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2018年高考数学（理）二轮复习讲练测热点十一圆锥曲线的综合问题纵观近几年高考圆锥曲线的综合问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，主要注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力.其中直线与椭圆、抛物线的位置关系常常与平面向量、三角函数、函数的性质、不等式等知识交汇命题.涉及求轨迹、与圆相结合、定点、定值、最值、参数范围、存在性问题等.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1.求轨迹方程求轨迹方程的基本方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等.（1）求轨迹方程时,先看轨迹的形状能否预知,若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线,则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解;否则利用直接法或代入法.（2）讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应,要注意字母的取值范围.例1【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P 满足。
(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线上，且。
证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。
【答案】(1) 。
(2)证明略。
【解析】（2）由题意知。
设,则，。
由得，又由（1）知，故。
所以，即。
又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.例2【2018届湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三2月联考】如图，一张坐标纸上一已作出圆及点，折叠此纸片，使与圆周上某点重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线的交点为，令点的轨迹为.（1）求轨迹的方程；（2）若直线与轨迹交于两个不同的点，且直线与以为直径的圆相切，若，求的面积的取值范围.【答案】 (1) ；(2) .试题解析：（1）折痕为的垂直平分线，则，由题意知圆的半径为，∴，∴的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，∴，∴的轨迹的方程为.（2）与以为直径的圆相切，则到即直线的距离：，即，由，消去，得，∵直线与椭圆交于两个不同点，∴，，设，，则，，，又，∴，∴，设，则，∴，，∵关于在单调递增，∴，∴的面积的取值范围是.2. 圆锥曲线与圆相结合的问题处理有关圆锥曲线与圆相结合的问题,要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用,如直径对的圆心角为直角,构成了垂直关系;弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形.利用圆的一些特殊几何性质解题,往往使问题简化.例3【2017课标3，理20】已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.【答案】(1)证明略；(2)直线的方程为，圆的方程为 .或直线的方程为，圆的方程为 .【解析】所以，解得或 .当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为 .3.定值定点问题（1）求解定点和定值问题的基本思想是一致的,定值是证明求解的一个量与参数无关,定点问题是求解的一个点(或几个点)的坐标,使得方程的成立与参数值无关.解这类试题时要会合理选择参数(参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等),使用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标.当使用直线的斜率和截距表达直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题解决.（2）证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程,根据方程的成立与参数值无关得出x,y的方程组,以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点.例4【2018届河北省唐山市高三上学期期末】已知抛物线：的焦点，过点作两条互相垂直的直线，直线交于不同的两点，直线交于不同的两点，记直线的斜率为.(1)求的取值范围；(2)设线段的中点分别为点，证明：直线过定点.【答案】(1) {k|k＜－2或0＜k＜} (2)见解析【解析】试题分析：（1）写出直线的方程，与抛物线方程联立方程组，利用判别式求出的一个范围，另外直线的方程为与抛物线方程联立同样又得出的一个范围，两者求交集即得；（2）设，利用韦达定理可得即点坐标，用代替可得点坐标，计算出，得证结论．试题解析：（1）由题设可知k≠0，所以直线m的方程为y＝kx＋2，与y2＝4x联立，整理得ky2－4y＋8＝0，①由Δ1＝16－32k＞0，解得k＜．直线n的方程为y＝－x＋2，与y2＝4x联立，整理得y2＋4ky－8k＝0，由Δ2＝16k2＋32k＞0，解得k＞0或k＜－2．所以故k的取值范围为{k|k＜－2或0＜k＜}．（2）设A(x 1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．由①得，y1＋y2＝，则y0＝，x0＝－，则M(－，)．同理可得N(2k2＋2k，－2k)．直线MQ的斜率k MQ＝＝，直线NQ的斜率k NQ＝＝＝k MQ，所以直线MN过定点Q(2，0)．例5【2018届河南省商丘市高三上学期期末】在平面直角坐标系中，已知两点，，动点满足，线段的中垂线交线段于点.（1）求点的轨迹的方程；（2）过点的直线与轨迹相交于两点，设点，直线的斜率分别为，问是否为定值？并证明你的结论.【答案】(1) ；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）利用椭圆定义求出点的轨迹的方程；（2）讨论直线的斜率，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程得，利用根与系数关系表示，即可得到定值.试题解析：（Ⅰ）以题意可得：,，所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，且所以，所以轨迹的方程为.（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，由，解得，设，.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将代入整理化简，得，依题意，直线与轨迹必相交于两点，设，则，，又，，所以综上得：为定值2.（说明：若假设直线为，按相应步骤给分）4.最值、范围问题求解范围、最值问题的基本解题思想是建立求解目标与其他变量的关系(不等关系、函数关系等),通过其他变量表达求解目标,然后通过解不等式、求函数值域(最值)等方法确定求解目标的取值范围和最值.在解题时要注意其他约束条件对求解目标的影响,如直线与曲线交于不同两点时对直线方程中参数的约束、圆锥曲线上点的坐标范围等.例6【2018届吉林省长春市第十一高中、东北师范大学附属中学、吉林一中，重庆一中等五校高三1月联考】已知椭圆的短轴长为，离心率为，点，是上的动点，为的左焦点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点在轴的右侧，以为底边的等腰的顶点在轴上，求四边形面积的最小值. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .试题解析：（Ⅰ）依题意得解得∴椭圆的方程是（Ⅱ）设设线段中点为∵∴中点，直线斜率为由是以为底边的等腰三角形∴∴直线的垂直平分线方程为令得∵∴由∴四边形面积当且仅当即时等号成立，四边形面积的最小值为.5.探索性问题解决直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题,往往是先假设所求的元素存在,然后再推理论证,检验说明假设是否正确. 其解题步骤为:(1)先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).(2)解此方程(组)或不等式(组),若有解则存在;若无解则不存在.(3)得出结论.例7【2018届河北省石家庄市高三上学期期末】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点.（1）若以为直径的动圆内切于圆，求椭圆的长轴长；（2）当时，问在轴上是否存在定点，使得为定值？并说明理由.【答案】（Ⅰ）6（Ⅱ）见解析【解析】试题分析：（1）设的中点为，可得 ,当两个圆相内切时，两个圆的圆心距等于两个圆的半径差，即，所以，椭圆长轴长为；（2）先求得椭圆方程为，设直线AB方程为：，联立可得，设根据韦达定理及平面向量数量积公式可得，当即时为定值.试题解析：（Ⅰ）设的中点为M，在三角形中，由中位线得：当两个圆相内切时，两个圆的圆心距等于两个圆的半径差，即所以，椭圆长轴长为6.（Ⅱ）由已知，，所以椭圆方程为当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为：设由得恒成立设当即时为定值当直线AB斜率不存在时，不妨设当时，为定值综上：在X轴上存在定点，使得为定值【反思提升】1.高考涉及考查轨迹问题通常是以下两类：一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法.“轨迹”、“方程”要区分求轨迹方程，求得方程就可以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量）.处理轨迹问题成败在于：对各种方法的领悟与解题经验的积累.所以在处理轨迹问题时一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法（什么情况下用什么方法上面已有介绍，这里不在重复）确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面：①准确理解题意，挖掘隐含条件；②列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；③推理要严密，方程化简要等价；④消参时要保持范围的等价性；⑤数形结合，查“漏”补“缺”.在处理轨迹问题时，要特别注意运用平面几何知识，其作用主要有：①题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；②简化条件式；③转化化归.2.涉及求取值范围的问题时,首先要找到产生范围的几个因素:(1)直线与曲线相交(判别式);(2)曲线上点的坐标的范围;(3)题目中给出的限制条件.其次要建立结论中的量与这些范围中的因素的关系;最后利用函数或不等式求变量的取值范围.3.解析几何中最值问题的基本解法有几何法和代数法.几何法是根据已知的几何量之间的相互关系,通过平面几何和解析几何的知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等);代数法是建立求解目标关于某个或某两个变量的函数,通过求解函数的最值(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)解决.4.存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.注意以下几点:(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论.(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另外的途径.。
2018年高考数学——圆锥曲线解答1.（18北京理（19）（本小题14分））已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ=u u u u r u u u r ，QN QO μ=u u u r u u u r ，求证：11λμ+为定值．2.（18江苏18．（本小题满分16分））如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △26，求直线l 的方程．3.（18全国二理19．（12分））设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．4.（18全国三理20．（12分））已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：FA u u u r ，FP u u u r ，FB u u u r 成等差数列，并求该数列的公差．5.18全国一理19．（12分）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.6.（18天津理(19)(本小题满分14分)）设椭圆22221x x a b+=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .A的坐标为(,0)b，且FB AB ⋅=（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ，求k 的值.7.（18浙江21．（本题满分15分））如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．8.（18北京文（20）（本小题14分））已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为63，焦距为22.斜率为k 的直线l与椭圆M 有两个不同的交点A ，B . （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)42Q - 共线，求k .9.（18全国三文20．（12分））已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ．10.（18全国一文20．（12分））设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠．参考答案：1.解：（Ⅰ）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2）， 所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ． 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）． 由241y xy kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=． 依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得k<0或0<k<1． 又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3．所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由（I ）知12224k x x k -+=-，1221x x k =． 直线PA 的方程为y –2=1122(1)1y y x x --=--．令x =0，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--． 同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-． 由=QM QO λuuu r uuu r ，=QN QO μuuu r uuu r得=1M y λ-，1N y μ=-．所以2212121212122224112()111111=2111(1)(1)11M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+---++=+=+=⋅=⋅------． 所以11λμ+为定值．2.解：（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*） 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以002,1x y ==． 因此，点P 的坐标为(2,1)． ②因为三角形OAB 的面积为26，所以21 26AB OP ⋅=，从而427AB =． 设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得22000001,22448(2)x y x x ±-=，所以2222121()()x B y y x A =-+- 222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P 的坐标为102(,)．综上，直线l 的方程为532y x =-+．学*科网3.解：（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->.设1221(,),(,)A y x y x B ， 由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=.216160k ∆=+>，故122224k x k x ++=. 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=.由题设知22448k k+=，解得1k =-（舍去），1k =. 因此l 的方程为1y x =-.（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+.设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=.4.解：（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=. 两式相减，并由1221y x y k x -=-得1122043y x y k x +++⋅=. 由题设知12121,22x y x ym ++==，于是 34k m=-.① 由题设得302m <<，故12k <-. （2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=.由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<.又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =u u u r .于是1||22x FA ===-u u u r .同理2||22xFB =-u u u r .所以121||||4()32FA FB x x +=-+=u u u r u u u r .故2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ，即||,||,||FA FP FB u u u r u u u r u u u r成等差数列.设该数列的公差为d ，则1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=u u u r u u u r .②将34m =代入①得1k =-. 所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=.故121212,28x x x x +==，代入②解得||28d =.所以该数列的公差为28或28-.5解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1.由已知可得，点A 的坐标为(1,2或(1,2-.所以AM 的方程为y x =+y x =.（2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--.将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=.所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++. 则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠.6.（Ⅰ）解：设椭圆的焦距为2c ，由已知知2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得，FB a =，AB =，由FB AB ⋅=，可得ab =6，从而a =3，b =2．所以，椭圆的方程为22194x y +=． （Ⅱ）解：设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．由已知有y 1>y 2>0，故12sin PQ AOQ y y ∠=-．又因为2sin y AQ OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ =．由AQ AOQ PQ=∠，可得5y 1=9y 2． 由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x，可得1y =AB 的方程为x +y –2=0，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得221ky k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）=，两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =． 所以，k 的值为111228或．7.（Ⅰ）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ． 因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=． 因此，PM 垂直于y 轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -= 因此，PAB △的面积32212001||||4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△． 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈．因此，PAB △面积的取值范围是．8.【解析】（Ⅰ）由题意得2c =，所以c =又3c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||2AB x x =-==，易得当20m =时，max ||AB ，故||AB． （Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②，又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+，所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-u u u r ，4471(,)44QD x y =+-u u u r ，因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =． 9..解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=．两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=． 由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-． 由题设得302m <<，故12k <-． （2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则 331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，．由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<． 又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，，3||=2FP uu r ．于是1||22x FA ==-uu r ．同理2||=22xFB -uu r ．所以1214()32FA FB x x +=-+=uu r uu r ．故2||=||+||FP FA FB uu r uu r uu r ．10．解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--．（2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0．由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k ，y 1y 2=–4．直线BM ，BN 的斜率之和为 1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222yx k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k++-++++===．所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM +∠ABN ．综上，∠ABM=∠ABN．。
第六节圆锥曲线综合考纲解读1.掌握与圆锥曲线有关的最值、定值和参数范围问题.2.会处理动曲线（含直线）过定点的问题.3.会证明与曲线上的动点有关的定值问题.4.会按条件建立目标函数，研究变量的最值及取值范围问题，注意运用数形结合法和几何法求某些量的最值. 命题趋势研究从内容上看，预测2015年高考主要考查两大类问题：一是根据条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质，其热点有：①以客观题的形式考查圆锥曲线的基本概念和性质；②求平面曲线的方程和轨迹；③圆锥曲线的有关元素计算、关系证明或范围确定；④涉及圆锥曲线对称变换、最值或位置关系的有关问题.从形式上看，以解答题为主，难度较大.从能力要求上看，要求学生具备一定的数形结合、分析问题和解决问题及运算能力. 知识点精讲一、定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：（1）变量----选择适当的量为变量.（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数.（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值.求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值.二、求最值问题常用的两种方法（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法.（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值.求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法.三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视”（1）重视定义在解题中的作用(把定义作为解题的着眼点).（2）重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用. （3）重视根与系数的关系在解题中的作用(涉及弦长、中点要用根与系数的关系).四、求参数的取值范围据已知条件及题目要求等量或不等量关系，再求参数的范围.题型归纳及思路提示题型150 平面向量在解析几何中的应用思路提示解决平面向量在解析几何中的应用要把几何特征转化为向量关系，并把向量用坐标表示.常见的应用有如下两个方面.（1）用向量的数量积解决有关角的问题.直角0a b ,钝角0a b (且,a b 不反向),锐角0a b (且,a b 不同向).（2）利用向量的坐标表示解决共线问题.一、利用向量的数量积解决有关夹角（锐角、直角、钝角）的问题其步骤是：先写出向量坐标式，再用向量数量积的坐标公式121222221122cos ,x x y y a bxy xy例10.44过抛物线22(0)xpy p 的焦点F 作直线交抛物线于A ,B 两点，O 为坐标原点.求证：△ABO 的是钝角三角形. 分析证明△ABO 的是钝角三角形常用的方法是利用余弦定理，但用余弦定理来解决需计算出,,OB OA AB 的长，显然较复杂.因为O ,A ,B 不共线，故可利用0OA OB 来证明∠AOB＞90°，从而得证. 解析设11(,)A x y ，22(,)B x y ,抛物线22(0)xpy p 的焦点坐标(0,)2p F .根据题意知，直线AB 的斜率存在(若不存在，则A ,B 在原点，矛盾)，设直线AB 的方程为2p y kx，由222py kx xpy，得2220x pkx p，则122x x pk，212x x p .因为A ,B 两点在抛物线上，所以2112xpy ，2222xpy ，两式相乘得，2221212244x x p y y p. 11(,)OA x y ，22(,)OB x y ,22212123044pp OA OBx x y y p，又因为O ,A ,B 三点不共线，所以∠AOB＞90°，△ABO 的是钝角三角形. 评注直线l 与抛物线22(0)xpy p 交于A ,B 两点，则（1）直线l 在y 轴上的截距等于2p 时，∠AOB ＝90°；（2）直线l 在y 轴上的截距大于2p 时，∠AOB ＜90°；（3）直线l 在y 轴上的截距大于0且小于2p 时，∠AOB ＞90°.变式1（2012重庆理20）如图10-34所示，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左右焦点分别为F 1,F 2，线段OF 1,OF 2的中点分别为B 1,B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形.（1）求该椭圆的离心率和标准方程；（2）过B 1作直线l 交椭圆于P ,Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程.变式2设A ,B 分别为椭圆22143xy的左右顶点，P 为直线4x 上不同于(4,0)的任意一点，若直线AP ,BP 分别与椭圆交于异于A ,B 的点M ,N ，证明：点B 在以MN 为直径的圆内.变式3已知1m ，直线2:02ml xmy,椭圆222:1xC ym，F 1,F 2分别为椭圆C的左右焦点.（1）当直线l 过右焦点F 2时，求直线l 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点，△AF 1F 2和△BF 1F 2和的重心分别是G,H ；若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.例10.45在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0,3),(0,3)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C ，直线1y kx 与C 交于A ,B 两点.（1）写出C 的方程；（2）若OA ⊥OB ,求k 的值.解析（1）设(,)P x y ，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0,3),(0,3)为焦点，长半轴为2的椭圆.其短半轴1b ，故曲线C 的方程为2214yx.（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ,由22141yx ykx ，即22(4)230k xkx ，由韦达定理知，12224k x x k，12234x x k.若OA ⊥OB ,即12120x x y y ，而2121212()1y y k x x k x x ，所以212122232(1)()()1044k x x y y k k kk，即2410k，解得12k .评注本题的结论可由【例10.44变式3】的评注中的重要结论顺利得到：由题意，OA ⊥OB ,故有∠AOB ＝90°，设原点O 到直线的距离为OH d ，则有22211154abOH，故可得25OHd，又1y kx ，所以21251dk，解得12k.利用此结论求解，可以对利用常规方法求解出的结果加以验证，从而提高解题的准确率，做到胸有成竹.变式1如图10-35所示，椭圆2222:1(0)x y C a b ab的顶点为A 1,A 2,B 1,B 2，焦点为F 1,F 2，117A B ,112211222B A B A B F B F SS.(1)求椭圆C 的方程；（2）设n 为过原点的直线，l 是与n 垂直相交于P 点,与椭圆相交于A ,B 两点的直线，1OP ，是否存在上述直线l 使0OA OB成立？若存在求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.变式2如图10-36所示，椭圆2222:1(0)x y C a bab的一个焦点是(1,0)F ，O 为坐标原点，设过点F 的直线l 交椭圆于A ,B 两点.若直线l 绕点F 任意转动，恒有222OAOBAB ,求a 的取值范围.二、利用向量的坐标表示解决共线问题向量,a b 共线的条件是ab 或1221x y x y .例10.46在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0,2)且斜率为k 的直线l 与椭圆2212xy有两个不同的交点P ,Q .（1）求k 的取值范围；（2）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ,B ，是否存在常数k ，使得向量OP＋OQ 与AB 共线？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由.分析将向量共线转化为坐标关系求解.解析（1）设直线l 方程为2ykx ，代入椭圆得22(2)12xkx 即22(21)4220kxkx，①则222(42)4(21)21680k k k，解得22k,或22k.（2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ,则OP ＋OQ ＝1212(,)x x y y ，由方程①得1224212k x x k，②1212()22y y k x x ，③又(2,0),(0,1)A B ,∴(2,1)AB .所以向量OP ＋OQ 与AB 共线等价于12122()x x y y ，将②③代入上式，解得22k，由（1）知22k,或22k，故没有符合题意的常数k .变式1设椭圆22221(0)x y a b ab的左右焦点分别为F 1,F 2，离心率22e，直线2:al xc，如图10-37所示，M ,N 是l 上的两个动点，120F M F N.（1）若1225F M F N ，求,a b 的值；（2）证明：当MN 取最小值时，12F MF N 与12F F 共线.例10.47设A ,B 是椭圆2212xy上的两点，并且点(2,0)N 满足NA NB ,当11[,]53时，求直线AB 斜率的取值范围. 分析已知的取值范围，求直线斜率范围关键在于如何用表示k ，突破口在于将NANB 转化为坐标关系.解析因为NA NB ，所以A ,B, N 三点共线，又点N 的坐标为(2,0)，设直线AB 的方程为(2)yk x ，则0k ，由2212(2)xyy k x ，消去x 得222(21)420k yky k，由条件可知，222(4)4(21)20k kkk解得202k.设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则122412k y y k，2122212ky y k，由NANB ，得1122(2,)(2,)x y x y . 所以有12122(2)x x y y ，12222212224(1)12212k y y y k ky y yk，消去2y 得22(1)812k，令2(1)1()2h ，11[,]53，则()h 在区间11[,]53上为减函数，从而163≤2812k≤365.解得12≤k ≤26或≤k ≤，符合202k，因此直线AB 斜率的取值范围为[12,26]∪[26,12].评注本题在消元上有个技巧，当12x x 时消去y 得关于x 的一元二次方程.122(1)b x x x a，2122c x x xa，消去2x 就会得与,,a b c 之间的关系；当12y y 时消去x .变式1已知F 1,F 2分别为椭圆22132xy的左右焦点，直线1l 过点F 1且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于直线1l ，垂足为D ，线段DF 2的垂直平分线交2l 于点M . （1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）过点F 1作直线交曲线C 于两个不同的点P 和Q ，设11F P FQ ,若[2,3]，求22F P F Q 的取值范围.变式2过点(1,0)F 的直线交抛物线24yx 于A ,B 两点，交直线:1l x 于点M ，已知1MAAF ,2MBBF ,求12的值.题型151 定点问题思路提示（1）直线过定点，由对称性知定点一般在坐标轴上，如直线y kx b ，若b 为常量，则直线恒过(0,)b 点；若b k为常量，则直线恒过(,0)b k.（2）一般曲线过定点，把曲线方程变为12(,)(,)0f x y f x y （为参数），解方程组12(,)0(,)f x y f x y 即得定点.模型一：三大圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中的顶点直角三角形的斜边所在的直线过定点.例10.48已知椭圆22143xy，直线:l y kx m 与椭圆交于A ,B 两点（A ,B 不是原点），且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.分析要求直线过定点，必须知道直线:l ykxm 中k 与m 的关系.解析设11(,)A x y ，22(,)B x y ,由22143x yy kx m，消去y 得222(43)84120k xkmx m ，由条件可知，222(8)4(43)(412)0km km，即2243mk，则122843km x x k，212241243mx x k，（**）因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0)，所以1122(2,)(2,)0x y x y ，即1212122()40x x x x y y ，即1212122()4()()0x x x x kx m kx m ，整理得，221212(1)(2)()40kx x km x x m，将（**）代入，化简得2271640mkmk，即2mk 或27k m.（1）当2m k 时，:2l y kx k 过右顶点(2,0)，与题意不符，故舍去；（2）当27k m 时，2:7k l ykx 过定点2(,0)7，且满足2243mk，符合.所以:l ykxm 过定点2(,0)7.评注已知椭圆22221(0)x y a bab，直线:l ykx m 与椭圆交于A ,B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点A 1,求证：如图10-38所示，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,由22221x ya bykx m，消去y 得222222222()20a kb xa kmx a ma b，由条件可知，222222222(2)4()()0a km a kb a ma b ，即2222ma kb .（注：截距的平方小于二次方程的二次项系数，请记住！）则2122222a km x x a kb，22212222()a m b x x a kb，（**）因为AB 为直径的圆过椭圆的右顶点A 1(,0)a ,所以110A A A B,又111(,)A A x a y ，122(,)A B x a y 所以1122(,)(,)0x a y x a y ，即2121212()0x x a x x ay y ，即2121212()()()0x x a x x akx m kx m ，整理得，2221212(1)()()0kx x km a x x ma，将（**）代入，化简得2222()[()()]0m ak ab ma ab k .（1）当m ak 时，:l y kx ak 过右顶点(,0)a ，与题意不符，故舍去；（2）当2222()a a b k mab时，2222():a a b k l y kxab过定点2222()(,0)a a b ab，且满足2222ma kb ，符合题意. 所以，:l ykxm 过定点2222()(,0)a a b ab.同理可证，若AB 为直径的圆过左顶点(,0)a ,则l 过定点2222()(,0)a a b ab；过上顶点(0,)b 时，l 过定点2222()(0,)b b a ab；过下顶点(0,)b 时，l 过定点2222()(0,)b b a ab.类比椭圆，对于双曲线22221(0,0)x y a b ab，上异于右顶点的两动点A ,B ，若AB 为直径的圆过右顶点(,0)a ,则AB l 过定点2222()(,0)a a b ab；同理，若该圆过左顶点(,0)a ,则AB l 过定点2222()(,0)a a b a b；变式1已知椭圆2214xy的左顶点为A ，不过点A 的直线:l ykx b 与椭圆交于不同的两点P ,Q ，当0AP AQ ，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点.变式2（2012北京海淀高三期末理19）已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)，且离心率为32，Q 为椭圆C 的左顶点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知过点6(,0)5的直线l 与椭圆C 交与A ,B 两点.（Ⅰ）若直线l 垂直于x 轴，求∠AQB的大小；（Ⅱ）若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得△QAB 为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.例10.49已知抛物线22(0)ypx p 上异于顶点的两动点A ,B 满足以AB 为直径的圆过顶点. 求证：AB 所在的直线过定点，并求出该定点的坐标.分析要证明AB l 过定点，必须先求得其方程.解析由题意知AB l 的斜率不为0（否则只有一个交点），故可设:AB l xty m ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由22y px x tym，消去x 得2220y pty pm ，从而222(2)4(2)480pt pm p tpm，即220ptm，且121222y y pt y y pm，（*）因为以AB 为直径的圆过顶点(0,0)O ，所以0OA OB ,即12120x x y y ，也即221212022y yy y p p，把式（*）代入化简得(2)0m m p ，得0m或2mp .（1）当0m 时，x ty ，AB l 过顶点(0,0)O ，与题意不符，故舍去；（2）当2m p 时，2xtyp ，令0y ，得2x p ，所以AB l 过定点(2,0)p ，此时2mp满足220ptm .图10-39y 2=2pxyxOPBA综上，AB l 过定点(2,0)p .评注：（1）①将斜率存在的直线的方程设为ykx b ，将斜率不为0的直线的方程设为x tym ；②抛物线22ypx 中，221212121224y y x x y y y y p；③对于过定点问题，必须引入参数，最后令参数的系数为0.如本题，先引入参数,t m 之后，就剩下参数t ，直线2x typ 中令参数t 的系数y 为0，则直线过定点(2,0)p .(2)抛物线22xpy (0)p 上两异于原点O 的动点A,B 满足OA OB ，则AB 所在的直线过定点(0,2)p ；抛物线22ypx (0)p 上两异于原点O 的动点A,B 满足OAOB ，则AB 所在的直线过定点(2,0)p .变式1如图10-39所示，已知定点00(,)P x y 在抛物线22ypx (0)p 上，过点P 作两直线12,l l 分别交抛物线于A,B ，且以AB 为直径的圆过点P ，证明：直线AB 过定点，并求出此定点的坐标.变式2已知抛物线24yx ，过点(1,2)M 作两直线12,l l 分别与抛物线交于,A B 两点，且12,l l 的斜率12,k k 满足122k k .求证：直线AB 过定点，并求出此定点的坐标.模型二：三大圆锥曲线（椭圆，双曲线，抛物线）中，若过焦点的弦为AB ，则焦点所在坐标轴上存在唯一定点N ，使得NA NB 为定值.例10.50（2012北京海淀二模理18）已知椭圆2222:1(0)x y C a bab的右焦点为(1,0)F ，且点2(1,)2在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于,A B 两点，试问x 轴上是否存在定点Q ，使得716QA QB恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.解析（1）由题意知：1c .根据椭圆的定义得：22222(11)()2222a ，即2a .所以2211b.所以椭圆C 的标准方程为2212xy.(2) 假设在x 轴上存在点(,0)Q m ，使得716QA QB恒成立.当直线l 的斜率为0时，(2,0),(2,0)A B .则7(2,0)(2,0)16m m ,解得54m.(i)当直线l的斜率不存在时，22(1,),(1,)22A B .由于52527(1,)(1,)424216，所以54m .(ii)下面证明54m 时，716QA QB恒成立. 显然直线l 的斜率为0时，716QA QB .当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1xty ，1122(,),(,).A x yB x y 由22121xyx ty 可得：22(2)210.tyty 22(2)4(2)0t t.1221222,21.2t y y t y y t因为111x ty ，221x ty ，所以112212125511(,)(,)()()4444QA QBx y x y ty ty y y 2212122222211121(1)()(1)416242162217.2(2)1616t t ty y t y y tttt t t 综上所述，在x 轴上存在点5(,0)4Q ，使得716QA QB恒成立.变式1已知双曲线222xy的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于,A B 两点.在x 轴上是否存在定点C ，使得CA CB 为常数？若存在，求出点C 的坐图10-40OyxBAP(x 0,y 0)Q标；若不存在，请说明理由.题型152 定直线问题模型：已知椭圆22221(0)x y a bab外一点00(,)P x y ，当过点P 的动直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B 时，在线段AB 上取一点Q ,满足||||.||||AP AQ PB QB 求证：点Q 总在某定直线上，并求出该直线的方程.证明：如图10-40所示，设1122(,),(,),(,)A x y B x y Q x y ，由题意知||||||||PA PB AQ QB ，设A 在P ，Q 之间，(0)PA AQ ，又Q 在P ，B 之间，故PB BQ ,因为||||P B B Q ，所以1.由PAAQ得101011(,)(,)x x y y xx y y ，解得01011.1x x x y yy 同理，由PBBQ 得202022(,)(,)x x y y xx y y ，解得02021.1x x x y yy 因为点A 在椭圆上，所以220022()()111x x y yab，即22222()()(1)x x y y ab①同理，点B 在椭圆上，得22222()()(1)x x y y ab. ②由①－②得00222(2)2(2)4x x y y ab，即00221x x y y ab.所以点Q 在定直线00221x x y y ab上.类比椭圆，对于双曲线有点Q 在定直线00221x x y y ab上.再有P ，Q 的对等性知，当P 在椭圆内，仍有上述结论，双曲线亦同.已知抛物线22ypx (0)p，定点00(,)P x y 不在抛物线上，过点P 的动直线交抛物线于,A B 两点，在直线AB 上取点Q ,满足||||.||||AP AQ PB QB 求证：点Q 在某定直线上，并求其方程.证明：设1122(,),(,),(,)A x y B x y Q x y ，由题意知||||||||PA PB AQ QB ，设A 在P ，Q 之间，(0)PAAQ ，又Q 在P ，B 之间，故PB BQ ,因为||||PB BQ ，所以1，由PAAQ知101011(,)(,)x x y y xx y y ，解得01011,1x x x y y y 故点A 坐标为00(,)11x x y y.同理，由PB BQ 知202022(,)(,)x x y y x x y y ，解得02021.1x x x y yy 故点B 坐标为00(,)11x x y y .因为点A 在抛物线上，所以200()2()11y y x xp ，即2()2(1)()y y p x x ①同理2()2(1)()y y p x x . ②由①－②得002(2)4()y y p x x ，即00()y yp xx .所以点Q 在定直线00()y yp xx 上.注：三大圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中，当定点00(,)P x y 在曲线上时，相应的定图10-41OyxBA P(4,1)Q直线00221x x y y ab，00221x x y y ab，00()y y p x x 均为在定点00(,)P x y 处的切线.例10.51设椭圆2222:1(0)x y C a bab过点(2,1)M ,且左焦点为1(2,0)F .(1)求椭圆C 的方程；（2）当过点P (4,1)的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ,满足||||||||AP QB AQ PB .证明：点Q 总在某定直线上.分析用待定系数法求解椭圆的方程，巧妙地利用定比分点解答点Q 的轨迹问题.解析（1）由题意知2222222211ca b cab，解得224,2ab，所求椭圆方程为22142xy.（2）如图10-41所示，设1122(,),(,),(,)A x y B x y Q x y ，由题意知||||||||PA PB AQ QB ，不妨设A 在P ，Q 之间，(0)PA AQ ，又Q 在P，B 之间，故PB BQ ,因为||||PB BQ ，所以1，由PA AQ得1111(4,1)(,)x y xx y y ，解得11411.1x x yy 同理，由PBBQ 得2222(4,1)(,)x y x x y y ，解得22411.1x x yy 因为点A 在椭圆上，所以2241()()11142x y，即222(4)(1)(1)42x y ①同理，点B 在椭圆上，得222(4)(1)(1)42x y .②由①－②得8222442x y ，因为0所以12y x.所以点Q 在定直线220x y上.评注由模型的结论不难知动点(,)Q x y 总在定直线00221x x y y ab上，22004,2,4,1abx y ，得4142x y ，即220x y .题型153 定值问题思路提示求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出其值，再证明这个值与变量无关，这符合一般与特殊的思维辩证关系.简称为：特殊探路，一般论证.(2)直接推理，计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.模型：三大圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中，曲线上的一定点P 与曲线上的两动点A ，B 满足直线PA 与直线PB 的斜率互为相反数，则直线AB 的斜率为定值.例10.52 已知椭圆22:143xyC ，A 为椭圆C 上的点，其坐标为3(1,)2A ，,E F 为椭圆C上的两动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明：直线EF 的斜率为定值，并求出该定值.分析要求直线EF 的斜率，必须知道E ，F 的坐标.解析设直线AE 的方程为3(1)(0)2yk x k ，联立221433(1)2xyyk x ，消y 得22223(43)(128)4()1202kxkk x k ，则222234()1241232(43)43EA k kk x kx k ①又直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，故以上k 用k 代替22412343Fkkx k ②所以33[(1)][(1)]()222FEF E FE EFFEF EFEk x k x y y k x x kk x x x x x x ，把①，②两式代入上式，得12EFk ，为定值.图10-42xyOPBA评注本题中可以用换元法简化计算，可以设31,2x t ys ，得31,2x t y s，将,x y 代入椭圆方程中得2233(1)4()122t s ，且s kt （k 为直线AE 的斜率），联立直线方程与椭圆方程得2233(1)4()122sktt s，消s 得关于t 的一元二次方程：22(43)(126)0ktk t ，得122121264312643k t kk k s k，同理222221264312643k t kk k s k，由113(1,)2E t s ，223(1,)2F t s ，得222221212261212612143431261262424343EFk k k ks s kk k k k k t t k k k 为定值. 变式1 已知A ，B ，C 是长轴为4，焦点在x 轴上的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个端点，BC 过椭圆的中心O ,且0,||2||AC BCBC AC .(1)求椭圆的方程；（2）如果椭圆上的两点,P Q ,使得PCQ 的平分线垂直于OA ，问是否总存在实数，使得PQ AB ？说明理由.变式2如图10-42所示，过抛物线22(0)ypx p 上一定点00(,)P x y 0(0)y ，作两条直线分别交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y .(1)求该抛物线上纵坐标为2p 的点到焦点F 的距离；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求12y y y 的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.题型154 最值问题思路提示有两种求解方法：一是几何方法，所求最值量具有明显的几何意义时可利用几何性质结合图形直观求解；二是目标函数法，即选取适当的变量，建立目标函数，然后按照求函数的最值方法求解，同时要注意变量的范围.yx图10-43OF 1F 2AMd 2d 1FOy 2=4xx+2y-12=0yx图10-44P 例10.53 设椭圆2212516xy的左、右焦点分别为12,F F ，点M 是椭圆上任意一点，点A 的坐标为(2,1)，求1||||MF MA 的最大值和最小值.分析本题若设(,)M x y ，建立目标函数1||||(,)MA MF f x y ，则会作茧自缚.但是注意到1F 为椭圆左焦点，联想到椭圆定义及三角形中边的关系不等式时，问题就容易获解.解析如图10-43所示，12(3,0),(3,0)F F ，因为M 在椭圆上，所以有12||||210MF MF a ，令1||||Z MF MA ，得210||||Z MA MF .当2,,M A F 三点不共线时，有222||||||||AF MA MF AF ，当M 落在2F A 的延长线时，22||||||MA MF F A ，当M 落在2AF 的延长线时，22||||||MA MF F A .所以22max 210||10(23)(10)102Z F A ，min 210||102Z F A .评注这里利用椭圆定义、三角形两边之差小于或等于（注意等号成立的条件）第三边，使与曲线有关的最值转化为直线段间的最值.应明确这里不能用11||||||26FM AM F A ，求得1||||F M AM 的最小值26，原因是取不到等号，如果要取到等号，那么M 必须在线段1F A 上，但这是不可能的.变式1 如图10-44所示，已知点P 是抛物线24y x 上的点，设点P 到此抛物线的准线的距离为1d ，到直线:2120l xy 的距离为2d ，求12d d 的最小值.变式 2已知点P 为双曲线2214xy上的动点，3545(,),(5,0)55M F ,求||||||MP FP 的最大值及此时点P 的坐标.例10．54 已知椭圆2214yx，点M 为椭圆上的动点，若,C D 的坐标分别是(0,3),(0,3)，求||||MC MD 的最大值.MPDCBA Oxy图10-45分析求积的最大值，由“和为定值积有最大值”知，必须找出和为定值.解析由题设知,D C 是椭圆的上、下焦点，故由椭圆的定义知||||244MC MD .所以22||||4||||()()422MC MD MC MD .当且仅当||||MC MD 时取等号，即M 为左、右顶点时取等号.所以，当M 为左、右顶点时，||||MC MD 取得最大值 4.评注本题运用基本不等式求最值，但要注意使用基本不等式的条件：一正，二定，三相等，四同时，积为定值时，和最小2(,0)a b ab a b；和为定值时，积最大2()(,0)2a bab a b ，取等号的条件均为ab .变式1 已知椭圆2214yx在第一象限部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在P 点处的切线与,x y 轴的交点分别为,A B ,且向量OMOA OB ，求||OM 的最小值. 例10.55 如图10-45所示，已知抛物线2:E yx 与圆222:(4)(0)M x yr r相交于,,,A B C D 四点.(1)求r 的取值范围；（2）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线,AC BD 的交点P 的坐标. 解析（1）将2yx 代入222(4)x yr并化简得227160xx r①因为E 与M 有四个交点的充要条件是方程①有两个不等的正根12,x x ，由此得2212212(7)4(16)07016r x x x x r，解得215164r.又0r，所以r 的取值范围是15(,4)2.(2)不妨设E 与M 的四个交点坐标分别为1111(,),(,),A x x B x x 22(,),C x x 22(,)D x x ，则直线,AC BD 的方程分别为211121()x x yx xx x x ，211121()x x yx xx x x .解得点P 的坐标为12(,0)x x .21设12tx x ，由216tr 及（1）知72t .由于四边形ABCD 为等腰梯形，因而其面积12211(22)||2Sx x x x .即2212121212(2)[()4]Sx x x x x x x x .将127x x ，12x x t 代入上式，并令2()f t S ，得27()(72)(72)(0)2f t t t t.求导数得'()2(27)(67)f t t t，令'()0f t ，解得77,62tt（舍去）.显然当706t 时，'()0f t ；当7762t时，'()0f t .故当且仅当76t时，()f t 有最大值，即四边形ABCD 的面积最大.故所求的点P 的坐标为7(,0)6.另解，2231128()(72)(72)(72)(144)()223f t t t t t ，当且仅当72144t t 时，即76t 时取等号，所以点P 的坐标为7(,0)6.评注本题主要有两个考查点：一个是考查将曲线与曲线的交点问题转化为二次方程的根的问题，是较基本的问题；另一个是考查四边形ABCD 的面积最大值问题，是本题的核心点.要注意本题中表面上求点的坐标，实质上是求四边形ABCD 的面积最大值，而且在求目标函数最值的过程中，利用了导数判断单调性的方法，从而使本题的综合性大大提高.变式1 已知平面内一动点P 到点(1,0)F 的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.(1)求动点P 的轨迹C 的轨迹；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l ，设1l 与轨迹C 相交于点A,B ，2l 与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD EB 的最小值.最有效训练题47（限时45分钟）1.经过椭圆2212xy的一个焦点作倾斜角为45的直线l 交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA OB 等于（）A.3 B.13C.13或3 D.132.设12,F F 是双曲线221(0)4xyaa a的两个焦点，点P 在双曲线上，12120,||||2PF PF PF PF ,则a 的值为22图10-46yxOA 2A 1PA. 1B.52C.2D.53.过抛物线2(0)y ax a的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是,p q ，则11p q等于（）A. 2aB.12aC.4a D.4a4.已知椭圆22221(0)x y a bab的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BFx轴，直线AB 交y 轴于点P ，若2APPB ，则椭圆的离心率是（）Ａ．32Ｂ．22Ｃ．13Ｄ．12５.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为１，则椭圆长轴长的最小值为（）A. 1B.2 C.2 D.22６.如果AB 是椭圆22221(0)x y abab的任意一条与x 轴不垂直的弦，Ｏ为椭圆的中心，e 为椭圆的离心率，Ｍ为AB 的中点，则AB OM k k 的值为（）Ａ．1e Ｂ．1eＣ．21eＤ．21e７.已知椭圆的焦点是1(3,0)F 和2(3,0)F ，离心率为32e，Ｐ为椭圆上一点，1223PF PF ，则12PF F 面积为＿＿＿＿＿＿＿＿．８．如图10-46所示，Ｐ是双曲线2214xy右支（在第一象限内）上的任意一点，12,A A 分别是左、右顶点，O 是坐标原点，直线12,,PA PO PA 的斜率分别为123,,k k k ，则斜率之积123k k k 的取值范围是_______.9.已知椭圆的焦点为1(3,0)F ，2(3,0)F ，且与直线90xy 有公共点，则其中长轴最短的椭圆方程为____________.23ｌ图10-48y=－1Q PO BAxyl ODC BAP图10-47xy F 1F 210.已知两点A ，B 分别在直线y x 和yx 上运动，且45||5AB ，动点P 满足2OP OA OB (O 为坐标原点)，点P 的轨迹记为曲线C .(1)求曲线C 的方程；（2）过曲线C 上任意一点作它的切线l ，与椭圆2214xy交于M ，N 两点，求证：OM ON 为定值.11.如图10-47所示，已知椭圆22221(0)x y a b ab过点2(1,)2，离心率为22，左、右焦点分别为12,F F ，点P 为直线:2l xy上且不在x 轴上的任意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为,A B 和,C D ，O 为坐标原点.(1)求椭圆的标准方程；（2）设直线1PF ，2PF 的斜率分别为12,k k .①证明：12132k k ；②问直线l 上是否存在点P ，使得直线,,,OA OB OC OD 的斜率,,,OA OB OC OD k k k k 满足0OA OB OC ODk k k k ？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由.12.如图10-48所示，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线2:2(0)E xpy p 上.(1)求抛物线E 的方程；（2）设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线1y 相交于点Q .证明：以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点.。
