2017_2018学年高中数学第一单元基本初等函数(Ⅱ)1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算学案新人教B版必修4

1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确地转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.
知识点一角度制与弧度制
思考1 在初中几何研究过角的度量，当时是使用角度制来度量角的，那么1°的角是如何规定的？
思考2 在弧度制中，1弧度的角是如何规定的？
思考3 “1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？
梳理(1)角度制
①定义：用________作单位来度量角的制度.
②1度的角：把圆周________等分，则其中1份所对的圆心角是1度.
(2)弧度制
①定义：以________为单位来度量角的制度.
②1弧度的角：长度等于________的圆弧所对的圆心角.
③弧度数的计算公式：在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则α＝________.
知识点二 角度制与弧度制的换算
思考 角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？
梳理 (1)角度与弧度的互化
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
知识点三 扇形的弧长及面积公式
思考 扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？
类型一 角度与弧度的互化 例1 将下列角度与弧度进行互化. (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π
5.
反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可求解.把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以⎝ ⎛⎭
⎪⎫180π°即可.
跟踪训练1 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π
12化成度.
类型二 用弧度制表示终边相同的角 例2 已知角α＝2 010°.
(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角.
反思与感悟 用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用.
跟踪训练2 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α≤2π； (2)在[0°，720°]内找出与
2π
5
角终边相同的角.
类型三 扇形的弧长及面积公式的应用
例3 (1)若扇形的中心角为120°，半径为3，则此扇形的面积为( ) A.π B.5π4 C.3π3 D.23π
9
(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为( ) A.2 B.2sin 1 C.2sin 1 D.4
sin 1
反思与感悟 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S ＝12lr ＝12αr 2
，二是l ＝αr ，
如果已知其中两个，就可以求出另一个.求解时应注意先把度化为弧度，再计算. 跟踪训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数.
1.下列说法中，错误的是( )
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的1
2π
C.1 rad 的角比1°的角要大
D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 2.时针经过一小时，转过了( ) A.π
6 rad B.－π
6 rad
C.π
12
rad D.－π
12
rad
3.若θ＝－5，则角θ的终边在( )
A.第四象限
B.第三象限
C.第二象限
D.第一象限
4.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形圆心角的弧度数是( )
A.1
B.4
C.1或4
D.2或4
5.已知⊙O的一条弧AE的长等于该圆内接正三角形的边长，则从OA顺时针旋转到OE所形成的角α的弧度数是________.
1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.
2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式.
易知：度数×π
180 rad＝弧度数，弧度数×
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
180
π
°＝度数.
3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度.
答案精析
问题导学 知识点一
思考1 把圆周360等分，则其中1份所对的圆心角是1°的角． 思考2 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
思考3 “1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关．
梳理 (1)①度 ②360 (2)①弧度 ②半径长 ③l r
知识点二
思考 利用1°＝π180 rad 和1 rad ＝(180
π)°进行弧度与角度的换算．
梳理 (1)2π 360° π 180° 0.017 45 57.30° (2)45° 90° 135° 270° 0 π6 π
3
2π3 5π
6 知识点三
思考 设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则：
题型探究
例1 解 (1)20°＝20π180＝π
9.
(2)－15°＝－15π180＝－π
12.
(3)7π12＝7
12
×180°＝105°.
(4)－11π5＝－115×180°＝－396°.
跟踪训练1 解 (1)112°30′＝⎝
⎛⎭
⎪⎫2252°＝2252×π180＝5π8.
(2)－5π12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12×180π°＝－75°.
例2 解 (1)2 010°＝2 010×π180＝67π6
＝5×2π＋7π
6，
又π<7π6<3π2
，
∴α与7π
6
终边相同，是第三象限的角．
(2)与α终边相同的角可以写成γ＝7π
6＋2k π(k ∈Z )，又－5π≤γ＜0，
∴当k ＝－3时，γ＝－29π
6；
当k ＝－2时，γ＝－17π
6；
当k ＝－1时，γ＝－5π
6
.
跟踪训练2 解 (1)∵－1 480°＝ －1 480×π180＝－74π
9
，
而－74π9＝－10π＋16π
9，且0≤α≤2π，
∴α＝16π9.∴－1 480°＝16π9＋2×(－5)π.
(2)∵2π5＝2π5×(180
π
)°＝72°，
∴终边与2π
5角相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )，
当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°.
∴在[0°，720°]内与2π
5角终边相同的角为72°，432°.
例3 (1)A (2)D
跟踪训练3 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式
S ＝12lR ，得1＝12
(4－2R )·R ，
∴R ＝1，∴l ＝2，
∴α＝l R ＝2
1
＝2，
即扇形的圆心角为2 rad. 当堂训练
1．D 2.B 3.D 4.C 5.－ 3。