2025届广东省高三毕业班调研考试（一）数学试卷及答案一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合2{|8150},{|5}A x x x B x x =∈-+≤=<Z ，则A B ⋂=（）A．{}3B．{}3,4C．{}4,5D．{}3,4,52．已知1z ，2z 是两个虚数，则“1z ，2z 均为纯虚数”是“12z z 为实数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知a和b 的夹角为150︒，且2,a b == ()2a b b +⋅= （）A．9-B．3-C．3D．94．已知π2sin sin 33αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A．59-B．19-C．19D．595．已知等比数列{}n a 为递增数列，n nnb a=.记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和，若2133312a a a S T =+=，，则n S =（）A．141n --B．()11414n --C．()14112n-D．24n -6．已知体积为的球O 与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为则该正四棱锥体积值是（）A．B．C．D．7．斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设{}n a 为斐波那契数列，()*12121,1,3,N n n n a a a a a n n --===+≥∈，其通项公式为n n n a ⎡⎤⎛=-⎥ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦，设n是2log 1(14(x x x ⎡⎤⎣⎦+-<+的正整数解，则n 的最大值为（）A．5B．6C．7D．88．函数()ln f x x =与函数()212g x mx =+有两个不同的交点，则m 的取值范围是（）A．21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B．21,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C．210,e ⎛⎫⎪⎝⎭D．210,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题（本大题共3小题）9．现有十个点的坐标为()()()121000,x x x ,,,,,，它们分别与()()()1210101010y y y ,,,,,,关于点(3,5)对称已知1210,,,x x x 的平均数为a ，中位数为b ，方差为c ，极差为d ，则1210,,,y y y 这组数满足（）A．平均数为6a -B．中位数为6b -C．方差为cD．极差为d10．设123,,z z z 是非零复数，则下列选项正确的是（）A． 2211z z =B．1212z z z z +=+C．若122i 2z --=，则116i z +-的最小值为3D．若22i i 4z z ++-=，则2z的最小值为11．已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不间断，当()()0e e e 0x f x f x ≥+--=，，且当>0时，()()e e 0f x f x ''++->，则下列说法正确的是（）A．()e 0f =B．()f x 在(),e -∞上单调递增，在()e,+∞上单调递减C．若()()1212,x x f x f x <>，则212ex x +<D．若12,x x 是()()()2e 2g xf x x =+--在()0,2e 内的两个零点，且12x x <，则()()211ef x f x <<三、填空题（本大题共3小题）12．已知等差数列{}n a 的首项12a =，公差3d =，求第10项10a 的值为.13．若()554325432102x a x a x a x a x a x a +=+++++，则531420a a a a a a ++=++.14．如图，在矩形ABCD 中，8,6,,,,,AB BC E F G H ==分别是矩形四条边的中点，点Q 在直线HF 上，点N 在直线BC 上，,,OQ kOH CN kCF k ==∈R，直线EQ 与直线GN 相交于点R ，则点R 的轨迹方程为.四、解答题（本大题共5小题）15．在ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知2cos2cos22sin 2sin sin B A C B C-=-(1)求A ；(2)若23b c P Q ==，，，分别为边a b ，上的中点，G 为ABC 的重心，求PGQ ∠的余弦值.16．设A B ，两点的坐标分别为())3,0,3,0.直线AH BH ，相交于点H ，且它们的斜率之积是13-.设点H 的轨迹方程为C .(1)求C ;(2)不经过点A 的直线l 与曲线C 相交于E 、F 两点，且直线AE 与直线AF 的斜率之积是13-，求证：直线l 恒过定点.17．如图所示，四边形ABCD 是圆柱底面的内接四边形，AC 是圆柱的底面直径，PC 是圆柱的母线，E 是AC 与B 的交点，608AB AD BAD AC ∠=== ，，.(1)记圆柱的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V ，求12V V ；(2)设点F 在线段AP 上，且存在一个正整数k ，使得PA kPF PC kCE ==，，若已知平面FCD 与平面PCD 的夹角的正弦值为1313，求k 的值.18．已知函数()()1ln f x x x =-，(1)已知函数()()1ln f x x x =-的图象与函数()g x 的图象关于直线=−1对称，试求()g x ；(2)证明()0f x ≥；(3)设0x 是()1f x x =+的根，则证明：曲线ln y x =在点()00,ln A x x 处的切线也是曲线e x y =的切线.19．如果函数()F x 的导数为()()F x f x '=，可记为()()d f x x F x =⎰，若()0f x ≥，则()()()baf x dx F b F a =-⎰表示曲线()y f x =，直线x a x b ==，()a b ＜以及x 轴围成的“曲边梯形”的面积.如：22d x x x C =+⎰，其中C 为常数；()()222204xdx C C =+-+=⎰，则表0,1,2x x y x C ===+及x 轴围成图形面积为4.(1)若()()()e1d 02xf x x f =+=⎰，，求()f x 的表达式；(2)求曲线2y x =与直线6y x =-+所围成图形的面积；(3)若()[)e 120,x f x mx x =--∈+∞，，其中m ∈R ，对[)0,a b ∀∈+∞，，若a b >，都满足()()0d d a b f x x f x x >⎰⎰，求m 的取值范围.参考答案1．【答案】B【分析】先解不等式求得集合A ，进而求得A B ⋂.【详解】集合()(){}2{|8150}{|350}3,4,5A x x x x x x =∈-+≤=∈--≤=Z Z .而{|5}B x x =<，故{}3,4A B ⋂=.故选B.2．【答案】A【分析】设12i,i(,R z b z c b c ==∈且,0)b c ≠,可得12z z ∈R ，如121i 12+2i 2z z +==，可得结论.【详解】若12,z z 均为纯虚数，设12i,i(,z b z c b c ==∈R 且,0)b c ≠,则12i i z b b z c c ==∈R ，所以“12,z z 均为纯虚数”是12zz 是实数的充分条件，当121i,22i z z =+=+，121i 12+2i 2z z +==，所以“12,z z 均为纯虚数”是12z z 是实数的不必要条件，综上所述：“12,z z 均为纯虚数”是12z z 是实数的充分不必要条件.故选A.3．【答案】C【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.【详解】()222a b b a b b+⋅=⋅+ 2cos1502a b b=⋅⋅︒+2223⎛=+⋅= ⎝⎭.故选C.4．【答案】B【分析】利用两角和差公式以及倍角公式化简求值可得答案.【详解】由题干得2π1sin sin sin cos sin 332ααααα⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭1πsin cos 26ααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭所以22ππ21cos 22cos 1213639αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选B.5．【答案】C【分析】利用等比数列的通项公式及前n 项和公式求解q 的值，再由数列的单调性进一步判断即可.【详解】2131133141122312a a a a q a S T q q q=⇒=⇒=+=⇒++=，则()()2121294214042q q q q q q -+=--=⇒==，.由于{}n a 为递增数列，则1144q a ==，，所以{}n a 的通项公式为24n n a -=所以()()11414411412nn n S -==--.故选C.6．【答案】A【分析】设正四棱锥P ABCD -的内切球的半径为R ，H 为底面中心，取CD 的中点F ，设O 点在侧面PCD 上的投影为Q 点，则Q 点在PF 上，利用∽ POQ PFH 求出球心到四棱锥顶点的距离h ，再由棱锥的体积公式计算可得答案.【详解】设正四棱锥P ABCD -的内切球的半径为R ，H 为底面中心，由体积为34π3R得R =，连接PH ，PH ⊥平面ABCD ，球心O 在PH 上，OH R =，取CD 的中点F ，连接,HF PF ，设O 点在侧面PCD 上的投影为Q 点，则Q 点在PF 上，且OQ PF ⊥，∽ POQ PFH ，球心到四棱锥顶点的距离为h ，所以=PQ PH OQ FH，h ，所以1181283333==ABCD V S PH .故选A.7．【答案】A【分析】利用给定条件结合对数的性质构造42n a <，两侧同时平方求最值即可.【详解】由题知n是2log 1(14(xx x ⎡⎤⎣⎦-<+的正整数解，故2log (1(14n nn ⎡⎤⎣⎦-<+，取指数得((4112n n n +--<，同除2n得，42n n -<⎝⎭⎝⎭，故42n n ⎡⎤⎫-⨯⎥⎪⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦，即42n a <，根据{}n a 是递增数列可以得到{}2n a 也是递增数列，于是原不等式转化为2812525n a <⨯<.而565,8a a ==可以得到满足要求的n 的最大值为5，故A 正确.故选A.8．【答案】D【分析】利用参变分离将函数图象有两个交点问题转化为y m =和()21ln 2x h x x -=的图象有两个交点，由导数求得ℎ的单调性并求得最大值即可得出结论.【详解】由()21ln 02mx x x +=>得22ln 1m x x -=，则问题转化为y m =和()21ln 2x h x x-=的图象有两个交点，而()()()2232112ln 21ln 2x x x x x h x x x ⎛⎫⋅-- ⎪-'⎝⎭==，令ℎ'>0，解得0e x <<，令ℎ'<0，解得e x >，故ℎ在()0,e 上单调递增，在()e,+∞单调递减，则()()2max 1e 2e h x h ==，ℎ大致图象如下所示：结合图象可知，m 的取值范围是210,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭故选D.9．【答案】ABCD【分析】根据对称知识可得()6110i i y x i i =-∈≤≤Z ，，结合平均数、中位数、方差、极差的性质，即可判断出答案.【详解】由于()()()121,0,,0,,,0x x x ，它们分别与()()()1210,10,,10,,,10y y y 关于点(3,5)对称，则有()6110i i x y i i +=∈≤≤Z ，，即有()6110i i y x i i =-∈≤≤Z ，.则由平均数的性质可得1210,,,y y y 这组数的平均数为6a -，结合中位数性质可知中位数为6b -，结合方差性质可得方差为c ，极差非负，所以极差为d .故选ABCD.10．【答案】CD【分析】利用共轭复数的概念和加减运算性质判断A，举反例判断B，利用复数模的性质得到轨迹方程，结合圆的性质判断C，利用复数模的性质得到轨迹方程，结合椭圆的性质判断D 即可.【详解】对于A.，设1i z a b =+，则1i z a b =-，所以22221(i)2i z a b a b ab =+=-+，2221(i)2i z a b a b ab =-=--，当,a b 有1个为0或全为0时， 2211z z =，当,a b 均不为0时，2211,z z 无法比较大小，故A 错误，对于B，当1i z =，2i z =-时，120z z +=，此时120z z +=，122z z +=，故1212z z z z +=+不成立，故B 错误，对于C，设1i z a b =+，因为122i 2z --=，所以i 22i 2a b +--=，故有2(2)i 2a b -+-=，可得22(2)(2)4a b -+-=,所以1z 的轨迹是以()2,2为圆心，2为半径的圆，而116i i 16i 1(6)i z a b a b +-=++-=++-=，故116i z +-表示点(),a b 到定点()1,6-的距离，由圆的性质可知，1min 16i 23z +-==，故C 正确，对于D，设2z a bi =+，所以2i i i (1)i z a b a b +=++=++=，2i i i (1)i z a b a b -=+-=+-=，而22i i 4z z ++-=，故4，所以得到点(),a b 到两定点()0,1-，()0,1的距离之和为4，故2z 的轨迹是以()0,1-，()0,1为焦点的椭圆，故轨迹方程为22143y x +=，而2z 表示(),a b 到原点的距离，由椭圆的几何性质可得当点B 在椭圆的左右顶点时，2z 取得最小值，此时2z =2min z =D 正确.故选CD .11．【答案】ACD【分析】A 选项，令=0，可求()e f ；B 选项，对()()e e e 0f x f x +--=两边求导，结合()()e e 0f x f x ''++->得()e 0f x '-<，()e 0f x '+>，可判断()f x 单调性；C 选项，12e x x ,,的大小关系进行分类讨论，利用函数单调性，证明不等式；D 选项，证明212e x x +<，利用函数单调性，证明()()12f x f x <且()()21e f x f x <，可得结论.【详解】A 选项，令=0，则有()()()()e e e 1e e 0f f f -=-=，所以()e 0f =，故A 正确.B 选项，对()()e e e 0f x f x +--=两边求导，得()()e e e 0f x f x '++-='，所以()()e e e f x f x +=-'-'，代入()()e e 0f x f x ''++->，得当>0时，()()1e e 0f x '-->，所以()e 0f x '-<.又因为()()e e 0f x f x ''++->，所以，()e 0f x '+>.因此，当e x <时，()0f x '<，()f x 在(),e -∞上单调递减；当e x >时，()0f x '>，()f x 在()e,+∞上单调递增.故B 错误.C 选项，对12e x x ,,的大小关系进行分类讨论：①当12e x x <≤时，()f x 在(),e -∞上单调递减，所以()()12f x f x >，显然有212e x x +<；②当12e x x ≤<时，()f x 在()e,+∞上单调递增，不符合题意；③当12e x x <<时，当0x ≥时，()()e e e f x f x +=-.令()()()()()()122e e,e 2e e 2e t x f t f t f x f x f x ∞=+∈+=->=-，，，又因为()()e 0f x f ≥=，所以()22e 0f x ->，因此()()()()1222e 2e 2e f x f x f x f x >=->-.因为12e 2e e x x <-<，，由()f x 的单调性得，212e x x +<.故C 正确.D 选项，因为()()()()()()2200e 202e 2e e 20e e 220g f g f g f =+->=+->=-=-<，，，所以120e 2e x x <<<<.先证212e x x +<，即证122e x x ->，即()12e 0g x ->，只需证()2112e (2e e)20f x x -+--->，即证()211e (e )20f x x +-->.事实上，()()()()()2211111e e 2e 20f x x f x x g x +-->+--==，因此212e x x +<得证.此时有1210e 2e 2e x x x <<<<-<.因为()()()()()22211122e 22e e 2e 2f x x x x f x =--+=---+<--+=，又()10f x ≠，所以()()211f x f x <，因为()()()2112e e f x f x f x <-=，又()10f x ≠，所以()()21e f x f x <.综上，()()211e f x f x <<，故D 正确.故选ACD.【方法总结】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.12．【答案】29【分析】根据等差数列的通项公式求得正确答案.【详解】依题意101922729a a d =+=+=.故答案为：29.13．【答案】121122【分析】利用赋值法令1x =，1x =-，联立方程组求解即可.【详解】令1x =，得()554321012243a a a a a a +==+++++，令1x =-，得()5543210121a a a a a a -+==-+-+-+，则()()543210543210531243112122a a a a a a a a a a a a a a a +++++--+-+-+-++===，且()()543210543210420243112222a a a a a a a a a a a a a a a ++++++-+-+-++++===，故531420121122a a a a a a ++=++.故答案为：121122.14．【答案】()221,3916y x y -=≠-【分析】以HF 所在直线为x 轴，GE 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，求出直线EQ 的方程与直线GN 的方程，联立求解即可.【详解】以HF 所在直线为x 轴，GE 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.因为8,6AB BC ==，所以()()()()()()0,0,4,0,4,0,0,3,0,3,4,3O H F E G C --，所以()4,0OH =- ()()0,3,4,3CF OC =-= ，又因为,OQ kOH CN kCF == ，所以()()4,0,0,3OQ k CN k =-=-，所以()()4,0,4,33Q k N k --.因为()()0,3,4,0E Q k --，所以直线EQ 的方程为334y x k=--①，因为()()0,3,4,33G N k -，所以直线GN 的方程为334ky x =-+②.由①可得()()3043xk x y =-≠+，代入②化简可得()2210916y x x -=≠，，结合图象易知点R 可到达()0,3G ，但不可到达()0,3E -，所以点R 的轨迹方程为()221,3916y x y -=≠-，故答案为：()221,3916y x y -=≠-.15．【答案】(1)π3；(2)133266-.【分析】(1)根据二倍角公式将已知条件变形转化，再根据正弦定理边角互化，带入到余弦定理即可求得；(2)根据已知设AB c AC b ==，，表达出AP BQ ，，再根据余弦定理可求得结果.【详解】（1）因为2cos2cos22sin 2sin sin B A C B C -=-，所以()()22212sin 12sin 2sin 2sin sin B A C B C ---=-，即222sin sin sin sin sin A B C B C =+-，由正弦定理得222a c b bc =+-，由余弦定理得1cos 2A =，因为()π0π3A A ∈=，，；（2）设AB c AC b== ，，1cos 2332b c b c A ⋅=⋅=⨯⨯= ，依题意可得()1122AP b c BC b c BQ b c =+=-=- ，，，所以AP===，BQ===()221111143917224424424AP BQ b c b c b b c c⎛⎫⋅=+-=-⋅-=--=-⎪⎝⎭，所以cosAP BQPGQAP BQ⋅∠==-⋅.16．【答案】(1)(2213x y x+=≠；(2)证明见解析.【分析】（1）设点H的坐标为(),x y，然后表示出直线,AH BH的斜率，再由它们的斜率之积是13-，列方程化简可得点H的轨迹方程；（2）设()()1122,,,E x yF x y，当直线l斜率不存在时，求得直线l为x=0，当直线l 斜率存在时，设直线:l y kx b=+，由13AE AFk k⋅=-得2213=-，将直线方程代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，代入上式化简可得20b=，从而可求得直线恒过的定点.【详解】（1）设点H的坐标为(),x y，因为点A的坐标是()，所以直线AH的斜率AHk x=≠，同理，直线BH的斜率BHk x=，由已知，有(13x-≠±，化简，得点H的轨迹方程为(2213x y x+=≠，即点H的轨迹是除去()),两点的椭圆.（2）证明：设()()1122,,,E x yF x y①当直线l斜率不存在时，可知1221,x x y y==-，且有22111313AE AFx yk k⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，解得1101x y==±，，此时直线l为x=0，②当直线l斜率存在时，设直线:l y kxb=+，则此时有：2213AE AFk k+++++⋅==-联立直线方程与椭圆方程2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得：()222316310kx kbx b +++-=，根据韦达定理可得：122631kb x x k -+=+，21223331b x x k -=+，所以2222222233613131336333131b kbk kb b k k b kb k k --⋅+⋅+++=---++++，所以222222(33)63113k b k b b k --++=-，所以221=-所以20b =，则0b =或b=，当b=时，则直线(:l y k x =+恒过A 点与题意不符，舍去，故0b =，直线l 恒过原点()0,0，结合①，②可知，直线l 恒过原点()0,0，原命题得证.【关键点拨】此题考查椭圆的轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中直线过定点问题，解题的关键是设出直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系结合已知条件求解，考查计算能力.17；(2)4k =.【分析】（1）利用圆柱以及棱锥的体积公式，即可求得答案.（2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用空间角的向量求法，结合平面FCD 与平面PCD 的夹角的正弦值，即可求得答案.【详解】（1）在底面ABCD 中，因为AC 是底面直径，所以90ABC ADC ∠=∠=，又AB AD =，故ACB ≌ACD，所以13042BAC DAC BAD BC CD AB AD ∠∠∠=======,,因为PC 是圆柱的母线，所以PC ⊥面ABCD ，所以211π()16π2V AC PC PC ==⨯，211112243232V AB BC PC PC=⨯⨯⨯⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=,因此12VV=；（2）以C为坐标原点，以,CA CP为,x z轴正方向，在底面ABCD内过点C作平面PAC的垂直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为30BAC DAC AB AD∠∠===，，所以ABE≌ADEV，故90AEB AED∠∠== ，所以1622BE DE AB AE CE AC AE=====-=，，2PC kCE k==，因此()()()()()() 0,0,0,8,0,0,2,,0,0,2,2,,0,0,2C AD P k CD CP k==，()8,0,2PA k=-，因为PA kPF=，所以18,0,2PF PAk k⎛⎫==-⎪⎝⎭，则88,0,22,,0,22F k CF kk k⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面FCD和平面PCD的法向量分别为()()111222,,,,,n x y z m x y z==，则有:()1111822020n CF x k zkn CD x⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，2222020m CP kzm CD x⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取())()221,,1,3,4n k k k k m⎛⎫=----=-⎪⎪⎝⎭，设平面FCD与平面PCD的夹角为θ，则sinθ=所以有：2cos cos,13m nθ==，整理得2120k k--=，2120k k-+=（无解，舍），由于k为正整数，解得4k=.18．【答案】(1)()()()3ln2,(2)g x x x x=----<-；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】（1）由()()11f x g x --=-+，得()()()12ln 1g x x x -+=----，再利用换元法求()g x ；（2）分区间讨论各因式的符号或利用导数证明；（3）取曲线e x y =上的一点()11e ,xB x ，设()ln g x x =在A 处的切线即是()ex h x =在B 处的切线，证明直线AB 的斜率等于()ln g x x =在A 处的切线斜率和()e xh x =在B 处的切线斜率即可.【详解】（1）因为()f x 的图象与()g x 的图象关于直线=−1对称，所以()()11f x g x --=-+.又因为()()()()()111ln 12ln 1f x x x x x ⎡⎤--=-----=----⎣⎦，所以()()()12ln 1g x x x -+=----，令1t x =-+，则1x t =+，所以()()][()()()21ln 113ln 2g t t t t t ⎡⎤=--+--+=----⎣⎦，因此()()()3ln 2,(2)g x x x x =----<-.（2）证明：解法1：当1x ≥时，10x -≥且ln 0x ≥，此时()()1ln 0f x x x =-≥；当01x <<时，10x -<且ln 0x <，此时()()1ln 0f x x x =->，故综上()0f x ≥.解法2：()1ln 1f x x x +'=-，令()1ln 1x x xϕ=+-，()2110x x x ϕ'=+>在()0,+∞上恒成立，故()x ϕ在()0,+∞上单调递增，即()f x '在()0,+∞上单调递增，因此当01x <<时，()()10f x f ''<=；当()()110x f x f ''≥≥=，；因此()f x 在()0,1上单调递减，在[)1,+∞上单调递增，故()()10f x f ≥=.（3）证明：不妨取曲线e x y =上的一点()11e ,xB x ，设()ln g x x =在A 处的切线即是()e xh x =在B 处的切线，则()()10101e x g x h x x ''===，得101ln x x =，则B 的坐标0011ln x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，由于()0001ln 1x x x -=+，所以0001ln 1x xx +=-，则有()()2000000000002000000000011111ln ln 111111ln ln 11ABx x x x x x x x x x k g x x x x x x x x x x x ++-----======++--'++-，综上可知，直线AB 的斜率等于()ln g x x =在A 处的切线斜率和()e xh x =在B 处的切线斜率，所以直线AB 既是曲线ln y x =在点()00n ,l A x x 处的切线也是曲线e x y =的切线.19．【答案】(1)()e 1xf x x =++；(2)1256；(3)12m ≤.【分析】（1）根据新定义及()02f =计算得解；（2）根据新定义，构造函数()26g x x x =-+-即可得出面积；（3）根据所给条件可得()()d F x f x x =⎰在[)0,+∞上单调递增，转化为()0f x ≥在[)0,+∞恒成立，分离参数后利用导数求出函数最值即可得解.【详解】（1）()()e 1d e x xf x x x C =+=++⎰，其中C 为常数.而()02f =，即102C ++=，所以1=C ，所以()e 1xf x x =++.（2）联立26y x y x ⎧=⎨=-+⎩，解得123,2x x =-=，当32x -<<时，26x x -+>，令()26,g x x x =-+-()()2311d 623F x g x x x x x C ==-+-+⎰，则围成的面积()()()2389125d 23212189326S g x x F F -⎛⎫⎛⎫==--=-+----+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰.（3）令()()d F x f x x =⎰，由题意可知，[)0,a b a b ∀∈+∞>，，，满足()()()()00F a F F b F ->-，即()()F a F b >，即()()d F x f x x =⎰在[)0,+∞上单调递增，进而()0f x ≥在[)0,+∞恒成立，e 120x mx --≥在()0,+∞恒成立.由于>0，即e 12x m x -≥，令()e 12x g x x-=，则()22e 2e 24x x x g x x -+'=，令()()2e 2e 22e 0x x xh x x h x x '=-+=≥，，所以ℎ在[)0,+∞上单调递增，所以()()00h x h ≥=，即()0g x '≥，进而()g x 在()0,+∞单调递增，而()000e 1e 1lim lim lim 222x x x x x g x x →+→+→+-===，所以()12g x ≥，所以12m ≤.【关键点拨】本题第三步关键在于利用a b >，都满足()()0d d abf x x f x x >⎰⎰，得出函数()()d F x f x x =⎰在[)0,+∞上单调递增，再转化为()0f x ≥在[)0,+∞恒成立，分离参数求解.。
