导数求零点的方法

导函数零点问题

一．方法综述

导数是研究函数性质的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究fx的单调性，往往需要解方程0fx＝.若该方程不易求解时，如何继续解题呢？在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题.

二．解题策略

类型一 察“言”观“色”，“猜”出零点

【例1】【2020·福建南平期末】已知函数21exfxxax.

（1）讨论fx的单调性；

（2）若函数21e1xgxxmx在1,有两个零点，求m的取值范围.

【分析】（1）首先求出函数的导函数因式分解为11exfxaxx，再对参数a分类讨论可得；

（2）依题意可得21exgxmx，当0m函数在定义域上单调递增，不满足条件；

当0m时，由（1）得gx在1,为增函数，因为01gm，00g.再对1m，1m，01m三种情况讨论可得.

【解析】（1）因为21xfxxaxe，所以221exfxxaxa，

即11exfxaxx.

由0fx，得11xa，21x.

①当0a时，21e0xfxx，当且仅当1x时，等号成立.

故fx在,为增函数.

②当0a时，11a，

由0fx′得1xa或1x，由0fx′得11ax；

所以fx在,1a，1,为增函数，在1,1a为减函数. ③当0a时，11a，

由0fx′得1xa或1x，由0fx′得11xa；

求导数的一般方法

一、高中数学导数的定义，公式及应用总结

导数的定义:

当自变量的增量Δx＝x－x0，Δx→0时函数增量Δy＝f（x）－ f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数（或变化率).

函数y＝f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在P0［x0，f（x0）］ 点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性（单调性)的法则：设y＝f(x )在（a，b）内可导。如果在（a，b）内，f'（x）>0,则f（x）在这个区间是单调增加的（该点切线斜率增大，函数曲线变得“陡峭”，呈上升状）。如果在（a，b）内，f'（x）<0,则f（x）在这个区间是单调减小的。所以，当f'（x）=0时，y＝f(x )有极大值或极小值，极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小值

求导数的步骤:

求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：

① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0) ② 求平均变化率 ③ 取极限，得导数。

导数公式：

① C'=0(C为常数函数)； ② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*)；熟记1/X的导数

③ (sinx)' = cosx； (cosx)' = - sinx；

(tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 -(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2

(secx)'=tanx·secx (cscx)'=-cotx·cscx (arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2

(arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=-1/(1+x^2)

求导数的方法

（1）求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：

① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)

② 求平均变化率

③ 取极限，得导数。

（2）几种常见函数的导数公式：

① C'=0(C为常数)；

② (x^n)'=nx^(n-1) (n∈Q)；

③ (sinx)'=cosx；

④ (cosx)'=-sinx；

⑤ (e^x)'=e^x；

⑥ (a^x)'=a^xIna （ln为自然对数）

⑦ (Inx)'=1/x（ln为自然对数）

（3）导数的四则运算法则：

①(u±v)'=u'±v'

②(uv)'=u'v+uv'

③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2

（4）复合函数的导数

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。

导数是微积分的一个重要的支柱！

导数公式及证明

[编辑本段]

这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程:

1.y=c(c为常数) y'=0

2.y=x^n y'=nx^(n-1)

3.y=a^x y'=a^xlna

y=e^x y'=e^x

4.f(x)=logaX f'(x)=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0)

y=lnx y'=1/x

5.y=sinx y'=cosx

6.y=cosx y'=-sinx

7.y=tanx y'=1/cos^2x

8.y=cotx y'=-1/sin^2x

9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2

10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2

11.y=arctanx y'=1/1+x^2

12.y=arccotx y'=-1/1+x^2

在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：

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从2019年高考理科导数压轴题看函数零点问题的解题方法

作者：邓军民

来源：《广东教育·高中》2019年第10期

2019年高考數学命题以全国教育大会精神为指引，认真贯彻“五育并举”教育方针，突出数学学科特色，着重考查考生的理性思维能力以及综合运用数学思维方法分析问题、解决问题的能力. 试题突出学科素养导向，全面覆盖基础知识，凸显综合性、应用性，以反映我国社会主义建设的成果和优秀传统文化的真实情境为载体，贴近生活，联系社会实际，在考试评价中落实立德树人根本任务. 今年全国？玉卷的导数压轴题也设置得很有特色，考查了函数零点问题，题目如下：

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