2020届江苏省南通市、泰州市高三上学期第一次调研考试数学(理)试题含答案

2019-2020南通、泰州高三第一次调研试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 1.已知集合{1,0,2}A =-，{1,1,2}B =-，则A B =_____. 答案：{1,2}-解：因为{1,0,2}A =-，{1,1,2}B =-，所以{1,2}A B =-2.已知复数z 满足(1)2i z i +=，其中i 是虚数单位，则z 的模为_______.解：22(1)11(1)(1)i i i z i i i i -===+++-，则||z 3.某校高三数学组有5名党员教师,他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35,35,41,38,51,则这5名党员教师学习积分的平均值为______. 答案：40 解：3535413851405++++=4.根据如图所示的伪代码，输出的a 的值为______. 答案：11 解：模拟演示：1,1a i == 2,2a i == 4,3a i == 7,4a i ==11,5a i ==此时输出11a =5.已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则1a d的值为____. 答案：1解：由题意得：2214a a a =⋅，则2111()(3)a d a a d +=⋅+，整理得1a d =，所以11a d=6.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为___. 答案：38解：223113()()228P C =⋅⋅=7.在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，则三棱锥111A BB C -的体积为____.解：112232V =⨯⨯⨯=8.已知函数()sin()3f x x πω=-(0)ω>，若当6x π=时，函数()f x 取得最大值，则ω的最小值为_____. 答案：5 解：由题意得：2632k ωππππ-=+，k z ∈，则512k ω=+，k z ∈，因为0ω>，所以当0k =时ω取得最小值，即5ω=9.已知函数2()(2)(8)f x m x m x =-+-()m R ∈是奇函数，若对于任意的x R ∈，关于x 的不等式2(+1)()f x f a <恒成立，则实数a 的取值范围是____. 答案：1a <10.在平面直角坐标系xOy 中,已知点,A B 分别在双曲线22:1C x y -=的两条渐近线上,且双曲线C 经过线段AB 的中点，若点A 的横坐标为2，则点B 的横坐标为_____. 答案：1211.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如.地震时释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震,它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的____倍. 答案：100012.已知ABC ∆的面积为3，且AB AC =，若2CD DA =，则BD 的最小值为_____.13.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:8C x y +=与圆222:20C x y x y a +++-=相交于,A B 两点，若圆1C 上存在点P ，使得ABP ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为____.14.已知函数||1|1|,0(),01x x f x xx x --≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，若关于x 的方程22()2()10f x af x a ++-=有五个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_____.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABCBC AC的中⊥，,D E分别为,-中，PA⊥平面ABC，PC AB点.求证：（1）AB∥平面PDE；（2）平面PAB⊥平面PAC.16.（本小题满分14分）在ABC∆中，已知4AC=，3BC=，1 cos4B=-.（1）求sin A的值. （2）求BA BC⋅的值.17.（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆2222:1x yEa b+=(0)a b>>的焦距为4，两条准线间的距离为8，A,B分别为椭圆E的左、右顶点。

南通市2020届高三第一次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合，，则▲.【答案】2．已知复数满足，其中是虚数单位，则的模为▲.【答案】3．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为，则这5名党员教师学习积分的平均值为▲.【答案】404．根据如图所示的伪代码，输出的a的值为▲．【答案】115．已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则的值为▲．【答案】16．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为▲.【答案】7．在正三棱柱中，，则三棱锥的体积为▲.【答案】8．已知函数．若当时，函数取得最大值，则的最小值为▲.【答案】59．已知函数是奇函数．若对于任意的，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是▲．a ←1i ←1While i ≤4a ←a+i i ←i +1End While Print a（第4题）【答案】10．在平面直角坐标系中，已知点A，B分别在双曲线的两条渐近线上，且双曲线经过线段AB的中点．若点的横坐标为2，则点的横坐标为▲．【答案】11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的▲倍．【答案】100012．已知△ABC的面积为3，且．若，则的最小值为▲．【答案】13．在平面直角坐标系中，已知圆与圆相交于A，B两点．若圆上存在点，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数的值组成的集合为▲.【答案】14．已知函数若关于的方程有五个不相等的实数根，则实数的取值范围是▲.【答案】二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，平面，，分别为的中点．求证：（1）AB∥平面；（2）平面平面．【证】（1）在中，因为分别为的中点，所以AB∥DE．……3分又因为平面，平面，所以AB∥平面．……6分（2）因为平面，平面，所以．……8分又因为，平面，，所以平面．……11分因为平面，所以平面平面．……14分16．（本小题满分14分）在△ABC中，已知，，．（1）求的值；（2）求的值．【解】（1）在△ABC中，因为，，由，得．……2分又，，由正弦定理，得，……4分所以．……6分（2）（方法一）由余弦定理，得，……8分即，解得或（舍去）．……11分所以．……14分（方法二）在△ABC中，由条件得，所以，所以．所以．……8分所以．……10分由正弦定理，得，所以．……12分所以．……14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，两条准线间的距离为，分别为椭圆的左、右顶点．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知图中四边形是矩形，且，点分别在边上，与相交于第一象限内的点．①若分别是的中点，证明：点在椭圆上；②若点在椭圆上，证明：【解】（1）设椭圆的焦距为，则由题意，得解得所以．所以椭圆的标准方程为．……3分（2）①由已知，得，，，．直线的方程为，直线的方程为．联立解得即．……6分因为，所以点在椭圆上．……8分②（解法一）设，，则，．直线的方程为，令，得．……10分直线的方程为，令，得．……12分所以．……14分（第18题）O（解法二）设直线的方程为，令，得．设直线的方程为，令，得．……10分而．……12分设，，则，所以，所以．……14分18．（本小题满分16分）在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为的正三角形绕其中心逆时针旋转到三角形，且．顺次连结，得到六边形徽标．（1）当时，求六边形徽标的面积；（2）求六边形徽标的周长的最大值．【解】连结．在正三角形中，，，，．……2分当正三角形绕中心逆时针旋转到正三角形位置时，有，，，所以≌≌，≌≌，所以，．……4分（1）当时，设六边形徽标的面积为，则……6分．答：当时，六边形徽标的面积为．……9分（2）设六边形徽标的周长为，则……11分，．……13分所以当，即时，取最大值．答：六边形徽标的周长的最大值为．……16分19．（本小题满分16分）已知数列满足：，且当时，．（1）若，证明：数列是等差数列；（2）若．①设，求数列的通项公式；②设，证明：对于任意的，当时，都有．【解】（1）时，由，得……2分所以，即（常数），所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．……4分（2）时，，时，．①时，所以．……6分所以．又，所以．……8分又，所以（常数）．所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以数列的通项公式为．……10分②由①知，，．所以，所以．……12分所以．……14分当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以．所以若，则．……16分20．（本小题满分16分）设函数，其中为自然对数的底数．（1）当时，求函数的单调减区间；（2）已知函数的导函数有三个零点，，．①求的取值范围；②若，是函数的两个零点，证明：．【解】（1）时，，其定义域为，．令，得，所以函数的单调减区间为．……3分（2）①，设，则导函数有三个零点，即函数有三个非零的零点．又，若，则，所以在上是减函数，至多有1个零点，不符合题意，所以．……5分令，．列表如下：所以即解得．……8分又，所以在上有且只有1个非零的零点．因为当时，，，，且，又函数的图象是连续不间断的，所以在和上各有且只有1个非零的零点．所以实数的取值范围是．……10分②（证法一）由，得设，且，所以．又因为，所以．所以或时，；时，．由①知，．因为，所以，，所以，极大值极小值．……14分所以成立．……16分（证法二）依题设知：，由①知，设，由①知，所以，在上单调递减．……12分又由，得：，即，所以，又，故，．于是（Ⅰ），即，又，，所以；……14分（Ⅱ），即，又，，故，又，所以，即．所以，得证．……16分21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知，向量是矩阵的属于特征值3的一个特征向量．（1）求矩阵；（2）若点在矩阵对应的变换作用下得到点，求点的坐标．【解】（1）因为向量是矩阵的属于特征值3的一个特征向量，所以，即，所以解得所以．……5分（2）设，则，所以解得所以点的坐标为．……10分B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程（t为参数），椭圆C的参数方程为(为参数)．求椭圆C上的点到直线的距离的最大值．【解】（方法一）直线的普通方程为．……2分设，则点到直线的距离．……8分当，即（）时，．……10分（方法二）直线的普通方程为．椭圆C的普通方程为．……4分设与直线平行的直线方程为，由消，得．令，得．……8分所以直线与椭圆相切．当时，点到直线的距离最大，．……10分C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知都是正实数，且．证明：（1）；（2）．【证】（1）因为都是正实数，所以．又因为，所以，即，得证．……4分（2）因为都是正实数，所以，①，②．③……6分由①+②+③，得，所以，又因为，所以，得证．……10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出（第22题）文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)如图，在直四棱柱中，，，．（1）求二面角的余弦值；（2）若点为棱的中点，点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的长．【解】在直四棱柱中，因为平面，，平面，所以，．又，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．由，得，．……2分（1），，设平面的一个法向量，则即不妨取，则，，所以．……4分因为平面，所以平面的一个法向量为．设二面角的平面角的大小为，根据图形可知，．所以二面角的余弦值为．……6分（2）设，则．又为的中点，则，，．设平面的一个法向量，由得取，则，，所以．……8分设直线与平面所成角的大小为，则，所以或（舍去）.所以.……10分23．(本小题满分10分)一只口袋装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1只.现从口袋中先后有放回地取球次，且每次取1只球.（1）当时，求恰好取到3次红球的概率；（2）随机变量表示次取球中取到红球的次数，随机变量求的数学期望（用表示）.【解】（1）当时，从装有5只小球的口袋中有放回的取球6次，共有个基本事件.记“恰好取到3次红球”为事件，事件包含基本事件有个.因为上述个基本事件发生的可能性相同，故.答：当时，恰好取到3次红球的概率为.……3分（2）由题意知，随机变量的所有可能取值为.则...……5分所以.……7分令，，则，.，所以.所以.答：的数学期望为.……10分。

2020届江苏省南通市、泰州市高三上学期第一次调研考试试题数学（理）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．． 1.已知集合{1,0,2}A =-，{1,1,2}B =-，则A B =I _____. 答案：{1,2}-2.已知复数z 满足(1)2i z i +=，其中i 是虚数单位，则z 的模为_______. 答案：23.某校高三数学组有5名党员教师,他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35,35,41,38,51,则这5名党员教师学习积分的平均值为______. 答案：404.根据如图所示的伪代码，输出的a 的值为______. 答案：115.已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则1a d的值为____. 答案：16.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为___. 答案：387.在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，则三棱锥111A BB C -的体积为____. 答案：238.已知函数()sin()3f x x πω=-(0)ω>，若当6x π=时，函数()f x 取得最大值，则ω的最小值为_____. 答案：59.已知函数2()(2)(8)f x m x m x =-+-()m R ∈是奇函数，若对于任意的x R ∈，关于x 的不等式2(+1)()f x f a <恒成立，则实数a 的取值范围是____.答案：1a <10.在平面直角坐标系xOy 中,已知点,A B 分别在双曲线22:1C x y -=的两条渐近线上,且双曲线C 经过线段AB 的中点，若点A 的横坐标为2，则点B 的横坐标为_____.答案：1211.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如.地震时释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震,它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的____倍. 答案：100012.已知ABC ∆的面积为3，且AB AC =，若2CD DA =u u u r u u u r，则BD 的最小值为_____.13.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:8C x y +=与圆222:20C x y x y a +++-=相交于,A B 两点，若圆1C 上存在点P ，使得ABP ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为____.14.已知函数||1|1|,0(),01x x f x xx x --≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，若关于x 的方程22()2()10f x af x a ++-=有五个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_____.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABCBC AC的中-中，PA⊥平面ABC，PC AB⊥，,D E分别为,点.求证：（1）AB∥平面PDE；（2）平面PAB⊥平面PAC.16.（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知4AC =，3BC =，1cos 4B =-. （1）求sin A 的值.（2）求BA BC ⋅u u u r u u u r的值.17.（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆2222:1x yEa b+=(0)a b>>的焦距为4，两条准线间的距离为8，A,B分别为椭圆E的左、右顶点。

2020年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={-1，0，2}，B={-1，1，2}，则A∩B=______．2.已知复数z满足（1+i）z=2i，其中i是虚数单位，则z的模为______．3.某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值为______．4.根据如图所示的伪代码，输出的a的值为______．5.已知等差数列{a n}的公差d不为0，且a1，a2，a4成等比数列，则的值为______．6.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为______．7.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=2，则三棱锥A1-BB1C1的体积为______．8.已知函数（ω＞0），若当时，函数f（x）取得最大值，则ω的最小值为______．9.已知函数f（x）=（m-2）x2+（m-8）x（m∈R）是奇函数，若对于任意的x∈R，关于x的不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，则实数a的取值范围是______．10.在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别在双曲线C：x2-y2=1的两条渐近线上，且双曲线C经过线段AB的中点．若点A的横坐标为2，则点B的横坐标为______．11.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如．地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的______倍．12.已知△ABC的面积为3，且AB=AC，若，则BD的最小值为______．13.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=8与圆C2：x2+y2+2x+y-a=0相交于A、B两点．若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为______．14.已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+2af（x）+1-a2=0有五个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PC⊥AB，D，E分别为BC，AC的中点．求证：（1）AB∥平面PDE；（2）平面PAB⊥平面PAC．16.在△ABC中，已知AC=4，BC=3，cos B=-．（1）求sin A的值．（2）求的值．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的焦距为4，两条准线间的距离为8，A，B分别为椭圆E的左、右顶点．（1）求椭圆E的标准方程：（2）已知图中四边形ABCD是矩形，且BC=4，点M，N分别在边BC，CD上，AM与BN相交于第一象限内的点P．①若M，N分别是BC，CD的中点，证明：点P在椭圆E上；②若点P在椭圆E上，证明：为定值，并求出该定值．18.在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a的正三角形ABC绕其中心O逆时针旋转θ到三角形A1B1C1，且顺次连结A，A1，B，B1，C，C1，A，得到六边形徽标AA1BB1CC1．（1）当θ=时，求六边形徽标的面积；（2）求六边形微标的周长的最大值．19.已知数列{a n}满足：a1=1，且当n≥2时，a n=λa n-1+（λ∈R）．（1）若λ=1，证明：数列{a2n-1}是等差数列；（2）若λ=2．①设b n=a2n+，求数列{b n}的通项公式；②设C n=，证明：对于任意的p，m∈N*，当p＞m，都有C p≥C m．20.设函数（a∈R），其中e为自然对数的底数．（1）当a=0时，求函数f（x）的单调减区间；（2）已知函数f（x）的导函数f'（x）有三个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）．①求a的取值范围；②若m1，m2（m1＜m2）是函数f（x）的两个零点，证明：x1＜m1＜x1+1．21.已知a，b∈R，向量是矩阵A=的属于特征值3的一个特征向量．（1）求矩阵A；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'（2，2），求点P的坐标．22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），求椭圆C上的点P到直线l的距离的最大值．23.已知a，b，c都是正实数，且=1．证明：（1）abc≥27；（2）≥1．24.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，AB⊥AD，AB=AD=AA1=2BC=2．（1）求二面角C1-B1C-D1的余弦值；（2）若点P为棱AD的中点，点Q在棱AB上，且直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为，求AQ的长．25 一只口袋装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1只．现从口袋中先后有放回地取球2n次（n∈N*），且每次取1只球．（1）当n=3时，求恰好取到3次红球的概率；（2）随机变量X表示2n次取球中取到红球的次数，随机变量，求Y的数学期望（用n表示）．2020年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷答案和解析【答案】1. {-1，2}2.3. 404. 115. 16.7.8. 59. （-∞，1）10.11. 100012.13. {7，8，9}14.15. 证明：（1）∵D，E分别为BC，AC的中点，∴DE是三角形ABC的一条中位线，∴DE∥AB，∵AB不在平面PDE内，DE在平面PDE内，∴AB∥平面PDE；（2）∵PA⊥平面ABC，AB在平面ABC内，∴PA⊥AB，又PC⊥AB，PA∩PC=P，且PA，PC都在平面PAC内，∴AB⊥平面PAC，∵AB在平面PAB内，∴平面PAB⊥平面PAC．16. 解：（1）如图，∵，∴，又AC=4，BC=3，∴根据正弦定理得，，解得；（2）∵，∴，∴cos C=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=sin A sin B-cos A cos B=，∴===．17. 解：（1）设椭圆的E的焦距为2c，则由题意，得，解得，所以b2=a2-c2=4，所以椭圆E的标准方程为；（2）①证明：由已知，得M（2，2），N（0，4），B（2，0），直线AM的方程为，直线BN的方程为，联立，解得，即P（，），因为，所以点P在椭圆上；②解法一：设P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则，，直线AP的方程为，令，得，直线BP的方程，令y=4，得，所以=====．解法二：设直线AP的方程为（k1＞0），令，得，设直线BP的方程为（k2＜0），令y=4，得，所以==|k1k2|，设P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则，所以k1k2=•===，所以=．18. 解：（1）因为正三角形ABC的边长为a，所以∠AOB=120°，且OA=OA1=OB=OB1=OC=OC1=，由旋转图形的性质可知，△A1AC1≌△AA1B≌△B1BA1≌△BB1C≌△C1CB1≌△CC1A，所以∠AA1B=∠A1BB1=∠BB1C=∠B1CC1=∠CC1A=∠C1AA1=120°，在等腰△AOA1中，因为∠AOA1=θ=，所以∠AA1O=，所以∠BA1O=，因此∠A1OB=，依此类推可得，∠BOB1=∠COC1=，∠B1OC=∠C1OA=，所以六边形徽标的面积S=+=3（）=3•=，故六边形徽标的面积为．（2）由（1）可知，A1A=B1B=C1C，A1B=B1C=C1A，不妨设A1A=x，A1B=y，则六边形徽标的周长L=3（x+y）．在△AA1B中，由余弦定理得，cos∠AA1B=cos120°=所以xx2+y2+xy=a2，变形得（x+y）2-xy=a2①由基本不等式可知，②由①②解得，x+y≤，当且仅当x=y=时取等号所以六边形徽标的周长L=3（x+y）≤3×=故六边形徽标的周长的最大值为．19. 解：（1）当λ=1时，则根据a1=1，a n=a n-1+（n≥2），得，所以a2n+1=a2n-1+1，即a2n+1-a2n-1=1为常数，即数列{a2n-1}是首项为1，公差为1的等差数列；（2）λ=2时，a1=1，且当n≥2时，a n=2a n-1+，①当n≥2时，，所以a2n=4a2n-2+2，则a2n+=4（a2n-2+），又因为b n=a2n+，即有b n=a2n+=4（a2n-2+），而b1=a2+=2a1+=≠0，所以=4是常数，所以数列{b n}时首项为，公比为4的等比数列，则b n的通项公式为b n=•4n-1=•4n（n∈N+）；②由①知，a2n=b n-=（4n-1），a2n-1=a2n=（4n-1），则===（）-n=，所以C n==[]（n∈N+），则C n+1-C n=-=，当n=1时，C2-C1=0，则C2=C1；当n=2时，C3-C2=0，则C3=C2；当n≥3时，C n+1-C n＞0，则C n+1＞C n，故对于任意的p，m∈N*，当p＞m，都有C p≥C m．20. 解：（1）当a=0时，，其定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），．令f'（x）＜0，则x＞1，∴f（x）的单调递减区间为（1，+∞）．（2）①由，得，设g（x）=ax3-x+1，则导函数f'（x）有三个零点，即函数g（x）有三个非零的零点．又g′（x）=3ax2-1，若a≤0，则g′（x）=3ax2-1＜0，∴g（x）在（-∞，+∞）上是减函数，g（x）至多有1个零点，不符合题意，∴a＞0．令g′（x）=0，，则当x∈∪时，g'（x）＞0；当x∈，g'（x）＜0，∴g（x）在上单调递减，在和上单调递增，∴，即，∴．又g（0）=1＞0，∴g（x）在上有且只有1个非零的零点．∵当时，，，且，又函数g（x）的图象是连续不间断的，∴g（x）在和上各有且只有1个非零的零点，∴实数a的取值范围是．②由f（m1）=f（m2）=0，得，设p（x）=ax2-ax-1（a＞0），且p（m1）=p（m2）=0，∴．又∵m1＜m2，∴m1＜0＜m2．∴x＜m1或x＞m2时，p（x）＞0；m1＜x＜m2时，p（x）＜0．由①知a＞0，x1＜0＜x2＜x3．∵，∴，，∴，，∴x1＜m1＜x1+1成立．21. 解：（1）由矩阵特征值和特征向量的关系可知：Aα=3α，带入可知：=3，即，解得a=2，b=-1，故矩阵A=．（2）设P为（x，y），因为点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'（2，2），所以，解得x=1，y=0，故P（1，0）．22. 解：已知直线l的参数方程（t为参数），转换为直角坐标方程为x+2y+3=0，椭圆C的参数方程为（θ为参数），设椭圆上的点P（2cosθ，sinθ）到直线l 的距离d==，当sin（）=1时，．23. 证明：（1）∵a，b，c都是正实数，∴，又∵=1，∴，即abc≥27，得证；（2）∵a，b，c都是正实数，∴，，，由①+②+③得，，∴，得证．24. 解：（1）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∵AA1⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，∴AB⊥AA1，AD⊥AA1，∵AB⊥AD，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB=AD=AA1=2BC=2．∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），C1（2，1，2），D1（0，2，2），=（-2，2，0），=（0，1，-2），设平面B1CD1的一个法向量=（x，y，z），则，取x=2，则=（2，2，1），∵AB⊥平面B1C1C，∴平面B1CC1的一个法向量=（2，0，0），设二面角C1-B1C-D1的的平面角为α，由图形得锐角，∴二面角C1-B1C-D1的余弦值为：cosα==．（2）设AQ=λ（0≤λ≤2），则Q（λ，0，0），∵点P是AD中点，则P（0，1，0），=（λ，-1，0），=（λ-2，0，-2），设平面B1PQ的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，2λ，λ-2），设直线B1C与平面B1PQ所成角大小为β，∵直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为，∴sinβ===，解得λ=1或．∴AQ=1．25. 解：（1）当n=3时，从装有5只小球的口袋中有放回地取球6次，共有n=56个基本事件，记“恰好取到3次红球”为事件A，则事件A包含的基本事件个数为m=，∴当n=3时，恰好取到3次红球的概率P（A）==．（2）由题意知随机变量Y的所在可能取值为0，1，3，5，…，2n-1，（n∈N*），则P（Y=2t+1）=•（2i+1）==．（0≤i≤n-1，i∈N），∴E（Y）=0•P（Y=0）+3P（Y=3）+5P（Y=5）+…+（2n-1）P（Y=2n-1）=（+++…+），令x n=+++…+，y n=++，则，x n-y n=（4-1）2n-1=32n-1．∴．∴E（Y）===．【解析】1. 解：∵集合A={-1，0，2}，B={-1，1，2}，∴A∩B={-1，2}．故答案为：{-1，2}．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2. 解：由（1+i）z=2i，得．则复数z的模为：．故答案为：．把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3. 解：根据题意，5名党员教师的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值=（35+35+41+38+51）=40，故答案为：40根据题意，由平均数的计算公式计算可得答案．本题考查平均数的计算，注意平均数的计算公式即可，属于基础题．4. 解：模拟程序语言的运行过程知，该程序的功能是计算并输出a=1+1+2+3+4=11．故答案为：11．模拟程序语言的运行过程知，该程序的功能是计算并输出a的值．本题考查了利用程序计算并几个连续自然数和的应用问题，是基础题．5. 解：由题意，可知=a1a4，∴（a1+d）2=a1（a1+3d），即+2a1d+d2=+3a1d．化简，得a1=d．∴=1．故答案为：1．本题根据等比中项有=a1a4，然后根据等差数列通项公式代入化简，可得a1与d的关系式，即可得到的值．本题主要考查等差数列和等比数列的基础知识，考查了方程思想的应用和数学运算能力．本题属中档题．6. 解：将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为：P==．故答案为：．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，利用n次独立试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出恰好出现2次正面向上的概率．本题考查概率的求法，考查n次独立试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7. 解：如图所示，由正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=2，则三棱锥A1-BB1C1的体积==••B1B==．故答案为：．由正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=2，可得：棱锥A1-BB1C1的体积==••B1B，代入即可得出．本题考查了正三棱柱的性质、三棱锥的体积计算公式、等边三角形的面积计算公式、等积变形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8. 解：当x=时，f（x）取得最大值，即f（）=sin（ω-）=1，即ω-=+2kπ，k∈Z，即ω=12k+5，k∈Z，由于ω＞0，所以当k=0时，ω的最小值为5．故答案为：5．由已知可得sin（ω-）=1，利用正弦函数的性质可得ω-=+2kπ，k∈Z，结合ω＞0，可求ω的最小值．本题主要考查三角函数的图象和性质，考查了数形结合思想，属于基础题．9. 解：由奇函数的性质可得，f（-x）=-f（x）恒成立，即（m-2）x2-（m-8）x=-（m-2）x2-（m-8）x，故m-2=0即m=2，此时f（x）=-6x单调递减的奇函数，由不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，可得x2+1＞a恒成立，结合二次函数的性质可知，x2+1≥1，所以a＜1．故答案为：（-∞，1）由已知结合奇函数的定义可求m，然后结合不等式的恒成立与最值的相互关系及二次函数的性质可求．本题主要考查了奇函数的定义及单调性奇偶性在不等式恒成立问题中的应用，属于基础试题．10. 解：设点B的横坐标为m，因为双曲线C：x2-y2=1，所以双曲线的渐近线方程为y=±x，不妨设点A在直线y=x上，点B在直线y=-x上．则点A坐标为（2，2），点B坐标为（m，-m），所以线段AB的中点坐标为，因为双曲线C经过线段AB的中点，所以，解得，故答案为：．写出双曲线的渐近线方程，从而得到A和B两点的坐标，再利用中点坐标中式求得线段AB的中点，将其代入双曲线的标准方程，即可得解．本题主要考查了双曲线的渐近线方程和中点坐标公式，属于简单题．11. 解：地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M．2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量满足：lg E1=4.8+1.5×8.0，2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量满足：lg E2=4.8+1.5×6.0．∴lg E1-lg E2=3，解得：=103=1000．故答案为：1000．根据地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M．分别计算出：2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量E1，2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量E2，利用对数运算性质即可得出．本题考查了对数运算性质、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12. 解：如图，设AB=AC=x，由，得AD=，设∠BAC=θ（0＜θ＜π），由余弦定理可得：cosθ=，得，①由△ABC的面积为3，得，即，②联立①②，得，∴，令y=，则y sinθ=5-3cosθ，∴y sinθ+3cosθ=5，即（θ+φ）=5，得sin（θ+φ）=，由，解得y≥4或y≤-4（舍）．即，得BD，∴BD的最小值为．故答案为：．由题意画出图形，设AB=AC=x，由，得AD=，设∠BAC=θ（0＜θ＜π），由余弦定理及△ABC的面积为3得，则，令y=，再由三角函数求最值，即可求得BD的最小值．本题考查平面向量的数量积运算，考查三角形的解法，训练了利用三角函数求最值，是中档题．13. 解：已知圆C1：x2+y2=8与圆C2：x2+y2+2x+y-a=0相交于A、B两点，则AB所在直线的方程为2x+y-a+8=0，若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，分2种情况讨论：①，P为直角顶点，则AB为圆C1的直径，即直线2x+y-a+8=0经过圆C1的圆心C1，必有-a+8=0，解可得a=8；②，A或B为直角顶点，则点C1到直线AB的距离d=r=，则有d==，解可得a=7或9，综合可得：a的取值的集合为{7，8，9}；故答案为：{7，8，9}．根据题意，求出AB所在直线的方程，按直角顶点的位置分情况讨论，求出a的值，综合即可得答案．本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的基本性质，属于中档题．14. 解：令f（x）=t，则g（t）=t2+2at+1-a2，作f（x）的图象如下，设g（t）的零点为t1，t2，由图可知，要满足题意，则需，故，解得．故答案为：．令f（x）=t，则g（t）=t2+2at+1-a2，作f（x）的图象，观察图象可知，函数g（t）在（0，1）及（1，+∞）各有一根，由二次函数的根的分布列出不等式组得解．本题考查函数与方程的综合运用，考查数形结合思想，属于中档题．15. （1）由中位线的性质可知DE∥AB，由此即可得证；（2）先由PA⊥平面ABC，可证PA⊥AB，再结合已知PC⊥AB，即可证得AB⊥平面PAC，进而得证．本题考查线面平行及面面垂直的判定，掌握基本的判定定理是解题的关键，属于基础题．16. （1）根据条件可求出，然后根据正弦定理即可求出；（2）可以求出，然后根据cos C=cos[π-（A+B）]即可求出cos C=，从而由进行数量积的运算即可求出答案．本题考查了正弦定理，sin2x+cos2x=1，三角函数的诱导公式，以及向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于中档题．17. （1）根据椭圆的性质列方程组即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）①求得直线AM和BN的方程，联立，求得P点坐标，由P满足椭圆方程，即可判断P在椭圆E上；②解法一：根据直线的斜率公式及直线的斜率公式分别求得直线AP和BP的方程，求得M和N点坐标，表示出，利用P在椭圆上，即可证明为定值；解法二：设直线AP和BP的方程，同理求得M和N点坐标，根据直线斜率公式即可证明为定值．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的方程及斜率公式的应用，考查定点的证明，考查计算能力，属于中档题．18. （1）由旋转图形的性质可知，图中存在全等三角形，再结合边长和角度的计算以及三角形的正弦面积公式，即可求出六边形徽标的面积；（2）由全等三角形的性质，可知六边形徽标的周长等于3（AA1+BA1），再结合余弦定理和基本不等式的性质，即可得最大值．本题考查了解三角形中的正弦定理和余弦定理的应用，以及利用基本不等式求最值，突破口是找出图形在旋转过程中存在的规律，考查了学生的观察能力和直观想象能力，属于中档题．19. （1）将λ=1代入，则可得到，故a2n+1-a2n-1=1为常数，进而判断为等差数列；（2）λ=2时，a1=1，且当n≥2时，a n=2a n-1+，①有b n=a2n+=4（a2n-2+），所以=4是常数，所以数列{b n}时首项为，公比为4的等比数列，即可求出其通项公式；②C n==[]（n∈N+），当n=1时，C2-C1=0，则C2=C1；当n=2时，C3-C2=0，则C3=C2；当n≥3时，C n+1-C n＞0，则C n+1＞C n，故对于任意的p，m∈N*，当p＞m，都有C p≥C m．本题考查等差等比数列的证明，考查数列通项公式的求法，属于难题．20. （1）将a=0代入f（x）中，然后求导，再由f'（x）＜0得到f（x）的单调递减区间；（2）①对f'（x）求导，然后构造函数g（x）=ax3-x+1，再根据f'（x）有三个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），得到函数g（x）有三个非零的零点，进一步求出a的范围；②根据m1，m2（m1＜m2）是函数f（x）的两个零点，得到f（m1）=f（m2）=0，然后p （x）=ax2-ax-1（a＞0），进一步证明x1＜m1＜x1+1．本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，不等式的证明，考查了转化思想和函数思想，属难题．21. （1）由矩阵特征向量，特征值得关系，可以得到满足的等式，代入可得．（2）直接由矩阵变换，代入等式可求．本题考察矩阵与特征值，特征向量的关系，以及点的变换，属于基础题．22. 首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23. （1）利用，即可得证；（2）利用基本不等式直接证明即可．本题考查利用基本不等式证明不等式，考查推理论证能力，属于基础题．24. （1）推导出AB⊥AA1，AD⊥AA1，AB⊥AD，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C1-B1C-D1的余弦值．（2）设AQ=λ（0≤λ≤2），则Q（λ，0，0），求出平面B1PQ的法向量，利用向向量能求出AQ．本题考查二面角的求法，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25. （1）当n=3时，从装有5只小球的口袋中有放回地取球6次，共有n=56个基本事件，记“恰好取到3次红球”为事件A，则事件A包含的基本事件个数为m=，由此能求出当n=3时，恰好取到3次红球的概率．（2）由题意知随机变量Y的所在可能取值为0，1，3，5，…，2n-1，（n∈N*），则P （Y=2t+1）=•（2i+1）=．（0≤i≤n-1，i∈N），E（Y）=（+++…+），令x n=+++…+，y n=++，由此求出．从而能求出E（Y）．本题考查概率、离散型随机变量的数学期望的求法，考查排列组合、古典概型、二项式定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。

2019-2020南通泰州高三第一次调研试卷一、填空题1.已知集合A ＝{-1，0，2}，B ＝{-1，1，2}，则A ∩B =________.{}1,2-【解析】【分析】根据交集的定义求解即可【详解】由题,{}1,2A B ⋂=-,故答案为：{}1,2-【点睛】本题考查交集的运算,属于基础题2.已知复数z 满足(1+i )z ＝2i ，其中i 是虚数单位，则z 的模为_______.【解析】【分析】利用复数的除法法则可得1z i =+,进而求得模即可【详解】由题,()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-,所以z ==【点睛】本题考查复数的模,考查复数除法法则的应用,属于基础题3.某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值为_______.【答案】40【解析】【分析】根据平均数的公式计算即可【详解】由题,则平均值为()13535413851405⨯++++=,故答案为：40【点睛】本题考查求平均数,考查运算能力,属于基础题4.根据如图所示的伪代码，输出的a 的值为_______.【答案】11【解析】【分析】根据已知中的语句可知,该程序的功能是循环计算a ,i 并输出满足条件的a 的值,模拟程序的运行过程,即可得答案【详解】当1a =时,14i =≤,则112a =+=,1124i =+=≤,则224a =+=,2134i =+=≤,则437a =+=,3144i =+=≤,则7411a =+=,415i i =+=>,所以输出11a =,故答案为：11【点睛】本题考查循环结构和算法语句,当程序的运行次数不多时,采用模拟程序运行结果的办法进行解答即可5.已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 2，a 4成等比数列，则1a d的值为_____. 【答案】1【解析】【分析】。

2020届江苏省南通一中高三上学期第一次调研数学试题一、填空题1．设集合{}1,0,1M =-，{}20,N a =，则使M N N =I成立的a 的值是______.【答案】±1【解析】根据M N N =I 可得出21a =，解出该方程即可. 【详解】{}1,0,1M =-Q ，{}20,N a =且M N N =I ，N M ∴⊆，21a ∴=，解得1a =±.故答案为：±1. 【点睛】本题考查利用交集的结果求参数，考查计算能力，属于基础题.2．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为________．【答案】2284x y +＝1. 【解析】椭圆的焦距为4，所以2c ＝4，c ＝2因为准线为x ＝－4，所以椭圆的焦点在x 轴上，且－2a c ＝－4，所以a 2＝4c ＝8，b 2＝a 2－c 2＝8－4＝4，所以椭圆的方程为2284x y +＝1. 3．已知命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤,若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________. 【答案】1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】根据命题否定为真，结合二次函数图像列不等式，解得结果 【详解】因为命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤是假命题，所以21,02x R ax x ∀∈++>为真 所以011202a a a >⎧∴>⎨-<⎩【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立，考查基本分析求解能力，属基础题. 4．已知ABC △ 中，3tan tan tan tan 3AB A B －－＝，则C 的大小为________． 【答案】π3【解析】依题意：1tanA tanBtanAtanB+-＝－3，即tan (A ＋B )＝－3，又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝23π，∴C ＝π－A －B ＝3π.5．在直角坐标系中，点P 的坐标(),x y 满足：210500x y x y y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则x y -的最大值为______. 【答案】5【解析】作出不等式组所表示的可行域，利用平移直线的方法找出最优解，代入目标函数计算即可得出结果. 【详解】作出不等式组210500x y x y y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：设z x y =-，平移直线z x y =-，当该直线经过可行域的顶点()5,0A 时，直线z x y =-在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 505z =-=.故答案为：5. 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，通过数形结合找出最优解是解决本题的关键，属于基础题.6．设奇函数()f x 在()0,∞+上为增函数，且()10f =，则不等式()()f x f x x--<的解集为__________． 【答案】()()1,00,1-U【解析】∵f （x ）为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，f （1）=0， ∴f （1）=﹣f （﹣1）=0，在（﹣∞，0）内也是增函数 ∴()()f x f x x--=()2f x x＜0，即()00x f x >⎧⎨<⎩或 ()00x f x <⎧⎨>⎩根据在（﹣∞，0）和（0，+∞）内是都是增函数,解得：x ∈（﹣1，0）∪（0，1） 点睛: 根据函数为奇函数求出f （1）=0，再将不等式x f （x ）＜0分成两类加以分析，再分别利用函数的单调性进行求解，可以得出相应的解集．7．若2,4a b ==v v ，且()a b a +⊥v v v，则a v 与b v 的夹角是____．【答案】23π 【解析】由()a b a +⊥r r r得 20a a b +⋅=r r r，再利用平面向量数量积公式求解即可. 【详解】由()a b a +⊥r r r 得()·0a b a +=r r r ，即20a a b +⋅=r r r， 2cos ,0a a b a b +⋅⋅〈〉=r r r r r ，∴2cos ,a a b a b〈〉=-⋅r r r r r 12=-，∴2,3a b π〈〉=r r ， 故答案为23π. 【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于基础题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=r r r r ，二是1212a b x x y y ⋅=+r r，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a bθ⋅=⋅r r r r （此时a b r r g 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a r在br上的投影是a b b⋅r r r ；（3）,a b r r 向量垂直则0a b ⋅=r r ;(4)求向量ma nb +r r 的模（平方后需求a b ⋅r r）.8．将函数()2222=+x f x x 的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x 的图象，则4g π⎛⎫=⎪⎝⎭______.【解析】化简函数()y f x =的解析式，并利用函数图象变换求得函数()y g x =的解析式，进而计算可得出4g π⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】()222223f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭Q ， 将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位后得到函数()y g x =的图象，则()224436g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此，24463g ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查三角函数值的计算，利用图象变换求出函数解析式是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.9．已知实数,a b 满足22a b +=,则42a b +的最小值为__________． 【答案】4【解析】将所求的指数式化简，运用均值不等式求解. 【详解】242224a b a b +=+≥==,当且仅当1,12a b ==时取等号. 【点睛】本题考查指数运算和均值不等式，属于基础题.10．已知,,a b c 为ABC V 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量)1m =-v，()cos ,sin n A A =v ．若m n ⊥r r，且cos cos sin a B b A c C +=，则B=【答案】6π【解析】根据m n ⊥u r r sin 03A A A π-=⇒=，再利用正弦定理得2sin cos sin cos sin A B B A C +=，化简得出角C 的大小。

数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共 70 分．1． 已知集合 A = {-1，0 ，2} ， B = {-1，1，2} ，则 AB = ▲ .【答案】{-1，2}2． 已知复数 z 满足(1 + i)z = 2i ，其中i 是虚数单位，则 z 的模为 ▲ .【答案】3． 某校高三数学组有 5 名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35 ，35 ，41，38 ，51 ，则这 5 名党员教师学习积分的平均值为 ▲ .【答案】404． 根据如图所示的伪代码，输出的 a 的值为 ▲ ．【答案】115． 已知等差数列{a n } 的公差d 不为 0，且a 1 ，a 2 ，a 4 成等比数列，则 a1 的值为 ▲ ．d【答案】1（第 4 题）6． 将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次，则恰好出现 2 次正面向上的概率为 ▲ .【答案】 387． 在正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， AA 1 = AB = 2 ，则三棱锥 A 1 - BB 1C 1 的体积为 ▲ .【答案】 2 338． 已知函数 f (x ) = sin (ωx - π )(ω > 0 ) ．若当 x = π 时，函数 f (x ) 取得最大值，则ω 的最小值36为 ▲ .【答案】59． 已知函数 f (x ) = (m - 2) x 2 + (m - 8) x (m ∈ R ) 是奇函数．若对于任意的 x ∈ R ，关于 x 的不等式 f ( x 2 + 1) < f (a ) 恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】(-∞，1)2020 2a ←1i ←1While i ≤4a ←a+i i ←i +1 End While Print a5⎨⎪x 10．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A ，B 分别在双曲线C : x 2 - y 2 = 1 的两条渐近线上，且双曲线C 经过线段 AB 的中点．若点 A 的横坐标为 2，则点 B 的横坐标为 ▲ ．【答案】 1211．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量 E （单位：焦耳）与地震里氏震级 M 之间的关系为lg E = 4.8 + 1.5M ．2008 年 5 月汶川发生里氏 8.0 级地震，它释放出来的能量是 2019 年 6 月四川长宁发生里氏 6.0 级地震释放出来能量的 ▲ 倍．【答案】100012．已知△ABC 的面积为 3，且 AB = AC ．若CD = 2DA ，则 BD 的最小值为 ▲ ．【答案】 4 3313．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆C 1 : x 2 + y 2 = 8 与圆C: x 2 + y 2 + 2 x + y - a = 0 相交于A ，B 两点．若圆C 1 上存在点 P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为 ▲ .【答案】{8，8 + 2 5 ，8 - 2 }⎧ x - 1 - 1 ，x ≥ 0， 14．已知函数 f (x ) = ⎪，x < 0.⎩ x - 1若关于 x 的方程 f 2 (x ) + 2af (x ) + 1 - a 2 = 0 有五个不相等 的实数根，则实数a 的取值范围是 ▲ . 【答案】(-1，1 - 3)P二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．15．（本小题满分 14 分）如图，在三棱锥 P - ABC 中， PA ⊥ 平面 ABC ， PC ⊥ AB ，D ，E 分别为 BC ，AC 的中点． 求证：（1）AB ∥平面 PDE ；（2）平面 PAB ⊥ 平面 PAC ．BC（第 15 题）AE D21 - (- 1)2 43 15 【证】（1）在△ABC 中，因为 D ，E 分别为 BC ，AC 的中点，所以 AB ∥DE ．…… 3 分又因为 AB ⊄ 平面 PDE ， DE ⊂ 平面 PDE ， 所以 AB ∥平面 PDE ．…… 6 分（2）因为 PA ⊥ 平面 ABC ， AB ⊂ 平面 ABC ，所以PA ⊥ AB ． …… 8 分又因为 PC ⊥ AB ， PA ，PC ⊂ 平面 PAC ， PA PC = P ，所以 AB ⊥ 平面 PAC ． …… 11 分因为 AB ⊂ 平面 PAB ，所以平面 PAB ⊥ 平面 PAC ．…… 14 分16．（本小题满分 14 分）在△ABC 中，已知 AC = 4 ， BC = 3 ， cos B = - 1 ．4（1）求sin A 的值；（2）求 BA ⋅ BC 的值．【解】（1）在△ABC 中，因为 B ∈ (0 ，π) ， cos B = - 1 ，4由sin 2 B + cos 2 B = 1 ，得sin B == =15 ． …… 2 分4又 AC = 4 ， BC = 3 ， 由正弦定理，得 BC = AC ，…… 4 分sin Asin BBC ⋅ sin B 3 ⨯ 15所以sin A = = 4 =． …… 6 分 AC 416（2）（方法一）由余弦定理，得 AC 2 = AB 2 + BC 2- 2AB ⋅ BC cos B ，…… 8 分即 42 = AB 2 + 32- 2 A B ⨯ 3 ⨯ (- 1) ，4解得 AB = 2 或 AB =- 7 （舍去）．…… 11 分21 - cos2 B1 - sin2 A 2x y 所以 BA ⋅ BC = BA ⋅ BC cos B = 2 ⨯ 3 ⨯ (- 1 ) =- 3 ．…… 14 分4 2（方法二）在△ABC 中，由条件得 AC > BC ， 所以 B > A ，所以 A ∈ (0 ，π )．所以cos A = = = 11 ． …… 8 分16所以sin C = sin [π - ( A + B )] = sin( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B=3 15⨯ (- 1 ) + 11 ⨯ 15 = 15． …… 10 分16 4 16 4 8由正弦定理，得 AB = AC ，sin Csin B4 ⨯ 15 所以 AB = AC ⋅ sin C = 8 = 2 ．…… 12 分sin B15 4所以 BA ⋅ BC = BA ⋅ BC cos B = 2 ⨯ 3 ⨯ (- 1 ) =- 3 ．…… 14 分17．（本小题满分 14 分）4 2x 2 y 2如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E : a2 += 1(a > b > 0)的焦距为4 ，两条准线间的b2距离为8 ， A ，B 分别为椭圆 E 的左、右顶点．（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）已知图中四边形 ABCD 是矩形，且 BC = 4 ，点M ，N 分别在边 BC ，CD 上， AM 与BN 相交于第一象限内的点 P ．① 若 M ，N 分别是 BC ，CD 的中点，证明：点 P 在椭圆 E 上；② 若点P 在椭圆 E 上，证明： BM 为定值，并求出该定值． yCN【解】（1）设椭圆 E 的焦距为2c ，⎧⎪2c = 4，⎧c = 2， DNC PM则由题意，得⎨ 2a 2 = 8 解得⎨a 2 = 8.⎩⎪ c， ⎩ 所以b 2 = a 2 - c 2 = 4 ．22所以椭圆 E 的标准方程为8 + 4= 1 ． …… 3 分 AO B x1 - (3 15 )2 16（第17 题）x 0 + 2 2 x 0 - 2 24(x 0 - 2 2)2 2 2 ⨯ 1 (8 - x 2) 2 0 x 2- 8 0⎨ ⎨ y （2）①由已知，得 M (2 2，2) ， N (0 ，4) ， A (-2 2，0) ， B (2 2，0) ．直线 AM 的方程为 y =2 (x + 2 2) ，直线 BN 的方程为 y = - 42x + 4 ．⎧y = 2 (x + 2 2)，⎧ x = 6 2， 联立⎪4 解得⎪ 5 8 即 P ( 6 2 ，8) ． …… 6 分 5 5 ⎪⎩ y = - 2x + 4，⎪ y = ， ⎩ 5 ( 6 2 )2 (8)2因为 5+ 5 = 9 + 16= 1 ， 84 25 25所 以 点 P 在 椭 圆 E 上 ． …… 8 分 ②（解法一）设 P (x 0 ，y 0 ) ， (x 0 > 0，y 0 > 0) ，x 2 y 2 则 0 + 0 = 1 ， y 2 = 1 (8 - x 2 ) ． 842直线 AP 的方程为 y =y 0(x + 2 2 ) ，令 x = 2 ，得 y M =． …… 10 分直线 BP 的方程为 y =y 0 (x - 2 2 ) ，令 y = 4 ，得 x N - 2 =． …… 12 分y 4 2 y y2 y 2 所以 BM = M = 0 ⋅ 0= 0 CN x - 2 x + 2 4(x - 2 2 )x 2 - 8N0 0 0= = 2 ． …… 14 分 2（解法二）设直线 AP 的方程为 y = k 1 (x + 2 2) (k 1 > 0) ，令 x = 2 ，得 y M = 4 2k 1 ．设直线 BP 的方程为 y = k 2 (x - 2 2) (k 2 < 0) ，2 4 2 y 0 x 0 + 2 22 2θOy M x N - 2 2 2 2 )( 令 y = 4 ，得 x N - 2 = 4． …… 10 分k而 BM = = CN 2k 1k 2 ． …… 12 分x 2y 2设 P (x ，y ) ， (x > 0，y > 0) ，则0 + 0 = 1 ， 084y - 0 y - 0 y 2 1 (8 - x 2 ) 所以k k = 0 ⋅ 0 = 0 = 2 0 = - 1， 1 2x + 2 x - 2 x 2 - 8 x 2 - 8 20 0 0 所以 BM = CN2 ． …… 14 分218．（本小题满分 16 分）在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．如图， 小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a 的正三角形 ABC 绕其中心O 逆时针旋转θ 到三角形 A 1 B 1C 1 ，1A且θ ∈ 0 ，2π 3 ．顺次连结 A ，A 1 ，B ，B 1 ，C ，C 1 ，A ，得到 BC 1六边形徽标 AA 1 BB 1CC 1 ．（1）当θ = π 时，求六边形徽标的面积；6 （2）求六边形徽标的周长的最大值．B 1C（第 18 题）【解】连结OA ，OA ，OB ，OB ，OC ，OC ．在正三角形 ABC 中， ∠AOB = 2π ，1113OA = 2 ⨯ 3 a = 3 a ， ∠AOA = θ ， ∠A OB = 2π - θ ．…… 2 分3 2 3 1 1 3当正三角形 ABC 绕中心O 逆时针旋转到正三角形 A 1 B 1C 1 位置时，有OA = OB = OC = OA 1 = OB 1 = OC 1 ， ∠AOA 1 = ∠BOB 1 = ∠COC 1 = θ ，∠A 1OB = ∠B 1OC = ∠C 1OA ，所以△AOA 1 ≌ △BOB 1 ≌ △COC 1 ， △A 1OB ≌ △B 1OC ≌ △C 1OA ，所以 AA 1 = BB 1 = CC 1 ， A 1 B = B 1C = C 1 A ．…… 4 分2 22 23= 3 ⎡2OA sin θ + 2OA sin π - θ ⎤ （1）当θ = π 时，设六边形徽标的面积为S ，则6S = 3(S △AOA + S △A OB)11= 3 ⨯ (1 OA 1 ⋅ OA sin ∠AOA 1 + 1 OA 1 ⋅ OB sin ∠A 1OB)…… 6 分= 3 ⨯ (1 ⨯ 3 a ⨯ 3 a ⨯ sin π + 1 ⨯ 3 a ⨯ 3a sin π )2336 2332= 3 a 2 ． 4答：当θ = π 时，六边形徽标的面积为3 a 2 ． …… 9 分64（2）设六边形徽标的周长为l ，则l = 3( A A 1 + A 1 B )⎣⎢ 2 1(3 2 )⎥⎦= 2 3a (1 sin θ + 3cos θ) 22 2 2= 2 3a sin (θ + π )， θ ∈ (0 ，2π )． …… 13 分2 3 3所以当θ + π = π ，即θ = π 时， l 取最大值2 3a ．23 2 3答：六边形徽标的周长的最大值为2 3a ．…… 16 分19．（本小题满分 16 分）已知数列{a n } 满足： a 1 = 1 ，且当n ≥2 时， a n = λa n -1 +（1）若λ = 1，证明：数列{a 2 n -1} 是等差数列； （2）若λ = 2 ．① 设b n = a 2n + 2 ，求数列{b n } 的通项公式；2 n1 - (-1)n2(λ ∈ R ) ． ② 设C= 1∑ a ，证明：对于任意的 p ，m ∈ N*，当 p > m 时，都有C ≥C ．nn ⋅ 3n ii =11 - (-1)npm⎧a 2n +1 = a 2n + 1， 【解】（1） λ = 1时，由a 1 = 1，a n = a n -1 +(n ≥2) ，得⎨ 2 ⎩ 2n = a …… 2 分2n -1，所以a 2n +1 = a 2n -1 + 1 ，即a 2n +1 - a 2n -1 = 1 （常数），a …… 11 分a 33n( ) 3 3所以数列{a 2 n -1}是首项为 1，公差为 1 的等差数列．…… 4 分（2） λ = 2 时， a 1 = 1 ， n ≥2 时， a n = 2a n -1 +1 - (-1)n．2① n ≥2 时，⎧a 2n = 2a 2n -1， 所以a = 4a+ 2 ．…… 6 分⎨⎩ 2n -1= 2a 2n -2 + 1 2n2 n - 2所以a 2n + 2 = 4(a 2n -2 + 2 )．又b = a + 2 ，所以b= 4b．…… 8 分n 2n3nn -1又b = a + 2= 2a + 2 = 8 ≠ 0 ，所以b n= 4 （常数）．12313 3b n -1所以数列{b } 是首项为 8 ，公比为4 的等比数列， 3所以数列{b } 的通项公式为b = 8 ⋅ 4n -1 = 2 ⋅ 4n (n ∈ N * ) ．…… 10 分nn33②由①知， a 2n = b n - 2 = 2 4n - 1 ，a3 32n -1= 1 a 2 2n= 1 (4n - 1)．2nnnn4 (4n - 1)所以∑ a i = ∑(a 2i -1 + a 2i ) = ∑(4i- 1) = (∑ 4i )- n =- n ，i =1i =1⎡ 4 (4n - 1)i =1⎤i =1所以C = 1 - n ⎥ (n ∈ N *) ．…… 12 分n ⋅ 3n ⎢⎣ 3 ⎥⎦ 4 (4n +1 - 1)- (n + 1) 4 (4n - 1)- n所以C - C = 3 - 3 n +1 n(n + 1) ⋅ 3n +1n ⋅ 3n (n - 3)⋅ 4n +1 + 6n 2 + 14n + 12= n (n + 1) ⋅ 3n + 2．…… 14 分当 n = 1时， C 2 - C 1 = 0 ，所以C 2 = C 1 ； 当 n = 2 时， C 3 - C 2 = 0 ，所以C 3 = C 2 ； 当 n ≥3 时， C n +1 - C n > 0 ，所以C n +1 > C n ．所以若 p > m ( p ，m ∈ N *)，则C p ≥C m ．…… 16 分n± 1 3a1 3a 1 3a 1 3a 1 3a x⎪⎪ ⎪() ⎩ ⎩⎪ ⎪ ( 20．（本小题满分 16 分）设函数 f (x ) = (ax - 1 - a )e x (a ∈ R ) ，其中e 为自然对数的底数．（1）当a = 0 时，求函数 f (x ) 的单调减区间；（2）已知函数 f (x ) 的导函数 f '(x ) 有三个零点 x 1 ， x 2 ， x 3 (x 1 < x 2 < x 3 ) ．① 求a 的取值范围；② 若m 1 ， m 2 (m 1 < m 2 ) 是函数 f (x ) 的两个零点，证明： x 1 < m 1 < x 1 + 1 ．e x'(1 - x )e x【解】（1） a = 0 时， f ( x ) = -，其定义域为(-∞，0) (0 ，+ ∞) ， f (x ) =．xx2令 f '(x ) < 0 ，得 x > 1，所以函数 f (x ) 的单调减区间为(1，+ ∞) ．…… 3 分'(ax 3 - x + 1)e x3（2）① f (x ) =，设 g (x ) = ax x2- x + 1 ，则导函数 f '(x ) 有三个零点，即函数 g ( x ) 有三个非零的零点． 又 g '(x ) = 3ax 2 - 1 ，若a ≤0 ，则 g '(x ) = 3ax 2 - 1 < 0 ，所以 g ( x ) 在(-∞，+ ∞) 上是减函数， g ( x ) 至多有 1 个零点，不符合题意，所以a > 0 ．…… 5 分令 g '(x ) = 0 ， x = ．列表如下：x (-∞，- 1 ) 3a- 13a (- 1 ， 1 )3a 3a1 3a ( 1 ，+ ∞) 3ag '(x )+ 0-+ g ( x )极大值极小值⎧g < 0， ⎧a所以 即 3+ 1 < 0，解得0 < a < 4 ． …… 8 分⎨⎨3 27⎪g (- > 0， a - 1 3a 1 > 0 又 g (0) = 1 > 0 ，1 3a) ( )2 2 1 x1 xm所以 g ( x ) 在(上有且只有 1 个非零的零点．因为当0 < a < 4 时， >27g ( 2 = a (- 21 33++ 1 = 1 0 ，且 g= a- 1 = 1 > 0 ，又函数 g ( x ) 的图象是连续不间断的，所以 g ( x ) 在(-∞，- + ∞ 上各有且只有 1 个非零的零点． 所以实数a 的取值范围是 0，4 ．…… 10 分27⎧⎪am 2- am - 1 = 0， ②（证法一）由 f (m ) = f (m ) = 0 ，得⎨ 1 1⎪⎩am 2- am - 1 = 0.设 p (x ) = ax 2 - ax - 1(a > 0) ，且 p (m ) = p (m ) = 0 ，所以m m = - 1 < 0 ．12又因为m 1 < m 2 ，所以m 1 < 0 < m 2 ．1 2a所以 x < m 1 或 x > m 2 时， p (x ) > 0 ； m 1 < x < m 2 时， p (x ) <0 ． 由①知a > 0 ， x 1 < 0 < x 2 < x 3 ．因为 ax 3 - x + 1 = 0 ，所以ax 2 = 1 - 1 ， ax = 1 - 1 ，1 1 1 1 x 1x 2所以 p (x ) = ax 2 - ax -1 = -( 1 + ax ) > 0 ，11111 p (x + 1) = a (x + 1)2 - a (x + 1) - 1 = - 1 < 0 ． …… 14 分1 1 1 21 所以 x 1 < m 1 < x 1 + 1 成立．…… 16 分（证法二）依题设 g (x ) = ax 3 - x + 1 = 0 知： ax 2 + 1 - 1 = 0 ，11111由①知 x < 0 ，设h (x ) = ax 2 + 1 - 1 (x < 0) ，1x由①知a > 0 ，所以h '(x ) = 2ax - 1 < 0 ，h (x ) 在(-∞，0) 上单调递减． …… 12 分 x 2又由 f (m ) = 0 ， emi≠ 0 得： am - 1 - a = 0 ，即am 2- am - 1 = 0 (i = 1，2) ，iii i i 所以m m = - 1 < 0 ，又m < m ，故m < 0 ， m > 0 ．1 2a12121 2 xx⎢ = ，3 ⎩ m m于是（Ⅰ） h (m ) = am 2 + 1 -1 = (am + 1) + 1 -1 = am + 1 < 0 ，111 1111即 h (m 1 ) < h (x 1 ) = 0 ，又m 1 ， x 1 < 0 ，所以 x 1 < m 1 ；…… 14 分（Ⅱ） h (-m ) = am 2 - 1 -1 = (am + 1) - 1 -1 = am - 1 = a > 0 ，22m 2m 2m 222即 h (-m 2 ) > h (x 1 ) = 0 ，又 -m 2 ， x 1 < 0 ，故-m 2 < x 1 ，又 m 1 + m 2 = 1，所以m 1 -1 < x 1 ，即m 1 < x 1 + 1．所以 x 1 < m 1 < x 1 + 1 ，得证．…… 16 分21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 三小题，请选．定．其．中．两．题．，．并．在．答．题．卡．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修 4-2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分）已知a ，b ∈ R ，向量α =⎡2⎤ 是矩阵 A = ⎡2 a ⎤的属于特征值 3 的一个特征向量． ⎢1 ⎥ ⎢2 b ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦（1）求矩阵 A ；（2）若点 P 在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 P ' (2 ，2) ，求点P 的坐标．【解】（1）因为向量α =⎡2⎤ 是矩阵 A = ⎡2 a ⎤ 的属于特征值 3 的一个特征向量， ⎢1 ⎥ ⎢2 b ⎥ ⎣ ⎦所以 A α = 3α ，即⎡22 ⎣ ⎦a ⎤ ⎡2⎤⎡2⎤b ⎥ ⎢1 ⎥ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦所以⎧4 + a = 6 解得⎧a = 2，⎨4 + b = 3， ⎨= -1. ⎩b所以 A = ⎡2 2 ⎤． …… 5 分⎢2 -1⎥⎣ ⎦m12 + 222 2 2 12+ 22在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线l 的参数方程⎪⎩2（2）设 P (x ，y ) ，则⎡2 2 ⎤ ⎡ x 0 ⎤ = ⎡2⎤ ，⎢2 -1⎥ ⎢ y ⎥ ⎢2⎥ ⎣ ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣ ⎦所以 ⎧2x 0 + 2 y 0 = 2， ⎧x 0 = 1， ⎨2x - y = 2， 解得⎨ y = 0.⎩⎩ 0所以点P 的坐标为(1，0) ． …… 10 分B ．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）⎧ x = -3 ⎨ y = - t+ t ， （t 为参数），椭圆 C 的⎧x = 2 cos θ ，⎩⎪2参数方程为⎨y = sin θ (θ 为参数)．求椭圆 C 上的点 P 到直线l 的距离的最大值．【解】（方法一）直线l 的普通方程为 x + 2 y + 3 设 P (2 cos θ ，sin θ ) ，= 0 ． …… 2 分| 2 cos θ + 2 sin θ + 3 2 | | 2 2 sin(θ + π) + 3 2 |则点 P 到直线l 的距离d = = 4 ． …… 8 分5当sin(θ + π) = 1，即θ = 2k π + π （ k ∈ Z ）时， d= 10 ．…… 10 分4 4max（方法二）直线l 的普通方程为 x + 2 y + 3 = 0 ．椭圆 C 的普通方程为x + y 2 = 1 ． …… 4 分4设与直线l 平行的直线方程为 x + 2 y + m = 0(m ≠ 3 2) ，⎧⎪ x 2 + y 2= 1，由 ⎨ 4 消 y ，得2x 2 + 2mx + m 2- 4 = 0 ． ⎪⎩x + 2 y + m = 0，令Δ = 4m 2 - 8(m 2 - 4) = 0 ，得m = ±2 ．…… 8 分所以直线 x + 2 y ± 2 = 0 与椭圆C 相切．当 m = -2 2 时，点 P 到直线l 的距离d 最大，d max == ． …… 10 分2 2 10C 1PQCAb ⋅1 a2 bc ⋅ 1 b 2 c a ⋅ 1 c 2 a C ．[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）已知a ，b ，c 都是正实数，且 1 + 1 + 1 = 1．a b c 证明：（1） abc ≥27；（2） b + c + a ≥1． a 2 b 2 c 2【证】（1）因为a ，b ，c 都是正实数，所以 1 + 1 + 1≥33 1 ．a b cabc又因为1 + 1 + 1 = 1，所以 3 1 ≤1，即abc ≥27，得证． …… 4 分a b cabc（2）因为a ，b ，c 都是正实数，所以 b + 1≥2 = 2，①a 2bac + 1≥2 = 2，②b 2 cb a + 1 ≥2 = 2．③…… 6 分c 2 ac 由①+②+③，得 b + c + a + 1 + 1 + 1 ≥2( 1 + 1 + 1)，a 2b 2c 2 b c a a b c所以 b + c + a ≥ 1 + 1 + 1，a 2b 2c 2 a b c又因为1 + 1 + 1 = 1，所以 b + c + a ≥1，得证． …… 10 分a b c a 2 b 2 c 2【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分 10 分)如图，在直四棱柱 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 中， AD // BC ， AB ⊥ AD ， AB = AD = AA 1 = 2BC = 2 ．A 1D （1）求二面角C 1 - B 1C - D 1 的余弦值；B 1（2）若点 P 为棱 AD 的中点，点Q 在棱 AB 上，且直线 B 1C与平面 B PQ 所成角的正弦值为 4 5 ，求 AQ 的长．115【解】在直四棱柱 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 中，DB（第 22 题）因为 AA 1 ⊥ 平面 ABCD ， AB ， AD ⊂ 平面 ABCD ，所以 AB ⊥ AA 1 ， AD ⊥ AA 1 ．1又 AB ⊥ AD ，以{AB ，AD ，AA 1}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 A - xyz ．由 AB = AD = AA 1 = 2BC = 2 ，得 A (0 ，0 ，0) ，B (2 ，0 ，0) ，C (2 ，1，0) ，D (0 ，2 ，0) ， A 1 (0 ，0 ，2) ，B 1 (2 ，0 ，2) ，C 1 (2 ，1，2) ，D 1 (0 ，2 ，2) ．…… 2 分（1） B 1D 1 = (-2 ，2 ，0) ， B 1C = (0 ，1，- 2) ，设平面 B 1CD 1 的一个法向量n 1 = (x 1，y 1，z 1 ) ，则 ⎧⎪n 1 ⋅ B 1D 1 = 0， ⎧-2x 1 + 2 y 1 = 0⎨n ⋅ BC = 0 即⎨ y - 2z = 0.⎩⎪ 1 1， ⎩ 1 1不妨取 x 1 = 2 ，则 y 1 = 2 ， z 1 = 1 ，所以n 1 = (2 ，2 ，1) ．…… 4 分因为 AB ⊥ 平面 B 1C 1C ，所以平面 B 1CC 1 的一个法向量为 AB = (2，0，0) ．设二面角C 1 - B 1C - D 1 的平面角的大小为α ，根据图形可知，cos α = cos < AB ，n 1 >=AB ⋅ n 1 AB ⋅ n 1= 4 = 2 ．3 ⨯ 2 3所以二面角C - B C - D 的余弦值为2 ． …… 6 分1113（2）设 AQ = λ (0≤λ≤2) ，则Q (λ ，0 ，0) ．又 P 为 AD 的中点，则 P (0 ，1，0) ， PQ = (λ ，-1，0) ， B 1Q = (λ - 2 ，0 ，-2) ．设平面 B 1 PQ 的一个法向量n 2 = (x 2 ，y 2 ，z 2 ) ， 由 ⎧⎪n 2 ⋅ PQ = 0， ⎧λ x 2 - y 2 = 0， ⎨ n ⋅ BQ = 0得⎨(λ - 2)x - 2z = 0. ⎩⎪ 2 1 ， ⎩ 2 2取 x 2 = 2 ，则 y 2 = 2λ ， z 2 = λ - 2 ，所以n 2 = (2 ，2λ ，λ - 2) ． …… 8 分设直线 B 1C 与平面 B 1 PQ 所成角的大小为 β ，zA 1D 1B 1C 1PyQ D BxCAB 1C ⋅n 2 B 1C ⋅ n 245 ⋅ 4 + 4λ 2+ (λ - 2)26则sin β = cos < B 1C ，n 2 > = ==4 5，15所以λ = 1或λ = - 1 （舍去）.5所 以 AQ = 1 . …… 10 分23．(本小题满分 10 分)一只口袋装有形状、大小完全相同的 5 只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各 1 只. 现从口袋中先后有放回地取球2n 次(n ∈ N * ) ，且每次取 1 只球. （1）当n = 3时，求恰好取到 3 次红球的概率；⎧ X ，X 为奇数， （2）随机变量 X 表示2n 次取球中取到红球的次数，随机变量Y = ⎨⎩0 ， X 为偶数.求Y 的数学期望（用n 表示）.【解】（1）当n = 3时，从装有 5 只小球的口袋中有放回的取球 6 次，共有56 个基本事件.记“恰好取到 3 次红球”为事件 A ，事件 A 包含基本事件有C 3 43个.因为上述56 个基本事件发生的可能性相同，C 3 43 44 256 故 P ( A ) = 6 = = .56 553125 答：当n = 3时，恰好取到 3 次红球的概率为 256 . …… 3 分3125（2）由题意知，随机变量Y 的所有可能取值为0 ，1，3 ，5 ，⋅ ⋅ ⋅ ，2n - 1(n ∈ N * ) .C 2i +1 ⋅ 42n -( 2i +1)则 P (Y = 2i + 1) = 2n .52nC 2i +1 42n -( 2i +1) (2i + 1)P (Y = 2i + 1) = (2i + 1) 2n52n⎡(2i + 1) (2n )! ⎤ 42n -( 2i +1) ⎢ (2i + 1)!(2n - 2i - 1)!⎥= ⎣ ⎦ .52n2nC 2i42n -( 2i +1) = 2n -1 (0≤i ≤n - 1，i ∈ N ) . …… 5 分52n 所以 E (Y ) = 0 ⋅ P (Y = 0) + 1⋅ P (Y = 1) + 3P (Y = 3) + 5P (Y = 5) + ⋅ ⋅ ⋅+(2n -1)P (Y = 2n -1)= 2n (C 0 42n -1 + C 2 42n -3 + C 4 42 n -5 + ⋅ ⋅ ⋅ + C 2 n -24) . …… 7 分 52n2n -1 2n -1 2n -1 2n -1令 x = C 0 42 n -1 + C 2 42 n -3 + C 4 42n -5 + ⋅ ⋅ ⋅ + C 2n - 2 4 ，n 2n -1 2n -1 2n -1 2n -1y =C142 n-2 +C 3 42 n-4 +C 5 42n - 6 +⋅⋅⋅+C 2 n -1 40 ，n 2 n-1 2 n-1 2 n-1 2 n -1则 x +y =C042n -1 +C142n -2 +C2 42n -3 +C3 42n -4 +C4 42n -5 +⋅⋅⋅+C 2n -1 40 n n 2n -1 2n -1 2n -1 2n -1 2n -1 2n -1= (4 + 1)2 n -1 = 52 n -1 ，x -y =C 042n -1 -C1 42n -2 +C 2 42 n-3 -C 3 42 n-4 +C 4 42 n -5 -⋅⋅⋅-C 2 n -1 40 .n n 2n -1 2n -1 2n -1 2n -1 2n -1 2n -1所以xn= (4 - 1)2 n -1 = 32 n -1 ，=52n-1 + 32n-1 .22n 2n52n-1 + 32n-1 n(52n-1 + 32n-1 )所以E(Y ) =52n xn=52n⋅2= .52n答：Y 的数学期望为n(52n-1 + 32n-1 )52n. …… 10 分。

2019-2020南通、泰州高三第一次调研试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 1.已知集合{1,0,2}A =-，{1,1,2}B =-，则A B =I _____.2.已知复数z 满足(1)2i z i +=，其中i 是虚数单位，则z 的模为_______.3.某校高三数学组有5名党员教师,他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35,35,41,38,51,则这5名党员教师学习积分的平均值为______.4.根据如图所示的伪代码，输出的a 的值为______.5.已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则1a d的值为____.6.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为___.7.在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，则三棱锥111A BB C -的体积为____.8.已知函数()sin()3f x x πω=-(0)ω>，若当6x π=时，函数()f x 取得最大值，则ω的最小值为_____.9.已知函数2()(2)(8)f x m x m x =-+-()m R ∈是奇函数，若对于任意的x R ∈，关于x 的不等式2(+1)()f x f a <恒成立，则实数a 的取值范围是____.10.在平面直角坐标系xOy 中,已知点,A B 分别在双曲线22:1C x y -=的两条渐近线上,且双曲线C 经过线段AB 的中点，若点A 的横坐标为2，则点B 的横坐标为_____.11.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如.地震时释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震,它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的____倍.12.已知ABC ∆的面积为3，且AB AC =，若2CD DA =u u u ru u u r，则BD 的最小值为_____.13.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:8C x y +=与圆222:20C x y x y a +++-=相交于,A B 两点，若圆1C 上存在点P ，使得ABP ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为____.14.已知函数||1|1|,0(),01x x f x xx x --≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，若关于x 的方程22()2()10f x af x a ++-=有五个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_____.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，PC AB ⊥，,D E 分别为,BC AC 的中点.求证：（1）AB ∥平面PDE ；（2）平面PAB ⊥平面PAC .。

南通市2020届高三第一次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合，，则▲.【答案】2．已知复数满足，其中是虚数单位，则的模为▲.【答案】3．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为，则这5名党员教师学习积分的平均值为▲.【答案】40 a←1 i←14．根据如图所示的伪代码，输出的a的值为▲．While i≤4【答案】11a←a+i i←i+1 End While5．已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，Print a 则的值为▲．（第4题）【答案】16．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为▲.【答案】7．在正三棱柱中，，则三棱锥的体积为▲.【答案】8．已知函数．若当时，函数取得最大值，则的最小值为▲.【答案】59．已知函数是奇函数．若对于任意的，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是▲．【答案】10．在平面直角坐标系中，已知点A，B分别在双曲线的两条渐近线上，且双曲线经过线段AB的中点．若点的横坐标为2，则点的横坐标为▲．【答案】11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的▲倍．【答案】100012．已知△ABC的面积为3，且．若，则的最小值为▲．【答案】13．在平面直角坐标系中，已知圆与圆相交于A，B两点．若圆上存在点，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数的值组成的集合为▲.【答案】14．已知函数若关于的方程有五个不相等的实数根，则实数的取值范围是▲.【答案】二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，平面，，分别为的中点．求证：（1）AB∥平面；（2）平面平面．【证】（1）在中，因为分别为的中点，所以AB∥DE．……3分又因为平面，平面，所以AB∥平面．……6分（2）因为平面，平面，所以．……8分又因为，平面，，所以平面．……11分因为平面，所以平面平面．……14分16．（本小题满分14分）在△ABC中，已知，，．（1）求的值；（2）求的值．【解】（1）在△ABC中，因为，，由，得．……2分又，，由正弦定理，得，……4分所以．……6分（2）（方法一）由余弦定理，得，……8分即，解得或（舍去）．……11分所以．……14分（方法二）在△ABC中，由条件得，所以，所以．所以．……8分所以．……10分由正弦定理，得，所以．……12分所以．……14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，两条准线间的距离为，分别为椭圆的左、右顶点．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知图中四边形是矩形，且，点分别在边上，与相交于第一象限内的点．①若分别是的中点，证明：点在椭圆上；②若点在椭圆上，证明：为定值，并求出该定值．【解】（1）设椭圆的焦距为，则由题意，得解得所以．所以椭圆的标准方程为．……3分（2）①由已知，得，，，．直线的方程为，直线的方程为．联立解得即．……6分因为，所以点在椭圆上．……8分②（解法一）设，，则，．直线的方程为，令，得．……10分直线的方程为，令，得．……12分所以．……14分（解法二）设直线的方程为，令，得．设直线的方程为，令，得．……10分而．……12分设，，则，所以，所以．……14分18．（本小题满分16分）在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为的正三角形绕其中心逆时针旋转到三角形，且．顺次连结，得到O 六边形徽标．（1）当时，求六边形徽标的面积；（第18题）（2）求六边形徽标的周长的最大值．【解】连结．在正三角形中，，，，．……2分当正三角形绕中心逆时针旋转到正三角形位置时，有，，，所以≌≌，≌≌，所以，．……4分（1）当时，设六边形徽标的面积为，则……6分．答：当时，六边形徽标的面积为．……9分（2）设六边形徽标的周长为，则……11分，．……13分所以当，即时，取最大值．答：六边形徽标的周长的最大值为．……16分19．（本小题满分16分）已知数列满足：，且当时，．（1）若，证明：数列是等差数列；（2）若．①设，求数列的通项公式；②设，证明：对于任意的，当时，都有．【解】（1）时，由，得……2分所以，即（常数），所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．……4分（2）时，，时，．①时，所以．……6分所以．又，所以．……8分又，所以（常数）．所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以数列的通项公式为．……10分②由①知，，．所以，所以．……12分所以．……14分当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以．所以若，则．……16分20．（本小题满分16分）设函数，其中为自然对数的底数．（1）当时，求函数的单调减区间；（2）已知函数的导函数有三个零点，，．①求的取值范围；②若，是函数的两个零点，证明：．【解】（1）时，，其定义域为，．令，得，所以函数的单调减区间为．……3分（2）①，设，则导函数有三个零点，即函数有三个非零的零点．又，若，则，所以在上是减函数，至多有1个零点，不符合题意，所以．……5分令，．列表如下：极大值极小值所以即解得．……8分又，所以在上有且只有1个非零的零点．因为当时，，，，且，又函数的图象是连续不间断的，所以在和上各有且只有1个非零的零点．所以实数的取值范围是．……10分②（证法一）由，得设，且，所以．又因为，所以．所以或时，；时，．由①知，．因为，所以，，所以，．……14分所以成立．……16分（证法二）依题设知：，由①知，设，由①知，所以，在上单调递减．……12分又由，得：，即，所以，又，故，．于是（Ⅰ），即，又，，所以；……14分（Ⅱ），即，又，，故，又，所以，即．所以，得证．……16分21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知，向量是矩阵的属于特征值3的一个特征向量．（1）求矩阵；（2）若点在矩阵对应的变换作用下得到点，求点的坐标．【解】（1）因为向量是矩阵的属于特征值3的一个特征向量，所以，即，所以解得所以．……5分（2）设，则，所以解得所以点的坐标为．……10分B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程（t为参数），椭圆C的参数方程为(为参数)．求椭圆C上的点到直线的距离的最大值．【解】（方法一）直线的普通方程为．……2分设，则点到直线的距离．……8分当，即（）时，．……10分（方法二）直线的普通方程为．椭圆C的普通方程为．……4分设与直线平行的直线方程为，由消，得．令，得．……8分所以直线与椭圆相切．当时，点到直线的距离最大，．……10分C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知都是正实数，且．证明：（1）；（2）．【证】（1）因为都是正实数，所以．又因为，所以，即，得证．……4分（2）因为都是正实数，所以，①，②．③……6分由①+②+③，得，所以，又因为，所以，得证．……10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)如图，在直四棱柱中，，，．（1）求二面角的余弦值；（2）若点为棱的中点，点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的长．【解】在直四棱柱中，（第22题）因为平面，，平面，所以，．又，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．由，得，．……2分（1），，设平面的一个法向量，则即不妨取，则，，所以．……4分因为平面，所以平面的一个法向量为．设二面角的平面角的大小为，根据图形可知，．所以二面角的余弦值为．……6分（2）设，则．又为的中点，则，，．设平面的一个法向量，由得取，则，，所以．……8分设直线与平面所成角的大小为，则，所以或（舍去）.所以.……10分23．(本小题满分10分)一只口袋装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1只.现从口袋中先后有放回地取球次，且每次取1只球.（1）当时，求恰好取到3次红球的概率；（2）随机变量表示次取球中取到红球的次数，随机变量求的数学期望（用表示）.【解】（1）当时，从装有5只小球的口袋中有放回的取球6次，共有个基本事件.记“恰好取到3次红球”为事件，事件包含基本事件有个.因为上述个基本事件发生的可能性相同，故.答：当时，恰好取到3次红球的概率为.……3分（2）由题意知，随机变量的所有可能取值为.则...……5分所以.……7分令，，则，.，所以.所以.答：的数学期望为.……10分。