高数下册知识点三

高等数学（下）知识点

第 1 页 共 20 页 高等数学下册知识点

二. 极限性质:

1. 类型: *limnna; *lim()xfx(含x); *0lim()xxfx(含0xx)

2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量):

3. 未定型: 000,,1,,0,0,0

4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性

三. 常用结论:

11nn, 1(0)1naa, 1()max(,,)nnnnabcabc, 00!naan

1(0)xx,

0lim1xxx, lim0nxxxe, lnlim0nxxx,

0limln0nxxx, 0,xxex

四. 必备公式:

1. 等价无穷小: 当()0ux时,

sin()()uxux; tan()()uxux; 211cos()()2uxux;

()1()uxeux; ln(1())()uxux; (1())1()uxux;

arcsin()(uxux; arctan()()uxux

第八章 空间解析几何与向量代数

（一） 向量及其线性运算

1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；

2、 线性运算：加减法、数乘；

3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；

4、 利用坐标做向量的运算：设),,(zyxaaaa，),,(zyxbbbb，

则 ),,(zzyyxxbabababa, ),,(zyxaaaa；

5、 向量的模、方向角、投影： 高等数学（下）知识点

第 2 页 共 20 页 1）向量的模：222zyxr；

2）两点间的距离公式：212212212)()()(zzyyxxBA

3）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,,

4）方向余弦：rzryrxcos ,cos ,cos

1coscoscos222

5）投影：cosPraaju，其中为向量a与u的夹角。

（二） 数量积，向量积

1、 数量积：cosbaba

1）2aaa

2）ba0ba

zzyyxxbabababa

2、 向量积：bac

大小：sinba，方向：cba,,符合右手规则

1）0aa

2）ba//0ba

zyxzyxbbbaaakjiba 高等数学（下）知识点

第 3 页 共 20 页 运算律：反交换律 baab

（三） 曲面及其方程

1、 曲面方程的概念：0),,(:zyxfS

2、 旋转曲面：

yoz面上曲线0),(:zyfC，

绕y轴旋转一周：0),(22zxyf

绕z轴旋转一周：0),(22zyxf

3、 柱面：

0),(yxF表示母线平行于z轴，准线为00),(zyxF的柱面

4、 二次曲面

1） 椭圆锥面：22222zbyax

2） 椭球面：1222222czbyax

旋转椭球面：1222222czayax

3） 单叶双曲面：1222222czbyax

4） 双叶双曲面：1222222czbyax 高等数学（下）知识点

第 4 页 共 20 页 5） 椭圆抛物面：zbyax2222

6） 双曲抛物面（马鞍面）：zbyax2222

7） 椭圆柱面：12222byax

8） 双曲柱面：12222byax

9） 抛物柱面：ayx2

（四） 空间曲线及其方程

1、 一般方程：0),,(0),,(zyxGzyxF

2、 参数方程：)()()(tzztyytxx，如螺旋线：btztaytaxsincos

3、 空间曲线在坐标面上的投影

0),,(0),,(zyxGzyxF，消去z，得到曲线在面xoy上的投影00),(zyxH

（五） 平面及其方程

1、 点法式方程：0)()()(000zzCyyBxxA

法向量：),,(CBAn，过点),,(000zyx 高等数学（下）知识点

第 5 页 共 20 页 2、 一般式方程：0DCzByAx

截距式方程：1czbyax

3、 两平面的夹角：),,(1111CBAn，),,(2222CBAn，

222222212121212121cosCBACBACCBBAA

21 0212121CCBBAA

21//

212121CCBBAA

4、 点),,(0000zyxP到平面0DCzByAx的距离：

222000CBADCzByAxd

（六） 空间直线及其方程

1、 一般式方程：0022221111DzCyBxADzCyBxA

2、 对称式（点向式）方程：pzznyymxx000

方向向量：),,(pnms，过点),,(000zyx

3、 参数式方程：ptzzntyymtxx000

4、 两直线的夹角：),,(1111pnms，),,(2222pnms，

222222212121212121cospnmpnmppnnmm 高等数学（下）知识点

第 6 页 共 20 页 21LL 0212121ppnnmm

21//LL

212121ppnnmm

5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，

222222sinpnmCBACpBnAm

//L 0CpBnAm

L pCnBmA

第九章 多元函数微分法及其应用

（一） 基本概念

1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。

2、 多元函数：),(yxfz，图形：

3、 极限：Ayxfyxyx),(lim),(),(00

4、 连续：),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx

5、 偏导数：

xyxfyxxfyxfxx), (), (lim),(0000000

yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0000000

6、 方向导数：

coscosyfxflf其中,为l的方向角。 高等数学（下）知识点

第 7 页 共 20 页 7、 梯度：),(yxfz，则jyxfiyxfyxgradfyx),(),(),(000000。

8、 全微分：设),(yxfz，则dddzzzxyxy

（二） 性质

1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：

2、

闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）

3、 微分法

1） 定义： u x

2） 复合函数求导：链式法则 z

若(,),(,),(,)zfuvuuxyvvxy，则 v y

zzuzvxuxvx，zzuzvyuyvy

3） 隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）

（三） 应用

1、 极值

1） 无条件极值：求函数),(yxfz的极值 偏导数存在 函数可微

函数连续 偏导数连续

充分条件 必要条件

定义 1 2

2

3 4 高等数学（下）知识点

第 8 页 共 20 页 解方程组 00yxff 求出所有驻点，对于每一个驻点),(00yx，令

),(00yxfAxx，),(00yxfBxy，),(00yxfCyy，

① 若02BAC，0A，函数有极小值，

若02BAC，0A，函数有极大值；

② 若02BAC，函数没有极值；

③ 若02BAC，不定。

2） 条件极值：求函数),(yxfz在条件0),(yx下的极值

令：),(),(),(yxyxfyxL ——— Lagrange函数

解方程组

0),(00yxLLyx

2、 几何应用

1） 曲线的切线与法平面

曲线)()()(:tzztyytxx，则上一点),,(000zyxM（对应参数为0t）处的

切线方程为：)()()(000000tzzztyyytxxx

法平面方程为：0))(())(())((000000zztzyytyxxtx

2） 曲面的切平面与法线

曲面0),,(:zyxF，则上一点),,(000zyxM处的切平面方程为： 高等数学（下）知识点

第 9 页 共 20 页 0))(,,())(,,())(,,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx

法线方程为：),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx

第十章 重积分

（一） 二重积分

1、 定义：nkkkkDfyxf10),(limd),(

2、 性质：（6条）

3、 几何意义：曲顶柱体的体积。

4、 计算：

1） 直角坐标

bxaxyxyxD)()(),(21，

21()()(,)ddd(,)dbxaxDfxyxyxfxyy

dycyxyyxD)()(),(21，

21()()(,)ddd(,)ddycyDfxyxyyfxyx

2） 极坐标

)()(),(21D