数学公式 两条直线的距离

数学课程讲义

学科：数学

专题：直线的交点坐标与距离公式

考点梳理

一、两直线的平行

（一）由斜率判定

设直线1l和2l不重合，斜率都存在, 斜率分别为1k和2k，那么：

（二）对于直线的一般式

一般地，对于直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0),有

方程组.,,002121212121212121212121222111平行无解重合无穷多解相交唯一解llCCBBAAllCCBBAAllBBAACyBxACyBxA.

二、两直线的垂直

（一）由斜率判定

如果两条直线1l和2l都有斜率， 12112211llkkkk 21 y 21ll

O X

第 - 1 - 页

（二）对于直线的一般式

对于直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，有

0212121BBAAll

三、点到直线的距离

点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离

d=2200||BACByAx.

四、两条平行直线间的距离

两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离公式为

d=2221||BACC.

金题精讲

题一

题面：求经过点(1,2)P的直线，且使(2,3)A，(0,5)B到它的距离相等的直线方程( )

A. 420xy B. 2x

C. 420xy，或1x D. 420xy，或2x

2l 1l

1 2 y

O x

第 - 2 - 页 题二

题面：过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点，并垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程是 .

1 2.3.4两平行直线间的距离公式

(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第二章)

一、教学目标

1.理解两平行线间距离的定义

2.会求两平行线间的距离，及应用公式求距离

3.培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力

二、教学重难点

1.理解和掌握两条平行线间的距离公式

2.应用距离公式解决综合问题

三、教学过程

1.概念的形成

1.1创设情境，引发思考

【实际情境】前面我们已经得到了两点间的距离公式，点到直线的距离公式，关于平面上的距离问题，两条直线间的距离也是值得研究的。

问题1：立定跳远测量的什么距离？

A.两平行线的距离

B.点到直线的距离

C.点到点的距离

【预设的答案】A

【设计意图】通过生活中跳远的问题情境，引出在坐标系下探究两平行线间距离公式的问题，用跳远这一实例，让学生感受“距离”这样的问题是客观存在的，是源于实际生活的.

问题2：已知两条平行直线l1,l2的方程，如何求l1与l2间的距离？

根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上取任一点P(x0,y0)，,点P(x0,y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行线间的距离就转化为求点到直线的距离。

【活动预设】引导学生归纳概括出平行线间的距离定义

1. 图示：

2. 定义：夹在两平行线间的__________的长.

公垂线段

3. 求法：两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离. 2

1.2探究典例，形成概念

活动：已知两条平行直线12:2780,:62110lxylxy，求12ll与间的距离.

【活动预设】感受如何计算两条平行线间的距离？

【设计意图】为引入两条平行直线间的距离作准备.

问题3：如何取点，可使计算简单？

解：在直线2x － 7y－8=0上任取一点，如P(4,0)

则两平行线的距离就是点P(4,0)到直线6x-21y-1=0的距离.

- 1 - 两条平行直线之间的距离公式

平行直线是平面中相互平行的两条线，在数学中，两条平行直线之间的距离具有重要的计算意义，是很多数学问题中的重要的研究内容。在四边形、椭圆、圆等多边形中，这种距离也是计算面积的先决条件之一。本文将讨论如何求取两条平行直线之间的距离，以及如何利用这种距离来解决数学问题。

一、两条平行直线之间的距离公式

首先，我们来看一下两条平行直线之间的距离公式。一般来说，如果两条直线是平行的，那么它们之间的距离等于两条直线上两点的连线的垂直距离，即：

距离 = |P1P2|

其中，P1、P2分别是两条直线上任意两点坐标。

二、两条平行直线之间的距离求解

要求出两条平行直线之间的距离，可以采用以下几种方法：

（1）极长法。极长法是一种比较常用的求解两条平行直线之间距离的方法，它需要求出两条直线上的任意两点的坐标，再求出这两个点的连线的垂直距离即可求出两条直线的距离。

（2）几何法。几何法是一种求两条平行直线之间距离的比较简便的方法，只要已知一条直线上任意点坐标和该直点与另一条直线的夹角，就可以求出两条直线之间的距离。

三、两条平行直线之间的距离应用

两条平行直线之间的距离公式不仅在几何中有着重要的研究价 - 2 - 值，在很多数学问题中，它也被广泛应用。例如，在用于求四边形、椭圆、圆等多边形面积时，求出两条平行直线之间的距离即可求出该多边形的面积。此外，考虑任意四边形的每一条边都是两条然不同的平行直线，当知道这四条边时，可以通过求出每一条边之间的距离，来判断该四边形是否为正方形或矩形，这种方法可以用在建筑学等领域。

四、结论

通过本文，我们得出结论：两条平行直线之间的距离可以通过极长法和几何法分别求取，而求取的距离可以用来计算多边形的面积、判断四边形是否为正方形或矩形等。总之，两条平行直线之间的距离极其重要，是很多数学问题解决的关键。

直线交点坐标与距离公式

一、知识点

1、直线方程每一对实数解一对应一 直线上点坐标

2、两点间距离：),(11yxP，),(22yxQ，则221221)()(||yyxxPQ

3、点),(11yxP到直线0:CByAxl距离2211||BACByAxd

4、两条平行线0:11CByAxl、0:22CByAxl距离

2221||:2,:1BACCd公式法方法转化为点到线距离计算在某直线取上点方法

二、练习

练习1、求直线1l：063yx与直线2l：02yx的交点坐标。

练习2、求直线1l：0632yx与直线2l：042yx的交点坐标。

练习3、求直线1l：0634yx与直线2l：083yx的交点坐标。

练习4、求直线1l：0635yx与直线2l：062yx的交点坐标。

练习5、已知直线l过直线1l：063yx与直线2l：022yx的交点，且斜率5k，求直线l方程。

练习6、已知直线l满足下列两个条件：过直线y = – x + 1和y = 2x + 4的交点， 与直线x –3y + 2 = 0 垂直，求直线l的方程．

练习7、已知直线l：06)32()1(ykxk，则直线必过定点为（ ）

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练习8、求下列两点间距离：

（1） A（1，1），B（2，4） （2） A（3，5），B（5，1）

（3） A（4，7），B（4，10） （4） A（12，4），B（54，4）

练习9、已知)3,1(P，),5(yQ，且10||PQ，求y

练习10、已知)5,(aA，)10,0(B两点间距离是17，求a值 练习11、已知)2,1(A，)7,2(B，在x轴上求点P,使|PA|=|PB|，并求|PA|