(完整版)高中各种函数图像画法与函数性质
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函数图像是一种在平面上表示函数关系的方法,通过画出函数图像,可以直观地看出函数的性质和特点。
在数学教学中,函数图像的绘制是非常重要的一部分,它帮助学生理解函数的变化规律,并且可以帮助学生更好地理解函数的性质。
在本文中,将对函数图像的画法进行详细的介绍和总结,包括常见的一些函数图像的特点和绘制方法。
一、基本函数图像的特点及绘制方法1. 直线函数 y=ax+b直线函数是最基本的函数之一,其图像在平面直角坐标系中呈直线状。
直线函数的一般形式为y=ax+b,其中a和b分别是函数的斜率和截距。
当a大于0时,函数图像呈现为向上倾斜的直线;当a小于0时,函数图像呈现为向下倾斜的直线。
绘制直线函数的方法非常简单,只需取两个点就可以确定一条直线。
首先确定直线的截距b,然后再找到直线的斜率a,通过这两个参数就可以确定直线的图像了。
2. 平方函数 y=x^2平方函数是一种非常常见的二次函数,其图像呈现为抛物线形状。
平方函数的一般形式为y=x^2。
平方函数的图像对称于y轴,开口向上。
绘制平方函数的方法可以通过选取多个点来确定函数的图像,一般情况下可以通过选取x=-2,-1,0,1,2等一些常用点,然后根据这些点的坐标值来画出平方函数的图像。
3. 开方函数 y=sqrt(x)开方函数是平方函数的反函数,其图像为抛物线的一条分支。
开方函数的一般形式为y=sqrt(x)。
开方函数的图像对称于x轴,开口向右。
绘制开方函数的方法可以通过选取多个点来确定函数的图像,一般情况下可以通过选取x=0,1,4,9等一些常用点,然后根据这些点的坐标值来画出开方函数的图像。
4. 绝对值函数 y=|x|绝对值函数的图像呈现为一条V形状的曲线。
绝对值函数的一般形式为y=|x|。
绘制绝对值函数的方法可以通过选取多个点来确定函数的图像,一般情况下可以通过选取x=-2,-1,0,1,2等一些常用点,然后根据这些点的坐标值来画出绝对值函数的图像。
以上是一些常见的基本函数的图像特点及绘制方法,通过这些例子可以看出,绘制函数图像的方法主要是通过选取一些关键点来确定函数的图像,然后再通过连接这些点来得到完整的函数图像。
高中各种函数图像及其性质一次函数(一)函数1、确定函数定义域的方法:(1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数;(2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零;(3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零;(4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零;(5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。
(二)一次函数1、一次函数的定义一般地,形如y kx b(k,b是常数,且k 0 )的函数,叫做一次函数,其中x 是自变量。
当b 0时,一次函数y kx,又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是y kx b,要判断一个函数是否是一次函数,就是判断是否能化成以上形式.⑵当 b 0,k 0时,y kx仍是一次函数.⑶当 b 0,k 0时,它不是一次函数.⑷正比例函数是一次函数的特例,一次函数包括正比例函数.2、正比例函数及性质一般地,形如y=kx(k 是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.注:正比例函数一般形式y=kx (k 不为零)① k 不为零② x 指数为 1 ③ b 取零当k>0 时,直线y=kx 经过三、一象限,从左向右上升,即随x 的增大y 也增大;当k<0 时,?直线y=kx经过二、四象限,从左向右下降,即随x增大y反而减小.(1)解析式:y=kx (k 是常数,k≠ 0)(2)必过点:(0,0)、(1,k)(3)走向:k>0时,图像经过一、三象限;k<0时,?图像经过二、四象限(4)增减性:k>0,y 随x 的增大而增大;k<0,y 随x 增大而减小(5)倾斜度:|k| 越大,越接近y 轴;|k| 越小,越接近x 轴3、一次函数及性质一般地,形如y=kx +b(k,b 是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数.当b=0时,y=kx +b 即y=kx ,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注:一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为 1 ③ b 取任意实 数一次函数 y=kx+b 的图象是经过( 0,b )和(- b , 0)两点的一条直线,我们称它为直k线 y=kx+b, 它可以看作由直线 y=kx 平移 |b| 个单位长度得到 . (当 b>0 时,向上平移; 当 b<0 时,向下平移)1)解析式: y=kx+b (k 、 b 是常数, k 0)2) 必过点:(0,b )和( - b ,0) k3) 走向: k>0 ,图象经过第一、三象限; k<0,图象经过第二、四象限b>0,图象经过第一、二象限;b<0,图象经过第三、四象限k 0 直线经过第一、二、三象限k 0 直线经过第一、三、四象限b 0b 0k 0 直线经过第一、二、四象限k 0 直线经过第二、三、四象限b 0b 04)增减性: k>0 , y 随 x 的增大而增大; k<0,y 随 x 增大而减小 . 5)倾斜度: |k| 越大,图象越接近于 y 轴; |k| 越小,图象越接近于 x 轴 .6)图像的平移: 当 b>0 时,将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位; 当 b<0 时,将直线y=kx 的图象向下平移 b 个单位 .4、一次函数 y=kx + b 的图象的画法根据几何知识:经过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线,即两点确定一条直线,所以画一次函数的图象时,只要先描出两点,再连成直线即可. 一般情况下:是先选取它与两坐标轴的交点:(0,b),或纵坐标为0 的点.. 即横坐标5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx +b的图象是一条直线,它可以看作是由直线y=kx平移|b| 个单位长度而得到(当b>0时,向上平移;当b<0 时,向下平移)6、正比例函数和一次函数及性质正比例函数一次函数概念一般地,形如y=kx(k 是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k 叫做比例系数一般地,形如y=kx+b(k,b 是常数,k≠0),那么y 叫做x 的一次函数. 当b=0 时,是y=kx ,所以说正比例函数是一种特殊的一次函自变量范围X 为全体实数图象一条直线必过点(0,0)、(1,k)(0,b)和(- b,0)k走向k>0 时,直线经过一、三象限;k<0 时,直线经过二、四象限k>0,b>0, 直线经过第一、二、三象限k>0,b<0 直线经过第一、三、四象限k<0,b>0 直线经过第一、二、四象限k<0,b<0 直线经过第二、三、四象限增减性k>0 ,y 随x 的增大而增大;(从左向右上升)k<0 ,y 随x 的增大而减小。
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数(也称常数函数) y =C(其中C 为常数);α1)当α为正整数时,函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ,他们的图形都经过原点,并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时,图形关于原点对称;α为偶数时图形关于y 轴对称;2)当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数; 3)当α为正有理数nm时,n 为偶数时函数的定义域为(0, +∞),n 为奇数时函数的定义域为(-∞,+∞),函数的图形均经过原点和(1 ,1);4)如果m>n 图形于x 轴相切,如果m<n,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;m ,n 均为奇数时,跟原点对称;5)当α为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n 为奇数时,定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ,1≠a ),定义域是R ;[无界函数]1.指数函数的图象:2.1)当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减; 2)不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方; 3)当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
1(3.(选,补充)指数函数值的大小比较*N ∈a ;a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(,xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。
b.1.当1>a 时,a 值越大,xa y =的图像越靠近y 轴;b.2.当10<<a 时,a 值越大,x a y =的图像越远离y 轴。
4.指数的运算法则(公式);a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥;(1) n m n m a a a +=⋅(2)nm n m aa a -=÷(3)()()mn nm n m aa a ==(4) ()nnnba ab =b.根式的性质; (1)()a a nn= ; (2)当n 为奇数时,a a nn =当n 为偶数时,⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂;(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm yxf x xxx g ⎪⎫⎛=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a ),定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念:如果a(a >0,a ≠1)的b 次幂等于N ,就是 N a b=,那么数b 叫做以a 为底N 的对数,记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数,式子N a log 叫做对数式。
高中数学常见函数图像1.2.对数函数:3.幂函数:定义形如αxy=(x∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.图像性质过定点:所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1).单调性:如果0α>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<,则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x轴与y轴.4.函数sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时,max 1y =; 当22xk ππ=-()k ∈Z 时,min 1y =-.当()2x k k π=∈Z 时,max 1y =;当2x k ππ=+()k ∈Z 时,min 1y =-.既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数;在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数.在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数;在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数.在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数.对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭ 对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴。
完整版)高中化学常见函数图像1.引言在高中化学学习中,我们经常会遇到各种各样的函数图像,这些函数图像代表了不同化学反应的关系式。
掌握常见的化学函数图像可以帮助我们更好地理解和分析化学反应的特性和规律。
本文将介绍高中化学中常见的函数图像及其特点。
2.常见的化学函数图像2.1 直线函数图像直线函数图像在化学中常用来描述比例关系或线性规律。
在化学实验中,当两个物质的反应遵循简单的比例关系时,函数图像往往是一条直线。
直线函数图像的特点是斜率恒定,代表了化学反应的恒定速率。
2.2 指数函数图像指数函数图像在化学中常用来描述指数衰减或指数增长的情况。
例如,放射性衰变反应的速率就遵循指数函数规律。
指数函数图像的特点是曲线逐渐上升或下降,且增长或衰减的速度逐渐加快。
2.3 对数函数图像对数函数图像在化学中常用来描述浓度和反应速率之间的关系。
当反应速率与浓度呈指数关系时,函数图像往往是一条对数曲线。
对数函数图像的特点是曲线呈现逐渐平缓的增长或衰减趋势。
2.4 正弦函数图像正弦函数图像在化学中常用来描述周期性变化的情况。
例如,电化学反应中的电势变化往往呈现正弦函数规律。
正弦函数图像的特点是周期性波动,曲线呈现出波峰和波谷的交替变化。
2.5 反比例函数图像反比例函数图像在化学中常用来描述浓度和反应速率之间的关系。
当反应速率与浓度呈反比关系时,函数图像往往是一条反比例曲线。
反比例函数图像的特点是曲线逐渐趋于水平轴,并且在某个点处存在间断。
3.总结掌握常见的化学函数图像有助于我们更好地理解和分析化学反应的规律和特性。
直线函数图像代表了恒定速率,指数函数图像代表了增长或衰减的速度逐渐加快,对数函数图像代表了增长或衰减的速度逐渐减慢,正弦函数图像代表了周期性变化,反比例函数图像代表了反比关系。
通过对这些函数图像的分析,我们可以更深入地理解和应用化学知识。
以上就是关于高中化学常见函数图像的介绍。
希望本文能帮助到你在学习中的理解和应用。
•正弦、余弦、正切函数图象和性质函数正弦函数y =sinx,x运R余弦函数y=cosx, x^R正切函数y = tanx, xHkr +上2有界性有界有界无界疋义域(^□0, +Xi)r 兀i2 x | x式k兀+—, Z ,I 2 J值域[-1,1]当X =3 +2kjl(k 乏Z)时,y max =〔2■JT当x =_二+2kir(k ^Z)时,2『min =-〔3,1]当X=2k H(k€Z)时,y max =1当x =兀+2k n(k€Z)时,『min = -1(^aC, ^C)周期性是周期函数,最小正周期T=2兀是周期函数,最小正周期T =2兀T =兀奇偶性奇函数,图象关于原点对称偶函数,图象关于y轴对称奇函数,图象关于原点对称单调性在[一生+2k兀,壬+2小],(k € z)2 2上是单调增函数在[壬+2kn,竺+2阪],(k乏Z)2 2上是单调减函数在[兀+2kir,2兀+2kn:], (k 乏Z)上是单调增函数在[2k%兀+2kn], (k^Z)上是单调减函数”H 兀在(_一+k兀,一+k兀),(k^ Z) 2 2上是单调增函数对称轴1Tx =k 兀+ = ,(k E Z)2x =kir, (k w Z)对称中心(也,0) (MZ)(k兀+ 匹,0) (k^Z)2k兀(三,0) (HZ)正弦函数、余弦函数、正切函数的图像三角函数的性质1定义域与值域 2、奇偶性(1) 基本函数的奇偶性 奇函数:y = sinx , y = tanx ;偶函数:y = cosx.(2),型三角函数的奇偶性(i) g ( x )=—二匚(x € R )g (x )为偶函数二T ■-匚「•匚O 虫血(曲+®)二虫sm (-蕊+©(XE R) n 迪欧刚片Q (応R) 8$少二 Oo®=fc?r+—优eZ)由此得同理,=虫迎(的物仃E 去)为奇函数sin = 0(p — k7l(k € Z).(丘).;':.■. - ■ J .:!■, ■ /.'■■■.'■.I宀'-■■ : - ■■- - /'为偶函数---::1 ;:—上:-■■- - -;1 为奇函数 (圧 2) 2 .3、周期性1)基本公式(i)基本三角函数的周期 y = sinx , y = cosx 的周期为:•'; ; y = tanx , y = cotx的周期为匚.(ii)「V 」型三角函数的周期2JTy= 4$in(眾x+卩)+kj=i4coK 驱+©+上开y 二虫 tan (临+仍 +匕丁 二 Acot(@z+g) + 上 的周期为|少| . (2) 认知y=ta nxyiy;y=cotx II 丿 /f f / y1 /I112■ z n -2oJ2! , n 212x-JI2o恥312-込:—1 r [ ii f I\tI 1 1 i2 2-1y=cosx(i) 讨型函数的周期开尸恤in(处+©卩屮cos(曲+创的周期为0| ;7T》=|血购(亦+ ©卜=|乂嗽(倾+釧的周期为0 .(ii) 一:“」的周期严|加1伽+©+斗尸血o$伽+©+貝的周期为青;71尸|伽血+ ©+丽二血0t伽+© +上|的周期为0 .均同它们不加绝对值时的周期相同,即对+ 的解析式施加绝对值后,该函数的周期不变•注意这一点与(i)的区别•(ii) 若函数为「川型两位函数之和,则探求周期适于“最小公倍数法”.(iii) 探求其它“杂”三角函数的周期,基本策略是试验一一猜想一一证明(3)特殊情形研究7T(i) y = tanx —cotx的最小正周期为];(ii) '的最小正周期为];(iii) y = sin 4X + cos4x的最小正周期为 _ .由此领悟“最小公倍数法”的适用类型,以防施错对象.4、单调性(1)基本三角函数的单调区间(族)依从三角函数图象识证“三部曲”:①选周期:在原点附近选取那个包含全部锐角,单调区间完整,并且最好关于原点对称的一个周期;②写特解:在所选周期内写出函数的增区间(或减区间);③获通解:在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍,即得这一函数的增区间族(或减区间族)循着上述三部曲,便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族.揭示:上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域•(2)R 型三角函数的单调区间此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为①换元、分解:令u—二,将所给函数分解为内、外两层:y二f (u), u… ;②套用公式:根据对复合函数单调性的认知,确定出f (u)的单调性,而后利用(1)中公式写出关于u的不等式;③还原、结论:将u=J「二代入②中u的不等式,解出x的取值范围,并用集合或区间形成结论•正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:/y =s inx y =cosx y =ta nx y =cotxy = Asin®x+申)(A、⑷ > 0)定义域R R- 1 _x|x E R且x #冗岂兀k亡Z卩{x|x^R 且x^k jL k^z}R值域[_1,+1][_1,+1]R RL A, A】周期性2兀2兀312H看奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当甲式0,非奇非偶当® =0,奇函数单调性n:[——+2kTi,2-+2^I]2上为增函数;TT[—+2kir,23兀丄—■ +2kn]2上为减函数( "Z )[(2k—1兀.2kn]上为增函数[2k 兀,(2k +1 対上为减函数("Z )+k ii,匹+k n〕1 2 2丿上为增函数("Z )(5, (k+1^ )上为减函数(k^Z ) 1[上■上兀 22kn:------- Q2( A)(A),12kn: +— n 一申2( A)(八丿_ 0 」二为增函数;2kn十匹一护(A),O2k兀+^3兀一半2 ( 八)(一八). ⑷一二为减函数注意:①y =-sinx与y =sinx的单调性正好相反;y =-cosx与y =cosx的单调性也同样相反一般地,若y =f(x)在[a,b]上递增(减),则y=-f(x)在[a,b]上递减(增)②y =sin x与y =COSX的周期是二.③y =sin(灼x+巧或y=cos®x+®)(⑷芒0 )的周期T =吾.y=tan x的周期为2兀(T=2L—T=2TT,如图,翻折无效)•2抄厂JT④y =sin(,x •「)的对称轴方程是- (k • Z ),对称中心(k二,0 ) ; y住x )的对称轴方程是x=k二(Z),对称中心(k-);y =a x :)的对称中心(—,0).k 2 ,02原点对称> y - _cos( _2x) - _cos2xy =cos2x⑤当tan : tan 1 =1, : - -k (k Z);ta n : tan 一- _1, : - 一- k (k Z).2 2⑥y =cosx与y =sin i x 2k二是同一函数,而y=(.x・)是偶函数,贝UI 2 丿1y =( x :T)二sin( x k - ) = cos( x).⑦函数yy=tanx为增函数,同样也是错误的].⑧定义域关于原点对称是f (x)具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定义域关于原点对称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数:f(「x)=f(x),奇函数:f(_x)--f(x))奇偶性的单调性:奇同偶反.例如:y=tanx是奇函数,y =tan(x --)是非奇非偶.(定义域不3关于原点对称)奇函数特有性质:若x的定义域,则f (x)一定有f(o)=o. (O^x的定义域,贝U无此性质)⑨y =sinx不是周期函数;y = sin x为周期函数(T ★);y .cosx是周期函数(如图);y = cos x为周期函数(T二二);y=cos2x』的周期为兀(如图),并非所有周期函数都有最小正周期, 2y、 /一:、X *例如:y =f (x) =5 =f (x k),k R.⑩ y =a cos* 亠bsin - - a2b2sin(x 亠门)cos =b有a2b2y .、形如y =Asin(「x •的函数:11、几个物理量:A—振幅;f二1—频率(周期的倒数);「X •「一相位;‘一初相;2、函数y = Asin()表达式的确定:A由最值确定;• •由周期确定;:由图象上的特殊点确定,如f(x)= Asgx +申"“妙>0宀的图象如图所示,则 f (x)(答:f (x)二2sin^ x3.函数y 二Asin(・x ) B (其中 A 0, ,0)最大值是A最小正周期T十|y= cos|x| 图象yy=| cos2x+1/21图象Q JT频率是f ,相位是,初相是:;其图象的对称轴是直线•■x W:=k (k・Z),凡2兀2是该图象与直线y=B 的交点都是该图象的对称中心 4、 研究函数y =Asin (「x •「)性质的方法:类比于研究y =sin x 的性质,只需将y = Asin ( • x J 中的 看成y =si n x 中的x ,但在求y = A si n (・・x •「)的单调区间时,要特别注意 A 和• ‘的 符号,通过诱导公式先将•’化正。
高中各种函数图像及其性质一次函数(一)函数1、确定函数定义域的方法:(1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数;(2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零;(3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零;(4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零;(5)实责问题中,函数定义域还要和本质情况相吻合,使之有意义。
(二)一次函数1、一次函数的定义一般地,形如y kx b( k , b 是常数,且 k)的函数,叫做一次函数,其中x 是自变量。
当b0时,一次函数y kx,又叫做正比率函数。
⑴一次函数的解析式的形式是y kx b,要判断一个函数是否是一次函数,就是判断可否能化成以上形式.⑵当 b 0 , k 0 时,y kx仍是一次函数.⑶当b0,k 0时,它不是一次函数.⑷正比率函数是一次函数的特例,一次函数包括正比率函数.2、正比率函数及性质一般地,形如 y=kx(k 注:正比率函数一般形式是常数, k≠0) 的函数叫做正比率函数,其中y=kx (k不为零)① k不为零② x指数为k 叫做比率系数1 ③ b取零.当 k>0 时,直线y=kx 经过三、一象限,从左向右上升,即随x 的增大y 也增大;当k<0 时, ?直线y=kx 经过二、四象限,从左向右下降,即随x 增大y 反而减小.(1)解析式: y=kx ( k 是常数, k≠ 0)(2)必过点:( 0, 0)、( 1, k)(3) 走向: k>0 时,图像经过一、三象限;k<0 时, ?图像经过二、四象限(4)增减性: k>0, y 随 x 的增大而增大; k<0, y 随 x 增大而减小(5)倾斜度: |k| 越大,越凑近 y 轴; |k| 越小,越凑近 x 轴3、一次函数及性质一般地,形如y=kx + b(k,b是常数,k≠0),那么y 叫做 x 的一次函数 . 当 b=0 时, y=kx +b 即 y=kx ,因此说正比率函数是一种特其他一次函数.注:一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零 ) ① k 不为零 ② x 指数为 1 ③ b 取任意实数一次函数 y=kx+b 的图象是经过(0, b )和( - b, 0)两点的一条直线,我们称它为直k线 y=kx+b, 它可以看作由直线 y=kx 平移 |b| 个单位长度获取 .(当 b>0 时,向上平移; 当 b<0 时,向下平移)(1)解析式: y=kx+b(k 、 b 是常数, k 0)(2)必过点:( 0, b )和( - b, 0)k( 3)走向: k>0 ,图象经过第一、三象限; k<0,图象经过第二、四象限b>0,图象经过第一、二象限; b<0,图象经过第三、四象限k 0 b 0k 0 b 0直线经过第一、二、三象限直线经过第一、二、四象限k 0 b 0k 0 b 0直线经过第一、三、四象限直线经过第二、三、四象限(4)增减性: k>0 , y 随 x 的增大而增大; k<0, y 随 x 增大而减小 .(5)倾斜度: |k| 越大,图象越凑近于y 轴; |k| 越小,图象越凑近于 x 轴 .(6)图像的平移: 当 b>0 时,将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位; 当 b<0 时,将直线 y=kx 的图象向下平移b 个单位 .一次kkx b k函数k , bk符号b 0byy图象OxOxkb 0b 0bb 0y y yyOxOxOxOx性质y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小4、一次函数 y=kx +b 的图象的画法 .依照几何知识:经过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线,即两点确定一条直线,因此画一次函数的图象时,只要先描出两点,再连成直线即可. 一般情况下:是先采用它与两坐标轴的交点:(0,b),. 即横坐标或纵坐标为0 的点 .b>0b<0b=0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限k>0图象从左到右上升,y 随 x 的增大而增大经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限k<0图象从左到右下降,y 随 x 的增大而减小5、正比率函数与一次函数之间的关系一次函数 y=kx + b 的图象是一条直线,它可以看作是由直线 y=kx 平移 |b| 个单位长度而获取(当 b>0 时,向上平移;当b<0 时,向下平移)6、正比率函数和一次函数及性质正比率函数一次函数概念一般地,形如 y=kx(k 是常数,一般地,形如 y=kx + b(k,b 是常数, k≠0) ,那k≠0) 的函数叫做正比率函数,其么 y 叫做 x 的一次函数 . 当 b=0 时,是 y=kx ,中 k 叫做比率系数因此说正比率函数是一种特其他一次函数.自变量X 为全体实数范围图象一条直线必过点( 0,0)、( 1,k)( 0,b)和( - b, 0)k走向k>0 时,直线经过一、三象限;k> 0,b> 0, 直线经过第一、二、三象限k<0 时,直线经过二、四象限k> 0,b< 0 直线经过第一、三、四象限k< 0,b> 0 直线经过第一、二、四象限k< 0,b< 0 直线经过第二、三、四象限增减性k>0,y 随 x 的增大而增大;(从左向右上升)k<0,y 随 x 的增大而减小。
高中各种函数图像画法与函数性质[方案] 一次函数(一)函数1、确定函数定义域的方法:(1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数;(2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零;(3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零;(4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零;(5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。
一次 kkxbk,,,0,,函数k,0k,0 , kb b,0b,0b,0b,0b,0符号 b,0yyyyyy图象 OOOOOOxxxxxx随的增大而增大随的增大而减小 xxyy性质二次函数2fxaxbxca,,,,0 ,,,,a,0a,0b图像 x,, 2abx,, 2a,,,,, ,,定义域bx,, 对称轴 2a2,,bacb4, ,,顶点坐标 ,,24aa,,22,,,,4acb,4acb, ,,,,,,值域 ,,,,4a4a,,,,bb,,,,递减递增 ,,,,,,,,,,,,2a2a,,,,单调区间bb,,,,递增递减 ,,,,,,,,,,,,2a2a,,,,二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达1. 关于轴对称 x22 关于轴对称后,得到的解析式是; yaxbxc,,,yaxbxc,,,,x22关于轴对称后,得到的解析式是xyaxhk,,,yaxhk,,,,,,,,2. 关于轴对称 y22 关于轴对称后,得到的解析式是; yaxbxc,,,yaxbxc,,,y22关于轴对称后,得到的解析式是;yaxhk,,,yaxhk,,,y,,,,3. 关于原点对称22 关于原点对称后,得到的解析式是;yaxbxc,,,yaxbxc,,,,22 关于原点对称后,得到的解析式是 yaxhk,,,yaxhk,,,,,,,,4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180?)2b22yaxbxc,,,关于顶点对称后,得到的解析式是;yaxbxc,,,,,2a22yaxhk,,,yaxhk,,,,关于顶点对称后,得到的解析式是(,,,,5. 关于点对称 mn~,,2关于点对称后,得到的解析式是mn~yaxhk,,,,,,,2 yaxhmnk,,,,,,22,,反比例函数1、反比例函数图象:反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交(K?0)。
一次函数(一)函数1、确定函数定义域的方法:(1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数; (2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零;(3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零; (4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零;(5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。
(二)一次函数 1、一次函数的定义一般地,形如y kx b =+(k ,b 是常数,且0k ≠)的函数,叫做一次函数,其中x 是自变量。
当0b =时,一次函数y kx =,又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+,要判断一个函数是否是一次函数,就是判断是否能化成以上形式.⑵当0b =,0k ≠时,y kx =仍是一次函数.⑶当0b =,0k =时,它不是一次函数.⑷正比例函数是一次函数的特例,一次函数包括正比例函数.2、正比例函数及性质一般地,形如y=kx(k 是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k 叫做比例系数. 注:正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零当k>0时,直线y=kx 经过三、一象限,从左向右上升,即随x 的增大y 也增大;当k<0时,•直线y=kx 经过二、四象限,从左向右下降,即随x 增大y 反而减小.(1) 解析式:y=kx (k 是常数,k ≠0)(2) 必过点:(0,0)、(1,k )(3) 走向:k>0时,图像经过一、三象限;k<0时,•图像经过二、四象限(4) 增减性:k>0,y 随x 的增大而增大;k<0,y 随x 增大而减小(5) 倾斜度:|k|越大,越接近y 轴;|k|越小,越接近x 轴3、一次函数及性质一般地,形如y=kx +b(k,b 是常数,k≠0),那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时,y=kx +b 即y=kx ,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注:一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数一次函数y=kx+b 的图象是经过(0,b )和(-kb,0)两点的一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移)(1)解析式:y=kx+b(k 、b 是常数,k ≠0) (2)必过点:(0,b )和(-kb,0) (3)走向: k>0,图象经过第一、三象限;k<0,图象经过第二、四象限 b>0,图象经过第一、二象限;b<0,图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<0b k 直线经过第二、三、四象限(4)增减性: k>0,y 随x 的增大而增大;k<0,y 随x 增大而减小.(5)倾斜度:|k|越大,图象越接近于y 轴;|k|越小,图象越接近于x 轴.(6)图像的平移: 当b>0时,将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位;当b<0时,将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.4、一次函数y=kx +b 的图象的画法.根据几何知识:经过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线,即两点确定一条直线,所以画一次函数的图象时,只要先描出两点,再连成直线即可.一般情况下:是先选取它与两坐标轴的交点:(0,b ),.即横坐标或纵坐标为0的点.b>0 b<0 b=0k>0经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限图象从左到右上升,y 随x 的增大而增大k<0经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限图象从左到右下降,y 随x 的增大而减小5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx +b 的图象是一条直线,它可以看作是由直线y=kx 平移|b|个单位长度而得到(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移)6、正比例函数和一次函数及性质 正比例函数一次函数概 念一般地,形如y=kx(k 是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k 叫做比例系数 一般地,形如y=kx +b(k,b 是常数,k≠0),那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时,是y=kx ,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.自变量 围 X 为全体实数 图 象 一条直线 必过点(0,0)、(1,k )(0,b )和(-kb,0)走 向k>0时,直线经过一、三象限; k<0时,直线经过二、四象限k >0,b >0,直线经过第一、二、三象限 k >0,b <0直线经过第一、三、四象限 k <0,b >0直线经过第一、二、四象限 k <0,b <0直线经过第二、三、四象限增减性 k>0,y 随x 的增大而增大;(从左向右上升) k<0,y 随x 的增大而减小。