ARMAARIMA模型介绍及案例分析

第9章、ARMA模型和ARIMA模型计量经济学的重点在于解释，而不是预测。

但是，对于某些具体的问题，人们对预测的兴趣仍然很大。

如对GDP、人口等宏观经济变量的预测：什么时候超英赶美。

常见的4种预测模型为：1.单方程回归模型2.联立方程回归模型3.ARIMA模型（自回归积分移动平均模型）4.V AR模型（向量自回归模型）前面两种预测模型的特点：优点：经济学理论作为计量分析的基础。

缺点：Lucas批判（Lucas Critique）指出，使用历史数据估计的计量模型的参数依赖于历史的宏观经济政策。

如果宏观经济政策发生变动，这些参数也会变动。

据此而实施的预测必然误差很大，特别是长期预测。

例子：根据过去几年数据建立的IS－LM模型，难以预测中国宏观调控后和利率提高后的宏观经济。

后面两种预测模型的特点：优点：Box－Jenkins方法的重点不是寻找解释y的解释变量，而是使用滞后的y来构造生产y的动力系统。

所使用的y是平稳序列，即y的均值、方差和自协方差与时间的绝对水平无关，那么分布特征不变，可以适用不同经济环境。

短期预测能力较强。

缺点：为预测而预测。

是泛理论的（a－theoretic），缺乏经济理论基础，很难解释计量结果的经济含义。

当然可以整合这两类方法的优点。

ARMAX模型。

§1、ARIMA模型ARIMA模型(自回归积分移动平均模型，autoregressive integrated movingaverage) 推广了如下模型：AR 模型、MA 模型和ARMA 模型。

1、AR 模型 （1）定义称平稳序列y t 服从AR(p)模型，如果可以表示为11...t t p t p t y y y μααε−−=++++其中t ε是白噪声（均值为0，同方差，无自相关）。

AR 模型的特点：除了滞后的y 之外，没有其他的解释变量。

（2）AR 模型的平稳条件记L 为滞后算子(lag operator)，Ly t ＝y t －1。

ARIMA模型原理以及代码实现案例⼀、时间序列分析北京每年每个⽉旅客的⼈数，上海飞往北京每年的游客⼈数等类似这种顾客数、访问量、股价等都是时间序列数据。

这些数据会随着时间变化⽽变化。

时间序列数据的特点是数据会随时间的变化⽽变化。

随机过程的特征值有均值、⽅差、协⽅差等。

如果随机过程的特征随时间变化⽽变化，那么数据是⾮平稳的，相反，如果随机过程的特征随时间变化⽽不变化，则此过程是平稳的。

如图所⽰：⾮平稳时间序列分析时，若导致⾮平稳的原因是确定的，可以⽤的⽅法主要有趋势拟合模型、季节调整模型、移动平均、指数平滑等。

若导致⾮平稳的原因是随机的，⽅法主要有ARIMA，以及⾃回归条件异⽅差模型等。

⼆、ARIMA1、简介ARIMA通常⽤于需求预测和规划中。

可以⽤来对付随机过程的特征随着时间变化⽽⾮固定。

并且导致时间序列⾮平稳的原因是随机⽽⾮确定的。

不过，如果从⼀个⾮平稳的时间序列开始，⾸先需要做差分，直到得到⼀个平稳的序列。

模型的思想就是从历史的数据中学习到随时间变化的模式，学到了就⽤这个规律去预测未来。

ARIMA（p，d，q）d是差分的步长（差分的阶数指的是进⾏多少次差分。

⽐如步长为n的⼀阶差分diff(x) = f(x) - f(x - n)，⽽⼆阶步长为n的差分： diff(x) = f(x) - f(x-n), diff(x-n) = f(x-n) - f(x - n - n), diff⼆阶差分(x - n) = diff(x) - diff(x-n)），⽤来得到平稳序列p为相应的⾃回归项q是移动平均项数2、⾃回归模型AR⾃回归模型描述当前值与历史值之间的关系，⽤变量⾃⾝的历史时间数据对⾃⾝进⾏预测。

⾃回归模型必须满⾜平稳性。

⾃回归模型需要先确定⼀个阶数p，表⽰⽤⼏期的历史值来预测当前值。

p阶⾃回归模型可以表⽰为：y t是当前值，u是常数项，p是阶数，r是⾃相关系数，e是误差AR的限制：⾃回归模型是⾃⾝的数据进⾏预测必须具有平稳性必须具有相关性如果⾃相关系数⼩⾬0.5，则不宜采⽤⾃回归只适⽤于预测与⾃⾝前期相关的现象3、移动平均模型MA移动平均模型关注的⾃回归模型中的误差项的累加，q阶⾃回归过程的公式定义如下：移动平均模型能有效地消除预测中的随机波动4、⾃回归移动平均模型ARMA⾃回归模型AR和移动平均模型MA模型相结合，我们就得到了⾃回归移动平均模型ARMA(p,q)，计算公式如下：5、p、q的确定 （1） （2）结合最终的预测误差来确定p、q的阶数，在相同的预测误差情况下，根据奥斯卡姆剃⼑准则，模型越⼩越好。

BOX-JENKINS 预测法1 适用于平稳时序的三种基本模型（1）()AR p 模型（Auto regression Model ）——自回归模型p 阶自回归模型：式中，为时间序列第时刻的观察值，即为因变量或称被解释变量；，为时序的滞后序列，这里作为自变量或称为解释变量；是随机误差项；，，，为待估的自回归参数。

（2）()MA q 模型（Moving Average Model ）——移动平均模型q 阶移动平均模型：式中，μ为时间序列的平均数，但当{}t y 序列在0上下变动时，显然μ=0，可删除此项；t e ，1t e -，2t e -，…，t q e -为模型在第t 期，第1t -期，…，第t q -期的误差；1θ，2θ，…，q θ为待估的移动平均参数。

（3）(,)ARMA p q 模型——自回归移动平均模型（Auto regression Moving Average Model ）模型的形式为：显然，(,)ARMA p q 模型为自回归模型和移动平均模型的混合模型。

当q =0,时，退化为纯自回归模型()AR p ；当p =0时，退化为移动平均模型()MA q 。

2 改进的ARMA 模型（1）(,,)ARIMA p d q 模型这里的d 是对原时序进行逐期差分的阶数，差分的目的是为了让某些非平稳（具有一定趋势的）序列变换为平稳的，通常来说d 的取值一般为0,1,2。

对于具有趋势性非平稳时序，不能直接建立ARMA 模型，只能对经过平稳化处理，而后对新的平稳时序建立(,)ARMA p q 模型。

这里的平文化处理可以是差分处理，也可以是对数变换，也可以是两者相结合，先对数变换再进行差分处理。

（2）(,,)(,,)s ARIMA p d q P D Q 模型对于具有季节性的非平稳时序（如冰箱的销售量，羽绒服的销售量），也同样需要进行季节差分，从而得到平稳时序。

这里的D 即为进行季节差分的阶数；,P Q 分别是季节性自回归阶数和季节性移动平均阶数；S 为季节周期的长度，如时序为月度数据，则S =12，时序为季度数据，则S =4。

ARMAARIMA模型介绍及案例分析AR、MA和ARIMA是时间序列分析中常见的模型，用于分析和预测时间序列数据的特征和趋势。

下面将对这三种模型进行介绍，并提供一个案例分析来展示它们的应用。

自回归模型（AR）是一种基于过去的观测值来预测未来观测值的模型。

它基于一个假设：未来的观测值可以由过去的观测值的线性组合来表示。

AR模型的一般形式可以表示为：y_t=c+ϕ_1*y_(t-1)+ϕ_2*y_(t-2)+...+ϕ_p*y_(t-p)+ε_t其中，y_t表示时间t的观测值，c是常数项，ϕ_1至ϕ_p是自回归系数，p是自回归阶数，ε_t是误差项。

AR模型的关键是确定自回归阶数p和自回归系数ϕ。

移动平均模型（MA）是一种基于过去的误差项来预测未来观测值的模型。

它基于一个假设：未来的观测值的误差项可以由过去的误差项的线性组合来表示。

MA模型的一般形式可以表示为：y_t=c+ε_t+θ_1*ε_(t-1)+θ_2*ε_(t-2)+...+θ_q*ε_(t-q)其中，y_t表示时间t的观测值，c是常数项，ε_t是误差项，θ_1至θ_q是移动平均系数，q是移动平均阶数。

MA模型的关键是确定移动平均阶数q和移动平均系数θ。

自回归移动平均模型（ARIMA）结合了AR和MA模型的特点，同时考虑了时间序列数据的趋势性。

ARIMA模型一般形式可以表示为：y_t=c+ϕ_1*y_(t-1)+ϕ_2*y_(t-2)+...+ϕ_p*y_(t-p)+ε_t+θ_1*ε_(t-1)+θ_2*ε_(t-2)+...+θ_q*ε_(t-q)其中，y_t表示时间t的观测值，c是常数项，ϕ_1至ϕ_p是自回归系数，p是自回归阶数，ε_t是误差项，θ_1至θ_q是移动平均系数，q是移动平均阶数。

ARIMA模型的关键是确定自回归阶数p、移动平均阶数q和相关系数ϕ和θ。

下面举一个电力消耗预测的案例来展示AR、MA和ARIMA模型的应用：假设有一段时间内的电力消耗数据，我们想要用AR、MA和ARIMA模型来预测未来一段时间内的电力消耗。

时间序列大数据分析方法时间序列分析是一种用于处理时间序列数据的统计方法，它在多个领域都有广泛的应用，如金融、经济学、气象学等。

随着大数据技术的发展，时间序列大数据的分析方法也在不断地被探索和改进。

本文将介绍一些常用的时间序列大数据分析方法，并说明它们的应用场景和优劣势。

一、ARIMA模型ARIMA模型（自回归综合移动平均模型）是一种常用的时间序列预测方法。

它包括自回归（AR）部分、差分（I）部分和移动平均（MA）部分。

ARIMA模型适用于具有稳定平均值和方差的时间序列数据。

通过拟合ARIMA模型，可以对未来的数值进行预测。

二、SARIMA模型SARIMA模型（季节性自回归综合移动平均模型）是对ARIMA模型的扩展，适用于具有季节性变化的时间序列数据。

SARIMA模型可以捕捉到季节性的趋势，提高预测的准确性。

三、ARMA模型ARMA模型（自回归移动平均模型）是ARIMA模型的特殊情况，它不包括差分（I）部分。

ARMA模型适用于具有稳定平均值和方差的非季节性时间序列数据。

ARMA模型对于预测长期趋势比较有效。

四、VAR模型VAR模型（向量自回归模型）是一种多变量时间序列分析方法，适用于多个相关联的时间序列数据。

VAR模型可以描述变量之间的相互作用，并进行联合预测。

VAR模型在经济学和金融领域得到了广泛的应用。

五、ARCH/GARCH模型ARCH模型（自回归条件异方差模型）和GARCH模型（广义自回归条件异方差模型）主要用于描述时间序列数据的波动性。

ARCH模型主要适用于有明显波动性的数据，而GARCH模型在ARCH模型的基础上考虑了更长期的波动性。

六、机器学习方法除了传统的时间序列模型外，机器学习方法在时间序列大数据分析中也有着广泛的应用。

例如，支持向量机（SVM）、神经网络和随机森林等算法可以通过学习历史数据的模式来预测未来的数值。

机器学习方法可以有效地处理大数据，但在数据较少或模型解释性要求较高的情况下可能会存在一定的局限性。

ARMAARIMA模型介绍及案例分析ARMAARIMA模型是一种时间序列分析方法，用于对具有自回归和移动平均特性的数据进行建模和预测。

这个模型是由自回归（AR）和移动平均（MA）两个组成部分构成的，对于非平稳的数据还需要加入差分（I）的过程，所以称为ARMAARIMA模型。

ARMA模型是根据时间序列的自相关和滑动平均性质来进行建模的。

自回归是指当前数据与历史数据之间的相关关系，移动平均则关注当前数据与滞后差分误差之间的关系。

ARMA模型的一般形式可以表示为：Y(t)=c+φ₁Y(t-1)+...+φₚY(t-p)+ε(t)-θ₁ε(t-1)-...-θₚε(t-q)其中，Y(t)表示当前的观测值，c是常数，φ₁...φₚ是自回归系数，ε(t)是白噪声误差项，θ₁...θₚ是滑动平均系数，p和q分别表示AR和MA的阶数。

对于非平稳的时间序列数据，需要进行差分操作，即I（积分）的过程，来将数据变为平稳的。

差分阶数常用d表示。

而ARIMA（自回归移动平均积分模型）则是对ARMA模型进行补充，主要针对非平稳时间序列数据。

ARIMA模型的一般形式可以表示为：ΔY(t)=c+φ₁ΔY(t-1)+...+φₚΔY(t-p)+ε(t)-θ₁ε(t-1)-...-θₚε(t-q)其中ΔY(t)表示差分后的序列，其他参数与ARMA模型类似。

下面以一个股票价格的时间序列数据为例进行ARMAARIMA模型的案例分析。

假设我们有一段时间内的股票价格数据，要通过ARMAARIMA模型对未来的股票价格进行预测。

首先，我们需要对数据进行平稳性检验，可以使用单位根检验（如ADF检验）来确定是否需要进行差分。

接下来，需要确定ARMA模型的阶数，可以通过观察自相关图（ACF）和偏自相关图（PACF）来确定。

根据图形的截尾和拖尾情况，可以估计出AR和MA的阶数。

然后，可以利用最大似然估计方法来估计模型参数，这可以通过软件来实现。

在估计参数之后，需要对模型进行检验，主要包括检查残差序列是否为白噪声，可以通过自相关图和偏自相关图进行检查。

ARMA模型案例假设我们有一组历史销售数据，我们希望使用ARMA模型来预测未来销售量。

首先，我们需要进行数据的预处理，包括数据清洗和转化。

这包括去除异常值、填充缺失值以及将数据转化为平稳序列。

接下来，我们可以通过观察时序图和自相关图来确定ARMA模型的阶数。

时序图是展示时间序列的变化趋势和规律的图表，自相关图则展示了时间序列与其滞后版本之间的关联性。

通过分析这些图表，我们可以确定ARMA模型的阶数，即p和q值。

假设我们发现销售数据呈现出一定的周期性和趋势性，且自相关图呈现出指数递减的模式。

这提示我们可以使用ARMA(p,q)模型来建模。

在此案例中，我们选择p=3，q=2然后，我们需要估计ARMA模型的参数。

可以使用似然函数或最小二乘法进行参数估计。

估计出参数后，我们可以使用模型对未来销售量进行预测。

接下来，我们可以使用拟合优度检验来评估模型的拟合程度。

常用的拟合优度检验方法包括均方根误差（RMSE）和残差自相关函数。

如果拟合优度检验结果不理想，我们可以尝试使用不同的ARMA模型阶数来改进模型的拟合。

最后，我们可以使用建立的ARMA模型进行未来销售量的预测。

通过输入新的自变量数据，我们可以得到相应的因变量（销售量）的预测值。

需要注意的是，ARMA模型仅适用于平稳时间序列。

如果数据包含明显的趋势或季节性，我们需要先对数据进行差分或季节性调整，然后再应用ARMA模型。

综上所述，ARMA模型是一个常用的时间序列建模方法，在许多领域都有广泛的应用。

通过选择适当的ARMA模型阶数、估计参数以及拟合优度检验，我们可以使用ARMA模型对未来的销售量进行准确的预测。

同时，我们也可以根据预测结果进行相应的决策，以优化业务运营和管理。

《基于ARMA模型的股价分析与预测的实证研究》篇一一、引言随着科技的进步和大数据时代的到来，金融市场的分析预测方法日趋丰富。

其中，时间序列分析方法以其独特的优势在股价预测领域发挥着重要作用。

本文以ARMA模型为基础，通过对实际股价数据进行实证研究，旨在分析股价的动态变化规律，为投资者提供决策参考。

二、ARMA模型概述ARMA（自回归移动平均）模型是一种常见的时间序列分析方法，主要用于分析具有时间依赖性和随机性的数据。

该模型通过捕捉数据的自回归和移动平均特性，揭示数据间的内在联系和规律。

在股价分析中，ARMA模型能够有效地反映股价的动态变化和趋势。

三、实证研究方法与数据来源（一）方法本文采用ARMA模型对股价进行实证研究。

首先，对股价数据进行预处理，包括数据清洗、平稳性检验等；其次，根据数据的自相关函数图和偏自相关函数图，确定ARMA模型的阶数；最后，利用ARIMA软件对模型进行参数估计和检验，预测未来股价。

（二）数据来源本文选用某股票的日收盘价为研究对象，数据来源于网络爬虫采集的公开信息。

为保证数据的准确性和完整性，对数据进行清洗和处理。

四、实证研究过程与结果分析（一）数据预处理首先，对原始数据进行清洗和处理，包括去除异常值、缺失值等。

其次，进行平稳性检验，若数据不平稳则进行差分处理直至平稳。

本例中，经过一阶差分后，数据达到平稳状态。

（二）模型定阶根据自相关函数图和偏自相关函数图，确定ARMA模型的阶数。

本例中，p阶自回归项和q阶移动平均项的阶数分别为p=3和q=1。

因此，建立的ARMA（3,1）模型较为合适。

（三）模型参数估计与检验利用ARIMA软件对ARMA（3,1）模型进行参数估计和检验。

结果表明，模型的各项指标均达到显著水平，具有较好的拟合效果和预测能力。

（四）结果分析通过对ARMA模型的实证研究，发现该股票的股价具有一定的自回归和移动平均特性。

模型能够较好地反映股价的动态变化和趋势，为投资者提供了有价值的参考信息。

时序预测中的ARIMA模型详解一、引言时序预测是指根据一系列时间上连续的数据，对未来时间点或时间段内的数据进行预测。

这种预测方法在经济、金融、气象、交通等领域都有着广泛的应用。

而在时序预测中，ARIMA模型是一种常用的方法，本文将对ARIMA模型进行详细解读。

二、ARIMA模型概述ARIMA模型是自回归移动平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model）的缩写，它是一种基于时间序列数据的预测模型。

ARIMA模型包含三个部分，分别为自回归(AR)、差分(I)和移动平均(MA)。

ARIMA模型的基本思想是，通过将非平稳的时间序列数据进行差分，使其成为平稳序列，然后建立ARMA模型进行预测。

三、ARIMA模型的建模过程1. 根据数据特征确定模型参数在建立ARIMA模型之前，首先需要对时间序列数据进行分析。

通过观察数据的自相关性和偏自相关性函数图，确定ARIMA模型的阶数。

自相关性函数图可以帮助我们找到时间序列数据的自相关性模式，从而确定AR模型的阶数。

偏自相关性函数图则可以帮助我们确定MA模型的阶数。

2. 数据平稳化ARIMA模型要求时间序列数据是平稳的，因此如果数据是非平稳的，需要对其进行差分处理。

差分的目的是使数据的均值和方差保持不变，从而使其成为平稳序列。

3. 模型训练和预测在确定了ARIMA模型的阶数和对数据进行平稳化后，就可以进行模型的训练和预测。

模型的训练是指利用历史数据对ARIMA模型的参数进行估计，然后利用训练好的模型进行未来数据的预测。

四、ARIMA模型的优缺点ARIMA模型作为一种经典的时序预测模型，具有以下优点：1. 适用性广泛：ARIMA模型适用于各种类型的时间序列数据，包括具有趋势和季节性的数据。

2. 参数可解释性强：ARIMA模型的参数具有明确的统计学意义，便于解释和理解。

然而，ARIMA模型也有一些缺点：1. 对数据要求高：ARIMA模型要求时间序列数据是平稳的，而有些实际数据不满足这一条件，需要进行差分处理。

时间序列分析中的ARIMA算法介绍及应用案例分析时间序列分析是一种从历史数据中提取信息并预测未来趋势的方法，它在金融、经济、气象等领域有广泛的应用。

而ARIMA模型则是时间序列分析中最常用的一种模型。

本文将介绍ARIMA模型的原理及应用案例。

一、ARIMA模型的原理ARIMA模型全称为AutoRegressive Integrated Moving Average Model，即自回归积分滑动平均模型。

它是一种将自回归模型和滑动平均模型结合在一起的时间序列模型，用于对非平稳时间序列进行建模和预测。

ARIMA模型可以表示为ARIMA(p, d, q)，其中p表示自回归项数，d表示差分次数，q表示滑动平均项数。

如果时间序列是平稳的，可以使用ARMA模型，而非平稳时间序列则需要使用ARIMA模型。

ARIMA模型的建立一般有三个步骤：确定阶数，估计系数，检验模型。

首先，我们需要通过观察时间序列的自相关图和偏自相关图来确定p和q的值。

自相关图可以反映时间序列的自相关性，即同一时间点前后的样本值之间的相关性。

而偏自相关图是指当与其他滞后时期的影响被移除后，两个时期之间的相关性。

如图1所示：图1 自相关图和偏自相关图在确定p和q的值之后，我们需要进行差分运算，将非平稳序列转换为平稳序列，以确保ARIMA模型的有效性。

当d=1 时，表示进行一次一阶差分运算，将原来时间序列的差分序列变为平稳序列。

当然也有可能需要进行多阶差分。

最后，我们需要通过最大似然估计法或最小二乘法来估计ARIMA模型的系数，进而用模型进行预测。

二、ARIMA模型的应用案例为了更好地理解ARIMA模型的应用，我们可以通过一个实际案例来进行分析。

案例：某导购商城每天的销售额某月份的数据如下：日期销售额（万元）2020-06-01 1022020-06-02 892020-06-03 772020-06-04 622020-06-05 812020-06-06 932020-06-07 1042020-06-08 982020-06-09 762020-06-10 702020-06-11 672020-06-12 932020-06-13 93 2020-06-14 111 2020-06-15 93 2020-06-16 77 2020-06-17 72 2020-06-18 56 2020-06-19 81 2020-06-20 99 2020-06-21 110 2020-06-22 104 2020-06-23 81 2020-06-24 75 2020-06-25 59 2020-06-26 84 2020-06-27 95 2020-06-28 112 2020-06-29 92 2020-06-30 77通过观察时间序列的图像，我们可以看出该序列的趋势、季节性和噪声。

ARMA模型与ARIMA模型的推导与应用ARMA模型（AutoRegressive Moving Average model）和ARIMA模型（AutoRegressive Integrated Moving Average model）是一种常用的时间序列分析方法。

本文将对这两个模型进行推导，并探讨它们在实际应用中的作用。

一、ARMA模型的推导ARMA模型是一种线性预测模型，它由两部分组成：自回归部分（AR）和移动平均部分（MA）。

1. 自回归部分（AR）自回归部分是指当前序列的值与前一时刻的值之间存在线性关系，记作AR(p)。

其中p表示自回归阶数，即前p个时刻的值对当前值的影响。

假设当前时刻的值为yt，则AR(p)模型的表示为：yt = c + φ1*yt-1 + φ2*yt-2 + ... + φp*yt-p + εt其中，c为常数项，φ1, φ2, ..., φp为自回归系数，εt为误差项。

2. 移动平均部分（MA）移动平均部分是指当前序列的值与前一时刻的误差之间存在线性关系，记作MA(q)。

其中q表示移动平均阶数，即前q个时刻的误差对当前值的影响。

假设当前时刻的误差为et，则MA(q)模型的表示为：yt = c + θ1*et-1 + θ2*et-2 + ... + θq*et-q其中，c为常数项，θ1, θ2, ..., θq为移动平均系数。

二、ARIMA模型的推导ARIMA模型是在ARMA模型的基础上加入差分操作，以处理非平稳时间序列。

ARIMA模型由三部分组成：自回归部分（AR）、差分部分（I）和移动平均部分（MA）。

1. 自回归部分（AR）自回归部分与ARMA模型中的自回归部分相同，表示为AR(p)。

2. 差分部分（I）差分部分用于处理非平稳时间序列。

一阶差分操作即将当前值与前一时刻的值相减，次阶差分操作则再次对差分后的序列进行差分。

一般记作d阶差分，其中d表示差分阶数。

3. 移动平均部分（MA）移动平均部分与ARMA模型中的移动平均部分相同，表示为MA(q)。