高中数学中的四心问题

高中数学三角形四心如何归纳梳
理
高中数学三角形四心（重心垂心外心内心）如何归纳梳理？ -
其实任何事物命名时，通常都有其独特的意图，三角形的心、心、重心也不例外。

用心感受它们的字面意思，你就能区分它们:
1、垂心：因为有“垂”字，要记住是垂线的交点，即三角形高的交点。

2、外心：因为有“外”字，要记住是三角形外接圆的圆心。

由于三角形的三个顶点均在外接圆上，因而连接圆心和三个顶点，分别构成了三个三角形，并且这三个三角形均为等腰三角形。

根据等腰三角形的性质，底上的高为底边的垂直平分线。

因而不难看出，这里外接圆的圆心，即“外心”便是原三角形各边垂直平分线的交点。

3、内心：因为有“内”字，要记住是三角形内切圆的圆心。

由这个内切圆的圆心向各对边做垂线，再连接该圆心与三角形的三个顶点，由切线长定理和三角形全等，易得圆心与三角形三个顶点的连线，分别平分了三角形的三个内角。

因而不难看出，这里的内切圆圆心，即“内心”便是原三角形各角平分线的交点。

4.重心:对于形状规则的物体，重心通常是其几何中心，也可以说是对称中心。

从三角形三条中线相交形成的交点开始，连接三角形三个顶点形成的三个三角形面积相等。

换句话说，这
个交点就是它的几何中心，也就是重心。

需要注意的是，几何中心只是形状规则、密度均匀的物体的重心。

高考数学解题：秒杀向量巨难题型——四心问题同学们，今天给大家分享一下向量四心问题的解题技巧。

向量四心问题的考察非常之难，以至于竞赛题都经常考出来向量四心问题。

这种题目平时遇到不能常规做，常规做在5分钟内未必能得出答案的，那我们今天讲一个技巧，如果把这个技巧思维掌握透彻，这种题目也能够秒出答案的。

那么在讲技巧之前，我先讲一些基本的知识点：向量四心问题快速求解的秘密——特殊化！首先我们要了解向量四心是指四心？其实就是指重心、垂心、外心和内心。

①重心：是中线的交点(我用G表达)；②垂心：是三条高线的交点(我用H表达)；③外心：是中垂线的交点(我用O表达)；④内心：是角分线的交点(我用I表达)。

这四个心怎么记忆，它们都有不同的向量表达，这个我们在系统课里讲得非常透彻，在这里我直接写出四心所对应的向量关系：同学们，看到了吗，这四个心相对应向量关系常规来看是非常难的，不要用常规方法解这种题目，肯定在短时间内搞不定的，那么今天我就用技巧给同学们分享两道题。

那么，我们四心问题特殊化成什么呢？是特殊化等腰直角三角形这个非常管用！记住：不要特殊成等边三角形因为等边三角形四心都合为一个心，而等腰直角三角形的四心不是一个心，但是这四心有一个特征点。

这四心点都在这个CD的高线上。

所以，同学们你会发现，一般的三角形是不满足这个关系的，只有在等腰直角三角形中行中四个心能区分而且四个心都在这个CD高线上。

这种题目就非常快速得到解决，你只要能明白这个道理，我告诉大家上面的那些公式都不用记，他答案就能出来得了，但是这些公式怎样去理解呢？我们在正课里面有详细讲解怎么今天的课程就不讲，今天只给大家讲技巧大家需要把这个四心掌握透彻。

好了，开始看下一道题：同学们，你们怎样理解它的呢？就把这个等腰三角形看作是等腰直角三角形-特殊化！同学们看懂没？因为等腰直角三角形也是三角形的一种，这个非常准你放心大胆的使用就行了。

接下来我们就开始解题：1、先看第一个A选项为外心，如果是外心，如图：那我们就可以看出，A选项肯定不正确。

平面向量“四心”知识点总结与经典习题【强烈推荐】平面向量的“四心”是指三角形的外心、内心、重心和垂心，它们各自具有特殊的性质。

在高中数学中，向量问题经常与“四心”问题结合考查。

因此，熟悉向量的代数运算和几何意义是解决这类问题的关键。

四心知识点总结如下：重心：1.重心是三角形三条中线的交点，也是重心到三角形三个顶点距离之和最小的点。

2.重心坐标为$(\frac{1}{3}(x_A+x_B+x_C),\frac{1}{3}(y_A+y_B+y_C))$。

垂心：1.垂心是三角形三条高线的交点，也是垂足到三角形三边距离之积最大的点。

2.若垂心为$O$，则有$OA\cdot OB=OA\cdot OC=OB\cdot OC$。

外心：1.外心是三角形三条中垂线的交点，也是到三角形三个顶点距离相等的点。

2.若外心为$O$，则有$OA=OB=OC$，或$(OA+OB)\cdot AB=(OB+OC)\cdot BC=(OC+OA)\cdot CA$。

内心：1.内心是三角形三条角平分线的交点，也是到三角形三边距离之和最小的点。

2.若内心为$O$，则有$a\cdot OA+b\cdot OB+c\cdotOC=0$，其中$a,b,c$为三角形三边的长度。

下面是一些经典题：1.在$\triangle ABC$中，$D,E,F$分别为$BC,CA,AB$的中点，$M$为重心，则$\vec{AM}$等于（）。

A。

$\frac{1}{3}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})$B。

$\frac{1}{2}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})$C。

$\frac{1}{3}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})+\vec{OG}$ D。

$\frac{1}{2}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})+\vec{OG}$ 答案：C2.在$\triangle ABC$中，$O$为坐标原点，$P$满足$\vec{OP}=\frac{1}{3}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})$，则$P$一定在（）上。

三角形“四心”问题一、三角形的“重心”1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成2:1三角形中线向量式：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 2、重心的性质：（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。

（2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

（3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即(x A +x B +x C 3,y A +y B +y C3).3、常见重心向量式：设O 是∆ABC 的重心，P 为平面内任意一点 ①OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ②PO⃗⃗⃗⃗⃗ =13(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ③若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，λ∈[0,+∞)，则P 一定经过三角形的重心 ④若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC )或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC )，λ∈[0,+∞)，则P 一定经过三角形的重心二、三角形的“垂心”1、垂心的定义：高的交点。

锐角三角形的垂心在三角形内； 直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外。

2、常见垂心向量式：O 是∆ABC 的垂心，则有以下结论： 1、OA⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2、|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 3、动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC )，λ∈(0,+∞)，则动点P 的轨迹一定通过∆ABC 的垂心4、奔驰定理推论：S ∆BOC :S ∆COA :S ∆AOB =tanA:tanB:tanC ，tanA ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +tanB ∙OB⃗⃗⃗⃗⃗ +tanC ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ . 三、三角形的“内心”1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

高考数学复习：奔驰定理与四心问题技巧一．四心的概念介绍：（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．技巧二．奔驰定理---解决面积比例问题重心定理：三角形三条中线的交点．已知ABC △的顶点11()A x y ，，22()B x y ，，33()C x y ，，则△ABC 的重心坐标为123123()33x x x y y y G ++++，．注意：（1）在ABC △中，若O 为重心，则0OA OB OC ++= ．（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．重心的向量表示：1133AG AB AC =+ ．奔驰定理：0B A C S OA S OB S OC⋅⋅⋅++=，则AOB △、AOC △、BOC △的面积之比等于321::λλλ奔驰定理证明：如图，令112131OA OA OB OB OC OC λλλ===，，，即满足1110OA OB OC ++= 11121AOB A OB S S λλ=△△，11131AOC A OC S S λλ=△△，11231BOC B OC S S λλ=△△，故321::::AOB AOC BOC S S S λλλ=△△△．技巧三．三角形四心与推论：（1）O 是ABC △的重心：::1:1:10BOC COA A0B S S S OA OB OC =⇔++= △△△．（2）O 是ABC △的内心：::::0B0C COA AOB S S S a b c aOA bOB cOC =⇔++=△△△．（3）O 是ABC △的外心：0::sin 2:sin 2:sin 2sin 2sin 2sin 20B C COA AOBS S S A B C AOA BOB COC =⇔++=△△△．（4）O 是ABC △的垂心：0::tan :tan :tan tan tan tan 0B C COA AOBS S S A B C AOA BOB COC =⇔++=△△△．技巧四．常见结论（1）内心：三角形的内心在向量AB ACAB AC + 所在的直线上．0AB PC BC PC CA PB ⋅+⋅+⋅=⇔P 为ABC △的内心．（2）外心：PA PB PC ==⇔P 为ABC △的外心．（3）垂心：PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅⇔P 为ABC △的垂心．（4）重心：0PA PB PC ++=⇔P 为ABC △的重心．题型一：奔驰定理例1．（2023·全国·高一专题练习）已知O 是ABC 内部的一点，A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别为3a =，2b =，4c =，若sin sin sin 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=，则AOB 与ABC 的面积之比为（）A ．49B ．13C ．29D ．59【答案】A【解析】由正弦定理sin sin sin a b c K A B C ===,又3a =，2b =，4c =，所以得()32401O KA OB OC ⋅+⋅+⋅= ,因为10K≠,所以3240OA OB OC ⋅+⋅+⋅= .设1113,2,4,OA OA OB OB OC OC === 可得1110,OA OB OC ++=则O 是111A B C △的重心，111111OA B OB C OA C S S S S === ，利用11111sin 2S OA OB AOB =⋅⋅∠,11sin sin AOB AOB ∠=∠,所以11111sin 121632sin 2OAB OA OB AOBS OA OB SOA OB OA OB AOB ⋅∠⋅===⋅⋅∠,所以16OAB S S = ,同理可得18OBC S S = ,112AOC S S = .所以AOB 与ABC 的面积之比为1111:4:966812S S S S ⎛⎫++= ⎪⎝⎭即为49.故选：A.例2．已知O 是三角形ABC 内部一点，且20OA OB OC ++=，则AOB ∆的面积与ABC ∆的面积之比为（）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】C【解析】如图，设OA OC + OD = ，∵20OA OB OC ++= ，∴2OD OB =-，设AC 与OD 交于点M ，则M 平分,AC BD ，∴OM OB =-，O 是BM 中点，∴1124AOB AMB ABC S S S ∆∆∆==．比值为14．例3．若点M 是ABC 所在平面内的一点，点D 是边AC 靠近A 的三等分点，且满足5AM AB AC =+ ，则ABM 与ABD △的面积比为（）A ．15B ．25C ．35D ．925【答案】C【解析】M 是ABC 所在平面内一点，连接AM ，BM ，延长AM 至E 使5AE AM =，∵5AM AB AC AE =+= ，∴AB AE AC CE =-= ，连接BE ，则四边形ABED 是平行四边形，向量AB和向量CE 平行且模相等，由于3AC AD = ，所以13ABD ABC S S =△△，又5AE AM = ，所以15ABM ABE S S =△△，在平行四边形中，ABDABE S S =△△，则ABM 与ABD △的面积比为135153ABEABD S S =△△，变式1．平面上有ABC 及其内一点O ，构成如图所示图形，若将OAB ，OBC △，OCA 的面积分别记作c S ，a S ，b S ，则有关系式0a b c S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=uu r uu u r uuu r r．因图形和奔驰车的logo 很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，则O 为ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B【解析】由0a b c S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=uu r uu u r uuu r r 得b ca aS S OA OB OC S S =-- ，由0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅= 得b c OA OB OC a a=--，根据平面向量基本定理可得b a S b S a -=-，c a S cS a-=-，所以b a S b S a =，c a S cS a=，延长CO 交AB 于E ，延长BO 交AC 于F，则||||b a S AE S BE =，又b a S b S a =，所以||||AE b BE a =||||AC BC =，所以CE 为ACB ∠的平分线，同理可得BF 是ABC ∠的平分线，所以O 为ABC 的内心.故选：B变式2．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为A S 、B S 、C S ，则有0A B C S OA S OB S OC ++=，设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是△ABC 的三个内角，以下命题错误的是（）A ．若0OA OB OC ++=，则O 为△ABC 的重心B ．若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =C ．则O 为△ABC （不为直角三角形）的垂心，则tan tan tan 0BAC OA ABC OB ACB OC∠⋅+∠⋅+∠⋅=D ．若2OA OB == ，5π6AOB ∠=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S =【答案】D【解析】对于A ：如下图所示，假设D 为AB 的中点，连接OD ，则=2O OA O D C B O +=，故,,C O D 共线，即O 在中线CD 上，同理可得O 在另外两边,BC AC 的中线上，故O 为ABC 的重心，即A 正确；对于B ：由奔驰定理O 是ABC 内的一点，,,BOC AOC AOB 的面积分别为,,A B C S S S ，则有0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=可知，若230OA OB OC ++=，可得::1:2:3A B C S S S =，即B 正确；对于C ：由四边形内角和可知，πBOC BAC ∠+∠=，则cos cos OB OC OB OC BOC OB OC BAC =∠=-∠，同理，cos cos OB OA OB OA BOA OB OA BCA =∠=-∠ ，因为O 为ABC 的垂心，则()0OB AC OB OC OA OB OC OB OA ⋅=⋅-=⋅-⋅=，所以cos cos OC BAC OA BCA ∠=∠ ，同理得cos cos OC ABC OB BCA ∠=∠ ，cos cos OA ABC OB BAC ∠=∠ ，则::cos :cos :cos OA OB OC BAC ABC BCA =∠∠∠，令cos ,cos ,cos OA m BAC OB m ABC OC m BCA =∠=∠=∠ ，由1sin 2A S OB OC BOC =∠ ，则21sin cos cos sin 22A m S OB OC BAC ABC BCA BAC =∠=∠∠∠ ，同理：21sin cos cos sin 22B m S OA OC ABC BAC BCA ABC=∠=∠∠∠ ，21sin cos cos sin 22C m S OA OB BCA BAC ABC BCA =∠=∠∠∠ ，综上，sin sin sin ::::tan :tan :tan cos cos cos A B C BAC ABC BCAS S S BAC ABC BCA BAC ABC BCA∠∠∠==∠∠∠∠∠∠，根据奔驰定理得tan tan tan 0BAC OA ABC OB ACB OC ∠⋅+∠⋅+∠⋅=，即C 正确.对于D ：由5π||||2,6OA OB AOB ==∠= 可知，1225π6in1s 2C S =⨯⨯⨯=，又2340OA OB OC ++=，所以::2:3:4A B C S S S =由1C S =可得，13,24A B S S ==；所以1391244C ABC A B S S S S ++==++= ，即D 错误；变式3．（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz )的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是ABC 内一点，BOC ，AOC ，AOB 的面积分别为,,A B C S S S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=，O 是ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是ABC 的三个内角，以下命题正确．．的有（）A ．若2340OA OB OC ++=，则4:::3:2A B C S S S =B ．若2OA OB == ，23AOB π∠=，且2340OA OB OC ++= ，则4ABC S =△C ．若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则O 为ABC 的垂心D ．若O 为ABC 的内心，且512130OA OB OC ++= ，则π2ACB ∠=【答案】BCD【解析】对选项A ：2340OA OB OC ++=，则::2:3:4A B C S S S =，错误；对选项B ：122sin1202AOB S =⨯⨯⨯︒=△2340OA OB OC ++= ，故::2:3:4A B C S S S =，94ABC A S S =⨯=△对选项C ：OA OB OB OC ⋅=⋅ ，即()0OA OC OB CA OB -⋅=⋅= ，故CA OB ⊥，同理可得CB OA ⊥ ，AB OC ⊥，故O 为ABC 的垂心，正确；对选项D ：512130OA OB OC ++=，故5:12:::13A B C S S S =，设内接圆半径为r ，12A S r BC =⋅，12B S r AC =⋅，12C S r AB =⋅，即5:::12:13B AB C AC =，即222AB AC BC =+，π2ACB ∠=，正确.故选：BCD变式4．（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是ABC 内一点，BOC 、AOC 、AOB 的面积分别为A S 、B S 、C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.设O 是锐角ABC 内的一点，BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠分别是ABC 的三个内角，以下命题正确的有（）A ．若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =B ．2OA OB == ，5π6AOB ∠=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S =C ．若O 为ABC 的内心，3450OA OB OC ++= ，则π2C ∠=D ．若O 为ABC 的重心，则0OA OB OC ++=【答案】ACD【解析】对于A 选项，因为230OA OB OC ++=，由“奔驰定理”可知::1:2:3A B C S S S =，A 对；对于B 选项，由2OA OB == ，5π6AOB ∠=，可知1225π6in1s 2C S =⨯⨯⨯=，又2340OA OB OC ++=，所以::2:3:4A B C S S S =，由1C S =可得，12A S =，34B S =，所以1391244C ABC A B S S S S ++==++= ，B 错；对于C 选项，若O 为ABC 的内心，3450OA OB OC ++=，则::3:4:5A B C S S S =，又111::::::222A B C ar br cr a b c S S S ==（r 为ABC 内切圆半径），所以，222a b c +=，故π2C ∠=，C 对；对于D 选项，如下图所示，因为O 为ABC 的重心，延长CO 交AB 于点D ，则D 为AB 的中点，所以，2OC OD =，12AOD BOD C S S S ==△△，且12AOD B S S =△，12BOD A S S =△，所以，A B C S S S ==，由“奔驰定理”可得0OA OB OC ++=，D 对.题型二：重心定理例4．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知ABC 的外心为O ，重心为G ，垂心为H ，M 为BC 中点，且5AB =，4AC =，则下列各式正确的有______．①3AG BC ⋅=-②6AO BC ⋅=- ③OH OA OB OC =++ ④42AC O AB M HM +=+ 【答案】①③④【解析】对于①，ABC 重心为G ，有21()33AG AM AB AC ==+ ，故22111()()(162)()33335AB AC AC AB AC AG BC AB ⋅====-+--- ，故①正确；对于②，ABC 外心为O ，过三角形ABC 的外心O 分别作AB 、AC 的垂线，垂足为D 、E ，易知D 、E 分别是AB 、AC 的中点，有212522AO AB AB ⋅== ，2182AO AC AC ⋅== ∴25922)8(AO BC AO AC AB =-=⋅=--⋅ ，故②错误；对于③，由欧拉线定理得2OG GH =，即3OH OG = ，又有0GA GB GC ++= ，故OA OB OC ++ ()()()OG GA OG GB OG GC =+++++ 3OG GA GB GC =+++3OG = ，即OH OA OB OC =++ ，故③正确；对于④，由3OH OG = 得3()MH MO MG MO -=-，故2133MG MO MH =+ ，所以2642M A M B AC A G OM HM +==-=+，故④正确.故答案为：①③④.例5．点O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上ABC 的三个顶点，B ∠、C ∠分别是边AC 、AB 的对角，以下命题正确的是_______（把你认为正确的序号全部写上）．①动点P 满足OP OA PB PC =++，则ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中；②动点P 满足()(0)||||ABACOP OA AB AC λλ=++>，则ABC 的内心一定在满足条件的P 点集合中；③动点P 满足()(0)||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC C λλ=++>，则ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中；④动点P 满足()(0)||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC C λλ=++>，则ABC 的垂心一定在满足条件的P 点集合中；⑤动点P 满足()(0)2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλλ+=++> ，则ABC 的外心一定在满足条件的P 点集合中．【答案】①②③④⑤【解析】对于①，因为动点P 满足OP OA PB PC =++，∴AP PB PC =+，则点P 是ABC 的重心，故①正确；对于②，因为动点P 满足()(0)||||ABACOP OA AB AC λλ=++>，∴()(0)||||AB ACAP AB AC λλ=+>，又||||AB ACAB AC +在BAC ∠的平分线上，∴AP与BAC ∠的平分线所在向量共线，所以ABC 的内心在满足条件的P 点集合中，②正确；对于③，动点P 满足()(0)||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC Cλλ=++>，∴()||sin ||sin AB ACAP AB B AC Cλ=+，(0)λ>，过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，则||sin ||sin AB B AC C AD ==，()AP AB AC ADλ=+ ，向量AB AC + 与BC 边的中线共线，因此ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中，③正确；对于④，动点P 满足()(0)||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC C λλ=++>，∴()(0)||cos ||cos AB ACAP AB B AC Cλλ=+>，∴()(||||)0||cos ||cos AB ACAP BC BC BC BC AB B AC Cλλ⋅=+⋅=-=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，∴AP BC ⊥ ，所以ABC 的垂心一定在满足条件的P 点集合中，④正确；对于⑤，动点P 满足()(0)2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC C λλ+=++> ，设2OB OC OE +=，则()||cos ||cos AB ACEP AB B AC Cλ=+，由④知()0||cos ||cos AB ACBC AB B AC C+⋅=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，∴0EP BC =⋅，∴EP BC ⊥，P ∴点的轨迹为过E 的BC 的垂线，即BC 的中垂线；所以ABC 的外心一定在满足条件的P 点集合，⑤正确．故正确的命题是①②③④⑤．故答案为：①②③④⑤．例6．若O 为ABC 的重心（重心为三条中线交点），且0OA OB OC λ++= ，则λ=___．【答案】1【解析】在ABC 中，取BC 中点D ，连接AD ，由重心的性质可得O 为AD 的三等分点，且2OA OD =-，又D 为BC 的中点，所以2OB OC OD +=，所以20OA OB OC OD OD ++=-+=，所以1λ=.故答案为：1变式5．（1）已知△ABC 的外心为O ，且AB =5，3AC =，则AO BC ⋅=______．（2）已知△ABC 的重心为O ，且AB =5，3AC =，则AO BC ⋅=______．（3）已知△ABC 的重心为O ，且AB =5，3AC =，3A π=，D 为BC 中点，则AO OD ⋅=____．【答案】8-163-4918【解析】（1）由题意得：如图过O 作OD BC ⊥，垂足为D ，则D 是BC 的中点BC AC AB =-uu u r uuu r uu u r Q ，AO AD DO=+ ，1()2AD AB AC =+又3AC =，5AB =uu u r ()()2211()()822AO BC AD DO BC AD BC AB AC AC AB AC AB ∴⋅=+⋅=⋅=+-=-=- （2）根据重心的性质，知重心将相应的中线分成2:1两部分21()33AO AD AB AC ==+ ，BC AC AB=-AO BC ∴⋅= ()22311()(16)33AB AC AC AB AC AB +⋅-=-=- （3）根据重心的性质，知重心将相应的中线分成2:1两部分12OD AO = ，21()33AO AD AB AC ==+2221()2cos 25930492AB AC AB AC AB AC A +=++=++⨯=()2221211494929181818AO OD AO AD AB AC⋅===+=⨯= 故答案为：（1）8-（2）163-（3）4918变式6．在ABC 中，2AB =，60ABC ∠=︒，1AC AB ⋅=- ，若O 是ABC 的重心，则BO AC ⋅=______.【答案】7【解析】如图所示，以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系.设(),0C a ，∵2AB =，60ABC ∠=︒，∴(3A ，((1313AC a ,,AB ,=--=--∵131AC AB a⋅=-+=-，解得5a =，∴()5,0C ∵O 是ABC 的重心，延长BO 交AC 于点D ，则D 为AC 中点，所以332D 骣琪琪桫,∴22333323BO BD ⎛⎛=== ⎝⎭⎝⎭，(43AC ,=,∴(324373BO AC ⋅=⨯+-⨯=.故答案为：7变式7．锐角ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的边，点G 为ABC 的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围为______．【答案】4653⎡⎫⎢⎪⎪⎢⎭⎣，【解析】由题意211()()323AG AC AB AC AB =⨯+=+ ，211()()323BG BA BC BA BC =⨯+=+ ，又AG BG ⊥，则11()()()099AG BG AC AB BA BC AC BA AC BC AB BA AB BC ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅=，所以2CA CB AC AB BA BC AB ⋅=⋅+⋅+ ，即2cos cos cos ab C bc A ac B c =++，由222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac +-=，222cos 2a b c C ab +-=，所以2225a b c +=,2cos (5a bC b a=+，由ABC 为锐角三角形及上式，则2222222225a b c a c b b c a ⎧+=⎪+>⎨⎪+>⎩，即22223232a b b a ⎧>⎨>⎩，可得6623b a >>所以cos C 在6(3b a ∈上递减，在6)2上递增，则46cos 53C ≤<.故答案为：46[53变式8．过△ABC 重心O 的直线PQ 交AC 于点P ，交BC 于点Q ，34= PC AC ，= QC nBC ，则n 的值为________.【答案】35【解析】如图，因为O 是重心，所以0OA OB OC ++= ，即=--OA OB OC ，因为34= PC AC ，所以()34-=- OC OP OC OA ，所以()313131444442=+=--+=--OP OA OC OB OC OC OB OC ，又=QC nBC ，则()=-- OC OQ n OC OB ，所以()1=-+ OQ OC n B nO 因为P ，O ，Q 三点共线，所以//OP OQ ，所以31(1)42--=-n n ，解得35n =.故答案为：35变式9．在ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于点P ，交边AC 于点Q ，设APQ △的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，且,AP AB AQ AC λμ== ，则12S S 的取值范围为_________．【答案】41,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据题意，连接AG，作图如下：121sin 21sin 2A AP AQ S S A AB AC λμ⨯⨯==⨯⨯，在三角形ABC 中，因为G 为其重心，故可得()13AG AB AC=+结合已知条件可得：1113AG AP AQ λμ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为,,P G Q 三点共线，故可得11133λμ+=，即113λμ+=，由题设可知(]0,1μ∈，(]0,1λ∈，又(]0,131λμλ=∈-，得1,12λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故21231S S λλμλ==-，令31t λ-=，可得1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()113t λ=+，则121112,,292S t t S t ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又1y t t =+在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，()1,2单调递增，当1t =时，1249S S =，当12t =时，1212S S =，当2t =时，1212S S =，故1241,92S S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：41,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦.题型三：内心定理例7．在ABC 中，16AB AC ⋅=，6ABC S = ，3BC =，且AB AC >，若O 为ABC 的内心，则AO BC ⋅=_________．【答案】3-【解析】因为16AB AC ⋅=，所以cos 16AB AC A ⋅= ，因为6ABC S = ，所以1sin 62AB AC A ⋅=，所以sin 3cos 4A A =，又22sin cos 1A A +=，cos 0,sin 0A A >>，所以34sin ,cos 55A A ==，所以20AB AC ⋅=，由余弦定理可得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，又3BC =，所以2241AB AC +=，又AB AC >，所以5,4AB AC ==，所以ABC 为以AB 为斜边的直角三角形，设ABC 的内切圆与边AC 相切于点D ，内切圆的半径为r ，由直角三角形的内切圆的性质可得12AC BC ABr +-==，故1OD =，因为AD BC ⊥，所以0AD BC ⋅=，因为,OD AC BC AC ⊥⊥，所以//OD BC ，所以3DO BC ⋅=-所以()3AO BC AD DO BC AD BC DO BC ⋅=+⋅=⋅+⋅=- .例8．已知Rt ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，I 是ABC 的内心，P 是IBC 内部（不含边界）的动点.若AP AB AC λμ→→→=+（λ，R μ∈），则λμ+的取值范围是______.【答案】7(,1)12【解析】建立如图所示平面直角坐标系，则()()()0,0,3,0,0,4A B C ，因为I 是三角形ABC 的内心，设三角形ABC 内切圆半径为r ，则()11||||||||||22AC AB BC r AB AC ++⨯=⨯⨯，解得1r =.所以()1,1I ，()()3,0,0,4AB AC →→==.依题意点(),P x y 在三角形IBC 的内部（不含边界）.因为AP AB AC λμ→→→=+(,)R λμ∈，所以()()()(),3,00,43,4x y λμλμ=+=，所以133414x x y yλλμμ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩，令1134z x y λμ=+=+，则443y x z =-+，由图可知，当443y x z =-+过()1,1I 时，117113412z =⨯+⨯=.当443y x z =-+，过()0,4C ，即为直线BC 时，1104134z =⨯+⨯=.所以λμ+的取值范围时7(,1)12.例9．设I 为ABC 的内心，5AB AC ==，6BC =，AI mAB nBC =+，则m n +为________．【答案】1516【解析】因为5AB AC ==，所以取BC 中点为O ，连接AO ，则AO BC ⊥，且ABC 的内心I 在AO 上，IO 即为ABC 的内切圆半径r ，又6BC =，所以AO 4==，因为()1122ABC S BC AO AB BC AC r =⨯=++⨯ ，即()64556IO ⨯=++⨯，所以32IO =，52AI =，以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立坐标系，则(0,4)A ，(3,0)B -，(3,0)C ，则(3,4)AB =--，(6,0)BC = ，50,2AI ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为AI mAB nBC =+ ，即(3,4)(56,,20)0n m -⎛⎫⎪+⎭--= ⎝，所以542360m m n ⎧-=-⎪⎨⎪-+=⎩解得55,816m n ==，所以551581616m n +=+=，故答案为：516.变式10．已知点O 是ABC ∆的内心，若3177AO AB AC =+，则cos BAC ∠=______.【答案】16【解析】因为()()3177OA OB OA OC OA -=-+-，即()3OC OA OB =-+ ，取AB 中点D ，连接OD ，则2OA OB OD +=，故6OC OD =- ，故点,,C O D 共线，又ACO BCO ∠=∠，故AC BC =，且CD AB ⊥，所以1cos 6DA OD BAC CA OC ∠===.故答案为：16.变式11．在面上有ABC 及内一点O 满足关系式：0OBC OAC OAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=△△△即称为经典的“奔驰定理”，若ABC 的三边为a ，b ，c ，现有0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，则O 为ABC 的__心.【答案】内【解析】 OA AB OB =+ ，OC OA AC =+，()()a OAb OBc OC a OA b OA AB c OA AC ∴⋅+⋅+⋅=⋅++++ ()0a b c OA b AB c AC =++⋅+⋅+⋅=，∴()bc AB AC AO a b c c b =+++，AB c，AC b分别是AB，AC 方向上的单位向量，∴向量AB AC c b+ 平分BAC ∠，即AO 平分BAC ∠，同理BO 平分ABC ∠，O ∴为ABC 的内心，故答案为：内变式12．已知O 是平面上的一个定点，A ､B ､C 是平面上不共线的三点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ =++ ⎪⎝⎭()R λ∈，则点P 的轨迹一定经过ABC 的（）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心【答案】C【解析】因为AB AB 为AB 方向上的单位向量，AC ACuuu r uuu r 为AC 方向上的单位向量，则||||AB ACAB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致，由AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，可得AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪-=+ ⎪⎝⎭，即AB AC AP AB AC λ⎛⎫ ⎪=+⎪ ⎪⎝⎭，所以点P 的轨迹为BAC ∠的角平分线所在直线，故点P 的轨迹一定经过ABC 的内心.故选：C.变式13．已知椭圆2211612x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上异于长轴端点的动点，G ，I 分别为12PF F △的重心和内心，则PI PG ⋅=（）A ．43BC ．2D ．163【答案】D【解析】由椭圆2211612x y +=可得4a =，b =，2c ==如图，设12PF F △的内切圆与三边分别相切与A ，B ，C ，G ，I 分别为12PF F △的重心和内心．则PB PC =，11F A FC =，22F A F B =，所以12122PF PF F F PB PC a c +-==-=，所以()()1212113332PI PG PG PI PI PF PF PI PF PI PF PI⋅⋅⋅=+⋅=⋅+⋅== ()()12121133PF PC PF PB PB PF PF =+=+()116233a c a =-⋅=变式14．已知ABC ，I 是其内心，内角,,A B C 所对的边分别,,a b c ，则（）A ．1()3AI AB AC =+ B ．c AB b ACAI a a =+C ．b AB c AC AI a b c a b c =+++++D ．cAB bAC AI a b a c =+++【答案】C【解析】延长,,AI BI CI ，分别交,,BC AC AB 于,,D E F .内心是三角形三个内角的角平分线的交点.在三角形ABD 和三角形ACD 中，由正弦定理得：,11sin sin sin sin 22BD c CD bADB ADC BAC BAC =∠∠⎛⎫⎛⎫∠∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于sin sin ADB ADC ∠=∠，所以,BD CD BD cc b CD b==，,,BD c BD c ac BD BD CD b c a b c b c ===++++，同理可得c AI BD DI =，c AI AIBD c DI AI AD==++，c AD c b c AI AD AD ac BD c a b c c b c⋅+==⋅=⋅+++++.所以()c c AD AB BD AB BC AB AC AB b c b c=+=+=+-++b c AB AC b c b c=+++，则b c b c b c b cAI AD AB AC AB AC a b c a b c b c b c a b c a b c ++⎛⎫=⋅=⋅+=+ ⎪++++++++++⎝⎭.故选：C变式15．在△ABC 中，3cos 4A =，O 为△ABC 的内心，若(),R AO xAB y AC x y =+∈ ，则x ＋y 的最大值为（）A ．23B．65C．76D．87-【解析】如图：圆O 在边,AB BC 上的切点分别为,E F ，连接,OE OF ，延长AO 交BC 于点D设OAB θ∠=，则23cos cos 212sin 4A θθ==-=，则sin 4θ=设x A A D AO B y ACλλλ=+= ∵,,B D C 三点共线，则1x y λλ+=，即1x y +=λ11111sin 114AO AO AO OF OE AD AO OD AO OF AO AO λθ==≤===+++++即87x y -+≤故选：D．变式16．点O 在ABC ∆所在平面内，给出下列关系式：（1）0OA OB OC ++= ；（2）OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅ ；（3）0AC BC BA OA O AB B AC BC BA AB 骣骣鼢珑鼢珑鼢×=×-=珑鼢珑鼢珑鼢 -梃uuu v uu u v uu v uu v uu u uu u v uuu v uu u v v uu u v uu v ；（4）()()0OA OB AB OB OC BC+⋅=+⋅=．则点O 依次为ABC ∆的（）A ．内心、外心、重心、垂心；B ．重心、外心、内心、垂心；C ．重心、垂心、内心、外心；D ．外心、内心、垂心、重心【答案】C【解析】（1）0OA OB OC ++=显然得出O 为ABC ∆的重心；（2）()00OA OB OB OC OB OA OC OB CA OB CA ⋅=⋅⇒⋅-=⇒⋅=⇒⊥，同理,OA CB OC AB ⊥⊥，所以O 为ABC ∆的垂心；（3）0AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA ⎛⎫⎛⎫ ⎪⋅-=⋅-=⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭OA,OB 分别是,BAC ABC ∠∠的角平分线，所以O 为ABC ∆（4）()020OA OB AB OM AB OM AB +⋅=⇒⋅=⇒⊥（M 是AB 中点）同理ON BC ⊥（N 是BC 中点），所以O 为ABC ∆的外心.故选：C .变式17．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 为ABC ∆内一点，若分别满足下列四个条件：①0aOA bOB cOC ++= ；②tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=；③sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=；④0OA OB OC ++= ；则点O 分别为ABC ∆的（）A ．外心、内心、垂心、重心B ．内心、外心、垂心、重心C ．垂心、内心、重心、外心D ．内心、垂心、外心、重心【答案】D【解析】先考虑直角ABC ∆，可令3a =，4b =，5c =，可得()0,4A ，()3,0B ，()0,0C ，设(),O m n ，①0aOA bOB cOC ++=，即为()()()()3,443,5,0,0m n m n m n --+--+--=，即有12120m -+=，12120n -+=，解得1m n ==，即有O 到x ，y 轴的距离为1，O 在BCA ∠的平分线上，且到AB 的距离也为1，则O 为ABC 的内心；③2220sin A OA sin B OB sin C OC ⋅+⋅+⋅=，即为()()()()2424,43,0,0,02525m n m n m n --+--+--=，可得320m -=，420n -=，解得32m =，2n =，由52OA OB OC ===，故O 为ABC 的外心；④0OA OB OC++=，可得()()()(),43,,0,0m n m n m n --+--+--=，即为330m -=，430n -=，解得1m =，43n =，由AC 的中点D 为()0,2，DB =，OB =O 分中线DB 比为2:3，故O 为ABC 的重心；考虑等腰ABC ∆，底角为30 ，设(C -，()2,0B ，()0,0A ，(),O x y ，②0tanA OA tanB OB tanC OC ⋅+⋅+⋅=，即为)()()(),2,10,033x y x y x y --+--+---=，0x =10y +=，解得1x =-，y =即(1,O -，由OC AB ⊥，1OA BC k k ⎛⋅==- ⎝⎭，即有OA BC ⊥，故O 为ABC 的垂心．故选：D题型四：外心定理例10．设O 为ABC 的外心，且满足2340OA OB OC ++= ，1OA =，下列结论中正确的序号为______．①78OB OC ⋅=- ；②2AB = ；③2A C Ð=Ð．【答案】①③【解析】由题意可知：1OA OB OC ===．①2340OA OB OC ++= ，则234OA OB OC =--，两边同时平方得到：492416OB OC =+⋅+ ，解得：78OB OC ⋅=- ，故①正确．②2340OA OB OC ++=，则2254OA OB OB OC -=-- ，254BA OB OC =-- ，两边再平方得到：242516406AB OB OC =++⋅= ．所以|2AB = ，所以②不正确．③2340OA OB OC ++=，432OC OB OA =-- ，两边平方得到：1694121312cos OA OB OA OB AOB =++⋅=+∠ ，1cos 4AOB ∠=，π0,2AOB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，同理可得：7cos 8BOC ∠=-，π,π2BOC ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，2AOB C ∠=∠，2COB A ∠=∠．故1cos 24C =，7cos 28A =-，且π0,4C ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，ππ,42A ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，2217cos 42cos 2121cos 248C C A ⎛⎫=-=⨯-=-= ⎪⎝⎭，即2A C Ð=Ð．故③正确．故答案为：①③例11．已知O 为ABC 的外心，3AC =，4BC =，则OC AB ⋅=___________．【答案】72-/-3.5【解析】如图：,E F 分别为,CB CA 的中点，则,OE BC OF AC ⊥⊥()OC AB OC CB CA OC CB OC CA⋅=⋅-∴=⋅-⋅ ()()B EC F OE C OF CAC =⋅-+⋅+ OE CB CB OF C C A E FC CA ⋅⋅-=+⋅-⋅ 2211||||22CB CA ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()()22117||916.222CA CB =-=⨯-=- 故答案为：72-.例12．已知O 是ABC 的外心，若22AC AB AB AO AC AO mAO ABAC⋅+⋅=uuu r uu u r uu u r uuu ruuu r uuu r uuu r uu u r uuu r，且sin sin B C +=，则实数m 的最大值为______．【答案】32/1.5【解析】设三角形ABC 的外接圆的半径为r ，2||||2()||||AC AB AB AO AC AO m AO AB AC ⋅+⋅=，∴根据向量数量积的几何定义可得：22211222b c c b mr c b ⋅+⋅=，即22bc mr =，∴=222m b c r r⋅，又sin sin B C +=，根据正弦定理可得sin 2b B r =，sin 2c C r =，∴22b cr r+∴2322(22224b cm b b r r r r +=⋅≤=，当且仅当22b c r r =时，即ABC 为等边三角形时取等号，∴324m ≤，32m ∴≤，∴实数m 的最大值为32．故答案为：32变式18．设O 为ABC 的外心，若=4AB，BC =，则BO AC ⋅=___________.【答案】2-【解析】如图，设D ､E 分别为,AB BC 的中点，则,OD AB OE BC ⊥⊥，所以()BO AC BO BC BA BO BC BO BA =-=-cos cos BO BC OBC BO BA OBA=∠-∠2211=··==222BE BC BA BD BC BA --- ,故答案为：-2.变式19．已知点O 是△ABC 的外心，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，π3A =，且cos cos 2sin sinBC AB AC OA C B λ⋅+⋅= ，则λ的值为________．【答案】【解析】如图，分别取AB ，AC 的中点D ，E ，连接OD ，OE ，则21122AB OA AB AB c ⋅=-⋅=- ；21122AC OA AC AC b ⋅=-⋅=- ，因为cos cos 2sin sin B C AB AC OA C Bλ⋅+⋅=，设ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理可得2sin sin sin a b cR A B C===，所以两边同时点乘OA 可得()()2cos cos 2sin sin B C AB OA AC OA OA CB λ⋅⋅+⋅⋅= ,即222cos 1cos 12sin 2sin 2B Cc b R C B λ⎛⎫⎛⎫⋅-+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以211cos cos 22sin 2sin c bc B b C R C Bλ-⋅⋅-⋅⋅=，所以2112cos 2cos 222R c B R b C R λ-⋅⋅-⋅⋅=,所以()cos cos 2c B b C R λ-+=，所以222222222a c b a b c c b R ac ab λ⎛⎫+-+--⋅+⋅= ⎪⎝⎭，即2a R λ-=，所以3sin sin 232a A R πλ=-=-=-=故答案为：32变式20．在ABC 中，6AB =，35AC =点M 满足1154AM AB AC =+．过点M 的直线l 分别与边,AB AC交于点,D E 且1AD AB λ= ，1AE AC μ= ．已知点G 为ABC 的外心，AG AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则AG 为______．【答案】310【解析】,,D M E 三点共线，∴可设()()101AM t AD t AE t =+-<<，15AB t AD ∴= ，()114AC t AE =- ，即15AD AB t = ，()141AE AC t =- ，()1151141t t λμ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩，即5t λ=，44t μ=-，()544AG t AB t AC ∴=+- ；()534CG AG AC t AB t AC ∴=-=+- ，()()5144BG AG AB t AB t AC =-=-+- ，G 为ABC 的外心，AG BG CG ∴==，()()()()()()()()22222222222404044304034254040515188t t AB AC t AC t t AB AC t AC t AB t t AB AC t AB t t AB AC⎧-⋅+-=-⋅+-⎪∴⎨+-⋅=-+--⋅⎪⎩，整理可得：()()()2210873603158810136036t AB AC t AC t t AB AC t AB t ⎧⋅=-=-⎪⎨-⋅=-=-⎪⎩，360315360361088t t AB AC t t --∴⋅==-，解得：t =t =()()22222223603629001044454488t AG AB AB AC AC t t t tt λλμμ-∴=+⋅+=+-⨯+-- ()2218012607201807490t t t t =--+=-+-=，AG ∴=故答案为：变式21．已知△ABC中，1AB AC BC ===，，点O 是△ABC 的外心，则CO AB ⋅=________.【答案】12/0.5【解析】在ABC 中，1AB AC ==，BC =O 是ABC 的外心，又222AB AC BC +=，所以ABC 是等腰直角三角形，所以O是三角形的斜边中点，所以111cos 451222CO AB BC AB ⋅=︒=⨯⨯．故答案为：12．变式22．已知点P 是ABC 的内心、外心、重心、垂心之一，且满足222AP BC AC AB ⋅=-，则点P 一定是ABC的（）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】B【解析】设BC 中点为D ，所以2AB AC AD +=，所以()()2222AP BC AC AB AC AB AC AB BC AD ⋅=-=+-=⋅ ，即()0BC AD AP BC PD ⋅-=⋅= ，所以BC PD ⊥ ，又由D 为BC 中点可得点P 在BC 的垂直平分线上，所以点P 是ABC 的外心，故选：B题型五：垂心定理例13．设O 为ABC ∆的外心，若OA OB OC OM ++=，则M 是ABC ∆的（）A ．重心（三条中线交点）B ．内心（三条角平分线交点）C ．垂心（三条高线交点）D ．外心（三边中垂线交点）【答案】C【解析】在ABC ∆中，O 为外心，可得OA OB OC ==，∵OA OB OC OM ++= ，∴OA OB OM OC +=- ，设AB 的中点为D ，则OD AB ⊥，2CM OD =，∴CM AB ⊥，可得CM 在AB 边的高线上．同理可证，AM 在BC 边的高线上，故M 是三角形ABC 两高线的交点，可得M 是三角形ABC 的垂心，故选：C例14．已知H 为ABC 的垂心（三角形的三条高线的交点），若1235AH AB AC =+，则sin BAC ∠=______.【解析】因为1235AH AB AC =+，所以2235BH BA AH AB AC =+=-+，同理1335CH CA AH AB AC =+=- ，由H 为△ABC 的垂心，得0BH AC ⋅= ，即22035AB AC AC ⎛⎫-+⋅= ⎪⎝⎭，可知222cos 53AC AC AB BAC =∠ ，即3cos 5AC BAC AB∠=，同理有0CH AB ⋅= ，即13035AB AC AB ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，可知213cos 35AB AC AB BAC =∠ ，即5cos 9AB BAC AC∠=，所以21cos 3BAC ∠=，2231cos 2sin 113∠∠=-=-=BAC BAC ，又()0,πBAC ∠∈，所以6sin 3BAC ∠=．故答案为：63.例15．已知H 是ABC 的垂心，2340HA HB HC ++=，则ABC 的最大内角的正弦值是_________．【答案】427【解析】法1：根据三角形五心的向量表达，有tan :tan :tan 2:3:4A B C =，设tan ,tan ,tan A B C 分别为2,3,4t t t ，根据三角恒等式tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，可得32342348t t t t t t t ++=⋅⋅⇒=因此ABC 的最大内角的正切值为46t =427．法2：因为H 是ABC 的垂心，故HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅，设HA HB HB HC HC HA m ×=×=×=-，则()2340HA HA HB HC ×++=，故272m HA =，同理，22HB m =，254m HC =，而πA BHC B CHA C BHA +Ð=+Ð=+Ð=，故cos HB HCA BHCHB HC×=-Ð=-×同理，cos B=cos C=因为cos cos cosC B A<<，故C最大，故sin7C=.变式23．设H是ABC的垂心，且4560HA HB HC++=，则cos AHB∠=_____．【答案】11-【解析】∵H是ABC的垂心，∴HA BC⊥，()0HA BC HA HC HB⋅=⋅-=，∴HA HB HC HA⋅=⋅，同理可得，HB HC HC HA⋅=⋅，故HA HB HB HC HC HA⋅=⋅=⋅，∵4560HA HB HC++=，∴24560HA HA HB HA HC+⋅+⋅=，∴2411HA HB HA-=⋅，同理可求得212HA HB HB⋅=-，∴2cos411HAHB HAHB HAAHBHB HA∠⋅==-，21cos2HBHB HAHB HAAHBHB HA∠⋅==-，∴22os11c AHB∠=，即cos11AHB∠=-.故答案为：11-．变式24．在ABC中，点O、点H分别为ABC的外心和垂心，||5,||3AB AC==，则OH BC⋅=________.【答案】8【解析】OH AH AO=-，()AOOH BC AH BC AH BC AO BC⋅=-⋅=⋅-⋅，因为H为垂心，所以0AH BC⋅=，OH BC AO BC⋅=-⋅，设,AOB A AOB B∠=∠=，外接圆的半径为r，由余弦定理得2222cosAB AO OB AO OB A=+-⋅⋅，312222cos r r r A =+-⋅，2222cos r r A =-⋅，同理2222cos AC AO OC AO OC A =+-⋅⋅，2222cos r r r B =+-⋅，2222cos r r B =-⋅，所以()AO BC AO BO OC ⋅=⋅+ ，AO BO AO OC =⋅+⋅ ，OA OB OA OC =⋅-⋅ ，cos cos OA OB A OA OC B =⋅⋅-⋅⋅ ，22cos cos r A r B =⋅-⋅，()22182AC AB =-⨯=-，所以OH BC ⋅= 8，变式25．在ABC 中，AB AC =，4tan 3C =，H 为ABC 的垂心，且满足AH mAB nBC =+ ，则m n +=___________.【答案】2132【解析】如图所示，D 为BC 的中点，不妨设4AD m =，则3BD m =.因为4tan tan 3BD BHD C HD ∠===，则94HD m =，则77416AH m AD ==，77177161621632AH AD AB BC AB BC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ，由此可得2132m n +=.。

专题:平面向量与三角形四心问题三角形四心指的是三角形的垂心、重心、内心和外心，在高考中常常结合平面向量的知识进行考察，是高中数学的一个难点.很多学生对三角形四心总是产生混淆，面对与四心有关的问题也常常束手无策，为了解决广大学子的困扰，本文以四心的常见结论出发，借助几道经典的例题，对三角形四心问题进行系统梳理，希望能够为读者提供帮助.如果读者是在校高中生，则标注了星号的内容可作为拓展知识. 一、三角形的内心（1）定义：三角形内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点（如图1）. （2）向量表示：若O 为△ABC 的内心→→→→=⋅+⋅+⋅⇔0OC c OB b OA a . （注：本文中的边a ，b ，c 分别表示BC ，AC ，AB .角A ，B ，C 分别表示BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠.）证明：→→→→→→→→→→=+⋅++⋅+⋅⇔=⋅+⋅+⋅0)()(0AC OA c AB OA b OA a OC c OB b OA a→→→→=⋅+⋅+⋅++⇔0)(AC c AB b OA c b a →→→⋅+⋅=⋅++⇔AC c AB b AO c b a )(||||||||)(→→→→→→→⋅⋅+⋅⋅=⋅++⇔AC AC AC c AB AB AB b AO c b a)||||()(→→→→→+⋅=⋅++⇔AC ACAB ABbc AO c b a)||||(→→→→→+⋅++=⇔AC ACAB AB c b a bc AO （图1）⇔点O 在角A 的角平分线上，同理点O 也在角B 、C 的角平分线上. ⇔O 为△ABC 的内心.（3）常用性质性质1：))(||||(R AC ACAB AB∈+⋅→→→→λλ所在的直线与A ∠的角平分线重合（经过内心）.证明：如图所示，||→→AB AB 表示→AB 上的单位向量，不妨记作→AD ，||→→AC AC 表示→AC 上的单位向量，不妨记作→AE .设→→→+=AE AD AP ，由平行四边形法则知，四边形ADPE 为菱形， 故直线AP 为A ∠的角平分线.))(||||(RAC ACAB AB∈+⋅∴→→→→λλ所在的直线与A ∠的角平分线重合（经过内心）.性质2：r c b a S ABC ⋅++=∆)(21（r △ABC 内切圆的半径）. 证明：由等面积法易证.性质3：O 为△ABC 的内心c b a S S S OAB OAC OBC ::::=⇔∆∆∆. 证明：由面积公式易证. （4）典例剖析例1-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足)||||(→→→→→→++=AC ACAB ABOA OP λ,),0(+∞∈λ.则动点P 的轨迹经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由性质1知，答案为A .例1-2：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若cb a PCc PB b PA a PO ++++=→→→→（其中P 是△ABC 所在平面内任意一点），则O 是△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由题意知→→→→→→++=++PC c PB b PA a PO c PO b aPO ，即+-→→)(PO PA a→→→→→=-+-0)()(PO PC c PO PB b ，化简得→→→→=⋅+⋅+⋅0OC c OB b OA a .根据内心的向量表示知，O 是△ABC 的内心，答案为A .例1-3：已知O 是△ABC 内的一点，且满足0)||||(=-⋅→→→→→AC ACAB ABOA ，则OA 所在的直线一定经过三角形的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：||→→AB AB 表示→AB 上的单位向量，不妨记作→1e ，||→→AC AC 表示→AC 上的单位向量，不妨记作→2e .故0)(21=-⋅→→→e e OA ，即→→→→⋅=⋅21e OA e OA ,即>>=<<→→→→21,,e OA e OA .∴直线OA 与A ∠的角平分线重合，故OA 所在的直线一定经过三角形的内心，答案A .二、三角形的外心（1）定义：三角形外接圆的圆心，即三角形三边中垂线的交点（如图2）. （2）向量表示：若O 为△ABC 的外心||||||→→→==⇔OC OB OA . （3）常用性质：奔驰定理*：已知O 为△ABC 内的一点（不一定为外心）， 则→→∆→∆→∆=⋅+⋅+⋅0OC S OB S OA S OAB OAC OBC .（该定理反之也成立）证明：不妨延长AO 到D （如下图），则 （图2）=++===∆∆∆∆∆∆∆∆ACD ABD OAC OAB ACD OAC ABD OAB S S S S S S S S AD AO ABC OACOAB S S S ∆∆∆+， 即→∆∆∆→+=AD S S S AO ABCOAC OAB .且根据B ，D ,C 三点共线知，→∆∆∆→∆∆∆→+++=AB S S S AC S S S AD OAC OAB OACOAC OAB OAB ，故→∆∆→∆∆→+=AB S S AC S S AO ABC OAC ABC OAB ，即)()(→→∆∆→→∆∆→-+-=-OA OB S S OA OC S S OA ABCOAC ABC OAB . →→∆→∆→∆=⋅+⋅+⋅∴0OC S OB S OA S OAB OAC OBC （反之易证）性质1*：O 为△ABC 的外心C B A S S S OAB OAC OBC 2sin :2sin :2sin ::=⇔∆.证明：如图2所示，O 为△ABC 的外心A R BOC R S OBC 2sin 212sin 2122=∠=⇔∆，B R AOC R S OAC 2sin 212sin 2122=∠=∆，C R AOB R S OAB 2sin 212sin 2122=∠=∆ C B A S S S OAB OAC OBC 2sin :2sin :2sin ::=⇔∆（R 为△ABC 外接圆半径）.性质2*：O 为△ABC 的外心→→→→=⋅+⋅+⋅⇔0)2(sin )2(sin )2(sin OC C OB B OA A . 证明：结合性质1与奔驰定理易证.（4）典例剖析例2-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足++=→→→2OCOB OP )cos ||cos ||(CAC AC BAB AB →→→→+λ，),0(+∞∈λ.则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：设线段BC 的中点为D ，故)cos ||cos ||(C AC AC BAB AB OD OP →→→→→→++=λ，即)cos ||cos ||(CAC AC BAB AB DP →→→→→+=λ,而)cos ||cos ||(CAC BC AC BAB BC AB BC DP →→→→→→→→⋅+⋅=⋅λ，即)cos ||cos ||||cos ||)cos(||||(CAC CBC AC B AB B BC AB BC DP →→→→→→→→⋅+-⋅=⋅πλ0|)|||(=+-=→→BC BC λ 即→→⊥BC DP ，故点P 在线段BC 的垂直平分线上. ∴动点P 的轨迹一定经过△ABC 的外心，答案B .例2-2：在△ABC 中，动点O 满足→→→→⋅=-BC AO AB AC 222，则点O 一定经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由题知→→→→→→⋅=+-BC AO AB AC AB AC 2))((，设D 为BC 的中点，则=⋅→→AD BC 2→→⋅BC AO 2,故0=⋅→→OD BC ,即→→⊥OD BC ，O ∴在BC 的垂直平分线上，故点O 一定经过△ABC 的外心，答案B .例2-3：已知O 为△ABC 所在平面内的一点，满足→→→→⋅=⋅BA OB AB OA ，=⋅→→BC OB→→⋅CB OC ，则O 为△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由→→→→⋅=⋅BA OB AB OA 知0)(=+⋅→→→OA OB AB ,即0)()(=+⋅-→→→→OA OB OA OB ，即||||→→=OA OB ,同理可得：||||→→=OC OB ，O ∴为△ABC 的外心，答案B .三、三角形的垂心（1）定义：三角形三条高的交点（如图3）.（2）向量表示：若O 为△ABC 的垂心→→→→→→⋅=⋅=⋅⇔OC OB OC OA OB OA . 证明：→→→→→→→→→→→⊥⇔=⋅=-⋅⇔⋅=⋅BC OA BC OA OB OC OA OC OA OB OA 0)(.同理→→⊥AC OB ,O AB OC ⇔⊥→→为△ABC 的垂心.（3）常用性质性质1*：O 为锐角△ABC 的垂心⇔=∆∆∆OAB OAC OBC S S S ::C B A tan :tan :tan . （图3）证明：ACDOC b BCDOC a OF b OE a S S OAC OBC ∠⋅⋅∠⋅⋅=⋅⋅=∆∆sin sin ,且在直角△BCD 和直角△ACD 中有 B BCD cos sin =∠，A ACD cos sin =∠.故BAA B B A A b B a S S OAC OBC tan tan cos sin cos sin cos cos =⋅⋅=⋅⋅=∆∆. 同理，CBS S OAB OAC tan tan =∆∆. C B A S S S OAB OAC OBC tan :tan :tan ::=∴∆∆∆，反之易证.性质2*：当O 为锐角△ABC 的垂心→→→→=⋅+⋅+⋅⇔0tan tan tan C OC B OB A OA .证明：利用性质1和“奔驰定理”易证. （4）典例剖析例3-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足)cos ||cos ||(CAC AC BAB AB OA OP →→→→→→++=λ，),0(+∞∈λ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由题知)cos ||cos ||(CAC AC BAB AB AP →→→→→+=λ,得=⋅+-⋅=⋅+⋅=⋅→→→→→→→→→→→→→→)cos ||cos ||||cos ||)cos(||||()cos ||cos ||(CAC CBC AC B AB B BC AB CAC BC AC BAB BC AB BC AP πλλ0|)|||(=+-→→BC BC λ，即→→⊥BC AP .P ∴在BC 边上的高上，过垂心，答案C .例3-2：已知O 为△ABC 所在平面内的一点，且满足=+=+→→→→2222||||||||AC OB BC OA22||||→→+AB OC ,则O 是△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由题知2222||||||||→→→→-=-BC AC OB OA ，即=+⋅-→→→→)()(OB OA OB OA)()(→→→→+⋅-BC AC BC AC ，即0)()(=+⋅++⋅→→→→→→OB OA AB BC AC AB ,即02=⋅→→OC AB ，故→→⊥OC AB ，同理→→⊥OB AC ，→→⊥OA BC∴O 是△ABC 的垂心，答案C .例3-3：设O 是△ABC 的外心，点P 满足→→→→=++OP OC OB OA ,则P 是△ABC 的（ ）A .内心B .任意一点C .垂心D .重心 解析：由题知→→→→→=-=+CP OC OP OB OA ，由于O 是△ABC 的外心，故→→→=+OD OB OA 2（D 为线段AB 的中点）且→→⊥AB OD ，即→→=OD CP 2，→→⊥∴AB CP ，同理→→⊥AC BP ，→→⊥BC AP ，故P 是△ABC 的垂心，答案C .四、三角形的重心（1）定义：三角形三条中线的交点（如图4）.（2）向量表示：若O 为△ABC 的重心→→→→=++⇔0OC OB OA . （3）常用性质 （ 图4 ）性质1：若O 为△ABC 的重心ABC OBC OAC OAB S S S S ∆∆∆∆===⇔31性质2：若O 为△ABC 的重心→→=⇔AF AO 32，→→=BD BO 32，→→=CF CO 32性质3：已知),(11y x A ，),(22y x B ,),(33y x C .若O 为△ABC 的重心)3,3(321321y y y x x x O ++++⇔.（4）典例剖析例4-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足)sin ||sin ||(CAC AC BAB AB OA OP →→→→→→++=λ，),0(+∞∈λ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由题知)sin ||sin ||(CAC AC BAB AB AP →→→→→+=λ，其中hC AC B AB ==→→sin ||sin ||（h 表示BC 边上的高），故)(hACh AB AP →→→+=λ→=AF h λ2（F 为线段BC 的中点）. P ∴在BC 边上的中线上，故动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心，答案D .例4-2：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足])21()1()1[(31→→→→++-+-=OC OB OA OP λλλ，R ∈λ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：设AB 的中点为D ，故])21()1(2[31→→→++-=OC OD OP λλ，由于+-3)1(2λ1321=+λ，即点P ，C ，D 三点共线. P ∴在AB 边上的中线上，故动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心，答案D .例4-3：已知O 在△ABC 内，且满足→→→→=++0432OC OB OA ，现在到△ABC 内随机取一点，次点取自△OAB ，△OAC ，△OBC 的概率分别记为1P 、2P 、3P ,则（ ）A .321P P P ==B .123P P P >>C .321P P P >>D .312P P P >> 解析：法一：如图，延长OA ，OB ，OC 使得OA OD 2=,OB OE 3=，OC OF 4=, 故→→→→=++0OF OE OD ，即O 是△DEF 的重心，即△OED 、△ODF 、 △OEF 的面积相等，不妨令它们的面积都为1. 61=∴∆OAB S ，81=∆OAC S ，121=∆OBC S ,故321P P P >>，答案C . 法二：由“奔驰定理”知，k S OBC 2=∆，k S OAC 3=∆，kS OAB 4=∆（k 为比例系数），故321P P P >>，答案C .法三：根据三角形内心的向量表示，不妨设O 是以2k ，3k ，4k （k 为比例系数）为边长的三角形的内心，所以OBC OAC OAB S S S ∆∆∆>>,即321P P P >>，答案C .五、等腰（边）三角形的四心 （1）等腰三角形等腰三角形只有顶角的角平分线与中线、高三线重合，其余的线不重合.另外，等腰三角形的四心不重合. （2）等边三角形性质1：若△ABC 为等边三角形⇔△ABC 四心合一. 性质2：若△ABC 为等边三角形⇔△ABC 三线合一. 六、欧拉线*瑞士数学家欧拉（1707~1783）于1765年在他的著作《三角形 的几何学》中首次提出：（如图5）任意△ABC （非等边三角形）的垂心D 、重心E 、外心F 三点共线，即欧拉线. （图5）特别地，（如图6）当△ABC 为直角三角形时（A 为直角），垂心D 与A 重合，外心F 在BC 的中点上，欧拉线为直角△ABC 的外接圆半径（或BC 边上的中线）.（图6）性质1：在任意三角形中，垂心与重心的距离是重心与外心距离的2倍，即EF DE 2=.。

高一数学四心知识点和论证数学是一门需要理解和掌握基础知识的学科，高一的学生们要在数学上打下坚实的基础。

在高一数学的学习中，有四个重要的知识点和论证方法，它们被称为“四心”，即数列的通项公式、函数的性质、平面几何的证明和立体几何的证明。

本文将详细介绍这四个知识点和论证方法的重要性和基本方法。

一、数列的通项公式数列是数学中常见的一个概念，它是按照一定规律排列的一组数。

在数学中，我们常常需要找到数列的通项公式，即能够根据数列的位置计算出该位置上的数值的公式。

数列的通项公式有助于我们快速计算数列中任意位置上的数值，从而更好地理解和分析数列的规律。

在高一数学中，学生们需要掌握通过观察数列前几项差值或比值的规律来推导数列的通项公式的方法。

二、函数的性质函数是高一数学中另一个重要的概念，函数可以描述一种量与另一种量之间的依赖关系。

函数的性质可以帮助我们更好地理解和分析函数，从而解决实际问题。

在高一数学中，学生们需要掌握函数的定义和函数的性质，如函数的奇偶性、单调性等。

理解函数的性质可以帮助我们准确地计算函数的值、绘制函数图像，并解决与函数相关的实际问题。

三、平面几何的证明平面几何是数学中的一个分支，它研究平面上的点、直线、角等几何元素的性质和关系。

在高一数学中，平面几何的证明是一个重要的学习内容。

通过学习平面几何的证明，可以培养学生的逻辑思维能力和推理能力。

在几何证明中，要注意清晰地陈述命题、概念和定理，并运用正确的推理方法进行证明。

四、立体几何的证明立体几何是平面几何的延伸，它研究三维空间中的物体的性质和关系。

在高一数学中，立体几何的证明同样是一个重要的学习内容。

通过学习立体几何的证明，可以培养学生的空间想象能力和推理能力。

在立体几何的证明中，要注意清晰地陈述命题、概念和定理，并使用正确的推理方法进行证明。

综上所述，高一数学中的四个重要知识点和论证方法“四心”，即数列的通项公式、函数的性质、平面几何的证明和立体几何的证明，对于打下数学基础、培养逻辑思维能力和推理能力具有重要意义。

三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

● 与“重心”有关的向量问题【命题1】 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC △的重心．如图⑴.A'A【命题2】已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心.【解析】由题意()AP AB AC λ=+，当(0)λ∈+∞，时，由于()AB AC λ+表示BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的重心，如图⑵.● 与“垂心”有关的向量问题【命题3】P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的垂心．【解析】由PA PB PB PC ⋅=⋅，得()0P B P A P C ⋅-=，即0P B C A ⋅=，所以PB CA ⊥．同图⑴图⑵理可证PC AB ⊥，PA BC ⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶.【命题4】已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．【解析】由题意cos cos AB AC AP AB B AC C λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭， 由于0cos cos AB AC BC AB B AC C ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭， 即0cos cos AB BC AC BC BC CB AB BAC C⋅⋅+=-=,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷.【命题5】若H 为ABC △所在平面内一点，且222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ 则点H 是ABC △的垂心 证明:2222HA HB CA BC -=-()()HA HB BA CA CB BA ∴+∙=+∙得()0HA HB CA CB BA +--∙= 即()0HC HC BA +∙= AB HC ∴⊥图⑶ 图⑷A同理,AC HB BC HA ⊥⊥， 故H 是△ABC 的垂心 与“内心”有关的向量问题【命题6】已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC ++=，则I 是ABC △的内心．【解析】∵IB IA AB =+，IC IA AC =+，则由题意得()0a b c IA bAB c AC ++++=，∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB AC ⎛⎫⎪+=⋅+⋅=⋅⋅+ ⎪⎝⎭， ∴bc AB AC AI a b c AB AC ⎛⎫ ⎪=+ ⎪++⎝⎭．∵AB AB 与AC AC 分别为AB 和AC 方向上的单位向量，∴AI 与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC ∠．同理可证：BI 平分ABC ∠，CI 平分ACB ∠．从而I 是ABC △的内心，如图⑸.【命题7】已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭uu u r uuu r uu u r uu r uu u r uuu r ，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心． 【解析】由题意得AB AC AP AB AC λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，∴当(0)λ∈+∞，时，AP 表示BAC ∠的平分图⑸图⑹B。