新北师大版八年级数学下册第一章证明

北师大版八年级数学（下）第一章三角形的证明第2课时等边三角形的性质例1：如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为（）A．25°B．60°C．85°D．95°解：∠ADB＝∠DBC+∠C＝35°+60°＝95°．故选：D．练习：等边三角形的两个内角平分线所成的锐角是（）A．30°B．50°C．60°D．90°解：如图：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BO、CO是两个内角的平分线，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，在△OBC中，∠DOC＝∠OBC+∠OCB＝30°+30°＝60°．故选：C．作业：1．如图，在等边三角形ABC中，D是AC边上的点，延长BC到点E，使CE＝CD，则∠E的度数为（）A．15°B．20°C．30°D．40°解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵CD＝CE，∴∠E＝∠CDE，∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E＝60°，∴∠E＝30°，故选：C．例2：如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝．解：∵AD是等边△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝＝75°，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．故答案为：15°．练习：如图，BD为等边△ABC的边AC上的中线，E为BC延长线上一点，且DB＝DE，若AB＝6cm，则CE＝cm．解：∵BD为等边△ABC的边AC上的中线，∴BD⊥AC，∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠E＝30°∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝60°∴∠CDE＝30°∴∠CDE＝∠E，即CE＝CD＝AC＝3cm．故填3．作业：2. 如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝度．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠A＝60°，∵CG＝CD，∴∠GDC＝30°，∵DF＝DE，∴∠E＝15°．故答案为：15．例3：三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝120°，则∠3的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．30°解：如图，∵∠3+∠6+60°＝180°，∠2+∠4+60°＝180°，∠1+∠5+60°＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝540°﹣180°，∴∠3＝180°﹣（∠1+∠2）＝60°，故选：B．练习：如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠BAD＝20°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．55°C．60°D．65°解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∵BC＝BD，∴AB＝BD，∠BAD＝∠ADB＝20°，∴∠ABD＝140°，∴∠CBD＝80°，又∵BC＝BD，∴∠BCD＝50°＝∠BDC，故选：A．作业：3. 如图，△ABC是等边三角形，BC⊥CD，且AC＝CD，则∠BAD的度数为（）A．50°B．45°C．40°D．35°解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∵BC⊥CD，∴∠BCD＝90°，∴∠ACD＝60°+90°＝150°，∵AC＝CD，∴∠DAC＝＝15°，∴∠BAD＝60°﹣15°＝45°．故选：B．例4：如图，在等边△ABC中，DA＝DC，DM⊥BC，垂足为M，E是BC延长线上的一点，CE＝CD．求证：MB＝ME．证明：连接BD．∵△ABC是等边三角形，且D是AC的中点，∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∠ACB＝60°，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E，∵∠ACB＝∠CDE+∠E，∴∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E＝30°，∴BD＝ED，△BDE为等腰三角形，又∵DM⊥BC，∴MB＝ME．练习：如图，△ABC是等边三角形，△ACE是等腰三角形，∠AEC＝120°，AE＝CE，F 为BC中点，连接AF．（1）直接写出∠BAE的度数为；（2）判断AF与CE的位置关系，并说明理由．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∵EA＝EC，∠AEC＝120°，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°．故答案为90°．（2）结论：AF∥EC．理由：∵AB＝AC，BF＝CF，∴AF⊥BC，∵∠ACB＝60°，∠ACE＝30°，∴∠BCE＝90°，∴EC⊥BC，∴AF∥EC．作业：4．已知，如图，等边△ABC中，点D为BC延长线上一点，点E为CA延长线上一点，且AE＝DC，求证：AD＝BE．证明：在等边△ABC中，AB＝CA，∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠EAB＝∠DCA＝120°．在△EAB和△DCA中，，∴△EAB≌△DCA（SAS），∴AD＝BE．例5：已知：如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE＝CD．（1）求证：AD＝BE；（2）求：∠BFD的度数．解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠C＝60°，AB＝CA，在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴AD＝BE（全等三角形对应边相等）；（2）解：∵△ABE≌△CAD（已证），∴∠ABE＝∠CAD（全等三角形对应角相等），又∵∠BFD＝∠BAD+∠ABE，∴∠BFD＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC，又∠BAC＝60°，∴∠BFD＝60°．练习：已知，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°．（1）如图1，若∠1＝50°，求∠2；（2）如图2，连接DF，若∠1＝∠3，求证：DF∥BC．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝∠C＝60°，∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠DEB+∠DEF+∠2＝180°，∵∠DEF＝60°，∴∠1+∠DEB＝∠2+∠DEB，∴∠2＝∠1＝50°；（2）∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠FDE+∠3+∠DEF＝180°，又∵∠B＝60°，∠DEF ＝60°，∠1＝∠3，∴∠FDE＝∠DEB，∴DF∥BC．作业：5．已知△ABC为等腰三角形，AC＝BC，△ACE为等边三角形．（1）如图①，若∠ABC＝70°，则∠CAB的大小＝（度），∠EAB的大小＝（度）；（2）如图②，△BDC为等边三角形，AE与BD相交于点F，求证：FA＝FB．解：（1）∵AC＝CB，∴∠ABC＝∠CAB＝70°，∵△ACE为等边三角形，∴∠CAE＝60°，∴∠EAB＝∠CAB﹣∠CAE＝70°﹣60°＝10°；故答案为：70，10．（2）证明：∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA，∵△ACE，△BDC都为等边三角形，∴∠CAE＝∠CBD＝60°，∴∠CAB﹣∠CAE＝∠CBA﹣∠CBD，即∠FAB＝∠FBA，∴FA＝FB．备用：在同一平面内，将两块正三角形的纸板的两个顶点重合在一起．（1）如图1重叠部分∠AOD＝30°，求∠COB的大小；（2）如图2重叠部分∠AOD＝15°，求∠COB的大小；（3）如图3，若两图形除O外没有重叠，∠AOD＝10°，求∠COB的大小；（4）求∠AOD和∠COB的数量关系．解：（1）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝30°，∴∠COB＝∠COD+∠AOB﹣∠AOD＝60°+60°﹣30°＝90°；（2）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝15°，∴∠COB＝∠COD+∠AOB﹣∠AOD ＝60°+60°﹣15°＝105°；（3）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝10°，∴∠COB＝∠COD+∠AOB+∠AOD＝60°+60°+10°＝130°；（4）当∠AOD是两个角的重叠的角，则∠COB＝120°﹣∠AOD；当∠AOD是两个角的相离时的角，且∠AOD≤60°，则∠COB＝120°+∠AOD；当∠AOD是两个角的相离时的角，且∠AOD＞60°，则∠COB＝360°﹣（120°+∠AOD）＝240°﹣∠AOD．。

北师大版初二数学下册重点知识梳理汇总，期末高分必备！GUIDE导读初二数学下册知识点（※表示重点部分）第一章 三角形的证明※知识点1 全等三角形的判定及性质判定定理简称判定定理的内容 性质 SSS 三角形分别相等的两个三角形全等全等三角形对应边相等、对应角相等 SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等※知识点2 等腰三角形的性质定理及推论内容 几何语言 条件与结论等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两底角相等。

简述为：等边对等角在△ABC 中，若AB=AC ，则∠B=∠C 条件：边相等，即AB=AC 结论：角相等，即∠B=∠C 推论 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相垂直，简述为：三线合一在△ABC ，AB=AC ，AD⊥BC，则AD 是BC 边上的中线，且AD 平分∠BAC 条件：等腰三角形中一直顶点的平分线，底边上的中线、底边上的高线之一 结论：该线也是其他两线 ※等腰三角形中的相等线段：1.等腰三角形两底角的平分线相等2.等腰三角形两腰上的高相等3.两腰上的中线相等4.底边的中点到两腰的距离相等※知识点3 等边三角形的性质定理内容性质定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60度解读【要点提示】1）等边三角形是特殊的等腰三角形。

它具有等腰三角形的一切性质2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一” 【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等边三角形※知识点4 等腰三角形的判定定理内容 几何语言 条件与结论等腰三角形的判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为：等校对等边 在△ABC 中，若∠B=∠C 则AC=BC 条件：角相等，即∠B=∠C 结论：边相等，即AB=AC解读 【注意】对“等角对等边”的理解仍然要注意，他的前提是“在同一个三角形中”拓展 判定一个三角形是等腰三角形有两种方法（1）利用等腰三角形；（2）利用等腰三角形的判定定理，即“等角对等边”※知识点5 反证法概念 证明的一般步骤反证法在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法（1）假设命题的结论不成立（2）从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果（3）由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定原命题正确解读【要点提示】（1）当一个命题涉及“一定”“至少”“至多”“无限”“唯一”等情况时，由于结论的反面简单明确，常常用反证法来证明 （2）“推理”必须顺着假设的思路进行，即把假设当作已知条件，“得出矛盾”是指推出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组一. 不等关系※1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式※2. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0二. 不等式的基本性质※1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用：(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变，即：如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，即：如果a>b,并且c>0,那么ac>bc，(3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，即：如果a>b,并且c<0,那么ac<bc,※2. 比较大小：(a、b分别表示两个实数或整式)一般地：如果a>b，那么a-b是正数；反过来，如果a-b是正数，那么a>b；如果a=b，那么a-b等于0；反过来，如果a-b等于0，那么a=b；如果a<b，那么a-b是负数；反过来，如果a-b是正数，那么a<b；即：a>b <===> a-b>0a=b <===> a-b=0a<b <===> a-b<0三. 不等式的解集：※1.能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解；一个不等式的所有解，组成这个不等式的解集；求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

北师大版八年级数学（下）第一章三角形的证明第5节直角三角形的性质与判定例1：在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝2∠C，则∠C的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．30°或60°解：∵在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝2∠C，∴2∠C+∠C＝90°，∴∠C＝30°，故选：A．练习：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝50°，则∠A的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵∠A﹣∠B＝50°，∴2∠A＝140°，∴∠A＝70°，故选：B．作业：1．直角三角形的一个锐角∠A是另一个锐角∠B的3倍，那么∠B的度数是（）A．22.5°B．45°C．67.5°D．135°解：设∠B＝x°，则∠A＝3x°，由直角三角形的性质可得∠A+∠B＝90°，∴x+3x＝90，解得x＝22.5，∴∠B＝22.5°，故选：A．例2：在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．2个B．3个C．4个D．5个解：①因为∠A+∠B＝∠C，则2∠C＝180°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；②因为∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A＝x，则x+2x+3x＝180，x＝30°，∠C＝30°×3＝90°，所以△ABC是直角三角形；③因为∠A＝90°﹣∠B，所以∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC 是直角三角形；④因为∠A＝∠B＝∠C，所以∠A+∠B+∠C＝∠C+∠C+∠C＝180°，则∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；⑤因为3∠C＝2∠B＝∠A，∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+∠A＝180°，∠A＝，所以△ABC为钝角三角形．所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③④共4个，故选：C．练习：在下列条件中：①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A﹣∠B＝90°，③∠A＝∠B＝2∠C，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B﹣∠C得到：2∠B＝180°，则∠B＝90°，则△ABC是直角三角形，故符合题意；②∠A﹣∠B＝90°得到：∠A＞90°，则△ABC不是直角三角形，故不符合题意；③由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B＝2∠C得到：5∠C＝180°，则∠C＝36°，则∠A ＝∠B＝72°＜90°，则△ABC不是直角三角形，故不符合题意；④由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B＝∠C得到：∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，故符合题意；综上所述，是直角三角形的是①④，共2个．故选：B．作业：2. 在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝2∠B＝3∠C；④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①∠A+∠B＝∠C，是直角三角形；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，是直角三角形；③∠A＝2∠B＝3∠C，则设∠A＝x，∠B＝，∠C＝，则x++＝180°，解得x＝，∴∠A＝，，，∴△ABC不是直角三角形；④∠A＝∠B＝∠C，不是直角三角形，是等边三角形，能确定△ABC是直角三角形的条件有2个，故选：B．例3：在Rt△ABC中，斜边AB＝3，则AB2+BC2+CA2＝．解：∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，∴AC2+BC2＝AB2，又AB＝3，∴AC2+BC2＝AB2＝9，则AB2+BC2+CA2＝AB2+（BC2+CA2）＝9+9＝18．故答案为：18练习：如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，面积分别为225、400、S，则S为（）A．175B．600C．25D．625解：由勾股定理得，AB2+BC2＝AC2，则S＝25+400＝625，故选：D．作业：3. 已知△ABC中∠C＝90°，c为斜边，a、b为直角边，若a+b＝17cm，c＝13cm，则△ABC的面积为（）A．15cm2B．30cm2C．45cm2D．60cm2解：∵a+b＝17，∴（a+b）2＝289，∴2ab＝289﹣（a2+b2）＝289﹣c2＝289﹣169＝120∴ab＝30，故选：B．例4：如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求阴影部分的面积．解：如图，连接AC．∵△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5．∵CD＝12，AD＝13，AC＝5，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S阴影＝S△ACD﹣S△ABC＝×5×12﹣×3×4＝30﹣6＝24．练习：如图，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8．在其右侧的同一个平面内作△BCD，使BC＝8，CD＝2．求证：AB∥DC．证明：∵在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8，∴BD＝＝＝6，∵BC＝8，CD＝2，∴62+（2）2＝82，∴△BDC是直角三角形，∴∠BDC＝90°，∴∠ABD＝∠BDC，∴AB∥DC．作业：4. 如图所示，在四边形ABDC中，∠A＝90°，AB＝9，AC＝12，BD＝8，CD＝17．（1）连接BC，求BC的长；（2）判断△BCD的形状，并说明理由．解：（1）∵∠A＝90°，∴BC＝＝＝15；（2）△BCD是直角三角形，理由：∵BC2＝152＝225，BD2＝82＝64，CD2＝172＝289，∴BC2+BD2＝CD2＝289，∴△BCD是直角三角形．例5：如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C为网格的交点．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求AB边上的高．解：（1）△ABC为直角三角形，理由：由图可知，，BC＝，AB＝＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形；（2）设AB边上的高为h，由（1）知，，BC＝，AB＝5，△ABC是直角三角形，∴＝，即＝h，解得，h＝2，即AB边上的高为2．练习：如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．（1）连接AC，求证：△ACD是直角三角形；（2）求△ACD中AD边上的高．解：（1）证明：连接AC，在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝32+42＝25，∴AC＝5，∵CD＝12，AD＝13，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴△ACD是直角三角形；（2）解：过点C作CH⊥AD于点H，则S△ACD＝AD×CH＝AC×CD，∴×13×CH＝×5×12，∴CH＝．作业：5.如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，A，B，C为格点（1）判断△ABC的形状，并说明理由．（2）求BC边上的高．解：（1）结论：△ABC是直角三角形．理由：∵BC2＝12+82＝65，AC2＝22+32＝13，AB2＝62+42＝52，∴AC2+AB2＝BC2，∴△ABC是直角三角形．（2）设BC边上的高为h．则有•AC•AB＝•BC•h，∵AC＝，AB＝2，BC＝，∴h＝．例6：写出命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的周长相等”的逆命题．该逆命题是命题（填“真”或“假”）．解：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的周长相等．”写成它的逆命题：如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题，故答案为：如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等；假练习：“两直线平行内错角相等”的逆命题是命题．（填“真”或“假”）解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：内错角相等，∴其逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，是真命题；故答案为：真．作业：6．已知命题“等腰三角形两腰上的高线相等”，它的逆命题是，该逆命题是命题．（“真”、“假”）．解：命题“等腰三角形两腰上的高线相等”的逆命题是“如果一个三角形两条边上的高线相等，那么这个三角形是等腰三角形”，是真命题，故答案为：如果一个三角形两条边上的高线相等，那么这个三角形是等腰三角形；真．。

新北师大版八年级数学下册知识点总结XXX版八年级数学下册各章知识要点总结第一章三角形的证明一、全等三角形的判定和性质：判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）对应边相等，对应角相等二、等腰三角形的性质和判定：有两边相等，底角相等等腰三角形的顶角平分线、底边中线和高线互相重合等边三角形的各角相等，每个角都等于60°判定方法：等角对等边三、直角三角形的性质和判定：两锐角互余直角边平方和等于斜边平方锐角等于30°的直角三角形，直角边等于斜边的一半斜边上的中线等于斜边的一半判定方法：三边平方和相等四、线段的垂直平分线和角平分线：垂直平分线上的点到两个端点的距离相等三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三个顶点的距离相等（外心）角平分线上的点到两边距离相等三角形三条角平分线相交于一点，这个点到三条边的距离相等（内心）第二章一元一次不等式和一元一次不等式组本章主要介绍一元一次不等式和一元一次不等式组的概念、性质和解法。

一、一元一次不等式的概念和性质：形如ax+b0）的不等式称为一元一次不等式解不等式的基本方法是移项、化简、分段讨论不等式的解集可以用区间表示二、一元一次不等式的解法：通过移项将不等式化为ax）b的形式根据a的正负性和不等式符号确定解集的范围判断解集的开闭性和无解情况三、一元一次不等式组的概念和性质：形如ax+by）和dx+ey>f（或<）的不等式组称为一元一次不等式组解不等式组的基本方法是联立、消元、分段讨论不等式组的解集可以用平面区域表示四、一元一次不等式组的解法：通过联立将不等式组化为标准形式根据系数的正负性和不等式符号确定解集的范围判断解集的开闭性和无解情况总之，本章内容涵盖了三角形的证明和一元一次不等式及其组的解法，是初中数学中重要的基础知识。

定义：不等式是用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子。

基本性质：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

第一章三角形的证明一、全等三角形判定定理：1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）二、等腰三角形的性质定理：等腰三角形有两边相等；(定义)定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（三线合一）推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；三、等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。

）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。

这种证明方法称为反证法四、直角三角形1、直角三角形的性质直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

2、直角三角形判定如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；3、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.五、线段的垂直平分线角平分线1、线段的垂直平分线。

第一章三角形的证明等边三角形的判定1．知识目标理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30º角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。

2．能力目标①经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．②经历实际操作，探索含有30º角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；③在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力。

3．情感与价值观要求①积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.教学重点①等边三角形判定定理的发现与证明.②含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.4．教学难点①含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.②引导学生全面、周到地思考问题.二、教学过程学具准备：两个带30度角的三角板。

本节课设计了六个教学环节：第一环节：提问问题，引入新课；第二环节：自主探索；第三环节：实际操作提出问题；第四环节：变式训练巩固新知；第五环节：畅谈收获课时小结；第六环节：布置作业。

第一环节：提问问题，引入新课活动内容：教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等边三角形呢？从而引入新课。

一个三角形满足什么条件时便成为等边三角形?你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗?把你的证明思路与同伴交流．(教师应给学生自主探索、思考的时间，然后让其展示)第二环节：自主探索活动内容：学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件。

对于等腰三角形中有一个角为60度的两种情况，教师可以进一步提出要求：能否用更简捷的语言描述这个结论吗?从而引导学生得出：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。