华师大版：23.4.三角形中位线ppt

中 点 四 边 形
平行四边形 组成___________
互相垂直的四边形各边中点组成______ 矩形 菱形 相等的四边形各边中点组成_____ 相等且互相垂直的四边形各边中点 正方形 组成_______
练习 1．已知三角形三条中位线的比为3：5：6， 三角形的周长是112cm，求三条中位线长。 2．如图所示，中，中线BD、CE相交于O，F、 G分别为OB、OC的中点。 (1) 求证：四边形DEFG为平行四边形。 (2)若OD=3,CG=2,求BF及EG的长度。
C
变题2、若四边形ABCD从普通的四边形变成矩 形，其它条件不变，则四边形EFGH的形状会变 化吗？为什么？
A H D
E
G C
B
F
变题3、若四边形ABCD从普通的四边形变成菱 形，其它条件不变，则四边形EFGH的形状会有 变化吗？为什么？
D
H
A E B
G C F
变题4、若四边形ABCD从普通四边形变成正方 形，其它的条件不变，则四边形EFGH的形状会 有变化吗？为什么？
图2
则∠B= 60 度，为什么？
（ 2 ）若 BC=8cm ，则 DE= 4 C cm，为什么？ 如图2：在△ABC中，D、 E、F分别是各边中点 AB=6cm，AC=8cm， BC=10cm，则△DEF的 周长= 12 cm
图1
E
C
例1 求证三角形的一条中位线与第三边 上的中线互相平分．
已知： 如图24．4．3所示，在△ABC中，AD＝DB，BE ＝EC，AF＝FC． 求证： AE、DF互相平分． 证明 连结DE、EF． ∵ AD＝DB，BE＝EC， ∴ DE∥AC（三角形的中位线平行 于第三边并且等于第三边的一 半）． 同理EF∥AB． ∴四边形ADEF是平行四边形． ∴ AE、DF互相平分（平行四边形 图 24.4.3 的解三角形的中位线 定义的两层含义:
D B
E
C
① 如果D、E分别为AB、AC的中点， 那么DE为△ABC的 中位线； ② 如果DE为△ABC的中位线，那么 D、E分别为AB、AC的 中点 。
活动
怎样将一张三角形纸片剪成两部分， 使分成的两部分能拼成一个平行四边形？
A
D
E
F
B
C
探索
A D E
3
图 24.4.5
例3
A E B
F C G H D
如图，在四边形ABCD中，E、 F、G 、H 分别是AB、BC、 CD、DA的中点。四边形 EFGH是平行四边形吗？为什 么？
变题1、若四边形ABCD从普通形状变成平行四 边形，其它条件不变，则四边形EFGH的形状会 变化吗？为什么？
A E B F H G D
提高练习： （1） 如图，AF=FD=DB， FG∥DE∥BC，PE=1.5。 Ｂ （2）已知:△ABC三边长分 别为a，b，c，它的三条中 位线组成△DEF,△DEF的 三条中位线又组成△HPN, 则△ HPN 的周长等于 ——— 1 ab c 周长的 为△ ABC ——, ——, 4 1 1 面积为△ABC面积的——
例2 如图24．4．4，△ABC中，D、E分别是
边BC、AB的中点，AD、CE相交于G． 求证： GE GD 1
CE AD 3
证明 :连结ED， ∵ D、E分别是边BC、AB的中点， ∴ DE∥AC， DE 1
（三角形的中位线平行于第三边并 且等于第三边的一半）， ∴ △ACG∽△DEG，
A
C
1 DEF = C ABC 2
B
D
E
1 SDEF= 4 SABC
F
C
中点四边形 概念：顺次连结四边形的各边中点所组成 的四边形叫做中点四边形。
结论1：
1 1 EF=HG= AC，EH=FG= BD 2 2
结论2： 四边形EFGH是 结论3：
C
EFGH=AC+BD
E 1 EFGH = S 四边形ABCD 2 B
A、B两点被池塘隔开，如何才 能知道它们之间的距离呢？
在AB外选一点C，连结AC和 BC，并分别找出AC和BC的中点M、 N，如果测得MN = 20m，那么A、 A B两点的距离是多少？为什么？
M 20 C 40
N
B
问题
A
如图1：在△ABC中，DE是 中位线 （1）若∠ADE=60°，
E
D B B D A 4 5 F 3
3.相似三角形的性质
（1）.相似三角形的对应边成比例， 对应角相等。 （2）.相似三角形对应高的比、对应 中线的比、对应角平分线的比、周长 的比都等于相似比。 （3）.相似三角形的面积比等于相似 比的平方。
新知探究
AF是△ABC的中线 我们把DE叫做△ ABC 的中位线
A
D
E
连接三角形两边 中点的线段,叫做 三角形的中位线
C
A E
中点
B
（2）直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半。
B
D 中点
C A
（3）直角三角形300角所对的 B 直角边等于斜边的一半。
C 300 A
四边形BCFD是平行四边形 吗？为什么？
F
B
C
探索
A D
DE是△ABC的中位线，猜想 DE与BC有怎样的位置关系和数 量关系？为什么？
E
F
B
C
如图， △ABC 中，点D、E分别是 AB与AC的中点， 猜想DE与BC有怎样的关系?为什么？ 1 猜想：DE∥BC，DE＝ BC 2
．
三角形的中位线平行于 第三边，并且等于它的 一半。
复习回顾
1.什么是相似三角形？
对应角相等，对应边成比例的两个三角 形叫做相似三角形。
2.相似三角形的判定方法有哪些？
1.定义法和“平行”定理 2.如果两个三角形两个角对应相等,那么这两 个三角形相似。 3.如果两个三角形的两组对应边成比例，且夹 角相等,那么这两个三角形相似。 4.如果两个三角形的三组对应边成比例，那么 这两个三角形相似。
A H D
E
G
B
F
C
练 习
1.顺次连接任意四边形的各边中点所得的四 平行四边形 边形是_________
2 .顺次连接对角线相等的任意四边形的各 菱 形 边中点所得的四边形是_________ 3.顺次连接对角线互相垂直的任意四边形的 矩 形 各边中点所得的四边形是_________
共同归纳
不相等且不互相垂直的四边形各边中点
4
Ａ
Ｆ Ｄ
4.5 9
3 Ｇ
1.5
4.5 ，BC= ———。 9 则DP= ———
Ｐ
Ｅ
Ｃ
A
D
B P
H N F
E C
16
知识补充：
中点三角形
概念：顺次连结三角形的各边中点所组成的三 角形叫做中点三角形
结论1： DE= 结论2： 结论3： 结论4：
ABC DEF
1 1 1 BC，DF= AC，EF= AB 2 2 2
AC 2
∴ GE GD DE 1
GC AG AC
2
图 24.4.4
∴
GE GD 1 CE AD 3
如果在图24．4．4中，取AC的 中点三角形三条边上 F，假设BF与AD交于G′， 如图 24.4.5，那么我们 的中线交于一点，这
图 24.4.4
．
个点就是三角形的重 G D G F 1 同理有 ， AD BF 3 心，重心与一边中点 所以 GD G D 1 的连线的长是对应中 AD AD 3 有 ，即两 1 线长的 图中的点G与G′是重合的．
A
H
D
G
结论4： S
F
C
三角形中位线定理应用：
⑴定理为证明平行关系提供了新的工具 ⑵定理为证明一条线段是另一条线段的2倍或 一半 提供了一个新的途径
方法点拨：
在处理问题时,要求同时出现三角形及中位线
①有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形
②有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线
证明线段倍分关系的方法常有三 D 中点 种： （1）三角形中位线定理。