反证法

专项突破　

反　证　法　及　让　云　

１．已知以是整数，ａ。是偶数，求证：口是偶数．　做题前，请参考本期文章　《“正难则反”的三层感悟》　

２．已知直线ａ不在平面ａ内，直线ｂ在平面ａ内，以∥６，求证：以∥平面　．　

３．已知Ｏ＜口，ｂ，ｃ＜２，求证：ａ（２－－ｂ），ｂ（２－－ｃ），ｆ（２一盘）不可能都大于１．　

・　１８　・　可　

口　口　

皇　

圈　

盏　言　

勘　Ｉ　Ｉ　

卜、）　０　Ｌ九　ｃ＾）　

酬　（２）因为，（　）一ｃ　Ｏ＜＆＜１，所以１一ｎ＞ｏ，一（１＋ｎ）＜Ｏ．　１一一（１十“）　十ａ，　＜二以，　所以ｌ厂（ｚ）在　，＋一）上是增函数，在（一。。，ｎ）上是减函数．　所以　（－ｔ，）…一－厂（ｎ）一－－ａ。．　

专项突破类比推理　

１．１６，利用上面结论，可知当函数取最小值时，　一　一２，ｌ。ｇ　２ｍ＝４，　一１６．　

２．Ｐ点为（÷，０），最小值为２￣／ｒＩ＿．　

３．相等．提示：设０是三角形ＡＢＣ的外心，Ｓ　＿一面ＡＢＣ，连接ＳＡ，ＳＢ，ＳＣ，显然可证△ＳＯＡｃ￣△ＳＯＢ　

△ＳＯＣ，所以结论正确．　

４．　，～等．任取异于Ａ，Ｂ的点Ｍ，设Ｍ（　，　），ｔａｎ￣ＭＡＢ・ｔａｎ　ＭＢＡ一　．　

又由茅＋荸一１得　。一　！　，所以得ｔａｎＺＭＡＢ・ｔａ　心一　．下一个结论证明同上．　

５．任取一个边长为单位１的正方体，内连一个正四面体，这时它的棱长为＾　，正方体的对角线即该正　

四面体的外接球直径，可求半径Ｒ一等．设这个正四面体的内切球半径为ｒ，高为ｈ，由等积法得４Ｘ了Ｉ　ｒ　

一｛　ｈ，由勾股定理可求　：　，得ｒ一等，得ｒ：Ｒ＝Ｉ：３．　

６．观察前面规律：１×４—４，２×４—８，３×４—１２，…，得２Ｏ×４—８０．　

７．类比等比数列可得原式一１＋２＋２　＋…＋２。一２　一１—１　０２３．　

专项突破反证法　

１．证明：假设Ⅱ不是偶数，又ａ是整数，则ａ是奇数．记ａ一２ｋ＋１，ｋ∈Ｚ，则ａ　一４ｋ　＋４ｋ＋１为奇数，　与已知条件ａ　是偶数矛盾，所以ａ是偶数．　

- 1 - 反证法的定义

反证法是指以否定假设的方法来证明一种命题正确性的一种推理方式，也称作“反向推理”或“反证法”或“假设反证”。它可以通过否定某一命题来证明另一命题的正确性。反证法是建立在反面推理的基础之上的一种推理方式，而反面推理指的是一种以反面为基础的推理，是“以质疑或否定的方式来反映某个说法或想法，以便说服某个想法是正确的”。

反证法可以用来证明许多经典的定理，其中最具代表性的就是数学家克莱因在17篇文章中提出的“克莱因定理”，其证明的方式就是通过反证法。克莱因定理的要点为：任何一个非空集合必然至少有两个元素，否则它就不是一个集合。克莱因定理的证明是从负结论的角度出发的，即：如果任何一个非空集合只有一个元素，那么它就不是一个集合。为了证明非空集合至少有两个元素，就必须证明该假设是错误的。为此，克莱因利用排中律，从而推出若集合有两个元素，那么它就是一个集合，使克莱因定理得以证明。

反证法也用于经济学的研究，一个典型的例子就是通过反证法来证明David Ricardo提出的“比较优势”理论。比较优势理论认为，在自由贸易的条件下，一个国家可以依靠其所擅长的特定产品来增长出口贸易，从而实现社会收益的最大化。要证明这个理论，Ricardo利用反证法，让大家相信如果不能通过比较优势来使一国收益最大化，那么另一个国家就一定会受到损失。他让大家相信，如果不是按照比较优势来进行贸易，那么一国的投资就不能达到最优的状态，必然会 - 2 - 使另一个国家受到伤害，从而证明比较优势理论的正确性。

另一方面，反证法在哲学上也有着广泛的应用。例如，古希腊的哲学家亚里士多德提出“万物有灵论”，这是一个未经验证的假设，当今哲学界也难以完全证实它的正确性。亚历斯多德没有用传统的论证方法来证明他的观点，而是采取了反证法，即，如果不存在灵魂，那么每一个物体就没有内在的动能，从而推出“万物有灵论”的正确性。

1 “反证法”在遗传类题中的应用

遗传变异是高中生物的核心内容之一，遗传变异理论的提出经历了由现象到假设，到理论的过程。从高考角度上讲，关于遗传变异的考题司空见惯。所涉及的题型和方法很多，如直接法、棋盘法、筛选法、分解组合法等。其中假设法就是值得推行的，在遗传试题中应用很广泛。归纳起来看涉及以下几方面：

1 显、隐关系的确定

【例1】已知牛的有角和无角为一对相对性状，由常染色体上的等位基因A和a控制。在自由放养多年的牛群中，无角的基因频率与有角的基因频率相等，随机选1头无角公牛和6头有角母牛，分别交配每头母牛只产一头小牛，在6头小牛中，3头有角，3头无角。根据上述结果是不能够确定这对相对性状中的显性性状。为了确定有角和无角这对相对性状的显隐性关系，用上述自由放养的牛群（假设无突变发生）为实验材料，在一代内进行新的杂交实验，应该怎样进行？（简要写出杂交组合，预期结果并得出结论）。

分析：

实验目的：确定有角和无角这对相对性状的显隐性关系。显性隐性确定的方法有：①杂合子自交，后代出现新的性状为隐性性状，则亲本性状为显性性状；②纯合子自交，后代都是纯合子。

首先假设无角为显性，则公牛的基因型为Aa，6头母牛的基因型都为aa，每个交配组合的后代或为有角或为无角，概率各占1/2。6个交配组合的后代合计会出现3头无角小牛，3头有角小牛。

再假设有角为显性，则公牛的基因型为aa，6头母牛可能有两种基因型，即AA和Aa。AA的后代均为有角，Aa的后代或为有角或为无角，概率各占1/2。由于雌雄配子的随机结合以及后代较少，实际分离比例可能偏离1/2。所以，只要母牛中具有Aa基因型的头数大于或等于3，那么6个交配组合的后代合计也会出现3头无角小牛，3头有角小牛。

综合上述分析，不能确定有角为显性，还是无角为显性。若要进一步确定这对相对性状中的显性性状，则要找出杂合子，根据杂合子的后代会出现性状分离的特点，在无角公牛和有角母牛的后代中，选有角母牛与有角公牛交配，若有无角出现，则有角牛为杂合子，即有角为显性；反之，若后代全为有角，即无角为显性。

反证法通俗易懂的例子

以下是 6 条关于反证法通俗易懂的例子：

1. 你想啊，如果说小明不是个调皮捣蛋的孩子，那为啥每次大家捣乱的时候都有他呀！就好比说西瓜是方的，那可能吗？这显然不符合常理呀，所以小明就是调皮捣蛋嘛，这就是用反证法呀！

2. 哎呀，你说小李不是很努力工作，那为啥他天天加班到很晚呢？这不就和说天上没有星星一样荒谬嘛！这反证法一下就看出来小李很努力啦！

3. 嘿，你要是说那蛋糕不甜，那为啥大家吃了都一脸满足的样子呢？这就像说太阳不发光一样可笑呀！这不就证明了蛋糕是甜的嘛，反证法真神奇呢！

4. 你讲小红不是个善良的人，那为啥每次有人遇到困难她都第一个去帮忙呢？这和说花儿没有颜色有啥区别呀！显然小红就是善良的呀，反证法多好用！

5. 你非要说小王不懂音乐，那为啥他每次听到音乐都能跟着哼起来呢？这就如同说鸟儿不会飞一样不合理呀！这就说明小王是懂音乐的呀，这不就是反证法的威力嘛！

6. 你要是坚持说这电影不好看，那为啥电影院里的人都看得那么投入，还时不时发出笑声呢？这就好像说大海没有水一样不可思议呀！所以电影就是好看呀，反证法太绝啦！

我的观点结论是：反证法真的是一种很有趣且有用的思维方法呀，能让我们从相反的角度看清很多事情呢！