八年级数学.培优 专题14 多边形的边与角

2023-2024学年八年级上数学：第十一章三角形
11.3
多边形及其内角和
一、多边形及其相关概念
1．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫
做多边形．多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边
形……，如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边
形．
2．相关概念：①多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．②多边形
的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．③连接多边形
不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
二、多边形的对角线
1．定义：多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，
叫做多边形的对角线．
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专题11.7多边形及其内角和（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】多边形及其相关概念1.多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.如果一个多边形由n（n是大于或等于3的自然数）条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形.2.多边形的相关概念（1）多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.（2）多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.（3）多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角.（4）多边形的外角：多边形的一边和它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.（5）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.特别提醒：①多边形的边数、顶点数及角的个数相等；②把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线.【知识点二】正多边形各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.正多边形必须满同时满足以下两个条件：①各边都相等；②各角都相等.【知识点三】凸多边形与凹多边形如图①所示，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形成为凸多边形；而图②就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画出CD所在的直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，所以我们称它为凹多边形.我们在学习中提到的多边形大都是凸多边形.【知识点四】多边形内角和定理n 边形的内角和等于（n-2）×180°.特别地，正n 边形每个内角的度数是（n−2）×180°.【知识点五】多边形外角和定理1.多边形的外角和：在多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和.2.多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】由多边形内角和公式求度数【例1】（23-24八年级上·河南许昌·阶段练习）求图中的x 的值(1)(2)【答案】(1)80；(2)110【分析】本题主要考查了多边形内角和定理：（1）根据四边形内角和为360度列出方程求解即可；（2）根据五边形内角和为()18052︒⨯-列出方程求解即可．（1）解：由题意得，1802509060360x x -+-++=，解得80x =；（2）解：由题意得，()20109018052x x x x +++-++=⨯-，解得110x =．【变式1】（23-24七年级下·全国·假期作业）若多边形的边数增加1，则其内角和的度数（）A ．增加180︒B ．为360︒C ．不变D ．减少【答案】A【分析】本题主要考查了多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式()2180n -⋅︒（n 为多边形的边数）成为解题的关键.根据多边形的内角和公式()2180n -⋅︒（n 为多边形的边数），然后进行判断解答.解：设多边形的边数为n ，则原多边形的内角和为()2180n -⋅︒，边数增加1后的多边形的内角和为()12180n +-⋅︒，∴()()121802180180n n +-⋅︒--⋅︒=︒，∴其内角和的度数增加180︒．故选A ．【变式2】（2024·四川自贡·中考真题）凸七边形的内角和是度．【答案】900【分析】本题主要考查了多边形内角和定理．应用多边形的内角和公式计算即可．解：七边形的内角和()()218072180900n =-⨯︒=-⨯︒=︒，故答案为：900．【题型2】由多边形内角和公式求边数【例2】（23-24八年级上·江西赣州·期末）下面是正多边形M 和N 的对话：求M 和N 的边数．【答案】M 和N 的边数分别是4和6【分析】本题主要考查多边形的内角和，掌握多边形内角和的计算方法以及多边形的性质是正确解答的关键．根据对话和多边形的内角和公式列方程求解即可；解：设M 的边数为2n ，N 的边数为3n ，由题意得：()()18022180321080n n ︒⨯-+︒⨯-=︒解得：2n =，24n ∴=，36n =，∴M 和N 的边数分别是4和6．【变式1】（22-23八年级上·山东威海·期末）如果一个正多边形每个内角都为140︒，那么该正多边形的边数是（）A ．六B ．七C ．八D ．九【答案】D【分析】此题主要考查了多边形的外角与内角．首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．解：∵正多边形的一个内角是140︒，∴它的外角是：18014040︒-︒=︒，360409︒÷︒=．即这个正多边形是九边形．故选：D ．【变式2】一个正多边形的内角和是1440︒，则这个多边形的边数．【答案】10【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．根据多边形的内角和公式列式求解即可．解：设这个多边形的边数是n ，则(2)1801440n -⋅︒=︒，解得10n =．故答案为：10．【题型3】由多边形内角和与外角和度数求边数【例3】（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知一个多边形的内角和与外角和的差刚好等于一个十边形的内角和，求这个多边形的边数．【答案】这个多边形的边数为12．【分析】设这个多边形的边数为n ，根据题意得出方程()()2180360102180n -⨯︒-︒=-⨯︒，求出方程的解即可．解：设这个多边形的边数为n ，根据题意得：()()2180360102180n -⨯︒-︒=-⨯︒，解得：12n =．答：这个多边形的边数为12．【变式】（23-24八年级下·浙江温州·期中）若n 边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n 是（）A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的内角和以及多边形的外角和；利用多边形的外角和是360度，一个n 边形的内角和等于它外角和的3倍，则内角和是3360⨯︒，而n 边形的内角和是()2180n -︒，则可得到方程，解方程即可．解：根据题意列方程，得：()21803360n -︒=⨯︒，解得：8n =，故选：C ．【题型4】由多边形内、外角和公式求角度【例4】（23-24八年级下·湖南永州·期中）一个正多边形的内角和是外角和的32倍，求这个正多边形一个内角的度数．【答案】108︒【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，设此多边形的边数为n ，根据题意得出()321803602n -⨯︒=⨯︒，求出n 的值即可．解：∵该正多边形的内角和等于外角和的32倍，∴设此多边形的边数为n ，则有：()321803602n -⨯︒=⨯︒，解得：5n =，∴内角的度数为()521801085-⨯︒=︒．【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形ABCD 中，AB CD ，ABE ∠是四边形ABCD 的外角，且ABE D ∠=∠，110C ∠=︒，则A ∠的度数是（）A ．110︒B ．50︒C ．70︒D ．35︒【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质和多边形内角和定理，掌握边形内角和定理是解题的关键．根据AB CD ，得出70ABC ∠=︒，再求出110D ∠=︒，根据四边形的内角和定理解答即可．解：∥ AB CD ，110C ∠=︒，180ABC C ∴∠+∠=︒，70ABC ∴∠=︒，ABE ∠ 是四边形ABCD 的外角，110ABE ∴∠=︒，ABE D ∠=∠ ，110D ∴∠=︒，3603607011011070A ABC C B ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒-=︒．故选：C【变式2】（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在五边形ABCDE 中，,1,2,3AB ED ∠∠∠∥分别是,,ABC BCD CDE ∠∠∠的外角，则123∠+∠+∠的度数为．【答案】180︒/180度【分析】此题主要考查了多边形的内角和，平行线的性质，熟练掌握多边形的内角和，平行线的性质是解决问题的关键．先根据多边形的内角和定理求出540A E ABC BCD CDE ∠+∠+∠+∠+∠=︒，再根据AB ED ∥得180A E ∠+∠=︒，进而得360ABC BCD CDE ∠+∠+∠=︒，然后根据邻补角的定义的1180ABC ∠=︒-∠，2180BCD ∠=︒-∠，3180CDE ∠=︒-∠，由此可得123∠+∠+∠的度数．解：∵五边形的内角和为：()52180540-⨯︒=︒，∴540A E ABC BCD CDE ∠+∠+∠+∠+∠=︒，∵AB ED ∥，∴180A E ∠+∠=︒，∴360ABC BCD CDE ∠+∠+∠=︒，∵1180ABC ∠=︒-∠，2180BCD ∠=︒-∠，3180CDE ∠=︒-∠，∴()123540180ABC BCD CDE ∠+∠+∠=︒-∠+∠+∠=︒．故答案为：180︒．【题型5】由多边形对角线数量求角度或对角线条数【例5】（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）【观察思考】【规律发现】（1）七边形的对角线条数为______．（2）三边形的对角线条数可表示为302⨯，四边形对角线条数可表示为412⨯，五边形的对角线条数可表示为522⨯，…，n 边形的对角线条数可表示为______．(3)【规律应用】若一个多边形的内角和为1620︒，求这个多边形的边数和对角线的条数．【答案】(1)14；(2)()32n n -(3)这个多边形的边数为11，对角线的条数为44．【分析】此题考查多边形对角线计算公式，多边形内角和公式，图形类规律探究，（1）根据各图形分别求出对角线条数，由规律即可得到答案；（2）利用（1）的计算结果即可得到规律；（3）设多边形的边数为n ，则列方程为()21801620n -⨯︒=︒，解得9n =，再根据（2）求出对角线．（1）三边形的对角线条数可表示为302⨯，四边形对角线条数可表示为412⨯，五边形对角线条数可表示为522⨯，六边形对角线条数可表示为632⨯，七边形对角线条数可表示为74142⨯=，故答案为：14；（2）三边形的对角线条数可表示为302⨯，四边形对角线条数可表示为412⨯，五边形对角线条数可表示为522⨯，…n 边形的对角线条数可表示为()32n n -，故答案为：()32n n -；（3）设多边形的边数为n ，则()21801620n -⨯︒=︒，解得11n =，对角线为()11113442⨯-=（条），∴这个多边形的边数为11，对角线的条数为44．【变式1】（23-24八年级上·河北唐山·期中）若从一个正多边形的一个顶点出发，最多可以引6条对角线，则它的一个内角为（）A ．1080︒B ．720︒C ．140︒D ．135︒【答案】C【分析】此题主要考查了多边形的对角线，多边形内角和公式及正多边形的内角，根据n 边形从一个顶点出发可引出()3n -条对角线，求得多边形的边数，结合多边形内角和公式及正多边形的内角求解是解决问题的关键．解：设正多边形边数为n ，由题意得：36n -=，可得9n =，则内角和：()180921260︒⨯-=︒，∴它的一个内角度数为：12609140︒÷=︒，故选：C ．【变式2】（2024·陕西咸阳·三模）已知某正多边形的每个外角均为72︒，则该正多边形的对角线共有条．【答案】5【分析】根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数36072=︒÷︒，进而求得多边形的对角线条数．本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．解：这个正多边形的边数：360725︒÷︒=，则对角线的条数是：15(53)52⨯⨯-=．故答案为：5．【题型6】由多边形截角问题【例6】（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）阅读下题及解题过程．如图（1），我们知道四边形的内角和为()42180360-⨯= ，现在将一张四边形的纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是多少？如图（2），剩余纸为五边形，所以剩余纸所有内角的和为()52180540-⨯= ．上面的解答过程是否正确？若正确，说出你的判断根据；若不正确，请说明原因，并写出你认为正确的结论．【答案】不正确，见解析，正确结论是将一张四边形纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是540︒或180︒或360︒．【分析】一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1，由此即可解决问题，考虑到不过顶点，只有一种情形，据此分析即可得出答案．上面的解答不正确，出错的原因是思考问题不全面．除了题目中的解法外，还要补充正确的解答如下：如图（1）所示，剪掉一个角后，剩余纸的所有内角的和是180︒；如图（2）所示，剪掉一个角后，剩余纸的所有内角的和是360︒．所以将一张四边形纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是540︒或180︒或360︒．【点拨】本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是记住一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．【变式1】（22-23八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（）A ．360︒B ．540︒C ．360︒或540︒D ．360︒或540︒或720︒【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和，找出五边形纸片剪去一个角出现的情况，再根据n 边形内角和公式()2180n -︒得出多边形的内角和，即可解题．解：如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是4或5或6，其中四边形内角和为360︒，五边形内角和为()52180540-⨯︒=︒，六边形内角和为()62180720-⨯︒=︒，∴得到的多边形的内角和是360︒或540︒或720︒，故选：D ．【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是2022︒，则少算的这个内角的度数为．【答案】138︒/138度【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，解不等式，设多边形的边数是n （3n ≥，且n 为整数），根据多边形内角和定理列出不等式()21802022n -⋅︒≥︒，进而求出14n =，再计算出该多边形内角和即可得到答案．解：设多边形的边数是n （3n ≥，且n 为整数），依题意得()21802022n -⋅︒≥︒，解得71330n ≥．∵少算一个内角，且该内角小于180︒，∴14n =．∴多边形的内角和是()1421802160-⨯︒=︒，∴少算的这个内角的度数为21602022138︒-︒=︒，故答案为：138︒．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2022·四川攀枝花·中考真题）同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角和”．请你在不直接运用结论“n 边形的内角和为(2)180n -⋅︒”计算的条件下，利用“一个三角形的内角和等于180°”，结合图形说明：五边形ABCDE 的内角和为540°．【分析】如下图，连接AD ，AC ，将五边形分成三个三角形，然后利用三角形的内角和定理求解即可．解：连接AD ，AC ，∴五边形ABCDE 的内角和等于AED ∆，ADC ∆，ABC ∆的内角和的和，∴五边形ABCDE 的内角和1803540=︒⨯=︒．【点拨】此题考查了三角形的内角和定理，熟练运用三角形内角和定理，并将五边形转化为三个三角形是解答此题的关键．【例2】（2024·四川遂宁·中考真题）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为1080︒的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（）A ．36︒B ．40︒C ．45︒D ．60︒【答案】C【分析】本题考查了正多边形的外角，设这个正多边形的边数为n ，先根据内角和求出正多边形的边数，再用外角和360︒除以边数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键．解：设这个正多边形的边数为n ，则()21801080n -⨯︒=︒，∴8n =，∴这个正多边形的每个外角为360845︒÷=︒，故选：C ．2、拓展延伸【例1】（23-24七年级下·江苏·期中）在平面内有n 个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，我们把具有这样性质的n 个点构成的点集称为爱尔特希点集，如图，四边形ABCD 的四个顶点构成爱尔特希点集，若平面内存在一个点P 与A ，B ，C ，D 也构成爱尔特希点集，则APB ∠=．【答案】36︒或72︒【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正多边形的内角，三角形内角和定理；由题意知,,,A B C D 为某正五边形的任意四个顶点时，即满足题意，分点P 为正五边形的中心和顶点两种情况讨论．解：依题意，当P 为正五边形的中心点时即满足题意，360725APB ︒∴∠==︒．当P 为正五边形的顶点时即满足题意，∴()1180108362APB ∠=︒-︒=︒故答案为：36︒或72︒．【例2】一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分：又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了45个48边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）A ．2022B ．2023C ．2024D ．2025【答案】C 【分析】根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，则各部分的内角和增加360︒．于是，剪过k 次后，可得()1k +个多边形，这些多边形的内角和为()1360k +⨯︒．因为这()1k +个多边形中有45个48边形，可求它们的内角和，其余多边形有()14544k k +-=-（个），而这些多边形的内角和不少于()44180k -⨯︒．可得不等式()()1360454618044180k k +⨯︒≥⨯⨯︒+-⨯︒，解不等式即可求得答案．解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，则各部分的内角和增加360︒．于是，设剪过k 次后，可得()1k +个多边形，这些多边形的内角和为()1360k +⨯︒．因为这()1k +个多边形中有45个48边形，它们的内角和()454821804546180⨯-⨯︒=⨯⨯︒，其余多边形有()14544k k +-=-（个），而这些多边形的内角和不少()44180k -⨯︒．所以()()1360454618044180k k +⨯︒≥⨯⨯︒+-⨯︒，解得：2024k ≥．故至少要剪的刀数是2024刀．故选C ．【点拨】此题考查了多边形的内角和的应用，关键是理解用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360︒．。

八年级上册数学多边形知识点总结
一、多边形的定义
1. 多边形是由三条或更多的线段组成的封闭图形。

2. 多边形的边界是线段，顶点是两条线段相交的地方。

3. 多边形的内角和为（n-2）×180°，其中n为多边形的边数。

二、多边形的分类
1. 根据边数的不同，可以分为三角形、四边形、五边形、六边形等。

2. 根据边是否相等，可以分为等边三角形、等腰梯形、正方形等。

3. 根据角的大小，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等。

三、多边形的性质
1. 多边形的内角和等于（n-2）×180°。

2. 多边形的外角和等于360°。

3. 多边形的对角线互相平分。

4. 多边形的任意一条对角线都可以将多边形分为两个三角形。

5. 多边形的任意一条中线都可以将多边形分为两个面积相等的部分。

四、多边形的周长和面积
1. 多边形的周长是指多边形所有边的长度之和。

2. 多边形的面积是指多边形内部的所有点到其边界的距离之和。

3. 计算多边形的周长和面积时，需要知道多边形的边长和角度。

五、多边形的相似性
1. 如果两个多边形的形状相同，但大小不同，那么这两个多边形就是相似的。

2. 两个相似的多边形，它们的对应边成比例，对应角相等。

3. 两个相似的多边形，它们的周长比等于对应边的比，面积比等于对应边的平方比。

第三节 多边形的边和角一、课标导航。

二、核心纲要1.多边形的有关概念 (1)多边形：在平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． (2)多边形的内角和外角：多边形相邻的两边组成的角叫做多边形的内角；多边形的边与它的邻边的 延长线组成的角叫做多边形的外角．(3)多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线． (4)正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．(5)凸、凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的图形叫做凸多边形，否则称为凹多边形．注：没有特殊说明的情况下，我们所说的多边形都是凸多边形．2．多边形的内角和n 边形的内角和公式：.180)2(⋅-n 3．多边形的外角和 n 边形的外角和等于.360注：多边形的外角和与边数无关． 4．多边形的对角线的条数 多边形的对角线的条数为：).3(2)3(≥-n n n 5．镶嵌(1)定义：用形状相同或不同的封闭的平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地拼接在一起， 这类问题叫做平面镶嵌．(2)镶嵌的条件：拼在同一顶点的几个多边形的内角和恰好为.360注：①用同一种多边形进行镶嵌的图形有：三角形、四边形、正六边形．（其中三角形和四边形是任意的）②用两种正多边形进行镶嵌的图形常用的有：常用的有正三角形和正四边形；正三角形和正六边形；正四边形和正八边形；还有正三角形和正十二边形；正五边形和正十边形， 本节重点讲解：一个条件（镶嵌的条件），两个概念（多边形的有关概念和镶嵌），两个定理（多边形的内角和及外角和定理）.三、全能突破基 础 演 练1．如果一个多边形的内角和等于它的外角和的两倍，则这个多边形是( )． A.四边形 B ．五边形 C ．六边形 D ．七边形2．某校初一数学兴趣小组对教材《多边形的内角和与外角和》的内容进行热烈的讨论，甲说：“多边形的边数每增加1，则内角和增加 180”；乙说：“多边形的边数每增加1，则外角和增加 180”；丙说：“多边形的内角和不小于其外角和”；丁说：“只要是多边形，外角和都是 360”．你认为正确的是( ) A.甲和丁 B ．乙和丙 C ．丙和丁 D ．以上都不对3．小华家装修房屋，用同边长的几种不同的正多边形砖铺地，顶点连着顶点，为铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有( )A.正三角形、正六边形 B ．正三角形、正五边形、正八边形 C ．正六边形、正五边形 D ．正八边形、正三角形4．如图11-3—1所示，在锐角△ABC 中，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，且BD ，CE 交于点F ，若=∠A,52 则BFC ∠的度数是( )．108.A 128.B 138.C 158.D5．如图11-3-2所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积为( )．2.πA 3.πB 4.πC π2.D6．如图11-3 -3所示，小林从P 点向西直走12米后，向左转，转动的角度为a ，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P ，则=α7．如图11-3 -4所示，求F E D C B A ∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数．8．(1)已知，P AOB ,65=∠是平面上的任意一点，过点P 作,,OB PF OA PE ⊥⊥垂足分别为点E 、F 求∠EPF 的度数．(2)探究AOB EPF ∠∠与有什么关系？（直接写出结论）(3)通过上面这两道题，你能说出如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角是什么关系？9．在四边形ABCD 中，,90=∠=∠D B(1)如图ll-3-5(a)所示，AE 、CF 分别是DCB BAD ∠∠和的角平分线，判断AE 与CF 的位置关系，并证明． (2)如图ll-3-5(b)所示，AE 、CF 分别是HCB GAD ∠∠和的角平分线，直接写出AE 与CF 的位置关系； (3)如图ll-3-5(c)所示，AE 、CF 分别是ECB BAD ∠∠和的角平分线，判断AE 与CF 的位置关系，并证明．能 力 提 升10.在凸十边形的所有内角中，锐角的个数最多是( )． A ．O B ．1 C ．3 D ．511.小学生雷雷要用一块等边三角形的硬纸片(如图ll-3-6(a)所示）做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子(边缝忽略不计，如图ll-3-6(b)所示），他在△ABC 内先画了一个等边△DEF，然后打算剪掉三个角(如四边形AMDN)，可是比划了半天，还是不知如何下手，用你学过的知识判断，若想正好剪下三个角，么MDN 的度数应为( )．o A 100. 110.B 120.C 130.D12．已知：如图11-3 -7所示，求=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠I H G F E D C B A13.过m 边形的一个顶点有7条对角线，n 边形没有对角线，K 边形共有K 条对角线，则nK m )(-=14．(1) 一个凸多边形除一个内角外，其余各角之和为,2750这个多边形的边数为 ，除去的这个内角的度数为(2)一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和是则原来多边形的边数是 (3)一个凸多边形的某一个内角的外角与其余内角的和恰为,500那么这个多边形的边数是15.遥控一辆赛车，先前进1m ，然后原地逆时针方向旋转角)1800(<<αα被称为一次操作，若五次操作后，发现赛车回到出发点，则α为16.探究题：我们知道等腰三角形的两个底角相等，如下面每个图中的△ABC 中，AB 、BC 是两腰，所以.BCA BAC ∠=∠利用这条性质，解决下面的问题：已知下面的正多边形中，相邻四个顶点连接的对角线交于点0，它们所夹的锐角为⋅321,,ααα如图11-3 -8所示：=1α =2α =3α当正多边形的边数是他（n>3）时，则=α17.已知：如图11-3 -9所示，在六边形ABCDEF 中，+∠=∠+∠+∠D C B A ,F E ∠+∠猜想可得六边形ABCDEF 中必有两条边是平行的． (1)根据图形写出你的猜想：(2)请证明你在(1)中写出的猜想．18.在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下空隙，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角)360(时，就拼成了一个平面图形． (1)请根据下列图形，填写表中空格，(2)如图11-3 -10所示，如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形． (3)不能用正五边形形状的材料铺满地面的理由是什么？(4)正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．19.阅读理解：如图11-3 -11所示，在正△ABC 中，M 、N 分别在BC 、AC 边上，若,60=∠AMN 则.21∠=∠小强是 这样论证的：‘．‘△ABC 是正三角形，.6011.603180+∠=∠+∠=∠∴==∠∴B AMC B又.21.602,60,2∠=∠∴+∠=∠∴=∠∠+∠=∠AMC AMN AMN AMC(1)类比应用：如图11-3 -12所示，将阅读理解中的正三角形换成正四边形ABCD ，M 、N 分别为BC 、CD 上的点，类似地：若=∠AMN ，则.21∠=∠请你用小强的证明方法论证． (2)拓展延伸：请你将上述命题推广到一般，如图11-3 -13所示，ABCDEF--是正n 边形． 写出命题：20.如图11-3 -14所示，在四边形ABCD 中，ABC ∠的角平分线及外角DCE ∠的平分线所在的直线相交于点F ，若;,βα=∠=∠D A(1)如图(a)所示，,180>+βα试用βα,表示 ,F ∠直接写出结论； (2)如图(b)所示，,180 <+βα请在图(b)中画出,F ∠并试用βα,表示 ;F ∠(3)一定存在F ∠吗？如有，写出F ∠的值，如不一定，直接写出βα,满足什么条件时，不存在.F ∠中 考 链 接21．（2012．北京）正十边形的每个外角等于( )．18.A 36.B 45.C 60.D22.（2012．四川德阳）已知一个多边形的内角和是外角和的,23则这个多边形是23.（2012．河北）用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图ll-3-15(a)所示，用n 个全等的正六边形按这种方式拼接，如图ll-3-15(b)所示，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n 的值为 ．巅 峰 突 破24.凸n 边形中有且仅有两个内角为钝角，则n 的最大值是( )． 4.A 5.B 6.C 7.D25．在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为,2002则这个多边形的边数是26.如图11-3 -16所示，六边形ABCDEF 中，=∠=∠=∠=∠=∠E D C B A ,F ∠且,3,11=-=+CD FA BC AB 求DE BC +的值.。

也。

者未闻有以家待之者国者未闻有以国待之者也，失其家失去家贵者安”子方曰：“亦贫贱者骄人耳！富敢骄人！国君而骄人，则失去国；大夫而骄人则。

失其乎？贫，谓子伏谒。

子击出，遭田子方于道，下车子方不为礼。

子击怒方曰：“富贵者骄人贱者骄人乎？学科：数学专题：多边形及其角度计算xx 主讲教师：重难点易错点解析题一那么这个多边形的边数是多少？140°，题面：题面：已知，一个凸多边形的每一个内角都是内角和是多少？外角和是多少？每一个顶点出发有多少条对角线？共有多少条对角线？边形：n n2) °(内角和=180 °外角和=360n3每一个顶点出发的对角线=??3nn? =对角线总条数2正多边形：边长相等、内角相等金题精讲题一初中生物教案、试题、试卷 - 1 -也。

待之者失其家者未闻有以家者也，大夫而骄人则失去家。

失其国者未闻有以国待之去国；敢骄人亦贫贱贱者骄方曰：子方不遭田子子击出，方于道，下车伏谒。

为礼。

子击怒，谓子“富贵者骄人乎？贫人乎？”子方曰：“者骄人耳！富贵者安！国君而骄人，则失下列拼法中不能镶嵌成一正方形和正六边形纸片若干张，题面：现有边长相同的正三角形、）个平面图案的是（．正方形和正六边形A B．正三角形和正方形 C．正三角形和正六边形．正三角形、正方形和正六边形D镶嵌问题题二题面：下图是为某机器人编制的一段程序，如果机器人在平地上按图所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为m.初中生物教案、试题、试卷 - 2 -也。

有以家待之者国待之者也，失其家者未闻失去家！国君而骄人，则失去国；大夫而骄人则。

失其国者未闻有以贵者安曰：“乎？贫，谓子伏谒。

子击出，遭田子方于道，下车子方不为礼。

子击怒方曰：“富贵者骄人贱者骄人乎？”子方亦贫贱者骄人耳！富敢骄人多边形外角和题三题面：. 倍，则这个多边形的内角和是一个多边形对角线的条数等于边数的5(1). 150°，那么这个多边形的对角线数目是(2)一个多边形的每一个内角都等于ppnm则边边形有(3)过边形的一个顶点有4条对角线，边形没有对角线，条对角线，pnm. )数为(+的正多边形每一个内角的度数是初中生物教案、试题、试卷- 3 -也。

八年级数学《多边形及其内角和》培优练习一、选择题(12×3=36分)1. 如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形的对角线的条数是( B)A．6 B．9 C．14 D．202. 如果一个正多边形的一个内角和它相邻外角的比是3∶1，那么这个多边形是( B)A．正六边形B．正八边形C．正十边形D．正十二边形3. 某商场营业厅准备装修地面，现有正三角形，正方形，正六边形这三种规格的花岗石板料（所有边长相等）若从其中选择两种不同的板料铺设地面，则不同的方案有( C )A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种4. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分∠ADC，∠B=45°，∠C=35°，则∠AED=(B)A. 80°B. 82.5°C. 90°D. 85°5. 小聪从点P出发向前走20m，接着向左转30°，然后他继续再向前走20m，又向左转30°，他以同样的方法继续走下去，当他走回点P时共走的路程是( C)A. 120米B. 200米C. 240米D. 300米6. 如图，△ABC中，角平分线AD、BE、CF相交于点H，过H点作HG⊥AC，垂足为G，那么∠AHE和∠CHG的大小关系为( C)A. ∠AHE＞∠CHGB. ∠AHE＜∠CHGC. ∠AHE=∠CHGD. 不一定7. 如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是( A)A. 59°B. 60°C. 56°D. 31°8. 有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为(B)A. 144°B. 84°C. 74°D. 54°9. 如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=∠EDC+∠BCD+140°，DF，CF分别平分∠EDC和∠BCD，则∠F的度数为(C）A. 100°B. 90°C. 80°D. 70°10. 如图∠1,∠2,∠3是正五边形ABCDE的三个外角，若∠A+∠B=230°,则∠1+∠2+∠3=( C )A. 140°B. 180°C. 230°D. 320°11. 如图，小明从A点出发，沿直线前进12米后向左转36°，再沿直线前进12米，又向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了(B)米．A ．100B ．120C ．140D ．6012. 如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 的外部时，则∠A 与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是( B ）A. ∠A=∠1-∠2B. 2∠A=∠1-∠2C. 3∠A=2∠1-∠2D. 3∠A=2（∠1-∠2） 二、填空题(5×3=15分)13. 一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是2520°，那么原多边形的边数是15，16，17 14. 如图，五边形ABCDE 中，AE ∥CD ，∠A =147°，∠B =121°，则∠C =__92°__．15. 如图，△ABC 中，∠B ＝∠C ，FD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∠AFD ＝152°， 则∠A 的度数为56°．16. 如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CABB的度数为80°．17. 如图，已知BE和CF是△ABC的两条高，∠ABC=48°，∠ACB=75°，则∠FDE=__123°__．三、解答题(8+9+10+10+10+10+12)18. 某同学采用把多边形内角逐个相加的方法计算多边形的内角和，求得一个多边形的内角和为1520°，当他发现错了以后，重新检查，发现少加了一个内角．问：这个内角是多少度？他求的这个多边形的边数是多少？解：设此多边形的内角和为x°，则有1520<x<1520+180，即180×8+80<x<180×9+80，因为x°为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，所以x=180×9=1620．所以9+2=11，1620°-1520°=100°．因此，漏加的这个内角是100°，这个多边形是11边形．19. 如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD＝∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．证明：（1）∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CF A＝90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAE，∴∠AED＝∠CFE，又∵∠CEF＝∠AED，∴∠CEF＝∠CFE．PB CD20. (1)如图①②,试研究其中∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系；(2)如果我们把∠1、∠2称为四边形的外角,那么请你用文字描述上述的关系式; (3)用你发现的结论解决下列问题:如图,AE 、DE 分别是四边形ABCD 的外角∠NAD 、∠MDA 的平分线,∠B +∠C =240°,求∠E 的度数. 解：（1）∵∠3、∠4、∠5、∠6是四边形的四个内角， ∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°. ∴∠3＋∠4＝360°－(∠5＋∠6). ∵∠1＋∠5＝180°，∠2＋∠6＝180°， ∴∠1＋∠2＝360°－(∠5＋∠6). ∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4.（2）四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和. （3）∵∠B ＋∠C ＝240°，∴∠MDA ＋∠NAD ＝240°. ∵AE 、DE 分别是∠NAD 、∠MDA 的平分线， ∴∠ADE ＝12∠MDA ，∠DAE ＝12∠NAD .∴∠ADE ＋∠DAE ＝12(∠MDA ＋∠NAD )＝120°.∴∠E ＝180°－(∠ADE ＋∠DAE )＝60°.21. （1）如图①，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，∠ACD 与∠B 有什么关系？为什么？ （2）如图②，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别在AC ，AB 上，且∠ADE ＝∠B ，判断△ADE 的形状是什么？为什么？（3）如图③，在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，∠C ＝90°，∠E ＝90°，AB ⊥BD ，点C ，B ，E 在同一直线上，∠A 与∠D 有什么关系？为什么？解：（1）∠ACD ＝∠B ，理由如下： ∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴∠ACD +∠A ＝∠B +∠DCB ＝90°， ∴∠ACD ＝∠B ；（2）△ADE 是直角三角形．∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别在AC ，AB 上，且∠ADE ＝∠B ，∠A 为公共角， ∴∠AED ＝∠ACB ＝90°， ∴△ADE 是直角三角新； （3）∠A +∠D ＝90°．∵在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，∠C ＝90°，∠E ＝90°，AB ⊥BD ， ∴∠ABC +∠A ＝∠ABC +∠DBE ＝∠DBE +∠D ＝90°， ∴∠A +∠D ＝90°．22. 如图，已知BD 是△ABC 的角平分线，CD 是△ABC 的外角∠ACE 的外角平分线，CD 与BD 交于点D ． （1）若∠A ＝50°，则∠D ＝ ； （2）若∠A ＝80°，则∠D ＝ ； （3）若∠A ＝130°，则∠D ＝ ； （4）若∠D ＝36°，则∠A ＝ ；（5）综上所述，你会得到什么结论？证明你的结论的准确性．解：如图，∵BD 是△ABC 的角平分线，CD 是△ABC 的外角∠ACE 的平分线， ∴∠ACE ＝2∠2，∠ABC ＝2∠1， ∵∠ACE ＝∠ABC +∠A ， ∴2∠2＝2∠1+∠A ， 而∠2＝∠1+∠D ，BE∴2∠2＝2∠1+2∠D ， ∴∠A ＝2∠D ， 即∠D ＝12∠A ，（1）当若∠A ＝50°，则∠D ＝25°； （2）若∠A ＝80°，则∠D ＝40°； （3）若∠A ＝130°，则∠D ＝65°． （4）若∠D ＝36°，则∠A ＝72°， 故答案为25°，40°，65°，72°； （5）综上所述，∠D ＝12∠A ；23. 如图1，已知线段AB 、CD 相交于点O ，连接AC 、BD ，则我们把形如这 样的图形称为“8字型”．（1）求证：∠A +∠C ＝∠B +∠D ；（2）如图2，若∠CAB 和∠BDC 的平分线AP 和DP 相交于点P ，且与CD 、AB 分别相交于点M 、N ． ①以线段AC 为边的“8字型”有 个，以点O 为交点的“8字型”有 个； ②若∠B ＝100°，∠C ＝120°，求∠P 的度数；③若角平分线中角的关系改为“∠CAP=∠CAB ，∠CDP=∠CDB ”，试探究∠P 与∠B 、∠C 之间存在的数量关系，并证明理由．（1）证明：在图1中，有∠A +∠C ＝180°﹣∠AOC ，∠B +∠D ＝180°﹣∠BOD ， ∵∠AOC ＝∠BOD ，∴∠A +∠C ＝∠B +∠D ； （2）解：①3；4；故答案为：3，4；②以M 为交点“8字型”中，有∠P +∠CDP ＝∠C +∠CAP ， 以N 为交点“8字型”中，有∠P +∠BAP ＝∠B +∠BDP ∴2∠P +∠BAP +∠CDP ＝∠B +∠C +∠CAP +∠BDP ，3131AAP∵AP 、DP 分别平分∠CAB 和∠BDC ， ∴∠BAP ＝∠CAP ，∠CDP ＝∠BDP ，∴2∠P ＝∠B +∠C ，∵∠B ＝100°，∠C ＝120°， ∴∠P ＝12（∠B +∠C ）＝12（100°+120°）＝110°； ③3∠P ＝∠B +2∠C ，其理由是： ∵∠CAP ＝13∠CAB ，∠CDP ＝13∠CDB ，∴∠BAP ＝23∠CAB ，∠BDP ＝23∠CDB ，以M 为交点“8字型”中，有∠P +∠CDP ＝∠C +∠CAP ， 以N 为交点“8字型”中，有∠P +∠BAP ＝∠B +∠BDP ∴∠C ﹣∠P ＝∠CDP ﹣∠CAP ＝13（∠CDB ﹣∠CAB ）， ∠P ﹣∠B ＝∠BDP ﹣∠BAP ＝23（∠CDB ﹣∠CAB ）．∴2（∠C ﹣∠P ）＝∠P ﹣∠B ， ∴3∠P ＝∠B +2∠C ．24. 已知：点D 是△ABC 所在平面内一点，连接AD 、CD ． （1）如图1，若∠A ＝28°，∠B ＝72°，∠C ＝11°，求∠ADC ；（2）如图2，若存在一点P ，使得PB 平分∠ABC ，同时PD 平分∠ADC ，探究∠A ，∠P ，∠C 的关系并证明；（3）如图3，在 （2）的条件下，将点D 移至∠ABC 的外部，其它条件不变，探究∠A ，∠P ，∠C 的关系并证明．解：（1）如图1，延长AD 交BC 于E ．BBP4321图3A B CDPA在△ABE 中，∠AEC ＝∠A +∠B ＝28°+72°＝100°， 在△DEC 中，∠ADC ＝∠AEC +∠C ＝100°+11°＝111°．（2）∠A ﹣∠C ＝2∠P ，理由如下：如图2，∠5＝∠A +∠1，∠5＝∠P +∠3， ∴∠A +∠1＝∠P +∠3，∵PB 平分∠ABC ，PD 平分∠ADC ， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠A +∠2＝∠P +∠4， 由（1）知∠4＝∠2+∠P +∠C ， ∴∠A +∠2＝∠P +∠2+∠P +∠C ， ∴∠A ﹣∠C ＝2∠P ．（3）∠A +∠C ＝2∠P ，理由如下：同（2）理知∠A +∠1＝∠P +∠3，∠C +∠4∴∠A +∠C +∠1+∠4＝2∠P +∠2+∠3， ∵PB 平分∠ABC ，PD 平分∠ADC ， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1+∠4＝∠2+∠3， ∴∠A +∠C ＝2∠P ．BDP54321图2AB CD P。

八年级数学竞赛例题专题讲解：多边形的边与角阅读与思考两个几何图形的全等是指两个图形之间的一种关系,其中最基本的关系是两个图形的点的对应关系,以及对应边之间、对应角之间的相等关系．全等三角形是研究三角形、四边形等图形性质的主要工具,是解决有关线段、角等问题的一个出发点,证明线段相等、线段和差相等、角相等、两直线位置关系等问题总要直接或间接用到全等三角形,我们把这种应用全等三角形来解决问题的方法称为全等三角形法．我们实际遇到的图形,两个全等三角形并不重合在一起,而是处于各种不同的位置,但其中一个是由另一个经过平移、翻折、旋转等变换而成的．了解全等变换的这几种形式,有助于发现全等三角形、确定对应元素．善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键,应熟悉涉及有关会共边、公共角的以下两类基本图形：例题与求解【例1】考查下列命题：①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；②两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高（或第三边上高）对应相等的两个三角形全等．其中正确命题的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个（山东省竞赛试题）解题思路：真命题给出证明,假命题举出一个反例．【例2】如图,已知BD 、CE 是△ABC 的高,点P 在BD 的延长线上,BP ＝AC ,点Q 在CE 上,CQ ＝AB ．求证：（1）AP ＝AQ ；（2）AP ⊥AQ ．（第十六届江苏省竞赛试题）解题思路：（1）证明对应的两个三角形全等；（2）证明∠P AQ ＝90°．【例3】如图,已知为AD 为△ABC 的中线,求证：AD ＜1()2AB AC ．（陕西省中考试题）解题思路：三角形三边关系定理是证明线段不等关系的基本工具,关键是设法将AB ,AC ,AD 集中到同一个三角形中,从构造2AD 入手．【例4】如图,已知AC ∥BD ,EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ,CD 过点E ． 求证：AB ＝AC ＋BD ．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：本例是线段和差问题的证明,截长法（或补短法）是证明这类问题的基本方法,即在AB 上截取AF ,使AF ＝AC ,以下只要证明FB ＝BD 即可,于是将问题转化为证明两线段相等．QABC DEOPABCD【例5】如图1,CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直线,CA ＝CB ,E ,F 分别是直线CD 上两点,且∠BEC ＝∠CF A ＝∠α．（1）若直线CD 经过∠BCA 内部,且E ,F 在射线CD 上,请解决下面两个问题：①如图2,若∠BCA ＝90°,∠α＝90°,则BE ＿＿＿＿CF ,EF ＿＿＿＿BE AF -（填“＞”、“＜”或“＝”）；②如图3,若0°＜∠BCA ＜180°,请添加一个关于∠α与∠BCA 关系的条件＿＿＿＿,使①中的两个结论仍然成立,并证明这两个结论；（2）如图4,若直线CD 经过∠BCA 的外部,∠α＝∠BCA ,请提出EF ,BE 、AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．（台州市中考试题）解题思路：对于②,可用①进行逆推,寻找△BCE ≌△CAF 应满足的条件．对于（2）可用归纳类比方法提出猜想．BCDEFαα图1ABCDEF 图2 ABCE F图3D ABCDEF图4A BCDE【例6】如图,在四边形ABCD 中,∠ACB ＝∠BAD ＝105°,∠ABC ＝∠ADC ＝45°． 求证：CD ＝AB ．（天津市竞赛试题）解题思路：由已知易得∠CAB ＝30°,∠GAC ＝75°,∠DCA ＝60°,∠ACB ＋∠DAC ＝180°,由特殊度数可联想到特殊三角形、共线点等．能力训练A 级1．如图,在△ABC 中,∠C ＝90°,BC ＝40,AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ,且DC ︰DB ＝3︰5,则点D 到AB 的距离是＿＿＿＿．2．如图,在Rt △ABC 中,∠BAC ＝90°,AB ＝AC ,分别过B ,C 作经过点A 的直线的垂线BD ,CE ,若BD ＝3cm,CE ＝4cm,则DE ＝＿＿＿＿．3．如图,△ABE 和△ACF 分别是以△ABC 的边AB 、AC 为边的形外的等腰直角三角形,CE 和BF 相交于O,则∠EOB ＝＿＿＿＿．4．如图,四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点E ,若AC 平分∠DAB ,且AB ＝AE ,AC ＝AD ．有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②BC ＝DE ；③∠DBC ＝12∠DAB ；④△ABE 是等边三角形．请写出正确结论的序号＿＿＿＿．（把你认为正确结论的序号都填上）（天津市中考试题）ABCD 第1题AD E第2题ABCEFO第3题ABCDE第4题AB CD5．如图,点E 在△ABC 外部,点D 在BC 边上,DE 交AC 于F ,若∠1＝∠2＝∠3,AC ＝AE ,则（ ）A ．△ABD ≌△AFDB ．△AFE ≌△ADCC ．△AFE ≌△DFCD ．△ABC ≌△ADE6．如图,△ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝BC ,AD 平分∠CAB 交BC 于D ,DE ⊥AB 于E ．若AB ＝6cm,则△DEB 的周长为（ ）A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm7．如图,从下列四个条件：①BC ＝B 'C ；②AC ＝A ′C ；③∠A ′CA ＝∠B ′CB ；④AB ＝A ′B ′中,任取三个为题设,余下的一个为结论,则最多可以构成的正确命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（北京市东城区中考试题）8．如图1,在锐角△ABC 中,AD ⊥BC 于D ,BE ⊥AC 于E ,AD 与BE 交于F ,且BF ＝AC ． （1）求证：ED 平分∠FEC ；（2）如图2,若△ABC 中,∠C 为钝角,其他条件不变,（1）中结论是否仍然成立？若不成立,请说明理由；若成立,请给予证明．9．在等腰Rt △AOB 和等腰Rt △DOC 中,∠AOB ＝∠DOC ＝90°,连AD ,M 为AD 中点,连OM ． （1）如图1,请写出OM 与BC 的关系,并说明理由；（2）将图1中的△COD 旋转至图2的位置,其他条件不变,（1）中结论是否成立？请说明理由．第5题ABCDE F 321ABCDE第6题ABCB 'A '第7题A BCDE F图1ABD EFC图210．如图,已知∠1＝∠2,EF ⊥AD 于P ,交BC 延长线于M ．求证：∠M ＝1()2ACB B ∠-∠． （天津市竞赛试题）11．如图,已知△ABC 中,∠A ＝60°,BE ,CD 分别平分∠ABC ,∠ACB ,P 为BE ,CD 的交点． 求证：BD ＋CE ＝BC ．12．如图,已知点D 为等腰直角△ABC 内一点,∠CAD ＝∠CBD ＝15°,E 为AD 延长线上的一点,且CE ＝CA ．ABCDM O图1ABCDM O图2A BC DE PABCDEF MP21（1）求证：DE 平分∠BDC ；（2）若点M 在DE 上,且DC ＝DM ,求证：ME ＝BD ．（日照市中考试题）B 级1．在△ABC 中,高AD 和BE 交于H 点,且BH ＝AC ,则∠ABC ＝＿＿＿＿．（武汉市竞赛试题）2．在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,若AB ＝5,AC ＝3,则AD 的取值范围是＿＿＿＿．（“希望杯”竞赛试题）3．如图,在△ABC 中,AB ＞AC ,AD 是角平分线,P 是AD 上任意一点,在AB -AC 与BP -PC 两式中,较大的一个是＿＿＿＿．4．如图,已知AB ∥CD ,AC ∥DB ,AD 与BC 交于O ,AE ⊥BC 于E ,DF ⊥BC 于F ,那么图中全等的三角形有（ ）A ．5对B ．6对C ．7对D ．8对5．如图,AD 是△ABC 的中线,E ,F 分别在AB ,AC 上,且DE ⊥DF ,则（ ） A ．BE ＋CF ＞EF B ．BE ＋CF ＝EFC ．BE ＋CF ＜EFD ．BE ＋CF 与的大小关系不确定（第十五届江苏省竞赛试题）6．如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等,那么这两个三角形的第三边所对的角（ ）A ．相等B ．不相等C ．互余D.互补或相等 （北京市竞赛试题）ABC 第2题DA BC PD第3题A BCD E FO 第4题第5题A BCDEF A7．如图,在△ABE 和△ACD 中,给出以下四个论断：①AB ＝AC ；②AD ＝AE ；③AM ＝AN ；④AD ⊥DC ,AE ⊥BE ．以其中三个论断为题设,填入下面的“已知”栏中,一个论断为结论,填入下面的“求证”栏中,使之组成一个真命题,并写出证明过程．已知：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 求证：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（荆州市中考试题）8．如图,在四边形ABCD 中,AC 平分∠BAD ,过C 作CE ⊥AB 于E ,并且AE ＝1()2AB AD ,求∠ABC ＋∠ADC 的度数． （上海市竞赛试题）9．在四边形ABCD 中,已知AB ＝a ,AD ＝6,且BC ＝DC ,对角线AC 平分∠BAD ,问a 与b 的大小符合什么条件时,有∠B ＋∠D ＝180°,请画出图形并证明你的结论．（河北省竞赛试题）10．如图,在△ABC 中,∠ABC ＝60°,AD ,CE ：分别平分∠BAC ,∠ACB ．求证：AC ＝AE ＋CD ．（武汉市选拔赛试题）ABC DEM NABCDE11．如图,在Rt △ABC 中,∠B ＝90°,AP ,CQ 分别平分∠BAC ,∠BCA ．AP 交CQ 于I ,连PQ ． 求证：IAC ACPQS S ∆四边形为定值．12．在△ABC 中,∠ACB ＝90°,AC ＝BC ,直线MN 经过点C ,且AD 丄MN 于O ,BE ⊥MN 于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时,求证：DE ＝AD ＋BE ； （2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,求证：DE ＝AD -BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时,试问：DE ,AD ,BE 有怎样的等量关系？请写出这个等量关系,并加以证明． （海口市中考试题）ABCDEMN图1CMN图3DEB CMN图2DEQAB CIPA BCDEO13．CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直线,CA ＝CB ,E ,F 分别是直线CD 上两点,且∠BEC ＝∠CF A ＝∠α．（1）若直线CD 经过∠BCA 内部,且E ,F 在射线CD 上,请解决下面两个问题：①如图1,若∠BCA ＝90°,∠α＝90°,则BE ＿＿＿＿CF ,EF ＿＿＿＿BE AF -（填“＞”、“＜”或“＝”）；②如图2,若0°＜∠BCA ＜180°,请添加一个关于∠α与∠BCA 关系的条件＿＿＿＿,使①中的两个结论仍然成立,并证明这两个结论；（2）如图3,若直线CD 经过∠BCA 的外部,∠α＝∠BCA ,请提出EF ,BE 、AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．（台州市中考试题）ABCDEF 图1ABCEF图2DABCDEF图3。

八年级数学竞赛专题训练14 多边形的边与角阅读与思考主要是指多边形的边、内外角、对角线、凸多边形、凹多边形等基本概念和多边形内角和定理、外角和定理，其中多边形内、外角和定理是解有关多边形问题的基础．多边形的许多性质与问题往往可以利用三角形来说明、解决，将多边形问题转化为三角形问题是解多边形问.题的基本策略，转化的方法是连对角线或向外补形．多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，但外角和却总是不变的，所以，我们常以外角和的“不变”来制约内角和的“变”，把内角问题转化为外角问题来处理，这是解多边形相关问题的常用技巧．例题与求解【例1】两个凸多边形，它们的边长之和为12，对角线的条数之和为19，那么这两个多边形的边数分别是＿＿＿＿和＿＿＿＿．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：设两个凸多边形分别有m，n条边，分别引出(3)2m m-，(3)2n n-条对角线，由此得m，n方程组．【例2】凸边形有且只有3个钝角，那么n的最大值是（）A．5 B．6 C．7 D．8解题思路：运用钝角、锐角概念，建立关于n的不等式，通过求解不等式逼近求解．【例3】凸n边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，求n的值．（山东省竞赛试题）解题思路：利用n边形内角和公式，以及边数n为大于等于3的自然数这一要求，推出该角大小，进而求出n的值．【例4】如图，凸八边形ABCDEFGH 的八个内角都相等，边AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，FG 的长分为7，4，2，5，6，2，求该八边形的周长． （全国通讯赛试题）解题思路：该八边形每一内角均为135°，每一外角为45°，可将八边形问题转化为特殊三角形解决、特殊四边形加以解决．【例5】如图所示，小华从M 点出发，沿直线前进10米后，向左转20°，再沿直线前进10米后，又向左转20°，…这样走下去，他第一次回到出发地M 时，行走了多少米？解题思路：试着将图形画完，你也许就知道答案了．能力训练A 级1．如图，凸四边形有＿＿＿个；∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝＿＿＿．（重庆市竞赛试题）2．如图，凸四边形ABCD 的四边AB ，BC ，CD 和DA 的长分别为3，4，12和13，∠ABC ＝90°，则A B CD E FG第1题ABCD第2题M A BD EF GH四边形ABCD 的面积为＿＿＿．3．如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝＿＿＿．4．如图，ABCD 是凸四边形，则x 的取值范围是＿＿＿．.5．一个凸多边形的每一内角都等于140°，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ）A ．9条B ．8条C ．7条D ．6条（“祖冲之杯”邀请赛试题）6．—个凸n 边形的内角和小于1999°，那么n 的最大值是（ ）（全国初中联赛试题）A ．11B ．12C ．13D ．147．如图，是一个正方形桌面，如果把桌面砍下一个角后，桌面还剩（ ）个角． A ．5个B ．5个或3个C ．5个或3个或4个D ．4个8．—个凸n 边形，除一个内角外，其余1n 个内角的和为2400°，则n 的值是（ ） A ．15B ．16C ．17D ．不能确定9．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝8，∠A ＝60°，∠D ＝150°，四边形周长为32，求BC 和DC 的长．10．—个凸n 边形的最小内角为95°，其他内角依次增加10°，求n 的值．（“希望杯”邀请赛试题）A BDE F G第3题AB CD24x第4题第7题AB CD11．平面上有A ，B ，C ，D 四点，其中任何三点都不在一直线上，求证：在△ABC ，△ABD ，△ACD ，△BDC 中至少有—个三角形的内角不超过45°．（江苏省竞赛试题）12．我们常见到如图那样图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整的、无空隙的地面．问：（1）像上面那样铺地面，能否全用正五边形的材料，为什么？（2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案？把你想到的方案画成草图．（3）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图．（安徽省中考试题）B 级1．一个正m 边形恰好被正n 边形围住（无重叠、无间隙，如图所示是m ＝4，n ＝8的情况），若m ＝10，则n ＝＿＿＿＿．2．如图，六边形ABCDEF 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠E ＝∠F ，且AB ＋BC ＝11，FA CD ＝3，则BC ＋DE ＝＿＿＿＿．（北京市竞赛试题）第1题A BCD EF 第2题1A 1B 2A 2B 3B 45B 3A 4A 5A 第3题3．如图，延长凸五边形A 1A 2A 3A 4A 5的各边相交得到五个角：∠B 1，∠B 2，∠B 3，∠B 4，∠B 5，它们的和等于＿＿＿．若延长凸n 边形（n ≥5）的各边相交，则得到的n 个角的和等于＿＿＿＿．（第十二届“希望杯”邀请赛试题）4．如图，在四边形ABCD 中，AB＝4，BC ＝1，CD ＝3，∠B ＝135°，∠C ＝90°，则∠D ＝（ ） A ．60°B ．67.5°C ．75°D ．不能确定（重庆市竞赛试题）5．如图，已知O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝∠ADC ＝70°，则∠DAO ＋∠DCO 的大小是（ ）A ．70°B ．110°C ．140°D ．150°6．在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002°，则这个多边形的边数为（ ） A ．12B ．12或13C ．14D ．14或15（江苏省竞赛试题）7．一个凸十一边形由若干个边长为1的正方形或正三角形无重叠、无间隙地拼成，求此凸十一边形各个内角大小，并画出这样的凸十一边形的草图．（全国通讯赛试题）8．一块地能被n 块相同的正方形地砖所覆盖，如果使用较小的相同正方形地砖，那么需n ＋76块这样的地砖才能覆盖该块地，已知n 及地砖的边长都是整数，求n 的值．（上海市竞赛试题）ABCD第4题OABCD第5题9．设有一个边长为1的正三角形，记作A 1如下左图，将A 1的每条边三等分，在中间的线段上各向形外作正三角形，去掉中间的线段后得到的图形记作A 2（如下中图）；将A 2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A 3（如下右图）；再将A 3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作 A 4，求A 4的周长．（全国初中数学联赛试题）10．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫作平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．（1）请根据下列图形，填写表中空格：（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形．说明你的理由．（陕西省中考试题）1A 2A 3A专题14 多边形的边与角例1 5 7 例2 B例3 n ＝17 提示：设此角为x ，则（n －2）×180°＝x ＋2570°，得2570360180x n +︒+︒=︒，x ＝130°，此时n ＝17.例4 双向延长AB ，CD ，EF ，GH 得四边形MNPQ ，如图，原八边形的内角都相等，其每一内角均为(82)1801358-⨯︒=︒，每一外角均为45°，因此MNPQ 为长方形，△BPC ，△DQE ，△FMG ，△ANH都是等腰直角三角形.设GH ＝x ，HA ＝y ，由MQ ＝NP ，得MF ＋FE ＋EQ ＝NA ＋AB ＋BP ，∴5222672222y ++=++，∴32y =-. ∵MN ＝QP ，∴x ＝3＋22，∴周长＝7＋4＋2＋5＋6＋2＋3＋22＋3－2＝32＋2.例5 将整个图形画完，就知道是一个边长为10米的正多边形，且每个外角的大小都是20°，由多边形的外角和等于360°知这是一个18边形，所以小华第一次回到M 点时走的总路程是180米.A 级1. 7；540°2. 363. 540°4. 1＜x ＜135. D6. C7. C8.A9. BC ＝10，DC ＝6 10. n ＝611. 提示：分构成凸四边形和凹四边形两种情况讨论，并用反证法加以证明推出矛盾.12.(1)所用材料的形状不能是正五边形,因为,正五边形的每个内角都是108°,要铺成平整的,无空隙的地面, 必须使若干个正五边形拼成一个周角，但找不到符合条件的以n ×108°=360°的n 值,故不能用形状是正五边形的材料铺地面. ⑵⑶略. B 级1.52.143.180°;(n －4)180°4.B5.D 由OA=OB=OC 得∠BAO=∠ABO,∠BCO=∠OBC,所以∠DAO+∠DCO=360°－3×70°=150°6.D7.提示：因凸十一边形由正方形或正三角形拼成，故其内角的大小只能是60°,90°,120°,\ 150°四种可能,设这些角的个数分别为x,y,z,w,则11 6090120150(112)180x y z wx y z w+++=⎧⎨+++=-⨯⎩解得x=y=0,z=1,w=10.说明这个十一边形一个内角为120°,由两个正三角形的内角拼成，其余10个角均为150°,由一个正三角形内角与一个正方形内角拼成,图略.8.n=3249.649提示：从A1开始,每进行一次操作,所得到的图形的周长是原来图形周长的43倍.10.(1)108°;120°; ()02180nn-⨯(2)正三角形、正四边形(或正方形)正六边形.假定在接合处一共有k块正边形地砖，由于正n边形的所有内角都相等，则()02180360nkn-⨯=即24222nkn n==+--.因k为整数，故n－2|4，n—2=1，2，4，得n=3,4 或6，由此可见，只有三种正多边形的瓷砖，可以按要求铺地，即正三角形、正方形和正六边形.(3)如:正方形和正八边形，草图如下，设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，那么，m，n应是方程m·90°+n·135°=360°的整数解.即2m+3n=8的整数解.∵这个方程的整数解只有12mn=⎧⎨=⎩一组∴符合条件的图形只有一种.。

人教版2024-2025学年八年级数学上册期中培优试题一、单选题1．下列选项中的四个标志中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．一个多边形少算一个内角，其余内角之和是1500°，则这个多边形的边数是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．113．已知点()11,5P a -和2(2,1)Pb -关于x 轴对称，则2013()a b +的值为（ ） A ．0 B ．1- C ．1 D ．()20113- 4．如图，点E 在AC 上，则A B C D DEB ∠+∠+∠+∠+∠的度数是（ ）A ．90°B ．180°C ．270°D ．360° 5．已知ABC DCB V V ≌，若10BC =，6AB =，7AC =，则CD =（ ）A ．10B ．7C ．6D ．6或7 6．如图，已知ABC V 中，ABC ACB ∠∠=，以点B 为圆心，AB 长为半径的弧分别交AC ，BC 于点D ，E ，连接BD ，ED ，若105CED ∠=︒，求ABC ∠的度数为（ ）度A ．80B ．70C ．60D ．507．ABC V 中，090A B C θαθθααθ∠=-∠=∠=+︒<<<︒，，，．若BAC ∠与BCA ∠的平分线相交于P 点，则APC ∠=（ ）A ．90°B ．105°C ．120°D ．150°8．如图，在△ABC 中，∠ACD ＝20°，∠B ＝45°，BC 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D 、E ，则∠A 的度数是（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°9．下图的方格纸中有若干个点，若A 、B 两点关于过某点的直线对称，这个点可能是（）.A ．P 1B ．P 2C ．P 3D ．P 410．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是()1,0，点B 的坐标是(），点C 在坐标平面内，以A ，B ，C 为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30°，则满足条件的点C 的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题11．ABC V 中，30A ∠=︒，高BE ，CF 所在的直线交于点O ，BOC ∠的度数是． 12．AD 为ABC V 的中线，AE 为ABC V 的高，ABD △的面积为14，7,2AE CE ==则DE 的长为．13．如图，△AFD 和△CEB ，点A 、E 、F 、C 同一直线上，在给出的下列条件中，①AE ＝CF ，②∠D ＝∠B ，③AD ＝CB ，④DF BE ∥，选出三个条件可以证明AFD CEB △≌△的是．（用序号表示，写出一种即可）．14．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的高，点E 、F 是AD 的三等分点，若△ABC 的面积为12，则图中△BEF 的面积为．15．如图，等边△ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点，若AE ＝2，当EF+CF 取得最小值时，则∠BCF 的度数为．三、解答题16．如图，在ABC V 中，AB AC =，点D 、E 分别在AB 、AC 的延长线上，且13BCD ACB ∠=∠，13CBE ABC ∠=∠．求证：BE CD =．17．如图，在66⨯的方格纸中，线段AB 的两个端分别落在格点上，请按要求画图：(1)在图1中画一个格点四边形APBQ ，且AB 与PQ 垂直．(2)在图2中画一个以AB 为中位线的格点DEF V ．18．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，点F 在射线CA 上，且BD=FD ．（1）当点F 在线段CA 上时．①求证：BE=CF ；②若AC=6，AF=2，求CD 的长； （2）若∠ADF=15°，求∠BAC 的度数．19．如图，在ABC V 中，BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，过点O 作BC 的平行线与AB ，AC 分别相交于点M ，N ．若5AB =，6AC =，求AMN V 的周长．20．已知：如图，AC ∥DF ，AC =DF ，AB =DE ．求证：(1)△ABC ≌△DEF ；(2)BC ∥EF ．21．如图，ABC V 中，11AB =，5AC =，BAC ∠的平分线AD 与边BC 的垂直平分线DG 相交于点D ，过点D 分别作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为E 、F ，求BE 的长度．22．如图，CN 是等边△ABC 的外角∠ACM 内部的一条射线，点A 关于CN 的对称点为D ，连接AD ，BD ，CD ，其中AD ，BD 分别交射线CN 于点E ，P ．(1)依题意补全图形；(2)若∠ACN ＝α，求∠BDC 的大小（用含α的式子表示）；(3)用等式表示线段PB ，PC 与PE 之间的数量关系，并证明．23．如图，ABC V 中，点O 为AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN BC ∥，设MN 交BCA ∠的外角平分线CF 于点F ，交ACB ∠内角平分线CE 于E ．(1)试说明EO OF；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论；(3)在（2）的条件下猜想ABCV满足什么条件能使四边形AECF是正方形，并证明你的结论．。

第4讲探求多边形边数及角度问题（原卷版）第一部分典例剖析+针对训练类型一剪去一个角问题典例1（2021秋•余干县月考）如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝460°．（1）求六边形ABCDEF的内角和；（2）求∠BGD的度数．典例2 （2021春•江都区期中）【课本引申】我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？【尝试探究】（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？【拓展运用】（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，若∠1+∠2＝230°，则剪掉的∠C＝；（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请直接写出答案．（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由）针对训练11．（2021秋•韶关期末）探索归纳：（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2＝．（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝．（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是．（4）如图3，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由．2．（2020春•淮阳区期末）将一个凸n边形剪去一个角得到一个新的多边形，其内角和为1620°，求n的值．类型二多算、漏算、错算一个角问题典例3 （2022春•宝应县校级月考）小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍（1）若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数是多少？（2）若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？典例4（2022•石家庄模拟）看图回答问题：（1）内角和为2014°，小明为什么说不可能？（2）小华求的是几边形的内角和？针对训练23．（2021秋•海阳市期末）小东在计算多边形的内角和时不小心多计算一个内角，得到的和为1350°，则这个多边形的边数是（）A．7B．8C．9D．104．（2021秋•通山县校级月考）某同学在计算多边形的内角和时，得到的答案是1125°，老师指出他少加了一个内角的度数，你知道这个同学计算的是几边形的内角和吗？他少加的那个内角的度数是多少？本号资料@皆@来源于微信公众号：数学#第六感第二部分专题提优训练1．（2022•河北）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（）A．α﹣β＝0B．α﹣β＜0C．α﹣β＞0D．无法比较α与β的大小2．（2021秋•寻乌县期末）将一个四边形ABCD的纸片剪去一个三角形，则剩下图形的内角和为（）A．180°B．180°或360°C．360°或540°D．180°或360°或540°3．（2021秋•黄石期末）将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（）A．360°B．540°C．720°D．730°4．（2021秋•通道县期中）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．135°B．270°C．300°D．315°5．（2021春•兴化市期中）将一个五边形沿着某条直线剪开，得到两个新多边形，如果两个新多边形的内角和分别为α，β，那么α+β＝°．6．（2021秋•交城县期中）已知一个包装盒的底面是内角和为720°的多边形，它是由另一个多边形纸片剪掉一个角以后得到的，则原多边形是边形．本号资料*皆来源于微信公众号：数@*学第六感7．（2021春•常熟市期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝120°，若沿图中虚线剪去∠D，则∠1+∠2＝°．8．（2021春•嵩县期末）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°。