解直角三角形的知识点总结

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标准 解直角三角形

初三下册第一章：

知识点总结：

1. 解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求位置元素的过程，就是解直角三角形。

（1） 三边关系：222cba

（2） 锐角关系：∠A+∠B=90°；

( 3 ) 边角关系：

正弦：锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记sinA ,即sinA =ca

余弦：锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记cosA ,即cosA=cb；

正切：锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记tanA，即tanA=ba；

特殊锐角的三角函数值

① 同角三角函数的关系：

平方关系：1cossin22AA; 商数关系：tanA=AAcossin

②互余两角的三角函数关系：

sinA=cosB; sinA=cos(90°-A) ; cosA=sin (90°-A ); tanA=cot(90°-A ) 初三数学同步讲义

2 2.

实际问题

仰角：进行高度测量时，在视线与水平线所成的角中，当视线在水平线上方时叫做仰角。

俯角：进行高度测量时，在视线与水平线所成的角中，当视线在水平线下方时叫做俯角。

坡度（坡比）：坡面的铅垂高度和水平宽度的比叫做坡面的坡度，记作i=h:l。

坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a,即i=h:l=tana.

方位角：从某点的正北方向沿顺时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角。

方向角：从正北方向或正南方向到目标方向形成的小雨90°的角叫做方向角。

典型例题：

题型一：特殊三角函数值

1、计算2sin30°-sin245°+cot60°的结果是（ ）

A、 B、 C、 D、

2、已知a=3，且（4tan 45°-b）2+=0，以a，b，c为边组成的三角形面积等于（ ）

一、直角三角形的性质：

1、两个锐角互余 ∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∵∠C=90°∠A=30°∴ BC=21AB

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

∵∠ACB=90° D为AB的中点 ∴ CD=21AB=BD=AD

4、勾股定理：222cba ：222abc还可以变形为222acb，222bca．

5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项

∵∠ACB=90°CD⊥AB

∴ BDADCD•2

ABADAC•2

ABBDBC•2

6、常用关系式

由三角形面积公式可得：AB•CD=AC•BC

二、锐角三角函数

1、锐角三角函数定义：在RTABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则：

sinAaAc的对边斜边 cosAbAc的邻边斜边

tanAaAAb的对边的邻边 cotAbAAa的邻边的对边

常用变形：sinacA；sinacA等，由同学们自行归纳

2、锐角三角函数的有关性质：

（1）当0°<∠A<90°时，0sin1A；0cos1A；tan0A；cot0A

（2）在0°90°之间，正弦、正切（sin、tan）的值，随角度的增大而增大；余弦、余切（cos、cot）的值，随角度的增大而减小。

3、同角三角函数的关系： A

C B D 22sincos1AA tancot1AA sintancosAAA coscotsinAAA

常用变形：2sin1cosAA 2cos1sinAA （用定义证明，易得，同学自行完成）

4、正弦与余弦，正切与余切的转换关系：

解直角三角形

一、锐角三角函数

（一）、锐角三角函数定义

在直角三角形ABC中，∠C=900，设BC=a，CA=b，AB=c，锐角A的四个三角函数是：

(1)正弦定义：在直角三角形中ABC，锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，即

sinA=ca,

（2）余弦的定义：在直角三角行ABC，锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦，记作cosA，即

cosA=cb,

（3）正切的定义：在直角三角形ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切，记作tanA，即

tanA=ba，

(4)锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记作cotA即

锐角A的正弦、余弦，正切、余切都叫做角A的锐角三角函数。

这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：

（1）锐角∠A必须在直角三角形中，且∠C=900；

（2）在直角三角形ABC中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。否则，不存在上述关系

注意:锐角三角函数的定义应明确(1)ca，cb，ba，ab四个比值的大小同△ABC的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，即当锐角A取固定值时，它的四个三角函数也是固定的；

（2）sinA不是sinA的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是一个整体，其他三个三角函数记号也是一样；

（3）利用三角函数定义可推导出三角函数的性质，如同角三角函数关系，互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等；

（二）、同角三角函数的关系

（1）平方关系：122sinCOS

(2)倒数关系：tanａcota=1

(3)商数关系：sincoscot,cossintan

注意：（1）这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同事还要注意它们的变形公式。

(2)sinsin22是的简写，读作“sin的平方”，不能将22sin写成sin前者是a的正弦值的平方，后者无意义；

（3）这里应充分理解“同角”二字，上述关系式成立的前提是所涉及的角必须相同，如1cottan,1223030cossin22•，而1cossin22就不一定成立。

1 解直角三角形

知识点梳理

◆(一)锐角三角函数

1．三角函数定义

1在Rt△ABC中，若∠C=90°

A sinA ac的对边斜边 A cosA bc的邻边斜边

A tanA A ab的对边的邻边 A cotA A ba的邻边的对边

2、同角三角函数的关系

（1）平方关系：22sincos1AA （2）商数关系：sintancosAAA coscotsinAAA

（3）倒数关系：tancot1AA

3、互为余角的三角函数关系 sin(90)cosAA， cos(90)sinAA tan(90)cotAA，cot(90)tanAA

或者：若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB

4、特殊角的三角函数值(自画表格)

α sinα cosα tanα cotα

0° 0 1 0 不存在

☆15° 624 624 23 23

30° 12 32 33 3

45° 22 22 1 1

60° 32 12 3 33

☆75° 624 624 23 23

90° 1 0 不存在 0

5、锐角三角函数的增减性(0°~90°)

（1）锐角的正弦值（或正切值）随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减小。

（2）锐角的余弦值（或余切值）随着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大。

6、锐角三角函数的取值范围

0≤sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.

2 CBA◆（二）解直角三角形

1、直角三角形中边角关系

在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么

（1）三边之间的关系为222abc（勾股定理）（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90°