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. . . . 实验二 空间曲线曲面图形的绘制
一、实验目的
熟练掌握使用Mathematica软件绘制空间曲线曲面图形的方法.
二、实验容与Mathematica命令
1． 基本三维图形
函数(,)zfxy的图形为三维空间的一个曲面，Mathematica中，绘制三维曲面图形的基本命令格式为
Plot3D[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},Options]
其中，f为一个二元显函数. 该命令有众多可供使用的选项，可执行命令“Options[Plot3D]”查询.
1） 绘制曲面的基本方法
运行t1=Plot3D[Sin[x+y]*Cos[x+y],{x,0,4},{y,0,4}]
图1
2） 用PlotRange 设定曲面的表面的变化围
运行Show[t1,PlotRange{-0.2,0.5}]
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图2
3） 坐标轴上加标记，并且在每个外围平面上画上网格
运行Show[t1,AxesLabel{"Time","Depth","Value"},FaceGridsAll]
图 3
4） 观察点的改变
将观察点改变在（2，-2，0），运行
Show[t1,ViewPoint{2,-2,0}]
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习题7.5
1. 过定点(,0,0)R作球面2222
xyzR的弦，求动弦中点的轨迹方程.
2. 说出下列曲面方程的名称，并作出草图：
(1)22
2(0)xyaza; (2)22
2(0)xyaza;
(3)22
2zxy; (4)22
0yxz;
(5)222
2310xyz; (6)222
239xyz.
3. 说出下列曲面方程的名称，并作出草图：
(1)22
1xy; (2)2
1x;
(3)22
0xy; (4)30yz;
(5)222
2xyzaz; (6)2
2xaz;
(7)22
1
49xy
; (8)22
1
19xy
;
(9)222
xyz; (10)222
34zxy.
4. 写出适合下列条件的旋转曲面的方程：
(1)曲线22
1
0xz
y
绕z轴旋转一周; (2)曲线22
1
94
0xy
z
绕x轴旋转一周；
(3)曲线22
1
0yz
x
绕y轴旋转一周； (4)曲线2
5
0zx
y
绕x轴旋转一周.
5. 说明下列旋转曲面是如何形成的并写出它的名称： (1)2
22
1
4y
xz; (2)22
4xyz; (3)222
1
169zxy
; (4)222
4xyz.
6. 指出下列方程表示的曲线：
(1)222
25
3xyz
x
; (2)222
(1)(4)25
10xyz
y
; (3)22
1
94
20yz
x
; (4)2
4
1xy
z
;
7. (1) 将曲线222
16
:
2xyz
C
z
表示为参数方程，并求其沿z轴方向的投影柱面及在
xOy面上的投影曲线；
(2) 将曲面22
zxy与平面1xyz的交线C表示为参数方程，并求其沿z轴方向
的投影柱面及在xOy面上的投影曲线；
(3) 将曲面222
2xyz和22
分类号 密级
UDC
学 位 论 文
空间曲线的副法线曲面
作者姓名：袁媛
指导教师：刘会立 教授
东北大学理学院
申请学位级别：硕士 学科类别：理学
学科专业名称：基础数学
论文提交日期： 论文答辩日期：
学位授予日期： 答辩委员会主席：
评阅人：
东 北 大 学
2006年12月
A Thesis in Pure Mathematics
The binormal surface for the space curve
by Yuan Yuan
Supervisor: Professor Liu Huili
Northeastern University
December 2006
东北大学硕士学位论文 声明
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作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示
谢意．
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日 期：
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学位论文作者签名： 导师签名：
签字日期： 签字日期：
东北大学硕士学位论文 摘要
-II- 空间曲线的副法线曲面
摘 要
微分几何是以微积分作为工具研究曲线和曲面的性质及其推广应用的几何学，作
为数学的一个重要分支，它渗透到各数学分支和理论物理等学科，成为推动这些学科
发展的一项重要工具．经典的微分几何研究三维欧氏空间的曲线和曲面在一点邻近的
性质，它是用微积分和线性代数的方法研究空间曲线和曲面的形状，找出决定曲线和
曲面与空间曲线
曲面的方程
我们知道，在平面解析几何中可把曲线看成是动点的轨迹.因此，在空间中曲面可看成是一个动点或一条动曲线(直线)按一定的条件或规律运动而产生的轨迹。
设曲面上动点P的坐标为(x,y,z)，由这一条件或规律就能导出一个含有变量x,y,z的方程：
如果此方程当且仅当P为曲面上的点时，才为P点的坐标所满足。那末我们就用这个方程表示曲面，并称这个方程为曲面的方程，把这个曲面称为方程的图形。
空间曲线的方程
我们知道，空间直线可看成两平面的交线，因而它的方程可用此两相交平面的方程的联立方程组来表示，这就是直线方程的一般式。
一般地，空间曲线也可以象空间直线那样看成是两个曲面的交线，因而空间曲线的方程就可由此两相交曲面方程的联立方程组来表示。
设有两个相交曲面，它们的方程是，，那末联立方程组：
便是它们的交线方程。
两类常见的曲面
1、柱面
设有动直线L沿一给定的曲线C移动，移动时始终与给定的直线M平行，这样由动直线L所形成的曲面称为柱面，动直线L称为柱面的母线，定曲线C称为柱面的准线。
2、旋转面
设有一条平面曲线C，绕着同一平面内的一条直线L旋转一周，这样由C旋转所形成的曲面称为旋转面，曲线C称为旋转面的母线，直线L称为旋转面的轴。
下面我们再列举出几种常见的二次曲面 二次曲面的名称 二次曲面的方程
椭球面
单叶双曲面
双叶双曲面
椭圆抛物面
双曲抛物面
