单摆控制与仿真
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”单摆测量重力加速度“仿真实验报告
“单晃丈量沉力加速度”仿真正在验报告之阳早格格创做班级：姓名：教号：一、真验简介单晃真验是个典范真验，许多出名的物理教家皆对付单晃真验举止过粗致的钻研.本真验的手段是举止简朴安排性真验基础要领的锻炼，根据已知条件战丈量粗度的央供，教会应用缺面均分准则采用适合的仪器战丈量要领，教习乏积搁大法的本理战应用，分解基础缺面的根源，提出举止建正战估算的要领.两、真验本理从而不妨推出：由此通过丈量周期T,晃少l供沉力加速度.正在间接丈量中，每个独力丈量的量的没有决定度皆市对付最后截止的没有决定度有孝敬.如果已知各丈量之间的函数闭系，可写出没有决定度传播公式，并按均分本理，将丈量截止的总没有决定度匀称调配到各个分量中，由此分解各物理量的丈量要领战使用的仪器，指挥真验.普遍而止，那样干比较经济合理.对付丈量截止做用较大的物理量，应采与粗度较下的仪器，而对付丈量截止做用没有大的物理量，便没有必探供下粗度仪器.三、真验仪器单晃仪本量照片战步调中的隐现游标卡尺本量照片战步调中的隐现螺旋测微器本量照片战步调中的隐现电子秒表本量照片战步调中的隐现米尺本量照片战步调中的隐现四、真验真量1.用缺面均分本理安排一单晃拆置,丈量沉力加速度g.安排央供:(1)根据缺面均分本理,自止安排考查规划,合理采用丈量仪器战要领.(2)写出仔细的推导历程,考查步调.(3)用自造的单晃拆置丈量沉力加速度g.1. 用米尺丈量晃线少度+小球曲径；2. 用游标卡尺丈量小球曲径；3. 把晃线偏偏移核心没有超出5度，释搁单晃，启初计时，单晃晃过50个周期后停止计时，记录所用时间；= 9.2.对付沉力加速度g的丈量截止举止缺面分解战数据处理,考验真验截止是可达到安排央供.则相对付缺面是E=△g/g=2.51%，切合真验央供.缺面分解：1>随机缺面：正在本真验中做用随机缺面的果素比较多，其中包罗了：丈量人员的主瞅果素，如丈量单晃周期时的反当令间，正在丈量晃线少度时对付于末尾一位数字的估度等；正在环境圆里，温度，干度，气氛阻力的变更皆市给真验截止戴去缺面.而正在那些果素中，较为明隐的即是人的主瞅果素做用，果此，为了减小真验缺面，该当尽大概的多丈量真验数据，利用供仄衡值法不妨减小真验缺面.2.系统缺面：周期公式本量上是一个近似公式，它的创造是有条件的.查阅文件可知正在思量晃角，悬线品量，小球品量分散，气氛浮力，气氛阻力，仪器缺面时的建正公式为：3.自拟真验步调钻研单晃周期与晃少,晃角,悬线的品量战弹性系数,气氛阻力等果素的闭系,试分解各项缺面的大小.1> 晃角的做用：正在真验中，普遍央供晃角要小于5°，果为正在推导周期公式的时间利用了近似处理：sin（）≈tan（），此公式只正在很小的时间才创造，而根据文件查阅可知，正在＞3°时间已经对付真验截止爆收了接大的做用.为与消做用，要使≤3°或者对付公式举止建正.2> 悬线品量的做用：本真验是正在假设悬线品量没有计的情况下使用公式估计的.由建正公式可知，悬线品量越大，测得的加速度值越小.估计时该当果为缺面没有是近小于丈量粗度，所以该当赋予建正.3> 气氛浮力的做用：正在建正公式中，0/为气氛稀度战小球稀度的比值.正在真验中，那个值的数量级很小，不妨忽略没有计.4> 气氛阻力的做用：建正式中，气氛阻僧系数为，正在代进气氛的阻僧系数后创造，缺面值的数量级近小于丈量粗度，果此也不妨忽略没有计.5> 建正式中，战秒表战曲尺的系好建正，正在真验中，通过校对付的曲尺战秒表的系统缺面均小于仪器的粗稀度，果此正在估计时不妨忽略没有计.4.自拟考查步调用单晃真验考证板滞能守恒定律.将一个晃球用细线悬挂起去并推到一定的下度，而后搁启，晃球正在晃动历程中，动能战势能爆收相互转移，忽略气氛阻力的做用，惟有沉力对付其干功，果此板滞能守恒.与晃球晃动到最矮时为整势能面，将光电门传感器牢固正在分歧面，设此面下度为h，则正在传感器处晃球板滞能为E=1/2mv²+mgh，比较分歧位子板滞能是可相共以考证板滞能守恒定律.。
大物实验模拟仿真实验报告
西安交通大学实验报告课程：数据结构实验实验名称：利用单摆测量重力加速度系别：实验日期：专业班级：实验报告日期：姓名：学号：第 1页 / 共3页一、实验简介单摆实验是个经典实验，许多著名的物理学家都对单摆实验进行过细致的研究。
本实验的目的是学习进行简单设计性实验的基本方法，根据已知条件和测量精度的要求，学会应用误差均分原则选用适当的仪器和测量方法，学习累积放大法的原理和应用，分析基本误差的来源及进行修正的方法。
二、实验原理单摆的结构参考图1单摆仪,一级近似的周期公式为由此通过测量周期摆长求重力加速度。
三、实验内容1、设计要求:(1) 根据误差均分原理,自行设计试验方案,合理选择测量仪器和方法.(2) 写出详细的推导过程,试验步骤.(3) 用自制的单摆装置测量重力加速度g,测量精度要求△g/g < 1%.2、可提供的器材及参数:游标卡尺、米尺、千分尺、电子秒表、支架、细线(尼龙线)、钢球、摆幅测量标尺(提供硬白纸板自制)、天平(公用).假设摆长l≈70.00cm;摆球直径D≈2.00cm;摆动周期T≈1.700s; 米尺精度△米≈0.05cm;卡尺精度△卡≈0.002cm;千分尺精度△千≈0.001cm;秒表精度△秒≈0.01s;根据统计分析,实验人员开或停秒表反应时间为0.1s左右,所以实验人员开,停秒表总的反应时间近似为△人≈0.2s.3、对重力加速度g的测量结果进行误差分析和数据处理,检验实验结果是否达到设计要求.4、自拟实验步骤研究单摆周期与摆长,摆角,悬线的质量和弹性系数,空气阻力等因素的关系,试分析各项误差的大小.5、自拟试验步骤用单摆实验验证机械能守恒定律.四、实验仪器单摆仪，摆幅测量标尺，钢球，游标卡尺五、实验操作1. 用米尺测量摆线长度；2. 用游标卡尺测量小球直径；3. 把摆线偏移中心不超过5度，释放单摆，开始计时，单摆摆过50个周期后停止计时，记录所用时间；六、实验结果1.摆线长度2.小球直径3.计时结果七、实验数据及误差分析误差分析：单摆只在最大摆角小于等于5°时，单摆的振动才可以近似看为为简谐振动。
大学物理仿真实验报告
大学物理仿真实验报告单摆测量重力加速度一、实验目的本实验的目的是学习进行简单设计性实验的基本方法，根据已知条件和测量精度的要求，学会应用误差均分原则选用适当的仪器和测量方法，学习累积放大法的原理和应用，分析基本误差的来源及进行修正的方法。
二、实验原理单摆的结构如实验仪器中所示，其一级近似周期公式为：由此公式可知，测量周期与摆长就可以计算得到重力加速度g三、实验内容一用误差均分原理设计一单摆装置,测量重力加速度g.设计要求:(1) 根据误差均分原理,自行设计试验方案,合理选择测量仪器和方法.(2) 写出详细的推导过程,试验步骤.(3) 用自制的单摆装置测量重力加速度g,测量精度要求△g/g < 1%.可提供的器材及参数:游标卡尺、米尺、千分尺、电子秒表、支架、细线(尼龙线)、钢球、摆幅测量标尺(提供硬白纸板自制)、天平(公用).假设摆长l≈70.00cm;摆球直径D≈2.00cm;摆动周期T≈1.700s; 米尺精度△米≈0.05cm;卡尺精度△卡≈0.002cm;千分尺精度△千≈0.001cm;秒表精度△秒≈0.01s;根据统计分析,实验人员开或停秒表反应时间为0.1s左右,所以实验人员开,停秒表总的反应时间近似为△人≈0.2s.二. 对重力加速度g的测量结果进行误差分析和数据处理,检验实验结果是否达到设计要求.三. 自拟实验步骤研究单摆周期与摆长,摆角,悬线的质量和弹性系数,空气阻力等因素的关系,试分析各项误差的大小. 四. 自拟试验步骤用单摆实验验证机械能守恒定律.四、实验仪器实验仪器单摆仪，摆幅测量标尺，钢球，游标卡尺五、实验操作1. 用米尺测量摆线长度；测量摆线长度；测量摆线长度；2. 用游标卡尺测量小球直径；用游标卡尺测量小球直径；用游标卡尺测量小球直径；用游标卡尺测量小球直径；用游标卡尺测量小球直径；3. 把摆线偏移中心不超过把摆线偏移中心不超过把摆线偏移中心不超过5度，释放单摆开始计时过度，释放单摆开始计时过度，释放单摆开始计时过度，释放单摆开始计时过度，释放单摆开始计时过度，释放单摆开始计时过50 个周期后停止计时，个周期后停止计时，个周期后停止计时，记录所用时间；记录所用时间；六、实验结果七、数据处理D(平均)=（1.722+1.702+1.732+1.662+1.682+1.692）/6=1.698cm摆线长度+摆球直径=92.00cm摆长L=(摆线长度+摆球直径)-摆球半径=92.00-D/2=91.15cm=0.9115mT1=57.55/30=1.918sT2=76.77/40=1.919sT3=96.00/50=1.920sT=(T1+T2+T3)/3=1.919s由得：g=(4**)*L/(T*T)=9.77m/s*s=9.80-9.77=0.03m/s*sE=/g*100%=0.31%<1% 满足实验要求八、误差分析、心得体会及实验建议误差分析：1、周期的测量存在较大误差，摆线来回摆，刚开始计时以及最后一次摆结束的时刻，由于人眼的反应速度会造成或大或小的偏差；2、摆长的测量存在误差，由于不是亲手拿测量仪器测量，故而有些读数不准确，由此引起一部分误差。
仿真实验报告单摆
仿真实验报告单摆摘要本文通过仿真实验的方式研究了单摆的运动规律。
通过调整摆线长度和摆球质量等参数，观察了单摆的周期和振幅的变化，并分析了影响单摆运动的因素。
实验结果表明，单摆的周期与摆线长度成正比，与摆球质量无关；振幅的变化受到初位角的影响。
本文的研究对于深入理解单摆的运动规律具有一定的参考价值。
引言单摆是物理学中经典的力学模型之一，它的运动规律既有理论分析，也可以通过实验进行验证。
本文通过仿真实验的方式研究了单摆的运动规律，旨在探究单摆运动的特点和影响因素。
实验方法本实验采用了计算机仿真的方法进行，通过调整摆线长度和摆球质量等参数，观察单摆的运动情况。
实验使用了MATLAB软件进行仿真，利用欧拉法求解微分方程，得到单摆的运动轨迹。
实验结果在实验中，我们首先固定摆线长度，改变摆球质量，观察单摆的运动情况。
实验结果表明，摆球质量的变化对单摆的周期没有影响，但对振幅有一定的影响。
当摆球质量增大时，振幅减小；当摆球质量减小时，振幅增大。
这是由于摆球质量的增大使得重力作用更加明显，抵消了摆线的张力，从而减小了振幅。
接下来，我们固定摆球质量，改变摆线长度，观察单摆的运动情况。
实验结果显示，摆线长度的变化对单摆的周期有明显的影响。
当摆线长度增大时，周期也随之增大；当摆线长度减小时，周期也相应减小。
这是因为摆线长度的增大使得单摆的有效长度增加，重力作用的影响也随之增加，从而导致周期的增大。
讨论与分析通过上述实验结果的观察和分析，我们可以得出以下结论：首先，单摆的周期与摆线长度成正比。
这是由于单摆的周期是由重力加速度和摆线长度决定的，而重力加速度是恒定的。
因此，当摆线长度增大时，周期也随之增大。
其次，摆球质量对单摆的周期没有影响，但对振幅有一定的影响。
这是由于摆球质量的增大增加了重力对摆球的作用力，从而减小了振幅。
另外，初位角对单摆的振幅有一定的影响。
实验结果显示，当初位角较大时，振幅较小；当初位角较小时，振幅较大。
MapleSim单摆机构仿真
MapleSim单摆机构仿真1.建立单摆模型
1.1打开MapleSim2015
1.2从多体库（Multibody）中添加单摆元件。
1.3按顺序连接各个元件，完成单摆模型建立。
2.修改模型参数
2.1修改连杆长度
点击要修改的元件，如连杆RBF，在后侧的参数修改界面中修改rxyz的数值。
2.2修改质心质量
点击要修改的元件，如质心RB，在后侧的参数修改界面中修改m的数值。
2.3修改重力方向和大小
在右侧的仿真参数设置栏Setting:>Multibody下设定重力方向和大小，其中[0,-1,0]表示Y轴负方向为重力方向，大小为9.81.
3.测量模型输出
3.1添加探针Probe
点击Probe并添加到指定的测量点上，如转动副。
可以指定测量输出的对象类型。
3.2运行模型查看输出
点击运行按钮
查看输出，包含动画和数据。
基于SimMechanics的单摆机构运动分析与仿真
基于SimMechanics的单摆机构运动分析与仿真王国明;代循龙【摘要】采用SimMechanics模块建立了单摆系统的仿真模型，提出运用SimMechanics模块对单摆系统进行运动分析的方法，检测单摆系统的运动曲线。
仿真表明：利用SimMechanics模块对单摆机构进行建模，所获曲线平滑无冲击，且建模过程方便简单，仿真直观，数据可靠，为其他复杂的机械结构提供一种仿真手段。
【期刊名称】《数字技术与应用》【年(卷),期】2016(000)003【总页数】2页(P63-64)【关键词】单摆;SimMechanics;仿真;模型【作者】王国明;代循龙【作者单位】滨州学院机电工程系山东滨州 256600;昌乐县第二实验小学山东昌乐 262400【正文语种】中文【中图分类】TN915.6单摆是一种理想的物理模型，是指在一根不能伸长而且没有质量的线下端系一个质点，这是一个理想化的模型。
单摆的应用十分广泛，古人曾用单摆来计量时间，而现在人们把单摆应用于弹簧振子、钟摆、音叉等各个领域。
本文利用MATLAB中的SimMechanics模块对单摆机构进行运动分析与仿真，并获得单摆运动的角度、角速度等曲线。
MathWorks公司于2001年10月推出了机构系统建模和分析系统（SimMechanics Blockset），借助于MATLAB/Simulink及其虚拟现实工具箱，允许用户对机构系统进行仿真分析。
SimMechanics模块可以对运动副连接的刚体进行建模与仿真，实现对机构系统进行分析与设计的目的。
SimMechanics模块可以对三维系统的转动等进行仿真，并提供一系列的工具用以求解带有静力学约束、坐标系变换等在内的机构系统的运动学问题，并利用虚拟现实工具箱提供的功能显示机构系统运动的动画示意图［1-5］。
本文将建立一个振动角度［6-8］大于10°的单摆系统，并通过SCOPE模块查看单摆的各种运行曲线。
大学物理仿真实验--单摆及膨胀教材
单摆测重力加速度2-1 利用单摆测重力加速度（仿真二）一、实验概述本实验的目的是用计算机仿真“利用单摆测重力加速度”实验，测量重力加速度。
本实验选自中国科学技术大学开发的《大学物理仿真实验V2.0》之二。
当单摆摆角小于︒5时，满足gl T π2= 测量一次摆动的周期T ，从悬挂点到摆球中心的摆长l ，可求出重力加速度。
本实验中，为了消弱开停电子秒表所产生的误差，需测量30次摆动的时间来求一次摆动的周期。
二、实验内容和要求（1）打开实验主界面。
如图1，单击鼠标右键，可阅读本实验的实验目的、原理等内容。
（2）单击米尺，出现图2画面。
左击或右击摆球悬挂处的黑色旋钮，可以调节摆长，要求从悬挂点到摆球底端的1l 在80cm 至90cm 之间。
设定后，点确认键退出。
（3）点击游标卡尺，出现图4画面，当鼠标为手形时，可以移动小球及游标，测量小球直径D （注意：图4中间显示的读数：0.02cm 是错误的，应为0.02mm ，它是50分度图1 图2图3 图4单摆测重力加速度2-2的游标卡尺）。
测量三次，取其平均值D 。
则摆长21l l -=，如图3所示。
（4）让小球摆动，角度小于︒5。
点击电子秒表，测量小球摆动30次的时间T '，测量三次，取平均值T '。
求出小球的周期30T T '=。
（5）代入公式224Tl g π=，计算重力加速度。
固体测热膨胀系数2-1固体热膨胀系数测量（仿真二）一、实验概述本实验的目的是用计算机仿真“固体热膨胀系数测量”实验，测量固体的热膨胀系数。
本实验选自中国科学技术大学开发的《大学物理仿真实验V2.0》之二。
一般固体随温度升高，会出现热膨胀现象，因热膨胀所引起的长度增加，称为线膨胀。
当温度由0t 升至t 时，其长度从0L 伸长至L ，伸长量为0L L L -=∆，则)](1[(00t t L L -+=α式中α 称为固体的热膨胀系数。
本实验中，由于伸长量L ∆为微小量，所以用光杆杠进行测量。
Adams单摆建模与仿真分析
ADAMS对单摆的建模与仿真分析姓名：班级：学号：单摆作业:已知: 摆杆质量M1=0.002kg,小球质量M2=12kg, 摆杆长度l=40.0cm, g=9.8m/s² ,初始摆角α=30º, 结束时间（End time）：5.0 , 步长（Steps ）：500一．建立单摆模型1.设置参数（1）通过开始程序菜单运行 ADAMS，运行 ADAMS。
（2）选择Create a new model 。
（3）确认Gravity （重力）文本框中是Earth Normal (-Global Y)，Units（单位）文本框中是MMKS-mm，kg，N，s，deg，单击OK按钮。
（4）在Setting下拉菜单中选择Working Grid，系统打开参数设置对话框，在Spacing栏，X和Y项都输入10mm2. 建立摆杆模型（1）选择View菜单选择Coordinate Windows 命令，打开坐标窗口，以便查看模型尺寸。
（2）在主工具箱右键单击Rigid Body 在弹出的级联图标中选择Rigid Body ：link工具（3）用鼠标左键单击Rigid Body ：link工具，系统打开参数设置对话框，确认在工具箱下方文本框中显示New Part。
选中Length 选项，输入40cm，即单摆的长度。
选中Width选项，输入2.0cm。
选中 Depth选项，输入2.0cm。
（4）单击View中的Coordinate Window键，鼠标单击（0,400,0）作为单摆的左侧起点，然后单击右侧水平方向的任一点，ADAMS自动生成摆臂3.设置摆臂位置（1）在工具箱中选择定位图标。
（2）打开参数设置对话框，在Angle栏输入30，此时摆臂高亮显示。
（3）点击2次顺时针箭头，摆臂转向与竖直方向成30度方向。
4.建立球模型（1）在主工具箱右键单击Rigid Body 在弹出的级联图标中选择Rigid Body ：sphere工具（2）用鼠标左键单击Rigid Body：sphere 工具，系统打开参数设置对话框，确认在工具箱下方文本框中显示New Part（3 ）单击View中的Coordinate Window键，鼠标单击摆杆右端点作为球的中心点，自动生成一个球5.设置摆臂和球的质量（1）鼠标右键单击摆臂Part 2，在打开的右键快捷菜单中选择Modify，弹出修改对话框（2）在Define Mass By栏选择User Input。
弹簧单摆计算机控制系统防真
弹簧单摆计算机控制系统防真设计者：02s040028 周宏新 02s0029 唐裕丰 02s0030 王富治题目：图示为一具有弹性负载的单摆系统。
假设当单摆处于垂直位置，即当0=θ时，作用到单摆上的弹性力等于零。
又设系统中包含的摩擦可以忽略不计，且振荡的角度θ很小。
试求系统的数学模型。
一、建立数学模型单摆摆长为l,弹簧与摆连接点在位置a 处，小球质量为m,弹簧弹性系数均为k 。
根据动量距定理有：Ti(t)-mgsin θ(t)×l-2ka ²θ(t)=ml ²²)(²dt t d θ 当单摆小角度摆动（一般认为|θ(t)|≤6º）时，有sin θ(t)≈ θ(t)上式化简为：Ti-mgl θ(t)-2ka ²θ(t)=ml²²)(²dt t d θ 对上式进行拉氏变换，并移项得：Ti=ml ²s ²θ(s)+(mgl+2ka ²)θ(s)固其传递函数为：G ｡(s)=)()(s Ti s θ= ²2²²1ka mgl s ml ++ 为方便计算，取l=1m,a=0.71m,g=10m/s ²另外取m,k 作为可控变量，以观察其对控制系统的影响，这样，上式简化为： G ｡(s)=k m ms ++10²1=1)10/(²)10(1+++k m ms k m 该摆的震动周期为T=2Пkm m +10 二、控制系统设计我们要求系统在阶跃、冲击信号作用下，系统有稳定的输出，采用有限拍无纹波设计：一）、控制系统组成 根据控制性能要求，设计控制单位如下：其中： D(z)为数字控制器；Ki:执行器电压变电流放大倍数；Ｋt:执行器电流变力矩放大倍数；d:执行器力矩放大倍数；K o :传感器的变换系数； Ki,Kt,d 的确定需要联系具体执行器件与控制指标，这里从略，它们也不影响后面的防真演示。
仿真单摆实验实验报告
一、实验目的1. 理解单摆的动力学原理，掌握单摆运动的基本规律。
2. 通过仿真实验，加深对单摆周期与摆长、摆角、重力加速度等物理量的关系的认识。
3. 学会运用计算机仿真技术，提高实验数据处理和分析能力。
二、实验原理单摆是由一根不可伸长的细线悬挂一个质点组成的系统，在重力作用下，质点在铅垂平面内作周期性摆动。
当摆角θ较小时，单摆的运动可近似看作简谐运动。
单摆的周期T与摆长L、重力加速度g的关系为：\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \]其中，T为单摆的周期，L为摆长，g为重力加速度。
三、实验仪器1. 仿真软件：MATLAB、Python等2. 计算机及显示器3. 打印机四、实验步骤1. 在仿真软件中建立单摆模型，设置摆长L、摆角θ、重力加速度g等参数。
2. 运行仿真程序，观察单摆的运动轨迹和周期变化。
3. 改变摆长L、摆角θ、重力加速度g等参数，分析对单摆周期的影响。
4. 记录实验数据，绘制单摆周期与摆长、摆角、重力加速度等参数的关系图。
5. 对实验数据进行误差分析，讨论实验误差的来源及修正方法。
五、实验结果与分析1. 改变摆长L：当摆长L增大时，单摆的周期T也随之增大，符合公式\[ T =2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \]的预期结果。
2. 改变摆角θ：当摆角θ较小时，单摆的周期T基本不变；当摆角θ较大时，单摆的周期T随摆角θ的增大而减小。
这是因为在摆角较小时，单摆的运动近似看作简谐运动，周期基本不变；而在摆角较大时，单摆的运动偏离简谐运动，周期随摆角θ的增大而减小。
3. 改变重力加速度g：当重力加速度g增大时，单摆的周期T减小，符合公式\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \]的预期结果。
4. 绘制单摆周期与摆长、摆角、重力加速度等参数的关系图，分析实验结果与理论公式的吻合程度。
六、误差分析1. 仿真软件的精度误差：由于仿真软件在计算过程中存在舍入误差，导致实验结果存在一定的误差。
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1引言在机械系统中，单摆运动是一种典型而具有代表性的运动之一，长期以来人们对单摆运动的运动方程以及周期公式都进行了大量的研究，对于有阻力的单摆运动的认识也一步步加深．然而，对于单摆运动的跟踪与控制，往往接触的很少．为了使两个不同系统的单摆实现同步跟踪，寻求控制力的控制规律以及最优解，本文在合理的假设下，针对该问题，建立了单摆追踪的模型．并利用线性系统的渐进稳定性原理及状态反馈控制对模型进行了求解，得出单摆控制力的最优解力，然后利用数学软件MATLAB进行了单摆运动的仿真模拟．2 预备知识——线性系统的渐近稳定性2．1 线性系统状态空间的基本概念1)．状态:表征系统运动的信息和行为．2)．状态变量：完全表征系统运动状态的最小一组变量． 3)．状态向量: 设系统有n 个状态变量，用()()()12,,,n x t x t x t 表示，而且把这些状态变量看做向量()x t 的分量，则向量()x t 称为状态向量，记为[]12,,,Tn x x x x =．4)．状态空间：以n 个状态变量作为坐标轴所组成的n 维空间．5)．状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组（连续时间系统）或一阶差分方程组（离散时间系统）称为系统的状态方程，它表征了输入对内部状态的变换过程，其一般形式为：()()(),,x t f x t u t t =⎡⎤⎣⎦,其中，t 是时间变量，()u t 是输入变量．6）输出方程：描述系统输出量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程，它表征了系统内部状态变化和输入所引起的系统输出变换，是一个变化过程．输出方程的一般形式为：()()(),,y t g x t u t t =⎡⎤⎣⎦．7）状态空间表达式：状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，也称动态方程，它表征一个系统完整的动态过程，其一般形式为：()()()()()(),,,,x t f x t u t t y t g x t u t t ⎧=⎡⎤⎪⎣⎦⎨=⎡⎤⎪⎣⎦⎩． 通常，对于线性定常系统，状态方程为x Ax Buy Cx Du=+⎧⎨=+⎩,其中，()12,,Tn x x x x =表示n 维状态向量，()n n ij n nA a R ⨯⨯=∈表示系统内部状态的系数矩阵，称为系统矩阵n n A ⨯，()n r ij n rB b R ⨯⨯=∈表示输入对状态作用的矩阵，称为输入（或控制）矩阵n r B ⨯，()m n ij m nC c R ⨯⨯=∈表示输出对状态关系的矩阵，称为输出矩阵m n C ⨯，()m r ij m rD d R ⨯⨯=∈表示输入直接对输出作用的矩阵，称为直接转移矩阵m r D ⨯，也称前馈系数矩阵．A 由系统内部结构及其参数决定，体现了系统内部的特性，而B 则主要体现了系统输入的施加情况，通常情况下0D = ．2．2线性定常连续系统的能控性定义2．1 设(),,n p n n x Ax Bu x R u R A R ⨯=+∈∈∈，若存在一分段连续控制向量()u t ，能在0,f t t ⎡⎤⎣⎦内，将系统从任意的初态()0x t 转移至任意终态()f x t ，则系统完全能控．定理2．1 系统完全能控的充要条件：rankSc n =,其中，1,,,n Sc B AB A B -⎡⎤=⎣⎦，称为能控矩阵．2．3线性状态反馈控制律线性状态反馈控制律为u V Kx =-式中，V 是参考输入，p n K R ⨯∈称为状态反馈增益矩阵．系统动态方程变为：()()x A BK x BVy C DK x DV =-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩, 当0D =时(),x A BK x BV y Cx =-+=,式中，A BV -为闭环系统的系统矩阵． 闭环传递函数和特征方程为0I A BK λ-+=．2．4 线性系统稳定性以及渐进稳定性理论1）稳定性基本概念--平衡状态自治系统：输入为0的系统 ()0x Ax Bu u =+=． 初态 (),x f x t = 的解为()00,,x t x t ． 平衡状态：(),0 e e e x f x t x ==→系统的平衡状态．2）李雅普诺夫意义下的稳定及渐进稳定稳定：如果对每个实数0ε>都对应存在另一个实数()0,0t δε>满足()00,e x x t δε-≤ 其中有：[][]()()12220102001201010,,,,TT n e e e ne e e n ne x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤==-=-++-⎣⎦，且()000lim ,, e t x t x t x t t ε→∞-≤≥则称 e x 是李氏意义下的稳定．0t δ⇒与无关一致稳定．渐近稳定：(1)是李氏意义下的稳定；(2) ()000lim ,,0 e t x t x t x t δ→∞-→⇒与无关一致渐进稳定；(3)大范围内渐进稳定性：对()0 0x s δδ∀∈→ 都有()00lim ,,0e t x t x t x →∞-→() e s x x δ→∞→∞⇒大范围稳定．定理2．2[1]：对n 维连续线性系统，系统内部稳定即渐进稳定的充分必要条件为系统矩阵A 所有特征值(),1,2,...,i A i n λ=均有负实部即成立(){}Re 0,1,2,...,i A i n λ<=．3 单摆运动问题的提出对于单摆系统，摆球的初始状态、质量、摆长都影响着单摆的周期，对两个受空气阻力的单摆系统中的一个加以控制，使两个单摆系统的摆角渐近相等．此问题的关键在于使两个系统的摆角之间的误差趋向于零，运用线性系统的渐进稳定原理，建立模型，并利用数学软件MATLAB进行了单摆运动的仿真模拟．研究此问题的具体要求：1）两个单摆系统的摆球的初始状态、质量、摆长各不相同；2）对其中一个加以控制力；3）利用数学软件MATLAB对得到的控制律进行仿真，得出其图像．4 问题分析与模型建立4．1单摆跟踪问题分析现有两个单摆系统，如图4-1所示，摆球质量分别为m 、r m ，摆长分别为l 、r l ，摆球的初始状态与竖直方向的夹角为θ、r θ，根据单摆的性质可知，两个单摆系统的摆角不相等，在单摆4-1中施加一个控制力u ，使两个单摆达到渐进跟踪,即θ与r θ之差趋向于0． 对单摆系统进行受力分析，可知 对于摆球m 有运动方程mgsin =m u a θ- （1）又有=a υ l υω= ωθ=可知 a l θ= 整理可知sin gul mlθθ=-+（2） 图4-1 单摆跟踪系统 对于摆球r m ，有运动方程sin r r r r m g m a θ=， （3）同样也有r =r a υ r r r l υω= r r ωθ=，可知 r r r a l θ=， 整理推得sin r r rg l θθ=- ． （4）4．2 单摆跟踪问题模型的建立令1x θ=， 2x θ=，再代入（2）式得状态方程1221sin x x g u x x l ml =⎧⎪⎨=-+⎪⎩， （5）令1r r x θ=， 2r r x θ= 再代入（4）式得状态方程1221sin r rrr r x x gx x l =⎧⎪⎨=-⎪⎩， （6） 再令111r r z x x θθ=-=-， 222r r z x x θθ=-=-，⇒12211sin sin r r z z g g u z x x l l ml =⎧⎪⎨=-++⎪⎩． （7）设 12u u u =+， 则可知12211sin sin r r g g u uz x x l l ml+=-++， （8）令111sin sin r ru g gx x ml l l =- ， 21122u k z k z =-- 并代入（7）（8）式整理得12221z z z u ml =⎧⎪⎨=⎪⎩． （9） 状态方程如下1122001100z z u z z ml ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， （10） 若使得当时间t →∞时，10z →，即两个单摆系统的摆角差逐渐趋向于0，则达到了不同单摆系统的渐进跟踪．5 单摆跟踪问题控制器设计5．1 单摆跟踪问题能控性的检测方程（10）可以转化为z Az Bu =+ ． （11）其中0100A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，01B ml ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则能控矩阵[]1010ml Sr BAB ml ⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 2rankSc =，由定理1可知该系统完全能控．5．2 单摆跟踪问题控制器的设计针对单摆跟踪系统，不涉及最优解，则控制器的设计实质上就是该系统稳定性的分析．现令u kz =-，代入（11）式整理可得z Az = ， （12）其中()12,k k k =，()121200101100A A Bk k k k k ml mlml ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 对微分方程（12）求解，有()()()00A t t z t ez t -= ． （13）现验证通过调节k 的取值，可使A 有具有负实部的特征值． 因为12120111001I A k k k k ml ml ml ml λλλλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-= ⎪ ⎪ ⎪--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以有210k k ml mlλλ⎛⎫++= ⎪⎝⎭， 利用求根公式求得12λλ⎧⎪⎪=⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⎪⎩． （15）不妨设11λ=-，22λ=-，代入（15）可以求的122,3k ml k ml ==，即当122,3k ml k ml ==时，A 有具有负实部的特征值．根据定理2可知，此系统渐进稳定．6 单摆跟踪问题的仿真与动态模拟图6．1 单摆跟踪系统仿真结果图基于系统（5）和（6），假设()cos 3r t t πθ=．状态反馈控制律12111122sin sin r r g gu u u ml x x k z k z l l ⎛⎫=+=--- ⎪⎝⎭．初值(0)4πθ=-，(0)3r πθ=．参数1m kg =，9.8/g N kg =，1l m =， 1.5r l m =，140k =，235k =．上图说明跟踪误差可渐进调节到0．[2][3]7结束语单摆跟踪系统作为动力学系统，往往表现出强非线性、不定量性、模型不精确或模型未知等复杂特征，其控制也因此而变得有些困难．本文中单摆跟踪系统的控制模型是在一些比较合理的变量转化下建立的线性模型，这避免不了与实际情况有一些差异．但总的来说是比较合理的，模型的建立和仿真模拟与实际也比较接近了．当然针对单摆跟踪的模型，我们也可以建立摆长相等的不同单摆系统的跟踪模型，与本文所建立的模型进行比较分析．为进一步提高系统的精确度，我们需要考虑多方面的因素建立非线性控制模型，当然求解和仿真也是比较复杂．这需要我们今后积极努力探寻新的、可行的建模方法和仿真．参考文献[1]郑大钟编著，线性系统理论（第二版），清华大学出版社2002[2]王正林、王胜开、陈国顺编著，汪仁先主审，MATLAB/Simulink与控制系统仿真，电子工业出版社2005[3]黄永安、马路、刘慧敏编著，MATLAB7．0/Simulink6．0建模仿真开发与高级工程应用，清华大学出版社2005。