函数的概念与正比例函数
知识精要
1. 常量和变量
在某个变化过程中,可以取不同值的量叫变量,始终保持数值不变的量叫常量.变量和常量是相对的两个量.
2. 函数
在某个变化过程中有两个变量设为x 和y,对于变量x 的允许取值范围内的每一个值,变量y 都有唯一确定的值与它对应,那么我们就说y 和x 存在依赖关系,此时变量y 叫做变量x 的函数,x 叫做自变量.
3. 函数解析式
表达两个变量之间函数关系的数学式子叫做函数解析式.
4. 函数的定义域
函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域.
5.正比例函数
形如(0)y kx k =≠
热身练习
1.下列各式中不是函数关系的是( )
(A) y = (B) y = (C) y = (D) y =2.圆的周长公式2C r π=中,下列说法中正确的是( )
(A) r π、 是变量,2为常量 (B) C r 、 是变量,2π、为常量
(C) r 是变量, 2C π、、为常量 (D) C 是变量, 2r π、、为常量
3.底边长为10的三角形的面积y 与高x 之间的函数关系式是 其中 是自变量, 是函数;
4.某种弹簧原长20厘米,每挂重一千克,伸长0.2厘米,挂上重物后的长度y(厘米)与所挂上的重物x(千克)之间的函数关系式是
其中 是自变量, 是函数;
5.已知定活两便储蓄的月利率是0.0675﹪,国家规定,取款时,利息部分要缴纳20﹪的利息税,如果某人存入2万元,取款时实际领到的金额y(元)与存入月数x 的 函数关系式是 ,其中 是自变量, 是函数;
6.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,其速度每秒增加2/m s ,到达坡底时小球的速度达到40/m s ,
(1)求小球的速度v(/m s )与时间t(s)之间的函数关系式,并求t 的取值范围;
(2)求3.5s 时小球的速度;
(3)求n 秒时小球的速度为16/m s
7.求函数的定义域 (1)
y =
(2) 21y x =
-
(3) ()01y x =+
(4)
y =
精解名题
1.若()()2
1m f x m x =+是正比例函数
(1)求m 的值及函数解析式;
(2)求()()()1,3,0f f f -的值;
(3)若()f a =求a 的值
2.已知()226y k x k k =-++-为正比例函数
(1)求k 的值及函数解析式;
(2)当x 取什么值时,函数值为
4
3.观察右图,依此规律,第6个途中小圆点的个数是 ,第n 个图中小圆点的个数是
5. 若y+m 与x+n 成正比例,m,n 是常数,当x=1时y=2, 当x=-1时y=1,试求y 关于x 的函数关系式。
巩固练习
1. 用长20m 的篱笆未成矩形,使矩形一边靠墙,另三边用篱笆围成,
(1)矩形面积S(㎡)与平行于墙的一边长x(m)的关系式为 其中 是自变量, 是函数;
(2)矩形面积S(㎡)与垂直于墙的一边长x(m)的关系式为 其中 是自变量, 是函数.
2.如图所示,圆锥的底面半径是2厘米,当圆锥的高由小到大变化时,圆锥
的体积也随之变化,
(1)在这个变化过程中,自变量是 ,函数是
(2)如果圆锥的高为h(厘米),那么圆锥的体积V(3厘米)与h 得关系式是
(3)当高由1厘米变化到10厘米时,圆锥的体积由 3厘米变化到 3厘米
3.若函数2221
x x y x --=-,则与函数值y=0对应的x 的值是( ) (A) 12x x =-=或 (B) 12x x ==或
(C) 1x =- (D) 2x =
(1) (2) (3)
… …
4.洗衣机在洗衣的过程中经历了进水、清洗、排水等过程,下列能反映洗衣机工作时的水量y(升)与时间x(分)之间的关系的图像大致是( )
5.下列函数关系中,分别注明了自变量的取值范围,其中正确的是(
)
(A) )33y x x =≥≤或
(B)
)y x =为全体实数
(C) 多边形对角线条数()
()32n n y n -=为正整数
(D) 21
1x y x -=+（x 为一切实数）
(A)
(B)
(C) (D)
自我测试
1.若函数212612,32y x x y x =-++=-,则函数12
y y y =中,自变量的取值范围( ) (A) 32x ≠ (B) 43x ≠- (C) 3423
x x ≠≠-且 (D) x 为全体实数 2.已知函数212
x y x -=+中,当x a =时的函数值为1,则a 的值为 ( ) (A) 3 (B) -1 (C) -3 (D) 1
3.如图所示堆放钢管,
(2)当堆到x 层时,钢管总数如何表示?
4.如果()
f x =
,求()1f -和
32f ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的值.
5.已知函数y =
,求
(1)当x =1,1-,5-时的函数值;
(2)当x 为什么值时,函数y
6.已知()f x =
(1)求函数的定义域。 (2)求()()()30,2,,102f f f f ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
的值。
(3)若()1f a =,求a 的值。
7.求函数解析式
（1）已知水池的容量为100m³，每小时灌水量为P m³，灌满水池所需时间为t 小时，求t 关于P 的函数解析式。当每小时灌水量为5 m³时，灌满水池需多少时间？
（2）汽车油箱内原有油60升，每小时耗油3升，求工作时，其剩油量Q （升）与时间t （小时）的函数关系式。
（3）甲同学用20元钱买地图册，其单价为3.5元，求买地图册余下的钱y 与地图册数量x 之间的函数关系式。
（4）已知等腰三角形周长为24，
①若腰长为x ，底边长为y ，求y 关于x 的函数关系式及定义域；
②若底边长为x ，腰长为y ，求y 关于x 的函数关系式及定义域；
8.若()()2
1m f x m x =+是正比例函数，
（1）求m 的值及函数解析式；
（2）求()()()1,3,0f f f -的值；
