武大计院组合数学PPT第3章容斥原理和鸽巢原理.ppt
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组合数学-鸽巢原理讲义课件
超鸽巢原理
总结词
超鸽巢原理是鸽巢原理的一种扩展，它考虑 了多于两种元素的情况。
详细描述
超鸽巢原理是在鸽巢原理的基础上，进一步 推广到多于两种元素的情况。它涉及到多个 元素和多个鸽巢之间的关系，并用于解决一 些更为复杂的问题。超鸽巢原理的应用范围 广泛，包括组合计数、图论等领域。
鸽巢原理的变体
总结词
鸽巢原理与其他数学原理的结合
总结词
将鸽巢原理与其他数学原理结合使用，可以 产生更强大的理论工具。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
详细描述
鸽巢原理是组合数学中的重要原理，但它的 应用范围有限。为了解决更复杂的问题，一 些数学家尝试将鸽巢原理与其他数学原理结 合使用。这种结合可以产生更强大的理论工 具，能够解决一些单独使用鸽巢原理无法解 决的问题。通过与其他数学原理的结合，鸽
鸽巢原理证明中的注意事项
在证明过程中，需要注意鸽巢原理的适用条件，即每个鸽 巢中的物体数量必须相同。如果每个鸽巢中的物体数量不 同，那么鸽巢原理就不适用。
另外，在证明过程中还需要注意逻辑推理的严密性，确保 每一步推理都是正确的，没有出现逻辑错误或遗漏。同时 ，还需要注意数学符号和公式的正确使用，以确保证明的 准确性和可读性。
鸽巢原理的变体是对原原理的某种修改或扩展，以适应特定的问题或情境。
详细描述
随着数学的发展，人们发现鸽巢原理在某些情况下可能并不适用，或者需要对它进行一 些修改以更好地解决问题。因此，一些数学家提出了鸽巢原理的变体。这些变体可能涉
及到对原原理的修改、扩展或与其他数学原理的结合，以适应更广泛的问题和情境。
02
在数学中，鸽巢原理常用于证明 一些组合数学和数论中的问题， 如整数分拆、集合的划分等。
鸽巢原理的适用范围
组合数学课件-第三章第四节鸽巢原理
分是36分，那么比赛中平局的场数共有多少场？
02
题目2
一个袋子里有大小形状相同的红、黄、白三种颜色的球，其中红球10个，
黄球9个，白球8个，某人闭着眼睛从中最少取出多少个球，才能保证4
个同色的球．
03
题目3
有10支足球队进行单循环赛，每个队都恰好与其他队各比赛一场，胜者
得3分，负者得0分，平局两队各的1分。比赛结束后，全部球队的总积
这个原理可以用数学语言表示为：如果 (n > m)，且 (n) 个物体放入 (m) 个容器中，那么至少有一个容器包含 (lceil frac{n}{m} rceil) 个 或更多的物体。
鸽巢原理的简单应用
分配问题
鸽巢原理可以用于解决分配问题，例如将 n 个不同的数分配到 m 个不同的区间中，使得每个区间至少有一个数。
量子力学
在量子力学中，鸽巢原理可以 用于描述量子系统的状态和演 化。
统计力学
在统计力学中算机模拟
在计算机模拟中，鸽巢原理可 以用于模拟物理系统的行为和 性质。
04
鸽巢原理的扩展和推广
鸽巢原理的推广形式
01
02
03
推广到无限集合
在无限集合中，如果每个 元素都有有限个“巢穴”， 则至少有一个“巢穴”包 含无限多个元素。
抽屉原理
鸽巢原理也可以用于解决抽屉原理问题，例如在 n+m 个物体中 放入 n 个抽屉，使得至少有一个抽屉包含两个或两个以上的物体 。
鸽巢原理的证明
• 鸽巢原理的证明可以通过反证法进行。假设存在一个反例，即存在 n 个物体放入 m 个容器中，且每个容器最多只有一个物 体。那么我们可以将这 n 个物体重新分配到 m 个容器中，使得每个容器至少有两个物体，这与假设矛盾。因此，假设不成 立，鸽巢原理成立。
鸽巢问题原理PPT课件
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THANKS
密码学中的应用
密码学是研究如何保护信息安全的一门科学，而鸽巢原理在密码学中也 有一定的应用。例如，在分析某些加密算法的安全性时，可以利用鸽巢 原理来证明某些攻击方法的有效性或无效性。
05
鸽巢问题原理拓展与延伸
广义鸽巢原理
原理表述
如果n个物体放入m个容器，且n>m，则至少有一 个容器包含两个或两个以上的物体。
掌握鸽巢原理的证明方法是学习该原理的关键。 建议学习者多阅读相关教材或论文，了解不同证 明方法的思路和应用场景。
多做练习题
通过大量的练习题可以加深对鸽巢原理的理解和 掌握。建议学习者多做一些难度适中的练习题， 逐步提高自己的解题能力。
未来研究方向展望
拓展应用领域
随着计算机科学和信息技术的发展，鸽巢原理的应用领域也在不断拓展。未来可以进一步探索鸽巢原理在人工智能、 大数据等领域的应用。
鸽巢问题原理ppt课件
目录
• 鸽巢问题原理概述 • 鸽巢问题原理基本概念 • 鸽巢问题原理证明方法 • 鸽巢问题原理应用举例 • 鸽巢问题原理拓展与延伸 • 总结与回顾
01
鸽巢问题原理概述
定义与背景
鸽巢原理定义
如果 n 个鸽子要放进 m 个鸽巢，且 n > m，则至少有一个鸽巢里有多于一 个鸽子。
重要性
理论价值
鸽巢原理是数学中的基本 原理之一，对于理解更高 级的数学概念和证明具有 重要意义。
实际应用
在计算机科学、工程等领 域中，鸽巢原理为解决复 杂问题提供了有效的思路 和方法。
拓展思维
通过学习鸽巢原理，可以 培养逻辑思维和抽象思维 能力，提高分析问题和解 决问题的能力。
02
鸽巢问题原理基本概念
第04讲-计数问题-容斥原理与鸽笼原理_图文
*
解（续）
利用容斥原理，并代入已知条件得 24＝13＋5＋10＋9－2－4－4－4－0－0
＋0＋0＋0＋|A∩C∩D|－0。 得：|A∩C∩D|＝1，即同时会英、德、法语的只有 1人。
*
例2.4.3 解（续）
设只会英、日、德、法语的人数分别为x1,x2,x3,x4 ，则
x1＝|A|－|(B∪C∪D)∩A| ＝|A|－|(B∩A)∪(C∩A)∪(D∩A)|
的基本概念，它们之间关系和相应的计算公式 ； 3. 容斥原理和鸽笼原理的基本概念及正确使用；
*
习题类型
（1）基本概念题：涉及离散概率的基本概念； （2）计算题：涉及排列数与组合数的计算，利用 容斥原理的计算，离散概率的计算和递归关系的建 立与求解； （3）证明题：涉及对鸽笼原理的应用。
*
习题
第44-45页
*
定理2.4.1
设A和B是任意有限集合，有 A-B
|A∪B| = |A|＋|B|－|A∩B|。
U
分析 由图容易看出，
A B
A∪B = (A - B)∪(A∩B)∪(B - A)，
B-A
|A∪B| = |A-B|+|A∩B|+|B-A|
A = ( A - B)∪(A∩B)
|A| = |A-B|+|A∩B|
= 41， 即结论得证。
*
2.5 离散概率简介
概率(Probability)是17世纪为分析博弈游戏 而发展起来的学科，最初计算概率仅有计数一种方 法。
本节主要介绍离散概率的基本概率、基本性质 和概率计算的简单例子。
*
2.8 本章总结
1. 乘法原理和加法原理的基本含义； 2. r-排列，全排列，环形r排列，环排列，r-组合
解（续）
利用容斥原理，并代入已知条件得 24＝13＋5＋10＋9－2－4－4－4－0－0
＋0＋0＋0＋|A∩C∩D|－0。 得：|A∩C∩D|＝1，即同时会英、德、法语的只有 1人。
*
例2.4.3 解（续）
设只会英、日、德、法语的人数分别为x1,x2,x3,x4 ，则
x1＝|A|－|(B∪C∪D)∩A| ＝|A|－|(B∩A)∪(C∩A)∪(D∩A)|
的基本概念，它们之间关系和相应的计算公式 ； 3. 容斥原理和鸽笼原理的基本概念及正确使用；
*
习题类型
（1）基本概念题：涉及离散概率的基本概念； （2）计算题：涉及排列数与组合数的计算，利用 容斥原理的计算，离散概率的计算和递归关系的建 立与求解； （3）证明题：涉及对鸽笼原理的应用。
*
习题
第44-45页
*
定理2.4.1
设A和B是任意有限集合，有 A-B
|A∪B| = |A|＋|B|－|A∩B|。
U
分析 由图容易看出，
A B
A∪B = (A - B)∪(A∩B)∪(B - A)，
B-A
|A∪B| = |A-B|+|A∩B|+|B-A|
A = ( A - B)∪(A∩B)
|A| = |A-B|+|A∩B|
= 41， 即结论得证。
*
2.5 离散概率简介
概率(Probability)是17世纪为分析博弈游戏 而发展起来的学科，最初计算概率仅有计数一种方 法。
本节主要介绍离散概率的基本概率、基本性质 和概率计算的简单例子。
*
2.8 本章总结
1. 乘法原理和加法原理的基本含义； 2. r-排列，全排列，环形r排列，环排列，r-组合
组合数学 第3章 鸽笼原理
§3§.13.1鸽鸽笼笼原原理理例8
证明：作序列 s1 a1, s2 a1 a2 , ..., s100 a1 a2 ... a100。 由而故做于且根序例每据列个假题设ai都有s1是s,1s020正s,1.0.的.0(.,例已的a＞.as.整i11+01知和8h0a数(0、≥,iaa+从不s1191，2设，1+1其超6…故a使3.a.1中过9.+a9得1,2a21任s…6sia+26a1019.，意0ha≤.+.)1130即一as6902ha是(。,+对个a1.10.1+由.0则1.,于数.)…s。.11至01开a和+0≤1s少a21始i2k0≤0=3组存9的93.1.9成.在恒顺。的ha有序和20序1)k0列，个，（k数S）
§§3.31.1 鸽鸽笼笼原原理例理6
例题
例6、从1到2n的正整数中任取n+1个，则 这n+1个数中至少有一对数，其中一个数 是另一个数的倍数（n≥1） 。
证明：设所取n+1个数是a1,a2,…,an,an+1，
对该序列中的每一个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇
数为止，即 ri = ai / 2x ，x = 0,1,2,…。
结果得由奇数组成的序列R：r1,r2,…,rn,rn+1。
1到2n中只有n个奇数，故序列R中至少有两个数是相同的。
设为 ri rj r, i j ， 对应的有 ai 2i r，a j
2 j
r，不妨设i
j
，
则ai是aj的倍数。
§3§.13.1鸽鸽笼笼原原理理例7
例题
例7、设a1a2…am是正整数的序列，则至少 存 在 整 数 k 和 l ， 1≤k ＜ l≤m ， 使 得 和 ak+1+ak+2+…+al是m的倍数。 （m≥2）
2024鸽巢问题PPT课件
鸽巢问题PPT课件contents •鸽巢问题概述•鸽巢问题基本原理•鸽巢问题在数学中的应用•鸽巢问题在组合数学中的应用•鸽巢问题在算法设计中的应用•鸽巢问题的拓展与延伸目录01鸽巢问题概述起源背景定义性质鸽巢原理的实质是揭示了一种存在性规律，即“若有限个集合中的元素个数和大于集合的个数，则至少有一个集合中存在两个相同的元素”。
鸽巢问题的应用场景组合数学计算机科学日常生活02鸽巢问题基本原理抽屉原理又称鸽巢原理，是组合数学中一个重要的原理。
简单形式：如果将n+1 个物品放入n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有多于一个的物品。
抽屉原理的应用非常广泛，可以用于解决各种存在性问题。
抽屉原理简介鸽巢原理的表述与证明表述证明鸽巢原理与抽屉原理是等价的，只是表述方式略有不同。
抽屉原理强调“至少有一个抽屉里含有多于一个的物品”，而鸽巢原理强调“至少有一个鸽巢里有两只或两只以上的鸽子”。
两者都可以用于解决各种存在性问题，如整除性问题、染色问题等。
鸽巢原理与抽屉原理的关系03鸽巢问题在数学中的应用存在性问题的证明抽屉原理如果要将n+1个物品放入n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放有两个物品。
这是鸽巢问题最基础的应用，用于证明某些存在性问题。
整数性质利用整数的性质，结合鸽巢原理可以证明一些数学定理和命题，如费马小定理等。
组合数学在组合数学中，鸽巢原理常用于证明某些组合构型的存在性，如拉姆齐定理等。
排列组合重复计数在排列组合问题中，鸽巢原理可以帮助我们确定某些排列或组合的存在性或数量。
概率统计点集性质利用鸽巢原理可以证明一些与点集性质有关的结论，如平面上n 个点中必有两个点距离小于某个值等。
图形分割在几何图形分割问题中，鸽巢原理可以帮助我们确定某些分割方式的存在性或最优性。
几何构型在几何构型问题中，鸽巢原理可以帮助我们证明某些几何构型的存在性或性质，如三维空间中的柯克曼女生问题等。
04鸽巢问题在组合数学中的应用基本原理地位重要应用广泛030201鸽巢原理在组合数学中的地位鸽巢原理在组合数学中的应用举例例子1例子2例子3鸽巢原理在组合数学中的推广推广101推广202推广30305鸽巢问题在算法设计中的应用0102鸽巢原理在算法设计中的应用背景的物体。
武大计院组合数学PPT第3章容斥原理和鸽巢原理
C ( n,1)2
22
C ( n,2)2
( A2 2
2014-4-1
C ( 2,1)2 2 C ( 2,2)2 16 8 2 10
21
容斥原理
例3.9 欧拉函数 ( n) 表示不大于n，且与n互素的 正整数的个数。
2014-4-1 22
1
2
k
容斥原理
( n) A1 A2 Ak
n n n n n n n p p p p p p p p p 2 k 1 3 k 1 k 1 1 2 n p1 p2 pk
A3 A4 A5 17!
所求的排列数为
A1 A2 A3 A4 A5 26!3 24!2 22!22!4 20!19!17!
2014-4-1 19
容斥原理
例3.8 求完全由n个布尔变量确定的布尔函数的个数。
解 设n个布尔变量为 xi , i 1,2,, n ，自变量可能的 2n n 取值有 2 个，n个布尔变量的布尔函数有 2 个。
2014-4-1
17
容斥原理
例3.7 用26个英文字母作不允许重复的全排列， 要求排除dog, god, gum, depth, thing字样的出现， 求满足这些条件的排列数。 解 设A1为出现dog的排列的集合；A2为出现god的 排列的集合； A3为出现gum的排列的集合；A4为出现depth的 排列的集合； A5为出现thing的排列的集合。
2014-4-1 7
容斥原理
例3.2 一个学校只有三门课程：数学、物理、化学。 已知修这三门课的学生分别有170、130、120人；同 时修数学、物理两门课的学生45人；同时修数学、 化学的20人；同时修物理、化学的22人；同时修三 门课的学生3人，问这学校共有多少人？ 解 设M为修数学课学生的集合 P为修物理课学生的集合 C为修化学课学生的集合
组合数学课件--第三章第三节广义的容斥原理
3
3.6 广义的容斥原理
求只参加了数学课的人数？ 解：设M为修数学课的学生集合；P为修 物理课的学生集合；C为修化学课的学生集合， 单修一门数学，即修数学而不修物理和 化学的学生数；可如下表示：
M PC
4
3.6 广义的容斥原理
M PC
( M P) ( M C )
M
P
关于M互为补集 因此：只参加数学课 学习的人数有
A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
3.6 广义的容斥原理
定理3.3.4 广义容斥原理的证明
(m) (m) C (m 1, m) (m 1) C (m 2, m) (m 2) ...
1 2 m m1 m 2
n
8
3.6 广义的容斥原理
例3.6.2 设N={1,2,3,…,14},4个集合 A1,A2,A3,A4。 A1={2,5,8,12,13,}； A2={1,3,5,6,7,8,10,12,14}； A3={1,4,5,7,12,13}； A4={1,4,5,7,12,14}。
a在 (m)中计算了多少次 ?
C (t , m)
a在 (m 1)中计算多少次？
C (t , m 1)
....................................................
a在 (t )中计算了C (t , t )次
15
3.6 广义的容斥原理
设a包含在t个集合中,A1,A2,...,At，t>m,
16
3.6 广义的容斥原理
l C (t , m) C (t , m 1)C (m 1, m) C (t , m 2)C (m 2, m) ... (1)t m C (t , t )C (t , m)
3.6 广义的容斥原理
求只参加了数学课的人数？ 解：设M为修数学课的学生集合；P为修 物理课的学生集合；C为修化学课的学生集合， 单修一门数学，即修数学而不修物理和 化学的学生数；可如下表示：
M PC
4
3.6 广义的容斥原理
M PC
( M P) ( M C )
M
P
关于M互为补集 因此：只参加数学课 学习的人数有
A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
3.6 广义的容斥原理
定理3.3.4 广义容斥原理的证明
(m) (m) C (m 1, m) (m 1) C (m 2, m) (m 2) ...
1 2 m m1 m 2
n
8
3.6 广义的容斥原理
例3.6.2 设N={1,2,3,…,14},4个集合 A1,A2,A3,A4。 A1={2,5,8,12,13,}； A2={1,3,5,6,7,8,10,12,14}； A3={1,4,5,7,12,13}； A4={1,4,5,7,12,14}。
a在 (m)中计算了多少次 ?
C (t , m)
a在 (m 1)中计算多少次？
C (t , m 1)
....................................................
a在 (t )中计算了C (t , t )次
15
3.6 广义的容斥原理
设a包含在t个集合中,A1,A2,...,At，t>m,
16
3.6 广义的容斥原理
l C (t , m) C (t , m 1)C (m 1, m) C (t , m 2)C (m 2, m) ... (1)t m C (t , t )C (t , m)
第3章 容斥原理与鸽巢原理
(1) n A1 A2 ... An 1
16
3.2 容斥原理
A1 A2 ... An 1 An ( A1 A2 ... An 1 ) An A1 A2 ... An 1 An ( A1 A2 ... An 1 ) An
Ai Aj (n 2)!, i 1, 2,..., n, i j
25
3.3 容斥原理举例
每个元素都不在原来位置的排列数为
A1 A2 ... An n ! C (n,1)(n 1)! C (n, 2)(n 2)! (1) n C (n, n)1! 1 1 n 1 n !(1 (1) ) 1! 2! n!
两个集合并集的元素个数：
A B A B A B
U A
A B
B
9
3.2 容斥原理
定理： A B C A B C A B
| AC | B C A B C
证明：
根据
A B C ( A B) C A B C ( A B) C
定理：设 A1, A2 ,..., An 是有限集合，则
A1 A2 ... An Ai Ai Aj + Ai Aj Ak ...
i 1 i 1 j i i=1 j>i k>j n n n
(1) n 1 A1 A2 ... An
B
A B C
C
11
3.2 容斥原理
• 【例】一个学校只有三门课程：数学、物理、化学。已 知修这三门课的学生分别有170、130、120人；同时修 数学、物理两门课的学生45人；同时修数学、化学的20 人；同时修物理化学的22人。同时修三门的3人。问这 学校共有多少学生？ • （解）令：M为修数学的学生集合； • • P 为修物理的学生集合； C 为修化学的学生集合；
组合3容斥原理鸽巢原理 共89页
A 2 1 2 2 0 6 0 ， A 3 1 2 3 0 4 0 ， A 5 1 2 5 0 2 4 ， A 7 1 2 7 0 1 7 ,
A2 A3 2120320， A2 A5 1120012, A2 A7 112408， A3 A5 112508，
ABAC BC 2 n A B C 1
a,b,c都至少出现一次的n位符号串数目为
ABC U (A BC ) (ABAC BC ) ABC 4 n 3 3 n 3 2 n 1
3.1 容斥原理
例5 用26个英文字母作不允许重复的全排列，要求
排除dog，god，gum，depth，thing字样的出现，求
3.2 容斥原理—应用
1. 再解错排问题
n个元素依次给以标号1，2，…，n。n个元素 的全排列中，求每个元素都不在自己原来位置上 的排列数。
设Ai 为元素i在第i位上的全体排列, i=1,2,…,n。
则有|U|=n!， 因元素i不能动，因而有：
A i (n 1 )!, i 1 ,2 ,...,n
3.2 容斥原理—应用
同理 Ai Aj (n2)!,i1,2,...,n,ij
每个元素都不在原来位置的排列数为
A1 A2 ... An n!C(n,1)(n1)!
C(n, 2)(n 2)! (1)n C(n, n)1!
n!(111(1)n1)
A
B
500 15
33
被3或5除尽的数的个数为
A B AB A B
1 6 6 1 0 0 3 3 2 3 3
3.1 容斥原理
例4 求由a,b,c,d四个字母构成的n位符号串中a,b,c 都至少出现一次的符号串数目。
A2 A3 2120320， A2 A5 1120012, A2 A7 112408， A3 A5 112508，
ABAC BC 2 n A B C 1
a,b,c都至少出现一次的n位符号串数目为
ABC U (A BC ) (ABAC BC ) ABC 4 n 3 3 n 3 2 n 1
3.1 容斥原理
例5 用26个英文字母作不允许重复的全排列，要求
排除dog，god，gum，depth，thing字样的出现，求
3.2 容斥原理—应用
1. 再解错排问题
n个元素依次给以标号1，2，…，n。n个元素 的全排列中，求每个元素都不在自己原来位置上 的排列数。
设Ai 为元素i在第i位上的全体排列, i=1,2,…,n。
则有|U|=n!， 因元素i不能动，因而有：
A i (n 1 )!, i 1 ,2 ,...,n
3.2 容斥原理—应用
同理 Ai Aj (n2)!,i1,2,...,n,ij
每个元素都不在原来位置的排列数为
A1 A2 ... An n!C(n,1)(n1)!
C(n, 2)(n 2)! (1)n C(n, n)1!
n!(111(1)n1)
A
B
500 15
33
被3或5除尽的数的个数为
A B AB A B
1 6 6 1 0 0 3 3 2 3 3
3.1 容斥原理
例4 求由a,b,c,d四个字母构成的n位符号串中a,b,c 都至少出现一次的符号串数目。
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| A1 | 4! | A2 | 5! | A1 A2 | 3!
所求排列数为 | A1 A2 | 6! | A1 | | A2 | | A1 A2 | 6!4!5!3! 582
2020/11/11
10பைடு நூலகம்
容斥原理
▪ 例3.4 N={1,2,…,500}，求N中能被2，3，5整除的 数的个数。
解 设 A1 , A2 , A3 分别为被2、3、5整除的数的集合。 那么有
A1
500 2
250
A2
500 3
166
A3
500 5
100
A1 A2
500 6
83
2020/11/11
11
容斥原理
A1 A3
500 10
50
A2 A3
500 15
33
A1 A2 A3
500 30
16
A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A1 A2 A1 A2 A1 A2 A3
250 166 100 83 50 33 16 366
2020/11/11
12
容斥原理
▪ 例3.5 求由a, b, c, d四个字符构成的n位符号串中， a, b, c至少出现一次的符号串的数目。
第3章 容斥原理和鸽巢原理
容斥原理
▪ 例 对{1,2,…,n}的排列 i1i2 in 计数，其中 i1 1 。 解 直接计数： (1) i1 2：有 (n 1)! 个； … (n-1) i1 n :有 (n 1)! 个； 共有 (n 1)(n 1)!个 间接计数：i1 1 ：有 (n 1)! 个 所以共有 n!(n 1)! (n 1)(n 1)! 个
2020/11/11
8
容斥原理
由题意知， M 170 P 130 C 120 M P 45
M C 20
所求人数为
P C 22
M PC 3
M P C 170 130 120 45 20 22 3 336
2020/11/11
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容斥原理
▪ 例3.3 求a,b,c,d,e,f 六个字母的全排列中不允许出 现 ace 和 df 图象的排列数。 解 A1为出现ace图象的排列的集合，A2为出现df 图象的排列的集合，那么有
证 设 A1 , A2 , A3分别表示不出现a, b, c的n位符号串 的集合。则
Ai 3n, i 1,2,3 A1 A2 A3 1
Ai Aj 2n , i j, i, j 1,2,3
A1 A2 A3 4n A1 A2 A3 A1 A2 A1 A3
A2 A3 A1 A2 A3
i 1
1i jn
1i jk n
▪证
(1)n1 | A1 A2 An |
| A1 A2 An || S | | A1 A2 An |
| S | | A1 A2 An |
2020/11/11
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容斥原理
例3.2 一个学校只有三门课程：数学、物理、化学。 已知修这三门课的学生分别有170、130、120人；同 时修数学、物理两门课的学生45人；同时修数学、 化学的20人；同时修物理、化学的22人；同时修三 门课的学生3人，问这学校共有多少人？ 解 设M为修数学课学生的集合 P为修物理课学生的集合 C为修化学课学生的集合
e4x 3e3x 3e2x e x
(4n
3 3n
3 2n
1)
1
xn
n0
n!
2020/11/11
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容斥原理
▪ 例3.6 求不超过120的素数的个数。
解 若一个正整数n是一个合数，那么n必能被某个 素数 p n 整除。由112=121知，不超过120的合 数必能被2,3,5,7之一整除。
▪ 作为上述法则的第一个推广：令S是一个有限集 合，P1, P2是S中每个的元素可能具有的两个性 质。 A1 ，A2 分别表示S中具有性质P1， P2的元素 的集合，那么有
A1 A2 S A1 A2 A1 A2 ▪ 更一般地，设P1, P2，…，Pn是S中每个的元素可
能具有的n个性质。令Ai(i=1,2,…,n)是S中具有性 质Pi的元素的集合，则有
设 Ai 为不超过120,但被i整除的数的集合, i=2,3,5,7
A2
120 2
60
A3
120 3
40
A5
120 5
24
A7
120 7
17
A2 A3
120 6
20
2020/11/11
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容斥原理
A2 A5
120 10
12
A3 A5
120 15
8
A2 A7
1 0 0 0 (1)n 0 1
2020/11/11
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容斥原理
▪ (2) 若a具有这n个性质中的m个，则a对方程左端 的贡献为0，而对方程右端的贡献为
m 0
m 1
m 2
m 3
(1)m
m m
(1 1)m 0
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容斥原理
▪ 推论
| A1 A2 An |
n
| Ai | | Ai Aj | | Ai Aj Ak |
4n 3 3n 3 2n 1
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容斥原理
另解：设 an (n 0,1,2,...) 为所求的n位符号串数 目，则{an}的指数型母函数为
G( x) (1 1 x 1 x2 )( 1 x 1 x2 )3
1! 2!
1! 2!
e x (e x 1)3 e x (e3x 3e2x 3e x 1)
2020/11/11
2
容斥原理
▪ 例 计算1到600中不能被6整除的整数个数。 证 能被6整除的整数个数为
600/ 6 100
所求数的个数为 600100 500
一般，若 A S ，则 | A || S | | A | 或 | A || S | | A |
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3
容斥原理
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容斥原理
▪ 定理3.2
| A1 A2 An |
n
| S | | Ai | | Ai Aj | | Ai Aj Ak |
i 1
1i jn
1i jk n
(1)n | A1 A2 An |
证 任取S中的一个元素a，
(1) 若a不具有这n个性质中的任何一个，则a对方 程左端的贡献为1，而对方程右端的贡献为
所求排列数为 | A1 A2 | 6! | A1 | | A2 | | A1 A2 | 6!4!5!3! 582
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10பைடு நூலகம்
容斥原理
▪ 例3.4 N={1,2,…,500}，求N中能被2，3，5整除的 数的个数。
解 设 A1 , A2 , A3 分别为被2、3、5整除的数的集合。 那么有
A1
500 2
250
A2
500 3
166
A3
500 5
100
A1 A2
500 6
83
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容斥原理
A1 A3
500 10
50
A2 A3
500 15
33
A1 A2 A3
500 30
16
A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A1 A2 A1 A2 A1 A2 A3
250 166 100 83 50 33 16 366
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容斥原理
▪ 例3.5 求由a, b, c, d四个字符构成的n位符号串中， a, b, c至少出现一次的符号串的数目。
第3章 容斥原理和鸽巢原理
容斥原理
▪ 例 对{1,2,…,n}的排列 i1i2 in 计数，其中 i1 1 。 解 直接计数： (1) i1 2：有 (n 1)! 个； … (n-1) i1 n :有 (n 1)! 个； 共有 (n 1)(n 1)!个 间接计数：i1 1 ：有 (n 1)! 个 所以共有 n!(n 1)! (n 1)(n 1)! 个
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容斥原理
由题意知， M 170 P 130 C 120 M P 45
M C 20
所求人数为
P C 22
M PC 3
M P C 170 130 120 45 20 22 3 336
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容斥原理
▪ 例3.3 求a,b,c,d,e,f 六个字母的全排列中不允许出 现 ace 和 df 图象的排列数。 解 A1为出现ace图象的排列的集合，A2为出现df 图象的排列的集合，那么有
证 设 A1 , A2 , A3分别表示不出现a, b, c的n位符号串 的集合。则
Ai 3n, i 1,2,3 A1 A2 A3 1
Ai Aj 2n , i j, i, j 1,2,3
A1 A2 A3 4n A1 A2 A3 A1 A2 A1 A3
A2 A3 A1 A2 A3
i 1
1i jn
1i jk n
▪证
(1)n1 | A1 A2 An |
| A1 A2 An || S | | A1 A2 An |
| S | | A1 A2 An |
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容斥原理
例3.2 一个学校只有三门课程：数学、物理、化学。 已知修这三门课的学生分别有170、130、120人；同 时修数学、物理两门课的学生45人；同时修数学、 化学的20人；同时修物理、化学的22人；同时修三 门课的学生3人，问这学校共有多少人？ 解 设M为修数学课学生的集合 P为修物理课学生的集合 C为修化学课学生的集合
e4x 3e3x 3e2x e x
(4n
3 3n
3 2n
1)
1
xn
n0
n!
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容斥原理
▪ 例3.6 求不超过120的素数的个数。
解 若一个正整数n是一个合数，那么n必能被某个 素数 p n 整除。由112=121知，不超过120的合 数必能被2,3,5,7之一整除。
▪ 作为上述法则的第一个推广：令S是一个有限集 合，P1, P2是S中每个的元素可能具有的两个性 质。 A1 ，A2 分别表示S中具有性质P1， P2的元素 的集合，那么有
A1 A2 S A1 A2 A1 A2 ▪ 更一般地，设P1, P2，…，Pn是S中每个的元素可
能具有的n个性质。令Ai(i=1,2,…,n)是S中具有性 质Pi的元素的集合，则有
设 Ai 为不超过120,但被i整除的数的集合, i=2,3,5,7
A2
120 2
60
A3
120 3
40
A5
120 5
24
A7
120 7
17
A2 A3
120 6
20
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容斥原理
A2 A5
120 10
12
A3 A5
120 15
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A2 A7
1 0 0 0 (1)n 0 1
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容斥原理
▪ (2) 若a具有这n个性质中的m个，则a对方程左端 的贡献为0，而对方程右端的贡献为
m 0
m 1
m 2
m 3
(1)m
m m
(1 1)m 0
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▪ 推论
| A1 A2 An |
n
| Ai | | Ai Aj | | Ai Aj Ak |
4n 3 3n 3 2n 1
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容斥原理
另解：设 an (n 0,1,2,...) 为所求的n位符号串数 目，则{an}的指数型母函数为
G( x) (1 1 x 1 x2 )( 1 x 1 x2 )3
1! 2!
1! 2!
e x (e x 1)3 e x (e3x 3e2x 3e x 1)
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容斥原理
▪ 例 计算1到600中不能被6整除的整数个数。 证 能被6整除的整数个数为
600/ 6 100
所求数的个数为 600100 500
一般，若 A S ，则 | A || S | | A | 或 | A || S | | A |
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容斥原理
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容斥原理
▪ 定理3.2
| A1 A2 An |
n
| S | | Ai | | Ai Aj | | Ai Aj Ak |
i 1
1i jn
1i jk n
(1)n | A1 A2 An |
证 任取S中的一个元素a，
(1) 若a不具有这n个性质中的任何一个，则a对方 程左端的贡献为1，而对方程右端的贡献为