(1)相似三角形的对应角相等.
(2)相似三角形的对应边成比例.
(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
(4)相似三角形的周长比等于相似比.
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.
判定方法
证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。
方法一（预备定理）
平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明）
方法二
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似。(AA')
方法三
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等, 那么这两个三角形相似 （SAS）
方法四
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似(SSS)
方法五（定义）
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
【知识梳理】
1． 相似三角形对应角相等，对应边成比例
2． 相似三角形性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；
相似三角形性质定理2：相似三角形的周长比等于相似比；
相似三角形性质定理3：相似三角形面积比等于相似比的平方.
【典型例题】
题型一：性质定理一
【例1】相似三角形对应角平分线, 和 的比都等于相似比.
【例2】 相似三角形对应高的比为5∶2,那么它们的对应中线的比为 .
【例3】△ABC中，边12BC,高6AD,边长为x的正方形PQMN的一边在BC上，其余两个顶点分别在,ABAC上，则边长x为（ ）
A.3; B.4; C.5; D.6.
【借题发挥】
1．在△ABC和△DEF中，13DFACEFBCDEAB，AB边上的高为24， DE边上的高为 .
2． 如图，在△ABC中，BC=120cm，BC边上的高AH=80cm．四边形DEFG是△ABC的内接矩形，且DE：DG=2：3，求矩形DEFG的周长．
题型二：性质定理二
【例4】如图,已知梯形ABCD的上底CD=3厘米,下底AB=7厘米,分别延长AD和BC交于点P，△PDC的周长为9厘米，求△PAB的周长.
APNMCDQBE【例5】（变式）如图,已知梯形ABCD的上底CD=3厘米,下底AB=7厘米,分别延长AD和BC交于点P，△PDC的周长为9厘米，求梯形DCBA的周长.
【借题发挥】
1．如图，点A1、A2，B1、B2，C1、C2分别是△ABC的边BC、CA、AB的三等分点，且ABC的周长为l，则六边形A1A2B1B2C1C2的周长为…………………………（ ）
（A）31l （B）3l （C）2l （D）23l
相似三角形的判定定理3
知识点1：相似三角形的判定定理3
1．在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝54°，∠B＝46°，∠A1＝54°，∠C1＝80°，则这两个三角形_______(填“相似”或“不相似”)，根据是_______________________________．
2．如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，DE⊥AB，△ACB∽__________．
3．如图，∠C＝∠E＝90°，AC＝3，BA＝5，AE＝2，则DE＝____．
4．已知△ABC中，∠A＝40°，∠C＝75°，则下列各三角形中与△ABC相似的是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
5．如图，在△ABC中，∠ADE＝∠B，则下列等式成立的是( )
A.ADAB＝AEACB.AEBE＝ADCDC.ADAC＝AEABD.DEBC＝ADAC
知识点2：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似
6．已知两个直角三角形的斜边和一条直角边分别为1、4和3、12，则这两个直角三角形________．(填“相似”或“不相似”)
7．已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，则不能使两个直角三角形相似的条件为( )
A．∠A＝∠A′ B.ACA′C′＝BCB′C′
C.ACAB＝A′C′A′B′D.ACAB＝B′C′A′C′
8．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是( )
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC
C.APAB＝ABACD.ABBP＝ACCB
9．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且∠BEF＝90°，则三角形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ中，一定相似的是( )
A．Ⅰ和Ⅲ B．Ⅲ和ⅣC．Ⅰ和Ⅳ D．Ⅱ和Ⅳ
10．下列图形中，不一定相似的是( )
A．两个等边三角形B．两个等腰直角三角形
儒洋教育学科教师辅导讲义
课 题 相似三角形的判定和性质
授课时间： 备课时间：
教学目标 1、熟练掌握相似三角形判定定理及性质，并灵活运用；
2、能根据相似三角形的面积比（或相似比），算出相似比（或面积比）；
3、综合应用相似三角形与其他知识的结合。
重点、难点 判定和性质的实际应用
考点及考试要求
教学内容
一．知识梳理 【相似三角形的判定】
要点1：相似三角形的判定定理（相似三角形与全等三角形判定方法的联系）
全等的判定
SAS SSS AAS(ASA) 直角三角形HL
相似的判定 两边成比例夹角相等 三边对应成比例 两角相等 一直角边与斜边对应成比例
要点2：常见的相似三角形的解题思路：
（1）、深刻理解并掌握“平行截比例”、“平行截相似”、“比例出平行”等平行与相似的关系；
（2）、增强识图能力，能够从已知图形中找出全部相似三角形，从中列出所需比例式；
（3）、确定“中间比”，“中间积”，方法是找到两组有联系的比例式或两对相似三角形；
（4）、准确完成等积式与比例式的互化，并可以依据图形变化比例式；
（5）、没有平行怎么办？运用相似三角形的判定定理，或添加平行线；
（6）、一对相似三角形可写出一个连比例，应择需而用或同时运用；
（7）、添辅助线要能够达到“一线两相似”，“一线两比例”并能与其它知识兼顾，这是辅助线特征“一举两得”在相似形中的体现；
（8）、熟悉下图中形如“A”型，“X”型，“子母型”等相似三角形
DCBEA例题讲解：
例1：基础训练
1. 如图,BD、CE是△ABC的两条高，BD、CE相交于O，则下列结论不正确的是（ ）
（A）△ADE∽△ABC （B）△DOE∽△COB
（C）△BOE∽△COD （D）△BOE∽△BDE
2. 如图，O是△ABC的重心,29cmSABC,则BCOS= .
