0b >三种情况讨论即可.【详解】（Ⅰ）当2a =-，3b =时，由题意知：223100x x x ⎧-+-≥⎨≥⎩，解得：112x ≤≤. ∴()f x 的定义域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）当1a =时，()0)f x x =≥， （1）当02b -≤，即0b ≥时，()f x定义域为[)0,+∞，值域为)+∞， ∴0b ≥时，()f x 不是“同域函数”.（2）当02b ->，即0b <时，当且仅当280b ∆=-=时，()f x 为“同域函数”. ∴b =-.综上所述，b 的值为-（Ⅲ）设()f x 的定义域为A ，值域为B .（1）当1a <-时，10a +<，此时，0A ∉，0B ∈，从而A B ≠，∴()f x 不是“同域函数”.（2）当10a -<<，即10a +>，设0x =()f x 的定义域[]00,A x =. ①当02b a -≤，即0b ≤时，()f x 的值域B ⎡=⎣. 若()f x 为“同域函数”，则0x = 从而，3b =-， 又∵10a -<<，∴b 的取值范围为()1,0-. ②当02b a ->，即0b >时，()f x 的值域B ⎡=⎢⎢⎣. 若()f x 为“同域函数”，则0x = 从而，1)b = ()*10-<，0b >可知()*不成立.综上所述，b 的取值范围为()1,0-【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解清楚题意，能够分情况求出()f x 的定义域和值域.。