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(1)3 + 2/(3)l-2z 2-i3 — 4, 57 习题1复数与复变函数1.求下列复数的实部、虚部、共侧复数、模以及辐角:(2)2.将下列复数化为三角表示式和指数表示式:(1)一1 +病(2) l-cosQ + isin。
3.求下列各式的值: ⑴呻(2) (V3-O20154.设z = x +，y.将方程|z| + Rez = l表示为关于x,)，的二元方程，并说明它是何种曲线.5.设/为实参数，求曲线Z = M"+3(0<r<2^)的直角坐标方程.6.若复数Z] , z2满足Z] V 1 , Z? V 1 ,证明 z 2 —Z x = Z 2 — z 3 = Z3 — Z]7.如果复数Z] ,Z 9 Z3满足等式 二至—Z3一 z 3 - z, z 2并说明这些等式的儿何意义。
8 .试用复数乘法的儿何意义证明三角形内角之和等于;T.习题2解析函数1.填空：■f a(1)、已知/(z) = u + iv是解析函数，其中u = —ln(x2 + y2),则一^ = _________2 dy(2)^ 设/(z) = %3-3xy2 + (ajcy-y3)i在z平面上解析，则《/ =。
(3)、若/(z) = w + iv是复平面上的解析函数，则f'(z) = ____________ 尸- --------------------------- °(4)、对数函数W = lnz的解析区域为。
(5)Z JZ(—2) =、In(—2) = .2.利用导数定义推出：(Z〃)' = "Z〃T,3.下列函数何处可导？何处解析?(1 )> /(z) = 2x3 + 3y3i(2)> /(z) = xy2 +ix2y4•设叫寸+似2)+心3+女,2)为解析函数，试确I’m,"定的值5.求下列各式的值并给出它们的主值:(1)、L〃(一i).6.求下列函数的值:(2)、pl [ )4-171 / ](3)、3’(5)^ «i(6)、® 1 +，)7.解下列方程：(1 )> k=l + V3z(2)、ri 0 z =习题3复变函数的积分1. 分别沿y = x 与)，=疽算出积分f"(x 2 + iy)dz o2. 计算下列积分，其中C 为正向圆周。
第一章 复数与复变函数本章知识点和基本要求掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算； 熟悉复平面、模与辐角的概念；熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式； 了解区域的概念；理解复变函数的概念； 理解复变函数的极限和连续的概念。
一、填空题1、若等式))(()75(i y i x i i -+=-成立，则=x ______, =y _______.2、设(12)(35)13i x i y i ++-=-，则x = ，y =3、若1231izi i，则z4、若(3)(25)2i i zi，则Re z5、若421iz i i+=-+，则z = 6、设(2)(2)z i i =+-+，则arg z =7复数1z i =-的三角表示式为 ，指数表示式为 。
8、复数i z 212--=的三角表示式为 _________________，指数表示式为_________________.9、设i z 21=,i z -=12，则)(21z z Arg = _ _____.10、设4i e 2z π=,则Rez=____________. Im()z = 。
z11、.方程0273=+z 的根为_________________________________.12、一曲线的复数方程是2z i -=，则此曲线的直角坐标方程为 。
13、方程3)Im(=-z i 表示的曲线是__________________________. 14、复变函数12+-=z z w 的实部=),(y x u _________,虚部=),(y x v _________.15、不等式114z z -++<所表示的区域是曲线 的内部。
16二、判断题（正确打√，错误打⨯）1、复数7613i i +>+. ( )2、若z 为纯虚数，则z z ≠. ( )3、若 a 为实常数，则a a = （ ）4、复数0的辐角为0.5、()f z u iv =+在000iy x z +=点连续的充分必要条件是(,),(,)u x y v x y 在00(,)x y 点连续。
《复变函数与积分变换》试卷及答案一、填空题（本题共8小题，每小题2分，满分16分） 二、（1）)ln(-1i +的虚部是π43 三、（2）映射zw 1=把z 平面上的曲线122=+y x 映成w 平面上的曲线是 122=+v u 四、（3）设)nxy x (i y x my )z (f 23233++-=解析函数，则常数=m 1 ，=n -3 五、（4）沿x y =计算积分()i dz iy xi 6561102+-=+⎰+六、（5）若)2)((cos )(--=z i z z z f 的Taylor 级数为∑∞=+-01n nn )i z (c ，则该级数的收敛半径为2七、（6）设()z f 在10<<z 内解析，且()10=→z zf lim z ，则 ()[]=0,z f s Re i π2八、（7）设⎩⎨⎧≥<=,t ,,t ,)t (f 01001 ⎩⎨⎧≥<=,0,sin ,0,0)(2t t t t f 则=*)()(21t f t f ⎩⎨⎧<≥-0001t t t cos 九、（8）设t cos e )t (f t=，则)t (f 的Laplace 变换为[]=)t (f 2212+--s s s 二、选择题（本题共5小题，每小题2分，满分10分。
） （1）2z )z (f =在0=z 处（B ）（A ）解析 （B ）可导（C ）不可导 （D ）既不解析也不可导 （2）下列命题中正确的是（ D ）（A ）设y ,x ,iy x z +=都是实数，则()1≤+iy x sin （B ）设)z (g )z z ()z (f m--=0，)z (g 在点0z 解析，m 为自然数，则0z 为()z f 的m 级极点（C ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数 （D ）幂级数的和函数在收敛圆内解析（3）级数∑∞=-+02))1(1(n n n in（A ）（A ）条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ）发散 （D ）敛散性不定（4）设0=z 是zsin z e z421-的 m 级极点，则=m （ C ）（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2（5）设)()(0t t t f -=δ，则的)t (f 的Fourier 变换[]=)(t f （ D ）。
第一章 复变函数一、选择题（每题5分，共35分）1．=+-)31arg(i ( )A 、3πB 、 32πC 、3π-D 、32π-2．下列数中，为实数的是（ ）A.3)1(i - B. i cos C. Lni D. i e 23π-3．当iiz -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） A. i B. -i C. 1 D. -14．使得22z z =成立的复数z 是（ ）A.不存在B.唯一的C.纯虚数D.实数. 5．设z 为复数，则方程__||2z z i +=+的解（ ）A.i +-43 B. i +43 C. i -43 D.i --43 6．关于 zz zz +=→0lim ω下列命题正确的是（ ）A. 0=ωB. ω不存在C. 1=ωD. 1-=ω 7．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ） A. z cos 是有界函数 B. Lnz Lnz 22= C.z i z e zi sin cos += D. z z =2二、填空题（每题5分，共45分）8. 复数i312+-的辐角主值为 ； 9．设i e z 31+=，则=z ； 10．2=z ，4)arg(π=+i z ，则=z ；11.不等式522<++-z z 表示的区域为 . 12.已知112=-z e ，则=z ______________.13．=+6)31arg(i __________． 14．复数sincos33z i ππ=-的指数形式是__________．15．设121,1z i z =-=，求12z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭____________．16.31=______________.三、计算题17．（10分）计算i i 3)1(-18．（10分）计算i i 4)31arg(+第二章 解析函数一、选择题（每题6分，共42分）1．若)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么=a （ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2-2．若函数x y ax y x v +=22),(为调和函数，那么实常数=a （ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2-3．设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是（ ）（A ）若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 （B ）若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 （C ）若)(z f 与 )(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数 （D ）若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数4．下列说法不正确的是（ ）.ln(1)1A z z +>-在内解析， .arg ,B z 在除去原点和负实轴的复平面内解析 .()()C f z f z 在区域内可导等价于在区域内解析，.ln D z 在除去原点和负实轴的复平面内解析；5．下列命题中，正确的是（ ）.A.设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v =.B.解析函数的实部是虚部的共轭调和函数.C.若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则xu∂∂为D 内调和函数.D.以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数.6．函数()f z 在z 点可导是()f z 在z 点解析的（ ）条件 A.充分不必要 B. 必要不充分 C.充要 D. 非充分非必要 7．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ）A. z e z +B. 1sin 2+z z C. z e z +tan D. z e z +sin二、填空题（每题6分，共24分）8. 设)()()(22y axy i x y bx z f ++++=在复平面上处处解析，则b a +等于 ；9．)2ln(+z 的解析范围是 ； 10．设i f f +='=1)0(,1)0(，则=-→zz f z 1)(lim； 11. 设),(),()(y x iv y x u z f +=是解析函数，y y x v =),(,则)(z f '= .三、计算题12. 17分）讨论函数22)(iy x z f +=的可导性，如果可导，求出)(z f '。
13．（17分）已知xy ay x y x u ++=22),(，求常数a 及二元函数),(y x v 使得iv u +为解析函数且满足i i f +-=1)(.第三章 复变函数的积分一、选择题（每题5分，共20分）1．，为整数设)()(||10n z z dzI r z z n ⎰=-+-= 则下列结论正确的是（A ）,00==I n 时， (B) ,20i I n π==时， (C) ,00≠≠I n 时， (D) 有关；及的值与r z I 02．设C 是从i 到i +1的直线段，i x x y z f 23)(--=，则积分=⎰Cdz z f )(（A ）i -5.0 (B) i -1 (C)i 5.0 (D) i 5.01+3．dz z z z ⎰=-122＝（ ） A. i π8 B. i π8- C. 4 D. 0 4．设C 是从0到i 21π+的直线段，则积分=⎰cz dz ze（A ）e π5.01- (B) e π5.01-- (C)ei π5.01+ (D) ei π5.01- .二、填空题（每题5分，共10分）5. 设函数ds zs s s z f z ⎰=-+-=22173)(，则)1(f '等于____________．6．积分=-⎰=-dz z e zz 212 ； 三、计算题7．（15分）计算积分⎰+Cdz zz 2，C 是正向上半圆周πθθ≤≤=0,2i e z .8．（20分）计算积分dz z z i z z ⎰=--+210)3)(1()(19．（15分）计算积分 ⎰=+--533)3(i z dz z zz10．（20分）计算积分⎰-+C dz z z z)2)(12(，C 取正向圆周（1） 1||=z C 为； （2）21|1|=-z C 为第四章 复变函数的级数一、选择题（每题5分，共40分）1．下列级数中，条件收敛的级数为（ ） A.∑∞=1n ni )231(+ B.∑∞=1n nn i !)43(+ C. ∑∞=1n ni nD. ∑∞=1n 1)1(++-n i n2．若幂级数∑∞=0n n n z c 在i z 21+=处收敛，则该级数在2=z 处（ ）.A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.不能确定 3．6．下列级数绝对收敛的是（ ）111.ln(1)n n A i n ∞=+∑ 1(35).,!n n i B n ∞=+∑ 115.()2n n i C ∞=+∑， 1.nn i D n ∞=∑； 4．下列级数中，绝对收敛的级数为(A) ∑∞=+1)1(1n n in （B ）∑∞=+-1]2)1([n n n i n (C)∑∞=2ln n n n i （D ）∑∞=-12)1(n n n n i 5．∑∞=1)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R （） （A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）∞+6．幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<z 内的和函数为 （A ）)1ln(z + （B ）)1ln(z - （C ）)1ln(z +- (D) )1ln(z --7．以下关于级数的命题不正确的是（ ）A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑是绝对收敛的B.级数212(1)n n in n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑不收敛C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛D.在收敛圆周上，可能收敛8．若幂级数∑∞=0n n n z c 在i z 31+=处收敛，则该级数在4=z 处（ ）.A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定二、填空题（每题5分，共20分）9. 幂级数∑∞=1!n nnz nn 的收敛半径为 . 10．幂级数ΛΛ++++++-1324321n nz z z z 的和函数为 11．函数zze e 1+在∞<<z 0内展为罗朗级数为 ； 12. 幂级数∑∞=-1)2(n nnz 的收敛半径为 .三、计算题13．（20分）将函数2)1(1)(-=z z z f 在区域+∞<<||1z 内展开为罗朗级数．14．（20分）将函数)2(1)(+=z z z f 在区域2||0<<z 及2|2|0<+<z 内展开为罗朗级数．第五章 留数一、选择题（每题5分，共20分）1．设z=0为函数2z 41ez sin z-的m 级极点，则m=（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 22．0=z 是函数(1cos )ze z z -的（ ）A. 可去奇点B.一级极点C.二级极点D. 三级极点213. A ..D z e z zB C -=∞是的（ ）.可去奇点 二阶极点一阶极点 .本性奇点 4．1(2)z z -在点 z =∞ 处的留数为（ ）A.0B.1 C 5.0- D. 5.0二、填空题（每题5分，共15分）315.0( );z e z z-=是的阶极点6. z=0是函数z-sinz 的__________阶零点.7．设5cos 1)(zzz f -=，则=]0),([Re z f s ； 三、计算题8．（15分）求函数691zz z -+的所有奇点并判别类型。
9. （15分）设0z 是)(z f 的m 阶零点，求],)()([Re 0z z f z f s '10. （15分）利用留数理论求定积分I=dx x⎰+π20sin 2111．（20分）利用留数计算积分dz z z z ⎰=-2351第七章 傅里叶变换一、填空题1、设0, 0(), t 0t t f t e β-<⎧=⎨≥⎩，则[()]________F f t = 2、[1]_______F =3、设1[()]F f t i αω=+，则()f t = ； 4、设2()sin f t t =，则[()]F f t = ；5、已知()f t t =，且22[()]F f t ω=-，则122[](2)F ω--=- 二、单项选择题1、下列变换中，正确的是 ( )A.[()]1F t δ=B. [1]()F δω=C. 1[()]1F δω-=D. 1[1]()F u t -=2、设[()]()F f t F ω=，则[(1)()]F t f t -为 ( )A. ()()iF F ωω'+B. ()()iF F ωω'-C. ()()iF F ωω'-+D. ()()iF F ωω'-- 3、()0t t δ-的傅里叶变换[]0()F t t δ-为 （ ）A ．1B ．0tC ．0i t e ω-D ．0i t e ω4、设[()]()F f t F ω=，则[(23)()]F t f t -= （ ）A.2()3()iF F ωω'-B. 2()3()iF F ωω'+C. 2()3()iF F ωω'-+D. 2()3()iF F ωω'--三、计算题1、已知函数0,12,10()1,020,2t t f t t t -∞<<-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≤<+∞⎩，求它的傅里叶变换。
