高中数学必修五全套教
案95800
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
[探索研究]
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三
角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c
C c
==,
则sin sin sin a b c c A B C
=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c
A B C
==
C a B (图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意
角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b
A B
=
， C 同理可得sin sin c b
C B
=
， b a 从而sin sin a b
A B =
sin c C
= A c B (图1．1-3)
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
sin sin a b
A B =
sin c C
= [理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =；
（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =，sin sin c b
C B
=
，sin a A =sin c C 从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A
a B
=；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如
sin sin a
A B b
=。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
[例题分析]
例1．在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形。 解：根据三角形内角和定理，
0180()=-+C A B
000180(32.081.8)=-+
066.2=； 根据正弦定理，
00
sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，
00
sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。
解：根据正弦定理，
sin 28sin40sin 0.8999.20
==≈b A B a
因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B ⑴ 当064≈B 时，
00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，
00
sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A ⑵ 当0116≈B 时，
00000180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，
00
sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A [补充练习]已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c
（答案：1：2：3）
（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A
如图1．1-5，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c
()()
2
22
2 2c c c a b a b
a a
b b a b
a b a b
=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C a B
从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5) 同理可证 2222cos a b c bc A =+-
2222cos b a c ac B =+-
于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 2222cos a b c bc A =+-
2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-
思考：这个式子中有几个量从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
222
cos 2+-=
b c a A bc 222
cos 2+-=
a c
b B a
c 222
cos 2+-=
b a
c C ba
[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若∆ABC 中，C=090，则cos 0=C ，这时222=+c a b 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 [例题分析]
例1．在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A ⑴解：∵2222cos =+-b a c ac B
=222+-⋅cos 045
=2121)+- =8
∴=b
