薛定谔方程（英语：Schrodinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔在1926年提出的一个用于描述量子力学中波函数的运动方程[1]，被认为是量子力学的奠基理论之一。
薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。
薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。
薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral
formulation) 。薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。海森堡表述比较没有这么严重的问题；而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。
[编辑] 含时薛定谔方程
虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。在一维空间里，一个单独粒子运动于位势 中的含时薛定谔方程为
(1)
其中， 是质量， 是位置， 是相依于时间 的波函数， 是约化普朗克常数， 是位势。
类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势 中的含时薛定谔方程为
(2)
假若，系统内有 个粒子，则波函数是定义于 -位形空间，所有可能的粒子位置空间。用方程表达，
。
其中，波函数 的第 个参数是第 个粒子的位置。所以，第 个粒子的位置是 。
[编辑] 不含时薛定谔方程
不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。
- 1 - 离散薛定谔方程
离散薛定谔方程（DiscreteSchrdingerEquation，简称DSE）是一种描述离散型固体系统的量子力学方程，属于薛定谔方程系列的一部分。薛定谔方程系列是量子力学中最重要的方程之一，它用来描述物理系统的状态，包括空间的时间动力学。离散薛定谔方程的出现，使得量子力学理论能够应用于解决离散型固体系统的微观结构和动力学问题。
离散薛定谔方程是由德国科学家薛定谔在1925年发表的，提出了一种新的量子力学方法，根据其方程可以对物体进行量子力学描述，它用概率波函数和算符号来表示量子物理系统，即描述量子力学系统的状态与能量。随着技术的发展，薛定谔方程可应用范围得到扩展，由原来的连续型系统发展到离散型系统，这就是离散薛定谔方程出现的历史背景。
离散薛定谔方程由时间和空间量子力学描述系统状态而表示，它是一个非线性方程，其表达形式为：
iΨ/t=H(t)Ψ，
其中，i为虚数单位，为普朗克常数，Ψ为波函数，t为时间，H(t)为时间依赖的哈密顿量（Hamiltonian）。
离散薛定谔方程解决的是量子力学描述的离散型固体系统的动力学问题，就是求解离散型固体系统的能量吸收、能态演变等量子物理系统的动力学问题。因其解决的问题十分重要，因此离散薛定谔方程成为了量子力学理论中最重要的一部分。 - 2 - 离散薛定谔方程在现代物理学领域有许多应用，它可以用来描述量子力学计算机、量子通讯等科技领域，以及磁性体系统、半导体系统等固体系统中非线性系统的动力学问题。另外，离散薛定谔方程也可以用来描述量子化学中的特性，例如气体的热力学和光谱学属性。
由于离散薛定谔方程的出现，使得量子力学理论和技术能够应用于解决复杂的微观结构问题，这也使科学家的认知得到了极大的拓展，催生了许多有关量子力学的新理论。此外，离散薛定谔方程还为研究固体体系的动力学，特别是非线性系统，提供了一种新的方法。
量子物理
量子物理学是物理学的一个分支，研究物质世界中微观粒子的运动定律。它主要研究原子，分子，凝聚态物质，核和基本粒子的结构和性质的基本理论。它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。量子力学不仅是现代物理学的基础理论之一，而且还广泛应用于化学和许多现代技术中。
在20世纪，量子力学为我们提供了物质和场论，这改变了我们的世界。展望21世纪，量子力学将继续为所有科学提供基本概念和重要工具。
新量子理论
尽管创建了量子力学来描述远离我们日常生活的抽象原子世界，但它对我们的日常生活影响巨大。没有量子力学作为工具，化学，生物学，医学以及其他所有关键学科都不会有令人着迷的进步。没有量子力学，就没有全球经济可言，因为作为量子力学的产物的电子革命已经使我们进入了计算机时代[2]。同时，光子学的革命也将我们带入了信息时代。量子物理学的杰作改变了我们的世界。科学革命给世界带来了好消息和潜在威胁。
量子的概念是如此令人困惑，以至于自从引入量子物理学以来，一小群物理学家花费了三年的时间，在这20年中几乎没有根本的进展。这些科学家痴迷于自己所做的事情，有时他们对自己所做的事情感到失望。以下观察也许最好地描述了这一至关重要但难以捉摸的理论的独特位置：量子理论是科学史上最准确的理论，也是科学史上最成功的理论。量子力学深深迷惑了其创始人。然而，在本质上以普遍形式表达了75年之后，尽管科学界的一些精英们承认其强大的功能，但他们仍然对其基础和基本解释不满意。
1918年诺贝尔物理学奖得主马克斯·普朗克（Max Planck）在1900年提出了普朗克辐射定律，量子论由此诞生。在他关于热辐射的经典论文中，普朗克假定振动系统的总能量不能连续改变，而是以不连续的能量子形式从一个值跳到另一个值。能量子的概念太激进了，普朗克后来将它搁置下来。随后，爱因斯坦在1905年（这一年对他来说是非凡的一年）认识到光量子化的潜在意义。不过量子的观念太离奇了，后来几乎没有根本性的进展。现代量子理论的创立则是崭新的一代物理学家花了20多年时间的结晶。
量子力学中的薛定谔方程及其求解
量子力学是研究微观粒子行为的重要理论，其核心是薛定谔方程。薛定谔方程描述了量子体系中粒子的波函数以及随时间演化的规律。本文将介绍薛定谔方程的基本原理，并讨论一些常见的求解方法。
一、薛定谔方程的基本原理
薛定谔方程是波动方程，描述了量子体系中粒子的行为。它的一般形式为：
iħ∂ψ/∂t = Hψ
其中，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，ψ是粒子的波函数，t是时间，H是哈密顿算符。
薛定谔方程的左边代表了波函数随时间变化的导数，右边代表了粒子在量子力学描述下的总能量。通过求解这个方程，我们可以得到波函数的时间演化规律，从而揭示粒子的行为。
二、薛定谔方程的求解方法
求解薛定谔方程是量子力学中的关键问题，涉及到很多数学方法和物理概念。下面介绍几种常见的求解方法。
1. 一维自由粒子的求解方法
对于一维自由粒子，其哈密顿算符可以简化为动能算符，即H = -ħ^2/2m * ∂^2/∂x^2。将这个算符代入薛定谔方程，可以得到一维自由粒子的薛定谔方程为： iħ∂ψ/∂t = -ħ^2/2m * ∂^2ψ/∂x^2
这是一个简单的偏微分方程，可以通过分离变量法求解。假设波函数可以分解为时间部分和空间部分的乘积，即ψ(x, t) = φ(x) * χ(t)，代入薛定谔方程后可以分离变量，得到两个独立的常微分方程。分别求解这两个方程，再将它们的解合并，即可得到一维自由粒子的波函数。
2. 一维势阱的求解方法
一维势阱是限制粒子运动在有限空间内的一种势场。在势阱中，波函数的形式将受到势场的影响。求解一维势阱的薛定谔方程需要考虑势场对波函数的贡献。
对于势阱中的波函数，只有在势阱内部才能存在。在势阱内部，薛定谔方程的形式与自由粒子类似，但是边界条件会影响波函数的形式。边界条件一般为波函数在势阱边界处连续且导数连续。通过求解这个边界问题，可以得到一维势阱中的波函数。
3. 二维和三维量子体系的求解方法
