教育最新K122019高考数学一轮复习 第十一章 概率与统计 11.1 随机事件及其概率练习 理

小学+初中+高中

小学+初中+高中 §11.1 随机事件及其概率

命题探究

(2017课标全国Ⅱ,18,12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:

(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg,新养殖法的箱产量不低于50 kg”,估计A的概率;

(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;

量<50 kg 箱产量≥50 kg (3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01). 附:

P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001

k 3.841 6.635 10.828

,

K2=.

解析 (1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”,C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”.

由题意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C).

旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62,

故P(B)的估计值为0.62.

新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66,

故P(C)的估计值为0.66. 因此,事件A的概率估计值为0.62×0.66=0.409 2.

(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表

箱产量<50 kg 箱产量≥50 kg 旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66

K2=≈15.705.

由于15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.

(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50 kg的直方图面积为(0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5,箱产量低于55 kg的直方图面积为(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5,故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50+≈52.35(kg). 核心考点

1.频率分布直方图; 2.独立性检验; 3.相互独立事件的概率乘法公式; 4.用样本的数字特征估计总体的数字特征.

思路分析

(1)由题意可知:P(A)=P(BC)=P(B)P(C),分别求得B,C发生的频率,即可求得A的概率; (2)完成2×2列联表,求得观测值,与参考值比较,即可求得有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关; (3)根据频率分布直方图即可求得其中位数的估计值.

思维拓展

第3问解法二:根据已知数据分析可得中位数一定落在第四组[50,55)中,设中位数是x, 则0.004×5+0.02×5+0.044×5+(x-50)×0.068=0.5,解得x≈52.35,即新养殖法箱产量的中位数的估计值为52.35 kg.

方法总结

解决统计图表问题时,应正确理解图表中各量的意义,通过图表掌握信息是解决该类问题的关键.频率分布直方图直观形象地表示了样本的频率分布.

储备知识

频率分布直方图的特征: (1)各小矩形的面积和为1.

(2)纵轴的含义为频率/组距,小矩形的面积=组距×=频率.

(3)样本数据的平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘其底边中点的横坐标之和. (4)众数的估计值为最高的小矩形的底边中点的横坐标. (5)中位数是把频率分布直方图划分为左、右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标.

命题规律

1.必考内容:各种统计图表与概率的有关内容相结合或与统计案例相结合. 2.考查形式:以解答题为主,将统计与概率知识结合起来考查. 3.分值:约12分.

能力要求

1.会列频率分布表,会画频率分布直方图,会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的数字特征估计总体的数字特征,理解用样本估计总体的思想;

2.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单的应用.

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考纲解读

考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度

事件与概率 ①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别;

②了解两个互斥事件的概率加法公式 掌握 2016北京,16;

2014课标Ⅰ,5 选择题

解答题 ★★★

分析解读 1.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.2.了解等可能事件的概率的意义,会用排列、组合的基本公式计算一些等可能事件的概率.3.用互斥事件的概率公式计算一些事件的概率是高考的热点.

五年高考

考点 事件与概率

1.(2014课标Ⅰ,5,5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )

A. B. C. D.

答案 D

2.(2015江苏,5,5分)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为 .

答案

3.(2016北京,16,13分)A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时):

A班 6 6.5 7 7.5 8

B班 6 7 8 9 10 11 12

C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5

(1)试估计C班的学生人数;

(2)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;

(3)再从A,B,C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时).这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1,表格中数据的平均数记为μ0,试判断μ0和μ1的大小.(结论不要求证明)

解析 (1)由题意知,抽出的20名学生中,来自C班的学生有8名.根据分层抽样方法,C班的学生人数估计为100×=40.

(2)设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”,i=1,2,…,5,

事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”, j=1,2,…,8.

由题意可知,P(Ai)=,i=1,2,…,5;P(Cj)=, j=1,2,…,8.

P(AiCj)=P(Ai)P(Cj)=×=,i=1,2,…,5, j=1,2,…,8.

设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知,E=A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.

因此P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2)+P(A5C3)+P(A5C4)=15×=.

(3)μ1

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三年模拟

A组 2016—2018年模拟·基础题组

考点 事件与概率

1.(2018江西宜春昌黎实验学校第二次段考,7)五个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下,则这个人继续坐着.那么,没有相邻的两个人站起来的概率为( )

A. B. C. D.

答案 C

2.(2017广东清远清新一中一模,3)从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )

A.至少有1个白球;都是白球

B.至少有1个白球;至少有1个红球

C.恰有1个白球;恰有2个白球

D.至少有1个白球;都是红球

答案 C

3.(2017山西运城4月模拟,4)已知五条长度分别为1,3,5,7,9的线段,现从这五条线段中任取三条,则所取三条线段能构成一个三角形的概率为( )

A. B. C. D.

答案 B

4.(2016湖南衡阳八中一模,6)从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( )

A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.3

答案 C

B组 2016—2018年模拟·提升题组

(满分:35分 时间:30分钟)

一、选择题(每小题5分,共15分)

1.(2017湖南郴州三模,3)从集合A={-2,-1,2}中随机抽取一个数记为a,从集合B={-1,1,3}中随机抽取一个数记为b,则直线ax-y+b=0不经过第四象限的概率为( )

A. B.

C. D.

答案 A

2.(2017东北三省四市二模,8)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次,事件“至少有一次正面向上”的概率为p,且p≥,则n的最小值为( )

A.4 B.5 C.6 D.7

答案 A

3.(2016上海二模,16)设M、N为两个随机事件,如果M、N为互斥事件,那么( )

A.∪是必然事件 B.M∪N是必然事件

C.与一定为互斥事件 D.与一定不为互斥事件

答案 A

二、填空题(共5分)

4.(2018安徽皖南八校12月联考,13)在1,2,3,4,5,6,7,8中任取三个不同的数,取到3的概率为 . 小学+初中+高中

小学+初中+高中 答案

三、解答题(共15分)

5.(2018湖北荆州中学第二次月考,18)某影院为了宣传影片《战狼Ⅱ》,准备采用以下几种方式来扩大影响,吸引市民到影院观看影片,根据以往经验,预测:

①分发宣传单需要费用1.5万元,可吸引30%的市民,增加收入4万元;

②网络上宣传,需要费用8千元,可吸引20%的市民,增加收入3万元;

③制作小视频上传微信群,需要费用2.5万元,可吸引35%的市民,增加收入5.5万元;

④与商场合作需要费用1万元,购物满800元者可免费观看影片(商场购票),可吸引15%的市民,增加收入2.5万元.

问:

(1)在三名观看影片的市民中,至少有一名是通过微信群宣传方式被吸引来的概率是多少?

(2)影院预计可增加的盈利是多少?

解析 (1)设事件A:不是通过微信宣传方式被吸引来的观众,则P(A)=1-0.35=0.65,

设事件B:三名观众中至少有一名是通过微信宣传方式被吸引的观众,则P(B)=1-0.653=0.725 375.

(2)增加盈利为(4-1.5)×0.3+(3-0.8)×0.2+(5.5-2.5)×0.35+(2.5-1)×0.15=2.465万元.

C组 2016—2018年模拟·方法题组

方法1 随机事件的频率与概率的常见类型及解题策略

1.(2017广东韶关六校联考,18)某商店计划每天购进某商品若干件,商店每销售1件该商品可获利50元.若供大于求,剩余商品全部退回,则每件商品亏损10元;若供不应求,则从外部调剂,此时每件调剂商品可获利30元.

(1)若商店一天购进该商品10件,求当天的利润y(单位:元)关于日需求量n(单位:件,n∈N)的函数关系式;

(2)商店记录了50天该商品的日需求量(单位:件),整理得下表:

日需求量n 8 9 10 11 12

频数 10 10 15 10 5

①假设该店在这50天内每天购进10件该商品,求这50天的日利润(单位:元)的平均数;

②若该店一天购进10件该商品,记“当天的利润在区间[400,550]”为事件A,求P(A)的估计值.

解析 (1)当日需求量n≥10,n∈N时,利润y=50×10+(n-10)×30=30n+200;