2.2.3 运用乘法公式进行计算

最全乘法计算公式乘法是数学中的一种基本运算，用于计算两个或多个数的乘积。

乘法运算可用多种公式表示，下面将详细介绍最常见的乘法计算公式。

1.基础乘法公式：基础乘法公式用于计算两个整数的乘积。

设a和b是两个整数，则它们的乘积可以表示为：a×b=c其中，c是乘积的结果。

2.同底数幂相乘：当两个数的底数相同时，它们的幂相乘可以简化为将底数保持不变，指数相加。

设a是底数，m和n是指数，则有：a^m×a^n=a^(m+n)3.不同底数幂相乘：当两个不同底数的幂相乘时，它们需要保持底数不变，指数相加无法简化。

设a和b是底数，m和n是指数，则有：a^m × b^n = ab^(m+n)4.多个同底数幂相乘：当有多个同底数的幂相乘时，可以将它们的指数相加，再将结果的乘积放在底数下面。

设a是底数，m1、m2、..、mn是依次的指数，则有：a^m1 × a^m2 × ... × a^mn = a^(m1 + m2 + ... + mn)5.乘法交换法则：乘法交换法则可以将乘法运算顺序进行重新排列，不会改变最终的结果。

设a和b是两个数，则有：a×b=b×a6.乘法结合律：乘法结合律可以用于多个数相乘的情况下，任意改变计算顺序也不会改变最终结果。

设a、b和c是三个数，则有：(a×b)×c=a×(b×c)7.分配律：分配律可以用于将一个数与多个数的和相乘的情况下，可以先将该数分别与每个数相乘，再将结果相加。

设a、b和c是三个数，则有：a×(b+c)=a×b+a×c8.乘法逆元：乘法逆元指的是使得两个数相乘结果为1的数。

对于实数，乘法逆元可以用倒数（分数的分母变为对应的分子）来表示。

设a和b是两个数，则有：a×b=1(其中a和b互为乘法逆元)9.乘法法则：乘法法则用于计算多个数相乘的情况。

4.将多项式21x +加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，你添加的这个单项式可以是____________.（只要填一个符合题意的即可） 1- 或 x 2±或441x 5.22222()()()_________x y x y x y -+-+=。

224x y -6.2222(9)(9)(9)x x x -+--_____________=。

218162x -二． 选择题1.下列运算不能用平方差公式的是（ D ）A.()()a b b a ---B.2222()()m n n m -+ C.(13)(31)a a -+ D.()()a b a b +-- 2.下列各式的计算中正确的是（D ） A.22(3)(3)3m n m n m n +-=- B.2(23)(23)29x x x +-=- C.222(2)24x y x xy y +=++ D.22(1)21x x x --=++3.已知2244(34)169x y A y x --⋅=-，则A 等于（ A ） A.2234x y - B.2243y x - C. 2234x y -- D. 2234x y +4.在一块直径为a+b 的圆形场上，分别划出一个直径为a ，另一个直径为b 的小的圆形场地上植满花卉，剩余的部分铺设草皮，试求需铺设草的场地面积。

（用,,a b π的代数式表示） 答：2πab 精解名题1.计算，当a 6 = 64时, 该式的值。

解：立方差，立方和公式。

原式=23(4)a - 又∵a 6 = 64， ∴24a =，原式=0 2.计算：。

湘教版七年级数学下册2.2乘法公式2.2.3运用乘法公式进行计算说课稿一. 教材分析湘教版七年级数学下册2.2节主要介绍了乘法公式2.2.3及其应用。

这部分内容是学生学习代数的基础知识，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。

本节课的内容包括平方差公式、完全平方公式等乘法公式的理解和运用。

通过这些公式的学习，学生可以更好地理解和掌握代数的基本运算规律。

二. 学情分析在七年级的学生中，他们对乘法公式的理解和运用程度各不相同。

有的学生可能已经掌握了乘法公式的基本运用，而有的学生可能还对乘法公式的理解不够深入。

因此，在教学过程中，我需要关注学生的个体差异，针对不同程度的学生进行有针对性的教学。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解平方差公式、完全平方公式的含义，并能够熟练运用这些公式进行计算。

2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生解决问题的能力和团队合作的精神。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学习的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：平方差公式、完全平方公式的理解和运用。

2.教学难点：如何引导学生理解和掌握乘法公式的运用规律，以及如何解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动的教学方法，引导学生主动思考和探索，通过实例分析和小组讨论，培养学生的动手能力和团队协作能力。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学辅助工具，帮助学生直观地理解乘法公式的含义和运用。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引发学生对乘法公式的思考，激发他们的学习兴趣。

2.知识讲解：讲解平方差公式、完全平方公式的含义和运用方法，通过例题展示公式的应用过程。

3.实践操作：学生分组进行练习，运用乘法公式进行计算，教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.总结提升：引导学生总结乘法公式的运用规律，培养他们的逻辑思维能力。

5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调乘法公式的理解和运用。

乘法公式灵活运用乘法公式是数学中常用的一种计算方法，用于求解两个或多个数的乘积。

灵活运用乘法公式可以简化计算，提高解题效率。

本文将从实际问题出发，分析乘法公式的灵活运用方法，以及对应的数学技巧，帮助读者更好地掌握乘法公式的应用。

乘法公式的基本形式是：a×b=c，其中a和b是乘数，c是积。

乘法公式可以用于求解各类数学问题，包括乘法的基本性质、因数分解、最大公约数、公倍数等。

在乘法的基本性质中，乘法公式可以被运用于计算两个数相乘的结果。

例如计算12×35，我们可以使用乘法公式，将12拆解为10+2，35拆解为30+5，然后进行分配律运算：(10+2)×(30+5)=(10×30)+(10×5)+(2×30)+(2×5)=300+50+60+10=420。

这样，我们可以通过分解乘数，将原本复杂的乘法运算简化为几个简单的加法和乘法运算。

乘法公式还可以用于因数分解。

因数分解是将一个数分解为多个乘数的乘积，通过应用乘法公式，可以将这个过程简化。

例如对于数45，我们可以将它分解为3×15，然后继续对15进行因数分解，得到3×5×3、这样，45就可以表示为它的全部因数的乘积。

因数分解在数论、代数等领域有着重要的应用，通过乘法公式，我们可以更轻松地完成这个过程。

乘法公式在解决实际问题时，还可以通过一些数学技巧来进一步灵活运用。

例如在乘法运算中，可以通过重新排序进行简化。

如果要计算3×7×5，我们可以将其按需重新排列，得到5×7×3，然后再进行乘法运算：5×7=35，35×3=105、这样，我们可以通过重新排列乘积的顺序，在保持乘数不变的前提下，使得计算更加简单。

此外，乘法公式还可以和其他数学知识相结合，进一步拓展乘法的应用。

例如在代数中，乘法公式可以用于计算多项式的展开式。

2.2.1平方差公式授课类型 : 新授课备课人：一、教学目标（一）知识与技能：能根据特殊形式的多项式相乘，推导出平方差公式，了解公式的几何背景，并能进行简单的计算．（二）过程与方法：经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力，使学生逐渐掌握平方差公式．探究平方差公式的特点，熟练地应用于多项式乘法之中．（三）情感态度与价值观：通过合作学习，体会在解决具体问题的过程中与他人合作的重要性，体验数学活动充满着探索性和创造性．二、教学重难点（一）重点：掌握平方差公式的结构特征，理解公式中字母的含义，并能正确地运用公式．（二）难点：掌握平方差公式的结构特征，理解公式中字母的含义，并能正确地运用公式．三、教学过程（一）情景导入计算：(1)(x＋2)(x－2)； (2)(1＋3a)(1－3a)；(3)(x＋5y)(x－5y)；(4)(y＋3z)(y－3z)．（二）探究新知【探究】平方差公式问题1：做完活动一中的计算题之后，观察以上算式及运算结果，你能发现什么规律？再举两个例子验证你的发现．问题2：这是一类特殊的多项式相乘，那么如何用字母来表示刚才同学所归纳出来的特殊多项式相乘的规律呢？问题3：你能用自己的语言叙述你发现的规律吗？能用符号语言叙述吗？你能指出公式左边式子的特征吗？公式右边式子的特征又是什么？归纳总结：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．思考：你能寻求一种或多种平方差公式的几何解释吗？(教师课件展示) 1．观察图2－2－2中图形的变化过程，计算图中空白图形的面积，说出它能验证的公式．图2－2－22．利用图2－2－3亦可解释平方差公式(教师注意点拨)．图2－2－3（三）运用新知例1 运用平方差公式计算：(1)(2x ＋1)(2x －1)；(2)(x ＋2y)(x －2y)．例2 运用平方差公式计算：(1)⎝⎛⎭⎪⎫－2x －12y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋12y ；(2)(4a ＋b)(－b ＋4a)． 例3 计算：1002×998.例4 计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫34y ＋212x ⎝ ⎛⎭⎪⎫212x －34y ； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x －0.7a 2b ⎝ ⎛⎭⎪⎫56x －0.7a 2b ； (3)(2a －3b)(2a ＋3b)(4a 2＋9b 2)(16a 4＋81b 4)．教师活动：边讲例题边引导学生学会应用平方差公式．例5 (1)计算：(a －b)(a ＋b)(a 2＋b 2)(a 4＋b 4)(a 8＋b 8)；(2)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－142×…×⎝⎛⎭⎪⎫1－1102. 归纳总结平方差公式的结构特征：左边相乘的两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数，右边是完全相同的项的平方减去互为相反数的项的平方．（四）对照练习1．用平方差公式计算：(1)(－9x －2y)(－9x ＋2y)；(2)(－0.5y ＋0.3x)(0.5y ＋0.3x)；(3)(8a 2b －1)(1＋8a 2b)；(4)20082－2009×2007.2．计算：⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b －(3a －2b)(3a ＋2b)． 3．计算：(1)105×95；(2)1.97×2.03.4．计算：⎝⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋124⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋128＋1215. （五）课堂小结本节课的内容是两数和与这两数差的积，公式指出了具有特殊关系的两个二项式积的性质．运用平方差公式应满足两点：一是分别找出对应公式中的a 和b 的数或式；二是两数和乘这两数差，这也是判断能否运用平方差公式的方法．（六）课后作业1.课作：书本2.家作：《名校课堂》四、板书设计2.2.1 平方差公式五、教学反思2.2.2 完全平方公式（1）授课类型 : 新授课备课人：卢巧一、教学目标（一）知识与技能：能根据多项式的乘法发现规律，进一步归纳出完全平方公式，了解公式的几何意义，并能进行简单的计算．（二）过程与方法：利用多项式与多项式的乘法以及幂的意义，推导出完全平方公式．掌握完全平方公式的计算方法．会正确地运用完全平方公式解决问题．（三）情感态度与价值观：培养学生观察、类比、发现的能力，体验数学活动充满着探索性和创造性．二、教学重难点（一）重点：掌握完全平方公式的结构特征，理解公式中字母的含义，并能正确地运用公式．（二）难点：掌握完全平方公式的结构特征，理解公式中字母的含义，并能正确地运用公式．三、教学过程（一）情景导入自主探究：计算下列各式，你能发现什么规律？(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝________；(2)(m＋2)2＝________＝________；(3)(p－1)2＝(p－1)(p－1)＝________；(4)(m－2)2＝________＝________；(5)(a＋b)2＝________＝________；(6)(a－b)2＝________＝________．（二）探究新知【探究1】完全平方公式根据活动一中的内容，进一步深入提问：问题1：通过观察活动一中等式的左边，你发现有什么共同点？问题2：计算结果中的代数式又有什么特点？问题3：能把你发现的规律用语句总结出来吗？能用公式表示出来吗？问题4：你能利用你发现的规律直接写出下列运算的结果吗？计算：(1)(2x－3)2；(2)(x＋y)2；(3)(m＋2n)2；(4)(2x－4)2.归纳总结：完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.语言叙述：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍．【探究2】 完全平方公式的几何解释为了让学生直观地理解公式，可做下面的拼图游戏．拼图游戏：现有图2－2－9①所示的三种规格的硬纸片各若干张，请你根据二次三项式a 2＋2ab ＋b 2，选取相应种类和数量的硬纸片，拼出一个正方形，并探究所拼出的正方形的代数意义．图2－2－9思考：你能根据图②，谈一谈你对(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2的理解吗？（三）运用新知例1 运用完全平方公式计算：(1)(3m ＋n)2；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122. 例2 计算：(－2x ＋5y)2.例3 已知a ，b 满足(a ＋b)2＝1，(a －b)2＝25，求a 2＋b 2＋ab 的值．（四）对照练习1.用完全平方公式计算：(1)(1＋x)2；(2)(y －4)2；(3)(x －2y)2；(4)(2xy ＋x)2.2．一个正方形的边长为a cm .若边长减少6 cm ，则这个正方形的面积减少了多少？3．下面的计算是否正确？如有错误，请改正：(1)(x ＋y)2＝x 2＋y 2；(2)(－m ＋n)2＝－m 2＋n 2；(3)(－a －1)2＝－a 2－2a －1.4．计算：(a ＋b ＋c)2.5．小兵计算一个二项式的平方时，得到正确结果是4x 2＋________＋25y 2，但中间一项不慎被污染了，这一项应是( )A ．10xyB ．20xyC ．±10xyD ．±20xy（五）课堂小结完全平方公式的结构特征：左边是两数和(或差)的平方，右边是这两数的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍；(2)公式中的字母a，b可以是数，也可以是单项式或多项式；(3)口诀记忆：首平方，尾平方，2倍之积在中央．其中，中间项的符号是由左边的“和”或“差”来确定的．（六）课后作业1.课作：书本2.家作：《名校课堂》四、板书设计2.2.2 完全平方公式（1）六、教学反思2.2.2 完全平方公式(2)授课类型 : 新授课备课人：卢巧一、教学目标（一）知识与技能：掌握完全平方公式的综合应用．会正确地运用完全平方公式解决问题．（二）过程与方法：培养学生观察、类比、发现的能力，体验数学活动充满着探索性和创造性．（三）情感态度与价值观：通过复习完全平方公式，并将其推广到多个数相加、减的平方形式，会用完全平方公式解决较复杂的计算求值问题．二、教学重难点（一）重点：掌握完全平方公式的综合应用．（二）难点：掌握完全平方公式的综合应用．三、教学过程（一）情景导入(1)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.(2)公式口诀：首平方，尾平方，2倍乘积放中央，加减看前方，同加异减．(3)想一想：两个公式中的字母都表示什么？根据两数和或差的完全平方公式，能够计算多个数的和或差的平方吗？完全平方公式在化简计算中有哪些作用？（二）探究新知【探究1】完全平方公式的变形计算计算：(1)(x＋y)(2x＋2y)；(2)(a＋b)(－a－b)．这两道题是什么形式的多项式乘法？拿到这两道题你打算如何计算？仔细观察，还有别的方法吗？各小组同学共同分析、探究．归纳总结：有些二项式乘二项式，表面看外观结构不符合完全平方公式的特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就符合公式形式，就可以套用公式进行计算．观察到两个因式的系数有倍数关系或互为相反数是正确变形并利用公式的前提条件．【探究2】完全平方公式的变形推广计算：(1)(a＋b＋1)2；(2)(a＋b＋c)2.问题1：如何计算这两道题？能直接套用完全平方公式吗？如果不能直接套用，理由是什么？问题2：你有办法将这两道题化为完全平方公式的形式吗？这样处理的数学思想是什么？按你的处理方法做一做．归纳总结：完全平方公式也可推广到多个数的和与差的平方．解此类题常利用添括号法则适当变形，把三项看做两项处理．（三）运用新知例1 运用完全平方公式计算：(1)(－x ＋1)2；(2)(－2x －3)2.例2 计算：(1)(a ＋b)2－(a －b)2；(2)(a ＋b ＋1)2.例3 计算：(1)1042；(2)1982.例4 计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫601602；(2)(2a ＋3b －c)2；(3)20152－4030×2016＋20162. 例5 已知x ＋1x ＝a ，求x 2＋1x 2的值． （四）对照练习1．运用完全平方公式计算：(1)1022；(2)992.2．已知a ＋b ＝－6，ab ＝8，求：(1)a 2＋b 2；(2)(a －b)2.3．已知(7a ＋A)2＝49a 2－14ab 2＋B ，则A ＝________，B ＝________．4．用乘法公式计算：(1)9992；(2)20022－4004×2003＋20032.（五）课堂小结1.本节课你学到怎样变形才能利用完全平方公式进行计算了吗？（六）课后作业1.课作：书本2.家作：《名校课堂》四、板书设计2.2.2 完全平方公式(2)五、教学反思2.2.3 运用乘法公式进行计算授课类型 : 新授课备课人：卢巧一、教学目标（一）知识与技能：会用乘法公式进行计算．会正确运用乘法公式解决问题．（二）过程与方法：在运用乘法公式进行计算的过程中，会出现多种算法，也会出现各种错误，体会算法的多样性．（三）情感态度与价值观：培养学生观察、类比、发现的能力，体验数学活动充满着探索性和创造性．二、教学重难点（一）重点：灵活运用乘法公式进行计算．（二）难点：灵活运用乘法公式进行计算．三、教学过程（一）情景导入上节课我们学过计算(a＋b＋c)2，其方法是通过添加括号，运用整体思想，两次应用完全平方公式计算，你能运用上节课的思路计算(a＋b＋c)(a －b－c)吗？（二）探究新知【探究1】灵活运用乘法公式进行计算情境：运用乘法公式计算：(1)[(a＋3)(a－3)]2；(2)(a－b＋c)(a＋b－c)．问题1：第(1)题中的中括号内是两数的和与差的积的形式，能直接套用完全平方公式把它展开吗？问题2：如果不能直接套用完全平方公式，该如何转化？你是从哪一方面观察，找到转化的方法的？各小组根据分析完成解答过程，选代表到指定位置展示小组解题过程．问题3：第(2)题能不能直接套用完全平方公式展开呢？是否符合平方差公式的形式呢？平方差公式是两数和乘两数差，能不能通过添加括号，运用整体思想将其转化为平方差公式的形式呢？试一试．各小组尝试添括号，化成两数和与两数差的积的形式．归纳总结：灵活运用乘法公式化简求值是考试中最常见的题型，一般地，化简的过程不唯一，甚至有时既可以用平方差公式，也可以用完全平方公式化简．【探究2】乘法公式在解方程中的应用问题：方程(x＋2)(x－2)－x(x－1)＝5是一元一次方程吗？如何才能判定？你能求解这个方程吗？归纳总结：对一些形式比较复杂的方程题，可事先运用整式的乘法或乘法公式，先将其化简为我们已学过的方程模型之后，再求解．（三）运用新知例1 运用乘法公式计算：(1)[(a＋3)(a－3)]2；(2)(a－b＋c)(a＋b－c)．例2 一个正方形花圃的边长增加到原来的2倍还多1 m，它的面积就增加到原来的4倍还多21 m2，求这个正方形花圃原来的边长．例3 试说明：(m－9)2－(m＋5)2是28的倍数，其中m为整数．例4 若一个自然数a恰等于另一自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数(如64＝82，64就是一个完全平方数)．若a＝19952＋19952·19962＋19962.试说明：a是一个完全平方数．（四）对照练习1．填空：(1)(x＋1)2(x－1)2＝________；(2)(x＋1)(x－1)(x2－1)＝________．2．解方程：(x2－2)(－x2＋2)＝(2x－x2)(2x＋x2)＋4x.3．为了扩大绿化面积，将一个正方形花坛的边长增加3米，则它的面积就增加39平方米，求这个正方形花坛的边长．（五）课堂小结回顾一下我们学过些什么样的乘法公式，并表示出来.（六）课后作业1.课作：书本2.家作：《名校课堂》四、板书设计2.2.3 运用乘法公式进行计算五、教学反思第二章整式的乘法小结与复习一、教学目标通过回顾本章的主要内容，学生经过思考与交流，梳理本章所学知识，加深对本章学习内容的理解，形成知识体系，同时提高学生的归纳、概括能力。

乘法公式的应用乘法公式是数学中常用的公式之一，用于解决乘法运算问题。

在现实生活中，乘法公式的应用十分广泛，涵盖了经济、工程、科学等多个领域。

以下是乘法公式的一些应用供参考：1.计算面积和体积：乘法公式可以用来计算各种形状的面积和体积。

例如，矩形的面积可以通过将矩形的长乘以宽来计算，即面积=长×宽。

圆的面积可以通过将π（圆周率）乘以半径的平方来计算，即面积=π×半径²。

立方体的体积可以通过将边长相乘三次来计算，即体积=边长×边长×边长。

2.计算物品的价格：在购买物品时，乘法公式可以用来计算物品的总价格。

例如，如果一件衣服的价格为100元，而购买了10件相同的衣服，那么总价格可以通过将价格乘以数量来计算，即总价格=价格×数量=100×10=1000元。

3.计算利润和损失：在经济领域中，乘法公式可以用来计算利润和损失。

例如，如果一个商人以每件商品10元的价格购买了100件商品，并以每件商品15元的价格出售，那么他的总利润可以通过将销售价格减去购买价格后再乘以商品的数量来计算，即总利润=（销售价格-购买价格）×数量=（15-10）×100=500元。

4.求解几何问题：乘法公式可以用来求解各种几何问题。

例如，两条平行线之间的距离可以通过将一条平行线上两个点之间的距离乘以一个比例因子来计算。

另外，三角形的面积可以通过将底边的长度乘以高度再除以2来计算。

5.计算光速和速度：乘法公式可以用来计算光速和速度。

光速是物理学中的一个重要常数，音速和其他速度也可以通过光速乘以相应的倍数来计算。

除了以上提及的应用，乘法公式还广泛应用于科学实验、财务分析、统计学和工程等领域。

通过运用乘法公式，我们可以更加准确地解决实际问题，并得出相关结论。

因此，掌握和理解乘法公式的应用对于数学和各个领域的研究和应用都具有重要意义。

总结起来，乘法公式的应用十分广泛，涵盖了数学、经济、工程、科学等多个领域。