……………………………… 密 ……………………………… 封 ………………………………… 线 ………………………………安 徽 工 业 大 学 工 商 学 院 试 题 纸（一）2007 ~ 2008学年第二学期期末考试《 高等数学A2》试卷(A 卷)一、选择题(共4分×6)(将结果填入下表中: ) 1、函数),(y x f z =在),(y x 点有偏导数是它在该点连续的( ).(A)充分而非必要条件； （B ）必要而非充分条件；(C)充分必要条件； （D ）既非充分又非必要条件.2、设),2ln(),(xy x y x f += 则=)0,1(y f ( ）.(A) 21-； (B)21； (C) 0； (D) 1.3、函数3121x cx y -=(c 为任意常数)是微分方程222x dxy d -=的（ ).(A)解,但既非通解又非特解； (B)通解;(C)特解; (D)不是解.4、函数y x xy y x z 84222-+++-=的驻点是（ ）. （A ）(-1,3); （B ）(3,-1); （C ）(3, 1); （D ）(-1,-3).5、二阶线性非齐次方程xe x y y y )1(2-=+'-''的特解形式是（ ）.(A)x e b ax )(+; （B ）xe bx ax )(2+; (C)xe bx ax )(23+; （D ）xe bx ax )(3+.6、设级数∑∞=1)1(!3n nn nn 与级数∑∞=1)2(!2n nnnn , 则成立（ ）.(A)级数(1)、(2)均收敛; (B)级数(1)、(2)均发散.; (C)级数(1)收敛, 级数(2)发散; (D)级数(1)发散, 级数(2)收敛二、填空题(共4分×6)1、设),(v u f 有连续偏导数,且),(yxe ef z =, 则=dz __________________.2、级数∑∞=+1623n nnn 的和是__________.3、)(x f 在某区域内有连续导数, 若积分⎰+Ly dy x f xdx e ])([2与路径无关, 则.____________________)(=x f4、设一个二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程有两个特征根,为-2和3,则此微分方程是________________________, 其通解为___________________________.5、设Ω是由光滑闭曲面∑围成的空间区域,其体积是V , 则沿∑内侧的曲面积分⎰⎰∑=-+-+-.______________)2()3()(dxdy y z dzdx x y dydz z x6、设平面上力j xy i y F 32+-=, 在力F 的作用下, 质点沿曲线L 运动, 则力F 所做的功用曲线积分表示为__________________________.三、解答题(共47分) 1、[5分]求曲面1232=+z xy 在点(1,-2,2)处的切平面与法线方程.2、[5分]计算积分: ⎰⎰ππydx xx dy sin 0.3、[5分]求微分方程满足初始条件的特解: ⎪⎩⎪⎨⎧==+1)0(y ey dx dy x .高数试卷A2(A 卷)（第1页）……………………………… 密……………………………… 封 ………………………………… 线 ………………………………安 徽 工 业 大 学 工 商 学 院 试 题 纸（二）4、[5分]用重积分算出半球体0,2222≥≤++z a z y x 的体积V .(用其它方法不给分)5、[5分]),(v u f 可微, 且32),(x x x f =, 422),(x x x x f u -=,求 ),(2x x f v .6、 [5分]设L 是圆周x y x 222=+的正向曲线,计算第二类曲线积分dy y xydx y x x I L⎰-+-=)()(3223. (注:163cossin204204πππ⎰⎰==xdx xdx )7、[6分]求幂级数∑∞=-1)3(n nnx 的收敛域(含端点讨论).8、[6分]求幂级数∑∞=-11n n nx 在(-1,1)上的和函数.9、[5分]设222),,(z y x z y x f ++= ，求函数在点M （1，1，0）沿方向)1,2,1(=l的方向导数lf ∂∂.四、[5分]计算二重积分：,)1ln(2dxdy y y x I D⎰⎰++=其中D 由x y 3-=，24x y -=，x = 1 所围成的闭区域.五、附加题 [6分]设微分分方程0)4(32='++''y ey y(1)若把x 看成未知函数，y 看成自变量，则方程化成什么形式； (2)求此方程的通解.高数试卷A2(A 卷)（第2页）。
高数A2试题参考答案一、填空题：1. 2222xdx ydy x y ++ ；2. 110(,)dy f x y dx ⎰；； 4. (3,3)- 5. 22x Ce -+二、选择题：1).D 2).A 3) C . 4).C 5).B 三、计算题：（共21分）1、略解：123uyf f f x∂'''=++∂ 221112132232332222uy f yf yf f f f x∂''''''''''''=+++++∂ 2、略解：D⎰⎰ 220sin d d πππθρρρ=⎰⎰=26π-3、略解：补上曲面1∑：0,z =(,)x y ∈22:x y R +≤xy D ，取上则 有高斯公式得333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰ =11333333x dydz y dzdx z dxdy x dydz y dzdx z dxdy ∑+∑∑++-++⎰⎰⎰⎰=-32222222()03sin Rx y z dv d d d ππθϕρρϕρΩ++-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 565R π=-4、略解：补上OA:0,y x =从0到4。
设L 与OA 所围成的区域为D ， 则2222(2)(2)(2)(2)LL OAy xy dx x x y dy y xy dx x x y dy +++++=++++⎰⎰-22(2)(2)OAy xy dx xx y dy ++++⎰=4[22(21)]0Dx x dxdy dx +-+-⎰⎰⎰2Ddxdy π==⎰⎰5、略解：方程20y y y '''--=的特征方程为2r -r-2=0，其根为121,2r r =-=， 故微分方程20y y y '''--=的通解为212x x y C e C e -=+1λ=不是特征方程的根，故设x y ae *=，代入原方程可得1a =- 22x y y y e '''--=的一个特解为x y e =-6、略解：从点A （1，1）到点B （2，2）的方向的方向余弦为cos 22sin αα==在点A （1，1）处4,2,z zx y∂∂==∂∂cos sin z z zl x xαα∂∂∂=+=∂∂∂ (1,1)|42grandz i j =+7、略解：(1)lim1(1)n n n n n ρ→∞-==+ ，∴级数的收敛半径11R ρ==。
第一篇高等数学第一章函数、极限与连续强化训练（一）一、选择题1.2.提示：参照“例1.1.5”求解。
3.4.解因选项(D)中的 不能保证任意小，故选(D)5.6.7.8.9.10.二、填空题11.提示：由2cos 12sin 2xx =-可得。
12.13.提示：由1 未定式结果可得。
14.提示：分子有理化，再同除以n即可。
15.提示：分子、分母利用等价无穷小代换处理即可。
16.17.提示：先指数对数化，再利用洛必达法则。
18.19.解因()2000122(1cos )22cos 2lim lim lim lim lim 1x x x x x x x xx f x x xxx -----→→→→→⋅---=====- ()0lim lim xx x f x ae a --→→==， 而()0f a =，故由()f x 在 0x =处连续可知，1a =-。
20.提示：先求极限（1∞型）得到()f x 的表达式，再求函数的连续区间。
三、 解答题 21.(1)(2)提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式处理12sin ,sin x x。
(3)(4)(5)提示：先指数对数化，再用洛必达法则。
(6)提示：请参照“例1.2.14（3）”求解。
22.23.解 由题设极限等式条件得21()ln(cos )201()lim ,limln(cos )1f x x xxx x f x e e x x x+→→=+=， 即 2201()1()limln(cos )lim ln(1cos 1)1x x f x f x x x x x x x→→+=+-+=， 利用等价无穷小代换，得201()lim(cos 1)1x f x x x x →-+=，即230cos 1()lim()1x x f x x x→-+=， 故 30()3lim 2x f x x →=。
24.提示：先指数对数化，再由导数定义可得。
25.26.28.提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式求解。
爱德思高数选课
爱德思A-level数学分为AS和A2两个等级，每个等级又包含基础数学和进阶数学。
其中AS阶段基础数学必考单元为P1和P2，进阶数学必考单元为F1，从M1、S1、D1中任选一个单元进行学习；A2阶段基础数学必考单元为P1、P2、P3、P4，进阶数学有两种组合模式，第一种为F1+F2/F3（二选一）+（M1、M2、M3、S1、S2、S3、D1）（7选4，基础数学已选的单元不能重复选择），第二种为F1+F2+F3+（M1、M2、M3、S1、S2、S3、D1）（7选3，基础数学已选的单元不能重复选择），考够6个单元即可。
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