设施选址模型

单设施选址模型设有n 个零售铺店，它们各自的坐标是j j x y （，）（j=1，2.。

n ）配送中心的坐标为00x y （，）.设配送中心到零售店j 的发送费用是j F ，总发送费用为T ，则有：nj j 1T F ==∑ （1）其中j F 可用下列的式子表示j j j k w d J F = （2）式中j k ——从配送中心到零售店j 的发送费率（单位吨公里的发送费）；j w ——向零售店j 的货物发送量；j d ——从配送中心到零售店之间的直线距离。

其中j d = （3） 把式（2）代入（1）得nj j j j 1k w d T ==∑ （4）联立式（3）和（4）可求出使T 最小的0x ，0ynj j 0j j j 10k w (x x )/d 0x T=∂==∂∑- （5） nj j 0j j j 10k w (y y )/d 0y T=∂==∂∑- （6） 联立（5）和（6）可求出最适合的*0x ，*0y ：njj jjj 1*0njjjj 1k w x /dx k w /d===∑∑ （7）njj jjj 1*0njjjj 1k w y /dy k w /d===∑∑ （8）由于式（7）和（8）右边含有j d ，即还有所求的0x ，0y ，可以采用迭代法莱进行计算。

迭代法计算步骤如下：（1） 给出配送中心的出初始地点0000x y （，）。

（2） 通过式（3）式（4）计算与000x y （，）相对应的总发送费用0T 。

（3） 把000x y （，）代入（3）、（7）和（8）中，计算配送中心的改善地点1100x y （，）。

（4） 通过式（3）、式（4）计算与1100x y （，）相对应的总发送费用1T 。

（5） 把1T 和0T 进行比较，如果10T <T ,则返回（3）进行计算，再把1100x y （，）代入式（3）（7）（8）中，计算配送中心的再改善地点2200x y （，）。

如果10≥T T ， 则说明00x y （，）就是最优解。

（6） 这样反复计算，直到k 1k +≥TT ，求得最优解k k00x y （，）为止。

由上述可知，应用迭代法的一个关键是给出配送中心的初始地点000x y （，）。

一般的做法是将各个零售店之间的重心点作为初始地点（故叫重心法），也可采用任选初始地点的方法，还可以根据各零售店的位置和物资需求量的分布情况选取初始地点。

初始地点的选取方法可以不同，到目前为止，还没有统一的规则。

单设施选址模型一般具有一些简化的假设条件：（1） 模型常常假设需求集中在某一点，而实际需求来自分散的多个消费点。

市场的重心通常被当做需求的聚集地，这会导致某些计算误差，因为计算出的运输成本是需求集散地而非单个的消费点。

（2） 模型主要是根据可变成本来进行选址，没有区分在不同地点建设仓库所需的资本成本，以及在不同地点与经营有关的其他成本（如劳动力成本、库存持有成本）之间的差别‘（3） 总运输成本通常假设运价随运距成比例增加，然而，大多数运价是由不随运距变化的固定部分和随运价变化的可变部分组成。

（4） 模型中仓库与其他网络节点之间的路线通常假设成直线。

实际上这样的情况很少，因为运输总是在一定得公路网络、铁路网络或城市街道网络内进行的。

我们可以在模型中引入一个比例因子把直线距离转化为近似的公路、铁路或其它运输网络的里程。

例如，计算出的直线距离加上20%得到公路直达线路里程，加上25%得到铁路短程里程。

如果是城市街道，则使用40%的因子。

多设施选址模型一、只考虑配送费用的多个配送中心选址模型在需要设置多个配送中心时，假设应该考虑的物流费用只有配送费用，则研究的是从m 个配送中心向n 个零售店发送货物的模型。

设配送中心的坐标为i i x y （，）（i=1,2.。

m ），零售店的坐标为j j x y （，）（j=1,2.。

n ），则总的配送费用为：mnj j ij ij i 1j 1(1)k w d zT F ====∑∑（9）式中，j k 的j w 定义和式（2）的一样，ij d 是配送中心到零售店的直线距离ij d = （10） 从配送中心i 向零售店j 配送货物时，ij z 的取值为1，不配送时取值为0在这个模型中，对于配送中心的配送能力不加限制所以对每个零售店都应从最经济的一个配送中心来配送。

为了求得使总配送费用最小的配送中心地点，可按下式计算：nj j i j ij ij j 1i k w (x x )z /d 0x F =∂==∂∑（1）- （11） nj j i j ij ij j 1i k w (y y )z /d 0y F =∂==∂∑（1）- （12） 联立式（11）和（12）得njjj ijijj 1*i nj j ijij j 1k w x z/d x k w z/d ===∑∑ （13）njjj ijijj 1*i nj j ijijj 1k w y z/d y k w z/d ===∑∑ （14）由于式（13）和式（14）右边还含有ij d ，即还有所求的i x ，i y ，因此采用迭代法来进行计算，按以下三步来进行。

第一步 （1） 一般情况下，对于设置几个配送中心最经济的问题，必须进行试算，因此，对于m 可先给一个我们认为比较适当的值0m 。

（2） 给出0m 个配送中心的初始地址00i i x y （，）（i=1,2.。

0m ）。

（3） 决定各配送中心的配送区域以及收货对象（零售店）。

（4） 由式（9）计算出总费用0T 。

（5） 由式（13）（14）计算出配送中心的改善地点。

（6）返回（3）进行反复计算，知道T 不能被改善为止。

这时得到的总配送费用T 最小的配送中心地点**i i x y （，）（i=1,2.。

0m ）是第一阶段得到的解。

第一步是采用给出0m 个配送中心的地点的方法，但无论选取怎样的初始地点，也不能保证以后的计算结果能收敛于最优解，即只能使结果停留在局部最优解，而不能保证得到实际最优解。

为了避免由这种方法带来的局限性，我们按第二步计算。

第二步对0m 个初始选定地点00i i x y （，）不是给出一组，而是给出几组。

对每一组按第一步进行计算，分别求得与各组相对应的配送费用*T 最小的配送中心地点**i i x y （，）（i=1,2.。

0m ），再以这些*T 当中最小值**T 的地点作为解。

还有一个问题是，所选出的几组初始地点当中是否一定含有最优解，对于这个问题，目前还没有系统的理论解答。

第三步在第一第二步中，要决定初始地点的适当的个数0m ，但是0m 的值取多少才能使配送费用最小，第三步就是要解决这个问题。

对于0m ，首先设定其为1，按第一二步计算，求出0m =1时的配送费用**T （0m =1）最小的最佳地点**i i x y （，）（i=1）。

然后，设0m =2，同样按第一二步计算，求出0m =2时的配送费用**T （0m =2）最小的最佳地点**i i x y （，）（i=2），如此继续计算0m =3,4.。

，直到0m 等于预定的最大选定地点数m 为止。

这样就得到了各个0m 值的最小的最佳选定地点。

例如0m =3，就可得到**T （0m =3）的最佳地点****i i x y （，）（i=1,2.3）；0m =4就可得到**T （0m =4）的最佳地点****i i x y （，）（i=1,2,3,4），直到0m =m 为止。

最后，比较**T （0m =1），**T （0m =2），**T （0m =3）。

**T （0m =m ）的值的大小，其中**minT所对应的0m 值和相应的配送中心选定地点就是所要求的解。

这时的0m 值应该写为最优值opt ，坐标为i ****i i x y （，）（i=1,2，。

opt ），也就是要求的配送中心地点，这时的配送费用是**T （0m =opt ）。

二 考虑运输费用和配送费用的多个配送中心选址模型设工厂的坐标是x y k k （，）从工厂到配送中心的运输费率（即单位吨公里的费用）为1f 。

由于配送的特点是批量小、次数多，大部分使用小型车，因而装载效率低，在加上城市交通状况复杂、车辆行驶速度低等，因此，一般运输费率1f 较配送费率1h 的值较小。

该模型的费用函数为：n njj ij ij11j 1111(2)k w d k w d z w dmn i i ki ikii j i F f f =====+=+∑∑∑∑ （15）式中：i w ——由工厂向配送中心i 运送的货物量；ki d ——从工厂到配送中心的直线距离。

其中：ki d = （16）为了使F （2）为最小，并要选定配送中心的地点，需要求解：i 0x F ∂=∂（2） ；i0y F ∂=∂（2）这样就可以得到：ni i k ki j j j ij ijj 1*ni i ki j ij ijj 1f w x /d k w x z /d x f w /d w z /d ==+=+∑∑ （17）ni i k ki j j j ij ijj 1*ni i ki j ij ijj 1f w y /d k w y z /d y f w /d w z /d ==+=+∑∑ （18）为了从式（17）（18）中解出*x ，*y 的值，可使用前面的迭代法进行求解。

三 混合整数线性规划解决设施选址问题有各种各样的方法，其中混合整数线性规划方法对解决某些设施的选址问题是比较有效的方法。

现在主要讨论A 、B 两类典型的网络形式。

A 类网络形式包括配送中心和需求点两级结构模式。

B 类网络形式包括工厂、配送中心和需求点三级结构模式。

在这里，需求点和工厂的地址是确定的，而标明为配送中心的节点则是一些备选节点。

所谓选址问题，就是要在这些备选地点中选出一一定数量的地点来设置配送中心，使由此形成的网络总费用最小。

以下是一些用混合整数线性规划模型解决设施选址问题时需要得到的信息，这些信息对解决问题是十分重要的：（1） 拟建配送中心的个数； （2） 备选配送中心的地点； （3） 各配送中心的规模；（4） 从某工厂向所选定的某配送中心运送的物资品种及数量； （5） 从其配送中心向某需求点运送的物资品种及数量； （6） 通过各配送中心的物资品种及数量；（7） 计划期内整个物流网络中的各种费用的总和。

（一） A 类型问题的模型A 类模型只包含一级运输。

其目标函数是从备选地点中选出最佳的配送中心，使包括配送中心的投资、配送中心的经营管理费用及运输费用的总费用最少。

对A 类型问题建立的模型中的变量和参数有如下几个;N ——需求点的数目；M ——可兴建的配送中心的最大数目；ij x 从配送中心i 到需求点j 的运输量；ij z ——整数变量，当ij z =1时表示i 地被选作配送中心，当ij z =0时表示未被选上；j D ——j 地的需求量；j Q ——备选配送中心的建设容量；ij k ——从i 地到j 地的包括装卸、运输费在内的发送单价（单位元/吨）；i E 被选中心i 的固定费用（包括基本投资费和固定经营费）。