变换和置换群

419 拉普拉斯变换及反变换

1.表A-1 拉氏变换的基本性质

1

线性定理 齐次性 )()]([saFtafL

叠加性 )()()]()([2121sFsFtftfL

2

微分定理

一般形式

11)1()1(1222)()()0()()(0)0()(])([)0()(])([kkkknkknnnndttfdtffssFsdttfdLfsfsFsdttfdLfssFdttdfL）（

初始条件为0时 )(])([sFsdttfdLnnn

3

积分定理

一般形式

nktnnknnnntttdttfsssFdttfLsdttfsdttfssFdttfLsdttfssFdttfL1010220220]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个共个共

初始条件为0时 nnnssFdttfL)(]))(([个共

4 延迟定理（或称t域平移定理） )()](1)([sFeTtTtfLTs

5 衰减定理（或称s域平移定理） )(])([asFetfLat

6 终值定理 )(lim)(lim0ssFtfst

7 初值定理 )(lim)(lim0ssFtfst

8 卷积定理 )()(])()([])()([21021021sFsFdtftfLdftfLtt

2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表

序号 拉氏变换E(s) 时间函数e(t) Z变换E(z)

1 1 δ(t) 1

420 2 Tse11 0)()(nTnTtt

1zz

3 s1 )(1t 1zz

4 21s t 2)1(zTz

一傅里叶变换在应用上的局限性

在第三章中，已经介绍了一个时间函数tf满足狄里赫利条件并且绝对可积时，即存在一对傅里叶变换。即

dtetfjFtj (正变换) (5.1)

dejFtftj21 (反变换) (5.2)

但工程实际中常有一些信号并不满足绝对可积的条件，例如阶跃信号tU，斜变信号ttU，单边正弦信号ttUsin等，从而对这些信号就难以从傅里叶变换式求得它们的傅里叶变换。

还有一些信号，例如单边增长的指数信号tUeat0a等，则根本就不存在傅里叶变换。

另外，在求傅里叶反变换时，需要求从到区间的广义积分。求这个积分往往是十分困难的，甚至是不可能的，有时则需要引入一些特殊函数。

利用傅里叶变换法只能求系统的零状态响应，而不能求系统的零输入响应。在需要求零输入响应时，还得利用别的方法，例如时域经典法。

由于上述几个原因，从而使傅里叶变换在工程应用上受到了一定的限制。所以，当今在研究线性系统问题时，拉普拉斯变换仍是主要工具之一。

实际上，信号tf总是在某一确定的时刻接入系统的。若把信号tf接入系统的时刻作为0t的时刻(称为起始时刻)，那么，在t＜0的时间内即有tf=0。我们把具有起始时刻的信号称为因果信号。这样，式(5-1)即可改写为

dtetfjFtj0 (5-3)

式(5-3)中的积分下限取为0，是考虑到在0t的时刻tf中有可能包含有冲激函数t。但要注意，式(5-2)中积分的上下限仍然不变(因积分变量是)，不过此时要在公式后面标以t＞0，意即只有在t＞0时tf才有定义，即

傅里叶变换和拉普拉斯变换的应用

积分变换的理论和方法是简化问题的一种重要而有效的数学方法，它不仅应用于许多数学分支，而且在物理与工程技术上都有广泛应用，特别是在自动控制和电信技术上，积分变换是分析问题的重要而有效的手段。本文将就积分变换中最常用的傅里叶变换和拉普拉斯变换在实际中的应用进行简略的阐述。

傅里叶变换的应用

傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用。傅里叶变换分为离散变换和连续变换，由于实际生活中所获取的信号一般都是离散的，所以离散型的傅里叶变换更为我们所接受，连续傅里叶变换通常只做实验研究。下面只就傅里叶变换的几个重要应用作简要分析。

在图像处理中的应用

（1）图像增强与图像去噪

绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘；

（2）图像分割之边缘检测

提取图像高频分量。

（3）图像特征提取：

形状特征：傅里叶描述子

纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征

其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性

（4）图像压缩

可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换。

在数字信号领域的应用

离散傅里叶变换在数字信号领域的作用已经不言而喻。它就是让更多没有规律的信号变得更加容易识别，更加容易变成人们熟知的某种信号。在我们现代的通讯中，人们的声音信号就是离散的，它可以转换成为离散的数字信号，然后通过信号传输达到交流效果，这就是离散时间信号的傅里叶变换。

在交通方面，离散傅里叶变换也起着非常重要的作用。具体来说，我们要采集到每个路口每分钟的车流量，这不可能让人站在路口守着一辆一辆数，这需要数字传感器。但是传感器传来的数据是分散的，这时候，技术人员可以通过运用傅里叶变换来处理这些数据，从而得知车流量，我们的交通部门就可以针对不同的路口设置交通灯的时间，确保路况在最佳情况下运行。

顾沛《抽象代数》1.6变换群与置换群习题解答

习题4.证明：置换群$G$中若含有奇置换，则$G$必有指数为$2$的⼦群.

证明 易知$G$中若有奇置换，则奇偶置换各半.不妨设$G$的偶置换为$${\rm id}=\sigma_{1},\sigma_{2},\cdots,\sigma_{m}$$

⽽奇置换$\phi_{1},\cdots,\phi_{m}$,⼜消去律可知每个$\sigma_{i}\phi_{1}$均为奇置换且互不相等,从⽽$$\{\sigma_{i}\phi_{1}|i=1,2,\cdots,m\}=\{\phi_{1},\cdots,\phi_{m}\}$$

取$G$的⼦群$$N=\{\sigma_{1},\cdots,\sigma_{m}\}

那么根据前⾯分析可知$[G:N]=2.$ 5.设$G_{1},G_{2}$是群, $N_{1}\lhd G_{1},N_{2}\lhd G_{2}$,且有$$N_{1}\simeq N_{2},G_{1}/N_{1}\simeq G_{2}/N_{2}$$

问是否⼀定有$G_{1}\simeq G_{2}$?解答 不⼀定.反例如下：取$G_{1}=S_{3},G_{2}=\mathbb Z_{6}$,再取⼦群$$N_{1}=<(123)>,N_{2}=<\overline{2}>$$

由于$N_{1},N_{2}$均为三阶循环群,从⽽必有$N_{1}\simeq N_{2}$.此外$$[G_{1}:N_{1}]=[G_{2}:N_{2}]=2$$

因此⼆者均为正规⼦群,所以可作商群$G_{1}/N_{2},G_{2}/N_{2}$,且$$|G_{1}/N_{1}|=|G_{2}/N_{2}|=2$$

⽽⼆阶群仅有⼀种结构,必为循环群,因此$G_{1}/N_{1}\simeq G_{2}/N_{2}$.但是显然$S_{3}$与$\mathbb Z_{6}$不同构.(由于$S_{3}$不是循环群) 6.设$G$是有限群,⽽$G$的任何真⼦群都是循环群,问$G$是否⼀定是循环群?