一元二次方程的整数根

一元二次方程的公共根与整数根一、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．二、整数根问题对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑴ 24b ac ∆=-为完全平方数；⑵2b ak -=或2b ak -=，其中k 为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)三、方程根的取值范围问题先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围．一、一元二次方程的公共根【例1】 求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根．【例2】 设,,a b c 为ABC ∆的三边，且二次三项式222x ax b ++与222x cx b +-有一次公因式，证明：ABC∆一定是直角三角形．【例3】 三个二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=有公共根．⑴ 求证：0a b c ++=；⑵ 求333a b c abc++的值．【例4】 试求满足方程270x kx --=与26(1)0x x k --+=有公共根的所有的k 值及所有公共根和所有相异根．知识点睛例题精讲【例5】 二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求b ab a a b a b --++的值．二、一元二次方程的整数根【例6】 k 为什么实数时，关于x 的方程2(6)(9)(11715)540k k x k x ----+=的解都是整数？【例7】 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个．【例8】 已知a 是正整数，如果关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．【例9】 若k 为正整数，且关于k 的方程22(1)6(31)720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值．【例10】 关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数．求满足条件的所有实数k 的值．【例11】 当m 为何整数时，方程222525x mx m -+=有整数解．【例12】 已知关于x 的方程24832x nx n --=和22(3)220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由．【例13】 求所有有理数r ，使得方程2(1)(1)0rx r x r +++-=的所有根是整数．【例14】 已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值．【例15】 已知k 为常数，关于x 的一元二次方程22(2)(46)80k k x k x -+-+=的解都是整数，求k 的值．【例16】 已知p 为质数，二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数，请求出p 的所有可能的值．【例17】 已知1240m <<，且关于x 的二次方程222(1)0x m x m -++=有两个整数根，求整数m ．【例18】 若一直角三角形两直角边的长，a 、b ()a b ≠均为整数，且满足24a b m ab m +=+⎧⎨=⎩．试求这个直角三角形的三边长．【例19】 关于x 的方程22(3)(2)0ax a x a +-+-=至少有一个整数解，且a 是整数，求a 的值．【例20】 已知方程()22238213150ax a a x a a --+-+=(a 是非负整数)至少有一个整数根，那么a = ．【例21】 当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数．【例22】 设m 为整数，且440m <<，方程()2222341480x m x m m --+-+=有两个整数根，求m 的值及方程的根．【例23】 当m 为何整数时，方程222525x mx m -+=有整数解．【例24】 已知方程()22238213150ax a a x a a --+-+=(a 是非负整数)至少有一个整数根，那么a = ．【例25】 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个．【例26】 设方程2(2)(3)0mx m x m --+-=有整数解，试确定整数m 的值，并求出这时方程所有的整数解．【例27】 已知a 是正整数，且使得关于x 的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根，求a 的值．【例28】 已知关于x 的方程2222(38)213150a x a a x a a --+-+= (其中a 是非负整数)至少有一个整数根，求a 的值．【例29】 已知b ，c 为整数，方程250x bx c ++=的两根都大于1-且小于0，求b 和c 的值．【例30】 已知a ，b 都是正整数，试问关于x 的方程21()02x abx a b -++=是否有两个整数解？如果有，请求出来；如果没有，请给出证明．【例31】 已知方程20x bx c ++=及20x cx b ++=分别各有两个整数根12,x x 及12,x x ''，且120x x >，120x x ''>． ⑴ 求证：10x <，20x <，10x '<，20x '<； ⑵ 求证：11b c b -+≤≤；⑶ 求,b c 所有可能的值．【例32】 设p q 、是两个奇整数，试证方程2220x px q ++=不可能有有理根．【例33】 试证不论n 是什么整数，方程21670s x nx -+=没有整数解，方程中的s 是任何正的奇数．【例34】 求方程33222240a b ab a b -+++=的所有整数解．【例35】 已知a 为整数，关于,x y 的方程组23(2)(1)22x y a x xy a x a +=+⎧⎨=+-+⎩的所有解均为整数解，求a 的值．【例36】 求方程2237x y x xy y +=-+的所有正整数解．【例37】 求所有的整数对(,)x y ，使32232244447x x y xy y x xy y -+-=-++．【例38】 设m 是不为零的整数，关于x 的二次方程2(1)10mx m x --+=有有理根，求m 的值．【例39】 当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数．【例40】a 是正整数，关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．【例41】 已知,a b 是实数，关于,x y 的方程组32y x ax bx y ax b⎧=--⎨=+⎩有整数解(,)x y ，求,a b 满足的关系式．【例42】 已知p 为质数，使二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数，求出所有可能的p 的值．【例43】 设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值．【例44】 b 为何值时，方程 220x bx --=和22(1)0x x b b ---=有相同的整数根？并且求出它们的整数根？【例45】 已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的根都是整数，那么符合条件的整数a 有___________个．【例46】 求所有正实数a ，使得方程240x ax a -+=仅有整数根．【例47】 方程()(8)10x a x ---=有两个整数根，求a 的值．【例48】 求所有的正整数a ，b ，c 使得关于x 的方程222320,320,320x ax b x bx c x cx a -+=-+=-+=的所有的根都是正整数．【例49】n 为正整数，方程21)60x x -++-=有一个整数根，则n =__________．【例50】 求出所有正整数a ，使方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根．【例51】 已知方程22(1)2(51)240a x a x --++=有两个不等的负整数根，则整数a 的值是__________．【例52】 不解方程，证明方程2199719970x x -+=无整数根【例53】 已知方程219990x x a -+=有两个质数根，则常数a =________．【例54】 已知方程210x mx m +-+=有两个不相等的正整数根，求m 的值．【例55】 当m 是什么整数时，关于x 的方程2(1)10x m x m --++=的两根都是整数？【例56】 设方程2(2)(3)0mx m x m --+-=有整数解，试确定整数m 的值，并求出这时方程所有的整数解．【例57】 已知a 是正整数，如果关于x 的方程()()321738560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．【例58】 若k 为正整数，且关于k 的方程()()221631720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值．【例59】 设a 为质数，b c ，为正整数，且满足()()2922509410225112a b c a b c b c ⎧+-=+-⎪⎨-=⎪⎩ 求()a b c +的值．。

2.关于x的方程x2 mx m 1 0的两个根都是正整数，
求m的值.
解：设方程的两个正整数根分别为x1, x2 则x1 x2 m，于是m必为正整数 设＝m2－4m－4 k 2(k为非负整数)
则(m＋k－2)(m－k－2)＝8,
m＋k－2 m－k－2, m＋k－2与m－k－2
同奇偶，则
＝－
2
2 m＋1
所以m＋1＝1， 2，
所以m＝－3，－2，0，1
关于因式分解法的总结整理
• 当一元二次方程整数根具 有这样的特征：几个因式 的积=整数常数，此时方 可使用因式分解法。
•二、求根公式法
1.设关于x的方程x2－（m－2）x＋m2－m－2＝0有正整数根， 求正整数m的值.
解：＝(m - 2)2 4(m2 m 2) 3m2 12 0, 所以m2 4. 所以－2 m 2，所以m＝1或2； 当m＝1时，x＝1或－2； 当m＝2时，x1＝x2＝0. 所以m＝1【. 可否用因式分解法？】
一、因式分解法
1.设关于x的方程2x2 -mx-m2 -2＝0只有整数根，
求m的值.
解：设方程的两个整数根分别为x1, x2
则x1
x2
m ，于是m必为偶数. 2
原方程可化为（x－m）（2x m) 2因x，m均为整数
Байду номын сангаасx－m 1 2x m＝2
或
2x－x mm＝21或
2x－x mm＝－－1 2或
• 3、已知方程(x-a)(x-8)-1=0有两个整根， 求a的值.(展开、移项、讨论)
• 4、
解：由韦达定理得 :
x1
x2
10 m m
,
x1x2
2m m
6

设(5p－132)2－17 404＝n2(n＞0，n为自然数).移项分解可得
(5p－132＋n)(5p－132－n)
＝22×19×229. 又(5p－132＋n)，(5p－132－n)同奇偶，所以，
解得p＝76.
注：从表面上看，此题中的p是一切实数，但由韦达定理判断它实际上是 自然数，故可采用前法求得.
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一元二次方程的整数根问题
数不清
[ 2011-3-5 22:15:00 | By: 数不清 ]
一元二次方程的整数根问题
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推荐 迄今为止，尚未找到使得整系数一元二次方程有整数根的充分条件， 通常的方法都是通过讨论其判别式，利用根与系数的关系进行分析和归纳，即使用必要条 件解题，然后通过检验确定答案.下面举例说明常用的几种方法，并指出每种方法适合的 范围.
例4
设m为整数，且4＜m＜40，又方程x2－2(2m－3)x＋4m2－14m＋8
＝0有两个整数根.求m的值及方程的根.
(1993,天津市初中数学竞赛)
分析：考察判别式△＝4(2m＋1)，因是关于m的一次式，故例1，例2的方法均不可用 .
广 Re:期末宣誓词 Re:《牵一只蜗牛去散步》 Re:《牵一只蜗牛去散步》 Re:我心目中的好老师(29号的 家长 Re:真情献给党 Re:我心目中的好老师(29号的 家长 Re:真情献给党 Re:信封?关爱?感悟
有理根问题本质上也是整数根的问题，要求方程的根的判别式必须为 一个整数或有理数的完全平方.考察判别式
△ ＝232＋36(n2＋2n＋2)
＝36(n＋1)2＋565.

综上所述，当 k 值为 3，6，7，9，15时方程的解都是整数。
例 2 (2000 年全国初中数学联赛试题)设关于 x 的二次方程 (k2－6k＋8)﹒x2＋(2k2－6k－4)x＋k2＝4
的两根都是整数.求满足条件的所有实数 k 的值.
分析 此题也可通过直接求根法求出二根，但是它的条件与例 1 不同，例 1
况。 解 若 k=6, 则 x=-2; 若 k=9, 则 x=3；
若 k≠6 且 k≠9，原方程可化为 [(k-6)x-9][(k-9)x-6] = 0 ,故方程的二
根为 x1＝ k 9 6 ，x2＝ k 6 9 .为使 x1 和 x2 都是整数，则应有 k-6 = ±1,±3,± 9 ， k=-3,3,5,7,9,15;还 应 有 k-9 = ± 1,± 2, ± 3,± 6, k=3,6， 7,8,10,11,12，15. 所以 k=3,7,15时，x 1 和 x 2都是整数，
当 m =1 时，方程 mx2-6x+9=0 的二根均为 1，方程 x2-4mx+4m2-4m-5=0 的
二根为-1 和 5，符合要求。 当 m =-1 时，方程 mx2-6x+9=0 的二根均不是整数,不符合要求. 所以仅当 m=1 时，方程的两根都是整数。 例 4． (1996 年上海市初中数学竞赛试题)若关于 x 的方程 ax2+2(a-3)x+(a-2)=0
a = 25, 18, 16, -9, -2, 0
因 a 为正实数，于是 a 25 或 18或 16均为所求.
例 8 (第十七届全俄数学奥林匹克十年级试题)求使方程 x2-pqx+p+q=0 有
整数根的所有正整数 p 和 q．
解 设原方程两根为 x1、x2，则 x1x2 = p+q