2019年高考数学总复习课件：第八章 平面解析几何 (10份打包)

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3．直线方程的几种形式
名称
方程的形式
已知条件
局限性
点斜式
_y_－__y_1＝__k_(_x－__x_1_)
(x1，y1)为直线上 一定点，k为斜 率
不包括垂直于x轴的 直线
斜截式
___y_＝__k_x_＋_b____
k为斜率，b是直 线在y轴上的截 距
不包括垂直于x轴的 直线
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名 方程的形式
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法二：由题意，所求直线的斜率存在且 k≠0， 设直线方程为 y－2＝k(x－3)， 令 y＝0，得 x＝3－2k，令 x＝0，得 y＝2－3k， 由已知 3－2k＝2－3k，解得 k＝－1 或 k＝23， ∴直线 l 的方程为： y－2＝－(x－3)或 y－2＝23(x－3)， 即直线 l 的方程为 x＋y－5＝0 或 2x－3y＝0.
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【解】 (1)法一：设直线 l 的方程为 y－1＝k(x－2)(k＜0)，
则 A(2－1k，0)，B(0,1－2k)， ∴S△AOB＝12(2－1k)(1－2k)＝2＋12(－4k－1k)
≥2＋12×2
－4k－1k＝4，
当且仅当－4k＝－1k，即 k＝±12时取等号．
∵k＜0，∴k＝－12，
故所求直线方程为 y－1＝－12(x－2)， 即 x＋2y－4＝0.
第八章 平面解析几何
第1课时 直线及其方程
考纲展示
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备考指南
1.在平面直角坐标系中，结合具体图
形，掌握确定直线位置的几何要素． 1.基本公式、直线的斜率、方程以
2.掌握确定直线位置的几何要素，掌 及两直线的位置关系是高考的重
握直线方程的三种形式(点斜式、两 点．

2 a ＝8， 解得 2 b ＝8，
x2 y2 故双曲线方程为 8 － 8 ＝1.故选 B.
x2 y2 (2)[2017· 全国卷Ⅲ]已知双曲线 C：a2－b2＝1(a＞0，b 5 x2 y2 ＞0)的一条渐近线方程为 y＝ 2 x，且与椭圆12＋ 3 ＝1 有公 共焦点，则 C 的方程为( x2 y2 A. 8 －10＝1 x2 y2 C. 5 － 4 ＝1 ) x2 y2 B. 4 － 5 ＝1 x2 y2 D. 4 － 3 ＝1
由双曲线的标准方程知 a ＝ 1 ， b2 ＝ m ， c ＝
c 故双曲线的离心率 e＝a＝ 1＋m＝ 3， ∴1＋m＝3，解得 ห้องสมุดไป่ตู้＝2.
x2 y2 6． [2017· 全国卷Ⅲ]双曲线a2－ 9 ＝1(a>0)的一条渐近线 3 5 方程为 y＝5x，则 a＝________.
x2 y2 解析 ∵双曲线的标准方程为a2－ 9 ＝1(a＞0)， 3 ∴双曲线的渐近线方程为 y＝± ax. 3 又双曲线的一条渐近线方程为 y＝5x，∴a＝5.
2b2 解析 由已知得|AB|＝|CD|＝ a ，|BC|＝|AD|＝|F1F2|＝ 2 c. 4b2 因为 2|AB|＝3|BC|，所以 a ＝6c， 又 b2＝c2－a2，所以 2e2－3e－2＝0， 1 解得 e＝2，或 e＝－2(舍去)．
命题角度 2 双曲线的渐近线问题 例 x2 y2 3 (1)已知双曲线 C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的离心 )
(5)过双曲线焦点 F1 的弦 AB 与双曲线交在同支上，则 AB 与另一个焦点 F2 构成的△ABF2 的周长为 4a＋2|AB|. (6)双曲线的离心率公式可表示为 e＝ b2 1＋a2.
[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)平面内到两点 F1(－1,0)，F2(1,0)的距离之差等于 1 的 点的轨迹是双曲线．( × ) x2 y 2 (2) 方 程 m － n ＝ 1(mn>0) 表 示 焦 点 在 x 轴 上 的 双 曲 线．( × ) x2 y 2 (3) 与双曲线 m － n ＝ 1(mn>0) 共渐近线的双曲线方程可 x2 y2 设为m － n ＝λ(λ≠0)．( √ )

.
[小题体验]
1．若直线 3x＋ y＋ a＝ 0过圆 x2＋ y2＋ 2x－ 4y＝ 0的圆心，则 a 的值为 A．－ 1 C． 3 B． 1 D．－ 3 ( )
解析：圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5， ∵直线经过圆的圆心(－1,2)， ∴3×(－1)＋2＋a＝0，得a＝1.
答案：B
2． (2018· 浙江五校联考)若点(2a， a＋ 1)在圆 x2＋ (y－ 1)2＝ 5的 内部，则实数 a的取值范围是 A． (－ 1,1)
答案：B
2． (2018· 永康模拟 )设 a∈ R，则 “a>1”是“方程 x2＋ 2ax＋ y2＋ 1 ＝ 0的曲线是圆”的 A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ( )
解析：因为方程是圆，所以可转化为(x＋a)2＋y2＝a2－1， 即a2－1>0，解得a>1或a<－1.所以当“a>1”时，有a2－1>0， 得曲线方程是圆的方程；当曲线方程是圆的方程时，有a>1 或a<－1，不一定得到a>1.所以是充分不必要条件．
1 C．－ 1， 5
(
)
B． (0,1)
1 D．－ ， 1 5
解析：因为点在圆内，所以(2a)2＋(a＋1－1)2<5，解得－ 1<a<1.故实数a的取值范围是(－1,1)．
答案：A
3．(2018· 湖州调研 )若圆 C与圆 x2＋y2＋ 2x＝0关于直线 x＋ y－1 ＝ 0对称，则圆心 C的坐标为 ________；圆 C的一般方程是 ________．
2.点与圆的位置关系 点 M(x0， y0)与圆 (x－ a)2＋ (y－ b)2＝ r2 的位置关系：

第
七
节
双曲线
课前·双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
课堂·考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点

课后·三维演练
基础练、题型练、能力练、全练力保全能
课 前 双 基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
必
过
教
材
关
1．双曲线的定义 平面内与两个定点F1， F2的 距离的差的绝对值等于非零 常数 (小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线 ______
2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 y2 y2 x2 － ＝1(a＞0，b＞0) 2－ 2＝1(a＞0，b＞0) a2 b2 a b
图形
性 质
范围 对称性
x≤－a 或 x≥a，y∈R y≤－a 或 y≥a，x∈R 对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点
标准方程 顶点 渐近线 离心率 性 质 a，b，c 的关系
2 y 即其标准方程为x2－ ＝ 1. 2 2 y 答案：x2－ ＝1 2
课 堂 考 点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
考点一 双曲线的标准方程
[题组练透]
x2 y2 1． (2017· 天津高考 )已知双曲线 2－ 2 ＝ 1(a>0， b>0)的左焦点 a b 为 F，离心率为 2 .若经过 F和 P(0,4)两点的直线平行于双 ( )
x2 y2 解析：设要求的双曲线方程为 2－ 2＝ 1(a>0， b>0)， a b x2 y2 由椭圆 ＋ ＝1，得椭圆焦点为(± 1,0)，顶点为(± 2,0)． 4 3 所以双曲线的顶点为(± 1,0)，焦点为(± 2,0)． 所以a＝ 1， c＝ 2，所以b2＝ c2－ a2＝ 3，

＝m2＋1≥1，所以 ≤α＜ .故倾斜角
2－1
4
2
[ )π π
α 的取值范围是 ， . 42
2．经过 P(0，－1)作直线 l，若直线 l 与连接 A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则
直线 l 的斜率 k 和倾斜角 α 的取值范围分别为________，________.
解析：如图所示，结合图形，若 l 与线段 AB 总有公共点，则
∴Error!得 k＜0.
( ) 1
11
∴S△AOB＝2·|OA|·|OB|＝2·
2－ k
·(1－2k)
( ) [ ( ) ] 1 1
1
1
＝ 4－ －4k ≥ 4＋2
2k
2
－ ·－4k k
1 ＝4，当且仅当－ ＝－4k，
k
1
1
即 k＝－ 时，△AOB 的面积有最小值 4，此时直线 l 的方程为 y－1＝－ (x－2)，即 x
2；令 x＝0，得 y＝－2，即 l1 与 y 轴的交点为(0，－2)，直线 l1 的倾斜角为 135°，∴直线 l2 的倾斜角为 135°－90°＝45°，∴l2 的斜率为 1，故 l2 的方程为 y＝x－2，即 x－y－2＝0.
答案：－2 x－y－2＝0
1．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于 x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于 x，
[ ] [ ] π π π 5π
A. ， ∪ ， 62 2 6
[ ] [ ) π 5π
B. 0， ∪ ，π 66
[ ]5π
C. 0， 6
[ ] π 5π
D. ， 66
3 解析：选 B 设直线的倾斜角为 θ，则 tan θ＝－ cos α，

-
直线 MA1 的方程为 y=


(x+2),直线
NA
2 的方程为 y=
+
联立直线 MA1 与直线 NA2 的方程可得
=
由
+ ( +) ( -)
=
=
- ( -) ( -)
=
-
(x-2),
-
-


· -· +
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
定值问题

[例1] 已知双曲线 C: - =1 (a>0,b>0)的虚轴长为4,直线2x-y=0
为双曲线C的一条渐近线.
(1)求双曲线C的标准方程;
(1)解:因为虚轴长为4,所以2b=4,即b=2,
因为直线2x-y=0为双曲线C的一条渐近线,
与曲线C方程联立,消去y整理得(4+3k2)x2+6kx-9=0,
Δ=36k2+4×9×(4+3k2)=144(1+k2)>0恒成立,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则|MN|= +
|x1-x2|=
+
×
设线段 MN 的中点为 T(x0,y0),
+
则 x0=

=-

由题意,直线MN的斜率不为0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),


直线 MN 的方程为 x=my-4,且-<m<,

2
2
2
与 -=1 联立消去 x 可得(4m -1)y -32my+48=0,且Δ=64(4m +3)>0,

将点(-1, )的坐标代入椭圆方程 + =1,得 +

所以椭圆 E 的方程为 + =1.




=1,解得 b= ,
(2)设直线l与圆O:x2+y2=a2交于C,D两点,当
求△ABF2面积的取值范围.
2
2
|CD|∈[2 ,


] 时,
解:(2)由(1)知圆 O 的方程为 x +y =4,由题意,直线 l 的斜率不为 0,
=
+-


因为 t∈(1,+∞),所以 ∈(0,1),

所以|AB|+|DE|∈[ ,7).
,


-( - ) +



综上所述,|AB|+|DE|的取值范围为[ ,7].
解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参
得最值的临界条件,得出最值.
(2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则首先建
立目标函数,再求这个函数的最值,求函数最值的常用方法有配方
法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.
[针对训练] (2024·河南襄城模拟)已知抛物线C的顶点在坐标
原点,焦点在y轴的正半轴上,圆x2+(y-1)2=1经过抛物线C的焦点.
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
最值问题

[例1] (2024·安徽蚌埠模拟)在椭圆 C: + =1 (a>b>0)中,c=2,

因为直线l1与椭圆C相切，所以Δ＝0， 得9(y0－kx0)2k2－(9k2＋4)[(y0－kx0)2－4]＝0， 所以－36k2＋4[(y0－kx0)2－4]＝0，
2．教材衍化 (1)(选修A2－1P36例3)到点F(0,4)的距离比到直线y＝－ 5的距离小1的动点M的轨迹方程为( ) A．y＝16x2 B．y＝－16x2 C．x2＝16y D．x2＝－16y
解析 由题意可知动点M到点F(0,4)的距离与到直线y ＝－4的距离相等，则点M的轨迹为抛物线，故选C.
(2)设两切线为l1，l2， ①当l1⊥x轴或l1∥x轴时，对应l2∥x轴或l2⊥x轴，可知 P(±3，±2)． ②当l1与x轴不垂直且不平行时，x0≠±3.
设l1的斜率为k，则k≠0，l2的斜率为－1k，
故l1的方程为y－y0＝k(x－x0)，联立
x2 9
＋
y2 4
＝1，得(9k2
＋4)x2＋18(y0－kx0)kx＋9(y0－kx0)2－36＝0.
冲关针对训练 已知圆C与两圆x2＋(y＋4)2＝1，x2＋(y－2)2＝1外切， 圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点M(x，y)的距离的 最小值为m，点F(0,1)与点M(x，y)的距离为n. (1)求圆C的圆心轨迹L的方程； (2)求满足条件m＝n的点M的轨迹Q的方程．
解 (1)两圆半径都为1，两圆圆心分别为C1(0，－4)， C2(0,2)，由题意得|CC1|＝|CC2|，可知圆心C的轨迹是线段 C1C2的垂直平分线，C1C2的中点为(0，－1)，直线C1C2的 斜率不存在，故圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线， 其方程为y＝－1，即圆C的圆心轨迹L的方程为y＝－1.
(1)(2018·银川模拟)设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动

2．抛物线的标准方程和几何性质 y2＝ 2px(p＞ 0) y2＝ － 2px(p＞ 0) x＝ 2py(p>0)
2
标准 方程
x2＝ － 2py(p>0)
p的几何意义：焦点 F到准线 l的距离 图形 顶点 对称轴 y＝ 0 O(0,0) x＝ 0
标准方 程
y2＝2px(p ＞0)
y2＝－2px (p＞0)
1 解析： 抛物线的标准方程为 x ＝ y，所以焦点坐标为 4
2
1 1 0， ，准线方程为 y＝－ . 16 16
1 答案：0， 16
1 y＝－ 16
必
过
易
错
关
1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当 定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的 直线． 2．抛物线标准方程中参数 p易忽视，只有 p＞ 0才能证明其几何 意义是焦点 F到准线 l的距离，否则无几何意义． 3．抛物线的标准方程的形式要注意，根据方程求焦点坐标或准 线方程时，要注意标准形式的确定．
[小题纠偏]
1．平面内到点(1,1)与到直线x＋ 2y－ 3＝ 0的距离相等的点的轨迹 是 A．椭圆 C．抛物线 B．双曲线 D．一条直线 ( )
答案：D
2．抛物线 8x2＋y＝ 0的焦点坐标为________．
1 解析：由 8x ＋y＝ 0，得 x ＝－ y. 8
2 2
1 1 1 ∴ 2p＝ ，p＝ ，∴焦点为0，－ . 8 16 32
|BF|2－ 1 B． |AF|2－ 1 |BF|2＋ 1 D． |AF|2＋ 1
解析：由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶 点 F， 且 A， B， C 三点共线， 易知△BCF 与△ACF |BC| 的面积之比就等于 . 由抛物线方程知其焦点 |AC| F(1,0)，作准线 l，则 l 的方程为 x＝－1. ∵点 A，B 在抛物线上，过 A，B 分别作 AK，BH 与准线垂直， 垂足分别为点 K，H，且与 y 轴分别交于点 N，M. 由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1. |BC| |BM| |BF|－1 在△CAN 中，BM∥AN，∴ ＝ ＝ . |AC| |AN| |AF|－1