第一章第6讲 平方差公式和完全平方公式(10类热点题型讲练)(原卷版)--初中数学北师大版7年级下册

第06讲平方差公式和完全平方公式(10类热点题型讲练)

1.理解并掌握平方差公式和完全平方公式的推导和应用；

2.理解平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算；

3.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法.

知识点01平方差公式

平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.

即(a+b)(a-b)=a²-b²

公式的几种变化：

①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²；

（-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a²

②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b²

③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²=44

ab

④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c²

⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²=44ab

⑥公式逆运算：a²-b²=(a+b)(a-b)

知识点02完全平方公式

完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍.

即完全平方和(a+b)²=a²+2ab+b²完全平方差(a-b)²=a²-2ab+b²

（1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍

（2）公式的变化：

①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab；③(a+b)²=(a-b)²+4ab；④(a-b)²=(a+b)²-4ab

⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab

知识点03平方差和完全平方差区别

平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b²

完全平方差公式：(a-b)²=a²-2ab+b²

平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍

题型01判断是否可用平方差公式运算.

【例题】下列各式中不能用平方差公式计算的是（）

A．11

22

22abab





B．

2332xyyx

C．

22xyxy

D．

11xx

【变式训练】1．下列能使用平方差公式的是（）

A．

33xx

B．

xyxy

C．

55mnmn

D．

33mnmn

2．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）

A．

22xyxy

B．

xyxy

C．

baba

D．

xyyx

题型02运用平方差公式进行运算.

【例题】（2023上·全国·八年级专题练习）计算：

(1)

2aba

；(2)11

22xx





；(3)

mnmn

；

(4)

0.10.1xx

；(5)

xyyx

．

【变式训练】1．（2023上·八年级课时练习）计算：

(1)

5353mnmn

；(2)

222525abab

；

(3)11

44xyxy





；(4)

3434yxyx

．

2．（2023·上海·七年级假期作业）计算：

(1)

2232349aaa

；(2)22111224ababab





．

题型03利用平方差公式进行简便运算.

【例题】（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）用简便方法计算：

(1)498502(2)

2202220232021

【变式训练】

1．（2023上·八年级课时练习）计算：

(1)10.39.7

；(2)

2202020222021．

2．（2023上·八年级课时练习）计算：

(1)13

10099

44

．

(2)198202

．

(3)

22022

202220232021．

题型04平方差公式与几何图形.

【例题】（2023上·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校联考期中）图1、图2分别由两个长方形拼成．

(1)图1中图形的面积为22ab，图2中图形的面积为

ab

．（用含有a、b的代数式表示）

(2)由（1）可以得到等式：．

(3)根据你得到的等式解决下列问题：

①计算：

2268.531.5．

②若42mn

，求

222

212121mmnn的值．【变式训练】

1．（2023上·陕西安康·八年级校联考阶段练习）【实践操作】

（1）如图1，在边长为a

的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形（

ab），把图1中L形的纸片按图②剪

拼，改造成了一个大长方形如图③，用含a

、b

的式子表示图③中大长方形的面积为______；

（2）请写出图①、图②、图③验证的乘法公式为：______；

【应用探究】

（3）利用（2）中验证的公式简便计算：4995011

；

（4）计算：

2222211111

11111

23420232024







．

2．（2023上·山东济南·七年级山东省济南稼轩学校校考阶段练习）实战与探究，如图1，边长为a的大正方

形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．

(1)上述操作能验证的公式是______（请选择正确的一个）．

A．

2

aabaab

B．

22ababab

C．

2

222aabbab

(2)请应用上面的公式完成下列各题：

①已知22424ab，26ab

，则2ab______；

②计算：

222222229897.1.....43009921；

③计算：

2222

222221212.....4321223nnnnn

题型05运用完全平方公式进行运算

【例题】（2023上·河南信阳·八年级校考阶段练习）用乘法公式计算

(1)2()xyz

(2)

2323xyxy

【变式训练】

1．（2023上·八年级课时练习）计算：

(1)

2

7xy

；

(2)

2

45ab；

(3)2

2mn；

(4)

2323xyxy

．2．（2023上·八年级课时练习）计算：

(1)

22xyzxyz

；

(2)

2

523abc；

(3)

532536abcabc

．

题型06利用完全平方公式进行简便运算

【例题】用简便方法计算：2211

3.73.72.72.7

22

．

【变式训练】

1．用简便算法计算

(1)

2201720162018(2)

2220220219698++

题型07通过对完全平方公式变形求值

【例题】（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）已知：3ab

，2ab

，求下列各式的值：

(1)

22

ab；

(2)2()ab

．

【变式训练】

1．已知4mn

，2mn

，求下列代数式的值．

(1)

22

mn

(2)

11mn

2．已知3

5

2abab，

，求下列式子的值：

(1)

22

aabb；

(2)

2

ab．

题型08求完全平方式中的字母系数

【例题】已知关于x的式子241xA是某个多项式的完全平方，那么A是．

【变式训练】

1．若

2125xax

是一个完全平方式，则a

．

2．若整式424xxQ

是完全平方式，请写出所有满足条件的Q

是．

题型09完全平方式在几何图形中的应用

【例题】（2023上·江苏·九年级专题练习）我们已经学习了乘法公式2

222abaabb

的多种运用，可

以运用所学知识解答：求代数式245xx的最小值．解答如下：

解：2

224544121xxxxx，

2

20x，∴当2x

时，

2

2x

的值最小，最小值是

0，

∴2

211x，∴当

2

20x

时，

2

21x的值最小，最小值是1，

∴245xx的最小值是1．

请你根据上述方法，解答下列各题．

(1)知识再现：当x

______时，代数式

2415xx的最小值是______；

(2)知识运用：若2615yxx

，当x

______时，y

有最______值（填“大”或“小”），这个值是______；

(3)知识拓展：若25100xxy

，求yx

的最小值．

【变式训练】

1．例：求代数式

245xx的最小值.

解：2

2245444529xxxxx，

2

20x，

2

299x

，



当2x时，代数式245xx有最小值9

，