2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷数学(浙江专用)试题(八)含解析

2020年普通高等学校招生全国统一考试

高考仿真模拟卷(八)

(时间：120分钟；满分：150分)

第Ⅰ卷(选择题，共40分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A＝{x|x2＋x－2＜0}，B＝{x|－x2＋x＜0}，则A∩(∁RB)＝( )

A．(－∞，0)∪[1，＋∞) B．(－∞，0]∪(1，＋∞)

C．[0，1) D．[0，1]

2．已知复数z的共轭复数z－＝1＋2i(i为虚数单位)，复数z满足(a＋bi)·z＝5(a，b∈R)，则a＋b的值为( )

A．－1 B．1

C．2 D．3

3．设函数f(x)＝1－x2，x≤1，x2＋x－2，x＞1，则f1f（2）的值为( )

A.1516 B．－2716

C.89 D．18

4．随机变量X的分布列如表所示，若E(X)＝13，则D(3X－2)＝( )

X －1 0 1

P 16 a b

A.9

B．7

C．5

D．3

5．正四面体ABCD，E为棱AD的中点，过点A作平面BCE的平行平面，该平面与平面ABC、平面ACD的交线分别为l1，l2，则l1，l2所成角的正弦值为( )

A.63 B．33

C.13 D．22

6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝1，a＝2c，则当C取最大值时，△ABC的面积为( )

A.33 B．36 C.233 D．3

7．若数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，则使ak·ak＋1＜0的k值为( )

A．22 B．21

C．24 D．23

8．已知向量a，b满足|a|＝1，且对任意实数x，y，|a－xb|的最小值为32，|b－ya|的最小值为3，则|a＋b|＝( )

A.7 B．5＋23

C.7或3 D．5＋23或5－23

9．已知变量a，b满足b＝－12a2＋3ln a(a＞0)，若点Q(m，n)在直线y＝2x＋12上，则(a－m)2＋(b－n)2的最小值为(

)

A.95 B．355

C．9 D．3

10．已知双曲线C：x2a2－4y2＝1(a＞0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E：y2＝2px的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线l1：4x－3y＋6＝0和l2：x＝－1的距离之和的最小值为( )

A．1 B．2

C．3 D．4

第Ⅱ卷(非选择题，共110分)

二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．

11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________，体积为________．

12．已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列{bn}的通项公式为bn＝________，数列1bnbn＋1的前n项和Sn＝________．

13．已知多项式(x＋b)5＝(x－1)5＋a1(x－1)4＋a2(x－1)3＋a3(x－1)2＋a4(x－1)－32，则b＝________，a2＝________．

14．若实数x，y满足x>y>0，且log2x＋log2y＝1，则2x＋1y的最小值是________，x－yx2＋y2的最大值为________．

15．已知圆C：x2＋(y＋1)2＝3，设EF为直线l：y＝2x＋4上的一条线段，若对于圆C上的任意一点Q，∠EQF≥π2，则|EF|的最小值是________．

16．设函数f(x)在R上存在导数f′(x)，对于任意的实数x，有f(x)＋f(－x)＝2x2，当x∈(－∞，0]时，f′(x)＋1＜2x.若f(2＋m)－f(－m)≤2m＋2，则实数m的取值范围是________．

17.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝1，AC＝CD＝DA＝2，动点M在边DC上(不同于D点)，P为边AB上任意一点，沿AM将△ADM翻折成△AD′M，当平面AD′M垂直于平面ABC时，线段PD′长度的最小值为________．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．(本题满分14分)设函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a(a∈R)．

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)当x∈0，π6时，f(x)的最大值为2，求a的值，并求出y＝f(x)(x∈R)的对称轴方程．

19.(本题满分15分)如图，三棱柱ABC­A1B1C1所有的棱长均为2，A1B＝6，A1B⊥AC.

(1)求证：A1C1⊥B1C；

(2)求直线AC和平面ABB1A1所成角的余弦值．

20．(本题满分15分)数列{an}的各项均为正数，且an＋1＝an＋2an－1(n∈N*)，{an}的前n项和是Sn.

(1)若{an}是递增数列，求a1的取值范围；

(2)若a1>2，且对任意n∈N*，都有Sn≥na1－13(n－1)，证明：Sn<2n＋1.

21.(本题满分15分)已知A，B，C是抛物线y2＝2px(p>0)上三个不同的点，且AB⊥AC.

(1)若A(1，2)，B(4，－4)，求点C的坐标；

(2)若抛物线上存在点D，使得线段AD总被直线BC平分，求点A的坐标．

22．(本题满分15分)已知函数f(x)＝ex－1x，g(x)＝ex.

(1)求曲线y＝f(x)在点(1，e－1)处的切线方程；

(2)若正实数m，n满足f(m)＝g(n)，求证：nm>12.

高考仿真模拟卷(八)

1．解析：选C.因为A＝(－2，1)，B＝(－∞，0)∪(1，＋∞)，所以∁RB＝[0，1]，A∩(∁RB)＝[0，1)，选C.

2．解析：选D.由题意可得z＝1－2i，故(a＋bi)·z＝(a＋bi)(1－2i)＝a＋2b＋(b－2a)i＝5，故a＋2b＝5，b＝2a，解得a＝1，b＝2，故a＋b＝3，选D.

3．解析：选A.因为f(2)＝4，所以f1f（2）＝f14＝1－142＝1516.

4．解析：选C.由题设知，E(X)＝－1×16＋0×a＋1×b＝13，所以b＝12，又由所给分布列得16＋a＋b＝1，所以a＝13.

随机变量3X－2的分布列为

3X－2 －5 －2 1

P 16 13 12

所以E(3X－2)＝－5×16＋(－2)×13＋1×12＝－1，

所以D(3X－2)＝(－5＋1)2×16＋(－2＋1)2×13＋(1＋1)2×12＝5.

故选C.

5．解析：选A.设所作的平面为α，则由α∥平面BCE，α∩平面ABC＝l1，平面BCE∩平面ABC＝BC，得l1∥BC，同理可得l2∥CE，所以l1，l2所成的角等于BC与CE所成的角，即∠BCE.设正四面体ABCD的棱长为2，则BC＝2，CE＝BE＝3，在△BCE中，由余弦定理，得cos∠BCE＝22＋（3）2－（3）22×2×3＝33，则sin∠BCE＝1－cos2∠BCE＝63，故选A.

6．解析：选B.当C取最大值时，cos C最小，

由cos C＝a2＋b2－c22ab＝3c2＋14c＝143c＋1c≥32，

当且仅当c＝33时取等号，且此时sin

C＝12，所以当C取最大值时，

△ABC的面积为12absin

C＝12×2c×1×12＝36.

7．解析：选D.因为3an＋1＝3an－2，所以an＋1－an＝－23，又a1＝15，所以数列{an}是首项为15，公差为－23的等差数列，所以an＝15－23·(n－1)＝－23n＋473，且{an}为递减数列，令an＝－23n＋473＞0，得n＜23.5，可知使ak·ak＋1＜0的k值为23. 8．解析：选C.不妨设向量a＝(1，0)，b＝(m，n)，则a－xb＝(1－xm，－xn)，b－ya＝(m－y，n)．

|a－xb|2＝(1－mx)2＋(－xn)2＝(m2＋n2)x2－2mx＋1，又对任意实数x有|a－xb|的最小值为32，所以4（m2＋n2）－（－2m）24（m2＋n2）＝322，化简得n2＝3m2.

|b－ya|2＝(m－y)2＋n2，又对任意实数y有|b－ya|的最小值为3，

所以n2＝3，所以3m2＝3，即m＝±1.由a＋b＝(1＋m，n)，可得|a＋b|2＝(1＋m)2＋n2＝m2＋n2＋2m＋1＝7或3，故|a＋b|＝7或3，故选C.

9．解析：选A.由题意知，y＝2x＋12表示斜率为2的直线，变量a，b满足b＝－12a2＋3ln a，设函数f(x)＝－12x2＋3ln x，则f′(x)＝－x＋3x，设当切线斜率为2时，函数f(x)图象的切点的横坐标为x0，则－x0＋3x0＝2，所以x0＝1，此时切点坐标为1，－12，切点到直线y＝2x＋12的距离d＝35，所以(a－m)2＋(b－n)2的最小值为d2＝95.

10.解析：选B.x2a2－4y2＝1的右顶点坐标为(a，0)，一条渐近线为x－2ay＝0.由点到直线的距离公式得d＝|a|12＋4a2＝34，

解得a＝32或a＝－32(舍去)，

故双曲线的方程为4x23－4y2＝1.

因为c＝ 34＋14＝1，故双曲线的右焦点为(1，0)，即抛物线的焦点为(1，0)，所以p＝2，x＝－1是抛物线的准线，如图，作MA⊥l1，MB⊥l2，设抛物线的焦点为F，连接MF，则由抛物线的定义知|MB|＝|MF|，当M，A，F三点共线时，距离之和最小，其最小值是点F到l1的距离，由点到直线的距离公式可得d1＝|4＋6|（－3）2＋42＝105＝2，即距离之和的最小值为2.

11．解析：如图所示，该几何体为三棱锥P­ABC，其中PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝2，AC＝1，BC＝2，

所以该几何体的表面积S＝12×2×1＋12×1×2＋12×5×2＋12×5×2＝2＋25，体积V＝13×2×12×1×2＝23.