2021届高考数学一轮知能训练：第二章第14讲 函数模型及其应用

第九节ꢀ函数模型及其应用内容索引【教材·知识梳理】1.几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)反比例函数模型f(x)=+b(k,b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)指数函数模型f(x)=ba x+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)对数函数模型f(x)=blogx+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)a幂函数模型f(x)=ax n+b (a,b为常数,a≠0)2.三种函数模型的性质ꢀꢀ函数性质ꢀꢀy=a x (a>1)y=log a x(a>1)y=x n (n>0)在(0,+∞)上的增减性递增递增单调_____单调_____单调递增相对平稳增长速度越来越快越来越慢随x 的增大,逐渐表随x 的增大,逐渐表y 轴x 轴现为与____平行现为与____平行图象的变化随n 值变化而各有不同值的比较存在一个x ,当x>x 时,有log x<x n <a x 00a【常用结论】“对勾”函数：形如f(x)=x+(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(-∞，-]和[，+∞)上单调递增，在[-，0)和(0，]上单调递减.(2)当x>0时，x=时取最小值2，当x<0时，x=-时取最大值-2.【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.(ꢀꢀ)(2)“指数爆炸”是指数型函数y=a·b x+c(a≠0,b>0,b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.(ꢀꢀ)(3)幂函数增长比直线增长更快.(ꢀꢀ),使(ꢀꢀ)(4)不存在x提示:(1)×.当x=-1时,2-1<(-1)2.(2)×.“指数爆炸”是针对b>1,a>0的指数型函数y=a·b x+c.(3)×.幂函数增长速度是逐渐加快的,当变量较小时,其增长很缓慢,题目说的太绝对,也没有任何条件限制.(4)×.当a∈(0,1)时存在x,使【易错点索引】序号易错警示典题索引1 2 3 4 5忽略图象的横纵坐标的意义忽略图象的变化趋势考点一、T1考点一、T2、4考点二、T3忽略函数的表示方法(列表)忽略自变量的取值考点三、角度1考点三、角度2忽略基本不等式成立的条件【教材·基础自测】1.(必修1P67例4改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示,则下列说法中错误的是(ꢀꢀ)A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D.前6个月的平均收入为40万元【解析】选D.由题图可知,收入最高值为90万元,收入最低值为30万元,其比是3∶1,故A正确;由题图可知,7月份的结余最高,为80-20=60(万元),故B正确;由题图可知,1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同,故C正确;由题图可知,前6个月的平均收入为×(40+60+30+30+50+60)=45(万元),故D错误.2.(必修1P69习题2-3AT7改编)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=x2+2x+20(万元).一万件售价为20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为______万件.ꢀ【解析】利润L(x)=20x-C(x)=-(x-18)2+142,当x=18时,L(x)有最大值.答案:183.(必修1P120巩固与提高T9改编)某动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为(x+1),设这种动物第2年有100只,则到第8年繁殖到________只.ꢀy=alog3【解析】依题设知alog3=100,a=100.当x=8时,y=100log9=200.33答案:200考点一ꢀ利用图象刻画实际问题ꢀ【题组练透】1.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图根据该折线图,下列结论错误的是(ꢀꢀ)A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳【解析】选A.由题图可知,2014年8月到9月的月接待游客量在减少,则A选项错误,故选A.2.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图【解析】选C.设BC=x m,则DC=(16-x)m,由得a≤x≤12.矩形面积S=x(16-x)≤=64.当x=8时取等号.当0<a≤8时,u=f(a)=64;当a>8时,由于函数在[a,12]上为减函数,=f(a)=a(16-a).所以当x=a时,矩形面积取最大值Smax3.某地一年的气温Q(t)(单位:℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示,已知该年的平均气温为10℃,令C(t)表示时间段[0,t]的平均气温,下列四个函数图象中,最能表示C(t)与t之间的函数关系的是(ꢀꢀ)【解析】选A.若增加的数大于当前的平均数,则平均数增大;若增加的数小于当前的平均数,则平均数减小.因为12个月的平均气温为10℃,所以当t=12时,平均气温应该为10℃,故排除B;因为在靠近12月份时其温度小于10℃,因此12月份前的一小段时间内的平均气温应该大于10℃,排除C;6月份以后增加的温度先大于平均值后小于平均值,故平均气温不可能出现先减小后增加的情况,故排除D.4.(2020·广州模拟)某罐头加工厂库存芒果m(kg),今年又购进n(kg)新芒果后,欲将芒果总量的三分之一用于加工芒果罐头.被加工为罐头的新芒果最多为f(kg),最少为f(kg),则下列选项中最能准确描述f,f分别与n的关系的是1212世纪金榜导学号(ꢀꢀ)【解析】选A.要使得被加工为罐头的新芒果最少,尽量使用库存芒果,即当≤m,n≤2m时,f=0,当n>2m时,f=-m=>0,对照图象舍去C,D;要使得被加工为罐头的新芒果最多,则尽量使用新芒果,即当≤n,n≥时f 1=>n,n<时f1=n,因为<2m,所以A符合题意.,当22【规律方法】ꢀ判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象.(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.考点二ꢀ已知函数模型求解实际问题ꢀ【典例】1.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+ 20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(ꢀꢀ)ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀA.100台C.150台B.120台D.180台2.某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)=已知某家庭2016年前三个月的煤气费如表:月份用气量4 m3煤气费4元一月份二月份三月份25 m335 m314元19元若四月份该家庭使用了20 m3的煤气,则其煤气费为A.11.5元B.11元C.10.5元D.10元(ꢀꢀ)3.某农场种植一种农作物,为了解该农作物的产量情况,现将近四年的年产量f(x)(单位:万斤)与年份x(记2015年为第1年)之间的关系统计如下:x1234f(x) 4.00 5.627.008.86则f(x)近似符合以下三种函数模型之一:①f(x)=ax+b;②f(x)=2x+a;③f(x)=x2+b.则你认为最适合的函数模型的序号是________.ꢀ【解题导思】序号联想解题1 2 3由销售收入不小于总成本,想到销售收入≥总成本由f(x)的解析式考虑用待定系数法求A,B,C的值由三个模拟函数选择,想到逐个验证求解【解析】1.选C.设利润为f(x)万元,则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+ 5x-3 000(0<x<240,x∈N*).令f(x)≥0,得x≥150,所以生产者不亏本时的最低产量是150台.2.选A. 根据题意可知f(4)=C=4,f(25)=C+B(25-A)=14,f(35)=C+B(35-A)=19,解得A=5,B=,C=4,所以f(x)=所以f(20)=4+(20-5)=11.5.3.若模型为②,则f(1)=2+a=4,解得a=2,于是f(x)=2x+2,此时f(2)=6,f(3)=10, f(4)=18,与表格中的数据相差太大,不符合;若模型为③,则f(1)=1+b=4,解得b =3,于是f(x)=x2+3,f(2)=7,f(3)=12,f(4)=19,此时,与表格中的数据相差太大,不符合;若模型为①,则根据表中数据得解得a=,经检验是最适合的函数模型.答案:①【规律方法】ꢀ求解已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.【变式训练】1.(2020·中山模拟)据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:min)为f(x)=(A,c为常数).已知某工人组装第4件产品用时30 min,组装第A件产品用时15 min,那么c和A的值分别是(ꢀꢀ)A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16【解析】选D.由题意可知4<A,则2.已知一容器中有A,B两种菌,且在任何时刻A,B两种菌的个数乘积均为定值1010,为了简单起见,科学家用P=lg n来记录A菌个数的资料,其中n为A菌的个数,现A A A有以下几种说法:≥1;①PA②若今天的P值比昨天的P值增加1,则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10;A A③假设科学家将B菌的个数控制为5万,则此时5<P<5.5(注:lg 2≈0.3).A则正确的说法为________.(写出所有正确说法的序号)【解析】当n=1时,P=0,故①错误;若P=1,则n=10,若P=2,则n=100,故②错误;A A A A A AB菌的个数为n=5×104,所以n==2×105,所以P=lg n=lg 2+5.又因为B A A Alg 2≈0.3,所以5<P<5.5,故③正确.A答案:③考点三建立数学模型解决实际问题考什么:(1)阅读语言文字的能力,实际问题与数学问题之间的转化能力,命常见的初等函数,对勾函数,分段函数的性质等问题.题(2)考查数学运算、数学抽象、数学建模等核心素养.精怎么考:三种题型都有可能考查,考查学生的数学素养、数学建模思想、解转化与化归思想等.读新趋势:以现实问题为载体,函数与实际问题、数与形、函数性质与最值交汇考查.形如f(x)=x+(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型,“对勾”函学数模型的单调区间及最值如下霸(1)该函数在(-∞,-]和[,+∞)上单调递增,在[-,0)和(0,]好上单调递减.(2)当x>0时,x=当x<0时,x=-方法时取最小值2,时取最大值-2.命题角度1初等函数模型及其应用【典例】(2019·马鞍山模拟)某高校为提升科研能力,计划逐年加大科研经费投入.若该高校2018年全年投入科研经费1 300万元,在此基础上,每年投入的科研经费比上一年增长12%,则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)()A.2020年C.2022年B.2021年D.2023年【解析】选C.若2019年是第1年,则第n年全年投入的科研经费为1 300×1.12n万元,由1 300×1.12n>2 000,可得lg 1.3+nlg 1.12>lg 2,所以n×0.05>0.19,得n>3.8,即n≥4,所以第4年,即2022年全年投入的科研经费开始超过2 000万元,故选C.【解后反思】每年投入的科研经费比上一年增长12%,说明每年经费是上一年的多少倍?提示:说明每年经费是上一年的1.12倍.命题角度2 对勾函数模型及其应用【典例】为了降低能源损耗,某体育馆的外墙需要建造隔热层,体育馆要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=(0≤x≤10,k为常数),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式.(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求最小值.【解析】(1)当x=0时,C=8,所以k=40,所以C(x)=(0≤x≤10),所以f(x)=6x+(0≤x≤10).(2)由(1)得f(x)=2(3x+5)+-10.令3x+5=t,t∈[5,35],则y=2t+-10≥2-10=70(当且仅当2t=,即t=20时等号成立),此时x=5,因此f(x)的最小值为70.所以隔热层修建5 cm厚时,总费用f(x)达到最小,最小值为70万元.【解后反思】对勾函数求最值应注意什么?提示:对勾函数求最值一定要注意该函数的单调性,然后再求最值.命题角度3分段函数模型及其应用【典例】(2020·潍坊模拟)大气温度y(℃)随着距离地面的高度x(km)的增加而降低,当在高度不低于11 km的高空时气温几乎不变.设地面气温为22℃,大约每上升1 km大气温度降低6℃,则y关于x的函数关系式为________.世纪金榜导学号【解析】由题意知,y是关于x的分段函数,x=11为分界点,易得其解析式为y=答案:y=【解后反思】实际问题中分段函数的适用条件是什么?提示:实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,如出租车计价与路程之间的关系,应构建分段函数模型求解.【题组通关】【变式巩固·练】1.要制作一个容积为16 m3,高为1 m的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是________元.【解析】设长方体容器底面矩形的长、宽分别为x m,y m,则y=,所以容器的总造价为z=2(x+y)×1×10+20xy=20+20×16,由基本不等式得, z=20+20×16≥40+320=480,当且仅当x=y=4,即底面是边长为4 m的正方形时,总造价最低.答案:4802.(2019·北京高考)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付________元;②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为________.【解析】①价格为60+80=140元,达到120元,少付10元,所以需支付130元.②设促销前总价为a元,a≥120,李明得到金额l(x)=(a-x)×80%≥0.7a,0≤x≤120,即x≤恒成立,又最小值为=15,所以x最大值为15.答案:①130②15【综合创新·练】1.(2019·深圳模拟)某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知本年9月份两食堂的营业额又相等,则本年5月份()A.甲食堂的营业额较高B.乙食堂的营业额较高C.甲、乙两食堂的营业额相同D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高【解析】选A.设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m,甲食堂的营业额每月增加a(a>0),乙食堂的营业额每月增加的百分率为x,由题意可得,m+8a=m×(1+x)8,则5月份甲食堂的营业额y=m+4a,乙食堂的营业额y=m×(1+x)4=,12因为=(m+4a)2-m(m+8a)=16a2>0,所以y1>y2,故本年5月份甲食堂的营业额较高.2.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x(x∈N*)件.当x≤20时,年销售总收入为(33x-x2)万元;当x>20时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元,则y与x的函数关系式为________,该工厂的年产量为________件时,所得年利润最大(年利润=年销售总收入-年总投资).。

n
3
1 10 2
≥
1 2
2
,
即1n0≤32，解得
n≤15.
故今后最多还能砍伐15年.
命题点3 构造“对勾函数”模型 例3 (1)(2019·福州月考)某汽车运输公司购买了一批豪华 大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润 y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则 为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为__5___.
D.y＝ax2＋bx＋c
解析 根据散点图可知，选择y＝a＋b x 最适合.
思维升华
SI WEI SHENG HUA
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结 合模型选图象. (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势， 验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.
江苏2021新高考数学一轮复习第二章函数2.10函数模型及其应用课件0
2021/4/17
江苏2021新高考数学一轮复习第二章函数210函数模型及其 应用课件0
1
§2.10 函数模型及其应用
INDEX
基础落实 回扣基础知识 训练基础题目
知识梳理
1.几类函数模型 函数模型
一次函数模型 反比例函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型
题组二 教材改编 2.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大， 则隔墙的长度为____3____.
解析 设隔墙的长度为x(0<x<6)，矩形面积为y， 则 y＝x×24－2 4x＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18， ∴当x＝3时，y最大.

与指数函数相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与对数函数相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与幂函数相关的模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
索引
常用结论
1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其 增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增 长量越来越小.
索引
(2)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元 /100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t 60 100 180 种植成本Q 116 84 116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时 间t的变化关系： Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt. 利用你选取的函数，求：
索引
5.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，
则隔墙的长度为____3____.
解析 设隔墙的长度为x(0<x<6)，矩形面积为y， 则 y＝x×24－2 4x＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18， ∴当x＝3时，y最大.
索引
6.(2020·北京卷)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污 水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量 W 与时间 t 的关 系为 W＝f(t)，用－f（b）b－ －af（a）的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治 理能力的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图 所示.
考点突破 题型剖析
分层训练 巩固提升

用 y1，y2 分别是 2 万元和 8 万元，那么要使这两项费用之和最 小，仓库应建在离车站( )
A.5 千米处
B.4 千米处
C.设仓库应建在离车站 x 千米处. 由仓库每月占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比， 令反比例系数为 m(m＞0)，则 y1＝mx . 当 x＝10 时，y1＝1m0＝2，∴m＝20. 由每月车载货物的运费 y2 与仓库到车站的距离成正比， 令正比例系数为 n(n＞0)，则 y2＝nx. 当 x＝10 时，y2＝10n＝8，∴n＝45.
入，可得42k02k＋2＋b＝b＝3200，， 解得kb2＝＝4－002.0， ∴y＝400－20x.∴y
＝
f(x)
＝
80x，0≤x≤4， 400－20x，4<x≤20.
由
y≥240
，
得
0≤x≤4， 80x≥240
或
4<x≤20， 400－20x≥240.
解得 3≤x≤4 或 4<x≤8.∴3≤x≤8.故第二次
3.00
3.94
5.10
6.12
y
0.97
1.59
1.98
2.35
2.61
A.y＝2x C.y＝12(x2－1)
B.y＝log2x D.y＝2.61cos x
解析：方法一，由表格知当 x＝3 时，y＝1.59，而 A 中 y ＝23＝8，不合要求；C 中，当 x＝3 时，y＝12(32－1)＝4，不合
48
35 600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.
在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为( B )
A.6 升 C.10 升
B.8 升 D.12 升
3.(2018 年黑龙江哈师大附中模拟)某城市出租车起步价为 10 元，最远可租乘 3 km(含 3 km)，以后每 1 km 增加 1.6 元(不 足1 km按1 km计费)，则出租车的费用y(元)与行驶的路程 x(km) 之间的函数图象大致为( C )