最大公约数和最小公倍数
知识对对碰
1. 基本知识
(1)约数与最大公约数
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数，所有的公约数中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。
自然数a，b的最大公约数记作(a，b)，例如(12，8)=4，(4，6，10) =2。
如果(a，b)=l，则a与b互质。如果a是b的倍数，则（a，b）=b。
自然数a能被自然数b整除，则称a是b的倍数，b是a的约数。
(2)倍数与最小公倍数
几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。公倍数中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。一般用符号[a，b]表示a，b的最小公倍数，例如：[4，10] =20。
(3)求解方法
①求最大公约数常用的方法：短除法，列举法，分解质因数法，辗转相除法。
②求最小公倍数常用的方法：短除法，分解质因数法，列举法，最大公约数法。
2.性质
(1)两个数的最大公约数的约数，都是这两个数的公约数。
如果（a，b）=d，c|d，那么c|a，c|b。
(2)两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商一定是互质的。
如果(a，b)=d，那么（a÷d，b÷d）=1。
(3)若一个数c能同时被两个自然数a，b整除，那么c一定能被这两个数的最小公倍数整除。或者说，一些数的公倍数一定是这些数的最小公倍数的倍数。
(4)两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
例1(★)已知两个数分别是4和B，已知4 =2×2×3×5．B=2×3×3×5，求A，B的最大公约数。
例2(★)一箱图书可以平均分给2，3，4，5，6名小朋友，这箱图书最少有多少本？ 例3(★)三个人绕环行跑道练习骑自行车，他们骑一圈的时间分别是半分钟，45秒钟和1分15秒钟，三人同时从起点出发，最少需要多长时间才能再次同时在起点相会？
最大公约数与最小公倍数
成都名校小升初精选
姓名： 一分耕耘一分收获 彭老师
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最大公约数与最小公倍数
★★知识要点再现
1．几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。
2．几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
3．求几个数的最大公约数和最小公倍数可以用短除法或分解质因数法。
4．两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
一分耕耘一分收获 彭老师
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★★例题解析
例1．甲、乙、丙三个班的同学去公园划船，甲班49人，乙班56人，丙班42人。把各班同学分别分成小组，分乘若干条小船，使每条船上人数相等，最少要多少条船？
同步演练1：有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米、300厘米。现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余。每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？
例2．兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次。兄弟三人同时在十月一日回家，下一次三人再见面是哪一天？
同步演练2：三个朋友每人隔不同的天数去图书馆一次，甲3天一次，乙4天一次，丙5天一次。上次三人是星期二在图书馆相逢的，至少要过多少天才能在图书馆重逢？重逢时是星期几？
例3．两个数的最大公约数是14，最小公倍数是84。已知其中一个一分耕耘一分收获 彭老师
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数是28，则另一个数是多少？
同步演练3：甲数是28，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公约数是4，求乙数。
例4．三个连续自然数的最小公倍数是360，求这三个数。
同步演练4：三个连续自然数的最小公倍数是1092，求这三个数。
例5．爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过几年分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？
1第9讲最大公约数与最小公倍数
重点摘要
公约数与最大公约数：几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大
的一个，称为这几个自然数的最大公约数。
一般地我们用（a,b）表示a,b这两个自然数的最大公约数，如（12，30）=6。
如果（a,b）=1,则a,b两个数是互质数。
公倍数与最大公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做
这几个数的最小公倍数。
一般地，我们用[a,b]表示自然数，a,b的最小公倍数，如[12，18]=36。
最大公约数与最小公倍数的求法：
（1）枚举法；（2）分解质因数法（3）短除法。（4）辗转相除法
当两个整数不容易看出公约数时（一般是数字比较大），我们可以合用辗转相除法。
最大公约数和最小公倍数的关系：
两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
a×b=（a,b）×[a,b]
练一练：
12的约数有________________________；
30的约数有________________________;
12和30的公约数有_________________，其中是12和30的最大公约数。
12的倍数有______________________________
18的倍数有______________________________
12和18的公倍数有：_______________
其中12和18的最小公倍数是___________。（18，12）=，[18，12]=，（18，12）×[18，12]=。精讲精练
例题1、用枚举法、分解质因数法和短除法求24、36的最大公约数与最小公倍数。
练习1、
口答：说说下面每组中的两个数有什么关系？很快说下面每组数的最大公约数和最小公倍数
7和218和1542和1417和1912和364和5
用枚举法、分解质因数法和短除法求下面每组数的最大公约数和最小公倍数。
45和1851和1728和9660和36
例题2、求24、36、90这三个数最大公约数和最小公倍数练习2、
1 最大公约数和最小公倍数的比较和应用
最大公约数与最小公倍数的应用比较
在整除的应用当中，最大公约数和最小公倍数的应用最为广泛，也是最重要的部分。一道应用题，到底是用最大公约数解题还是用最小公倍数解题，学生最容易混乱。不妨试用下面这种土方法判断下，问题就会迎刃而解了。
判断法则：如果题目已知总体，求部分，一般用最大公约数解题，先求出总体的最大公约数，再依题意解答；如果题目已知部分，求总体，一般用最小公倍数解题，先求出部分的最小公倍数，再依题意解答。
对比例子（一）
1．把一张长60厘米，宽40厘米的长方形纸板剪成边长是整数厘米数的小正方形，且无剩余，最少可以剪成多少块？
分析：正方形是在长方形里面剪，所以长方形是总体，正方形是部分。题目告诉你了长方形的长与宽，告诉了总体，求的是小正方形，求部分，所以用最大公约数解题。
具体分析：由于题中求剪后无剩余，所以小正方形的边长必须是60和40的公约数。又因为求最少剪多少块，就要求小正方形的边长最大，所以小正方形的边长一定是60和40的最大公约数。
（60，40）=20 -------这就是小正方形的边长。
（60÷20）×（40÷20）=6（块）
或用面积计算：（60×40）÷（20×20）=6（块）
2．用长5CM，宽3CM的长方形硬纸片摆成一个正方形（中间无空隙），至少要用几个长方形硬纸片？
分析：多个长方形摆成正方形，所以正方形是总体，长方形是部分。题目告诉你了长方形的长与宽，即告诉了部分，求正方形，即求总体，所以用最小公倍数解题。
具体分析：由于拼摆后正好一个正方形，所以正方形的边长必须是长方形的长与宽的公倍数，又因为要用最少的长方形来摆，所以正方形的边长一定是最小的公倍数。
〔5，3〕=15 CM------这就是正方形的边长
（15÷5）×（15÷3）=15（个）长方形
