通信网理论基础习题答案 完整版

第 1 页 共 33 页 2.2 求M/M/m（n）中，等待时间w的概率密度函数。

解：

M/M/m（n）的概率分布为：

11010011!)(!)(mrmnmkmmpkmp

nknkmpkmmkpkmpkmkk0!10!)(00

假定n>m，n≥0，现在来计算概率P{w>x}，既等待时间大于x的概率。

•njjjxwPpxwP0}{}{

其中，Pj{w>x}的概率为：

njmxwPnjmixmexwPmjxwPjmjiixmjj1}{1!)(}{100}{0

可得：

xmmnnimmniixmmnmjnmjiixmjmnnmjmjiixmjemmPxwP则若nPixmePmmixmePmmPixmePxwP)(010010010!)(1}{1!)(!!)(!!)(}{

特别的，新到顾客需等待的概率为：

!)(1}0{0mmPWPm 第 2 页 共 33 页 ])!1()()!1()(!)()([)1(!)(而12010mnmmmnxmixmemPmxfmnnmnimnmimxmmw

nmkkxmmmwPwPPwP注：emmPmxf在n}{}0{)()1(!)(10)(0

2.4求M/D/1排队问题中等待时间W的一、二、三阶矩m1、m2、m3，D表示服务时间为定值b，到达率为。

解：

)()1()(SBsssG 其中 sbstedtebtsB0)()(

从而 sbesssG)1()( 又 0)(iiisgsG

)1(!)(00sjsbssgjjiii

bg110 221)1(2)1(bbg 34232)1(12)2)(1(bbbg

34332322211443)1(4)21(6)0()1(6)2(2)0()1(2)0()()1(24)1)(21(bgGmbgGmbgGmbbbbg

2.5 求M/B/1，B/M/1和B/B/1排队问题的平均等待时间W，其中B是二阶指数分布：100,)1()(212121tteetf 第 3 页 共 33 页 解：M/B/1

2212212221222122112221221122110)1(1)1(1)1(22)0(1)0()1()()(mwwBwBwssdtetfSBst

B/M/1

)))(21(2)(11())(21(2)(11)1(2))(21(2)(1110)1()(21221212122121212212122112211w的根取令B

B/B/1

设到达的概率密度函数为tteetf2121)1()(

设离去的概率密度函数为tteetf4343)1()(

假设423121

第 4 页 共 33 页 212222122212221212121'021210212121214222121422212221221122112211)1(2)2()1())1(()()()())(()()()()(lim))(()()())(()()())()()(())()()(()1(1)1()1(1)()()1()()(t其中ttsSwstssksSskswtsskssstssssstss取sssssstsssssssssssBsAsssBsAswws

2.6 在D/D/1排队问题中，顾客到达的时间间隔为a，服务时间为b，均为恒定值，且a>b，

求：稳定状态时系统的队列长度为k的概率pk，顾客到达时队列的长度为k的概率vk，顾客离去时队列的长度dk，以及平均等待时间，并用G/G/1上界公式求出此时的平均等待时间，评论计算结果，并讨论a≤b的情况。

解：

由于是D/D/1问题，故子系统运行情况完全确定，第一个顾客到达后，系统无顾客，经过b后，服务完毕，顾客离去，再经过a-b后，下一个顾客到达。

此时有：

00010)(1kkdrkabakabpkkk

顾客不等待时0w

G/G/1上界公式 第 5 页 共 33 页 00)1(20)()()()()1(2222222wtwbttpaptwtttr

当a

2.7求M/E2/1即时拒绝系统的呼损，其中E2是二阶爱尔兰分布，22)2()(eb

解：

设相邻呼叫到达间隔为t，如果服务时间t，将造成呼损，t时无呼损。

222200)2(4)2()()()()(dtdeedtdbtap则dbtptttctc

2.8在优先级别队列中，A队为优先级，不拒绝，B队为非优先级，只准一人排队等待（不计在服务中的），且当A队无人时才能被服务，求各状态概率，A队的平均等待时间和B队的拒绝概率。

解：

说明：

0状态代表系统中无顾客状态；

i，j状态代表系统中正在服务且A队中有i个顾客，B队列中有j个顾客排队的状态。

状态转移图如右，A队到达率为1，B队到达率为2，服务率，系统稳定时，应有00 00 11 11 012221111 第 6 页 共 33 页 111

可得到特征方程如下:

543210)(0)()()()()()(0,21,11,111,10,10,110,21110020110211001002100021iPPPPiPPPPPPPPPPPPiiiiiii

由于4是差分方程，不妨设其通解为：iixpp000 代入有：

222211100)1()1(21212221210121210010010021xxxxxpxpxpiii

由于5是非齐次差分方程：

0)1(0,21,111,11,1iiiippppp 其特征根为：1a

假设其通解为：iiiBxAp011,代入前式得：

0)1(00021010110iiiixpxBxBxB

解之，得：iiixpAppB00011,00

代入3式得：110020111ppp 即：

0210000010210010210011ppxppxxppxpAiiiii，，

由正则条件：

第 7 页 共 33 页 2102100010210001002121110010210210111111111111xpxprpprwxpxpprrrrrAii，，

00010210000102100011111xpxpxxppPrrrrrCB，

2.9排队系统中有三个队列,其到达率分别为cba,,公用同一出线路，其中a类最优先，即线路有空闲就发送；b类次之，即a无排队时可以发送，c类最低，即a，b类均无排队时可以发送，不计正在传送的业务，各个队列的截至队长为na＝2，nb=1，nc＝0，试列出稳定状态下的状态方程，并计算cba时，各状态的概率和三类呼叫的呼损。

解：

r，s，k分别表示a，b，c三队中等待的呼叫数，状态以（r，s，k）表示。

稳态方程：

21001010011020011021011000001010020000020010001000100000000)()()()()()()()(pppppppppppppppppppppabababaababacbabacba 0 0 01 0 02 0 00 1 01 1 02 1 00abcaaaabbb 第 8 页 共 33 页 归一条件1,,0kjipp 若 cba 令a

151427362712122122121561223122121561223312212933234562002654210023200025431100232100024320100000ppppppppppppp

C类呼损为：01ppc

B类呼损为：210110010ppppB

A类呼损为：200210pppA

2.10 有一个三端网络，端点为321,,vvv，边为),(211vve及),(322vve，v1到v3的业务由v2转接，设所有的端之间的业务到达率为，线路的服务率为的M|M|1(1)问题，当采用即时拒绝的方式时，求：

1) 各个端的业务呼损。

2) 网络的总通过量。

3) 线路的利用率。

解：

令：00表示e1,e2均空闲。

10表示e1忙,e2闲（即e1由v1,v2间业务占用）。

01表示e1闲,e2忙（即e2由v2,v3间业务占用）。

11表示e1,e2均忙，且分别由v1v2,v2v3间业务占用。