最优化问题的经典例题

□倪艳美好的生活需要合理安排，复杂的局面需要巧妙应对，生活中这类现象生成的数学问题，需要我们统筹规划，找出最优方案，从而获得最满意的答案。

我是这样解的优化问题集锦例1.王奶奶做午饭所需要的时间是淘米3分钟、煮饭25分钟、洗菜6分钟、切菜7分钟、炒菜10分钟。

你觉得她把这些事都做好，怎样安排最合理？最少需要多长时间？最合理的安排应该最节省时间，这就要求在同一时间内能同时完成几件事。

王奶奶要做的事中，用时最长的是煮饭，需要25分钟。

在煮饭的同时可以洗菜、切菜、炒菜，做这三件事的时间是6＋7＋10＝23（分）。

但煮饭之前要先淘米，因此，淘米和煮饭不能同时完成，所以25分钟不能煮好饭，必须加上淘米的3分钟。

也就是说，王奶奶完成所有的事情需要28分钟。

画出图示如下：最少需要3＋25＝28（分）淘米3分钟煮饭25分钟洗菜6分钟、切菜7分钟、炒菜10分钟图1例2.甲、乙两人各有三张牌（如图2），规定每人每次出一张，大牌“吃”小牌，如果甲先出牌，那么乙怎样出牌才能获胜？甲乙图2我是这样解的根据“田忌赛马”的应对策略，如果甲出最大的牌8，乙就出最小的牌3；甲出最小的牌4，乙就出中间的牌5；甲出中间的牌6，乙就出最大的牌7。

这样乙就能保证获胜。

例3.明明、亮亮、丁丁、宁宁同时来到学校医务室（医务室只有一名医生）。

给明明打针要2分钟，给亮亮测视力要5分钟，给丁丁测脉搏要1分钟，给宁宁伤口换药要6分钟。

怎样安排他们的就诊顺序，才能使四人等候时间（不计各自的就诊时间）的总和最少？最少是多少分？我是这样解的如果先诊治用时较长的人，那么其他人等候的时间总和就长，所以要先安排用时较短的就诊。

先给丁丁测脉搏，另外三人等候的总时间为1×3＝3（分），接着给明明打针，另外两人等候的总时间是2×2＝4（分），然后给亮亮测视力，宁宁等候的时间是5分，最后给宁宁伤口换药。

四人等候的总时间是3＋4＋5＝12（分）。

例4.张师傅要给就餐的73名小朋友每人烙一张大饼，由于锅不大，一次只能烙两张大饼。

牛顿法求解最优化问题例题牛顿法求解最优化问题，这个听起来很高大上的词儿，其实就像咱们日常生活中的寻宝游戏。

想象一下，咱们在一个美丽的山谷里，四周环绕着高高的山峰，偶尔还会有小溪潺潺流过，鸟儿在树上叽叽喳喳，简直是个世外桃源。

可是，问题来了，咱们想找到最完美的那个地方，那个既能看到日出又能享受夜空的绝佳位置。

就得动动脑筋，想想怎么能最快找到那个地方。

好啦，牛顿法就是这样一种聪明的工具，能帮助我们一步步接近那个理想的位置。

它通过观察地形来决定咱们下一步该往哪个方向走。

这就像在攀登山峰，咱们得看看脚下的路，哪里陡峭，哪里平坦，然后决定脚该落在哪儿。

牛顿法的核心就是这个观察与决策，聪明得让人拍手称赞。

想象一下，你站在山顶，朝着山下的一片开阔地望去，想着：“哎呀，那里真不错！”于是你便开始朝那个方向迈出第一步。

然后呢，牛顿法还特别讲究数学，听起来有点儿复杂，但其实并不难。

简单来说，它借助函数的导数来找到目标点。

这个过程就像你在画一条线，线的倾斜度决定了你下一步走的方向和速度。

数学的魔力在于它能精确地告诉你，哪里是下降最快的地方，哪里是最陡的坡。

这样的判断可真是让人眼前一亮。

生活中也常常有这样的瞬间，咱们在做决定时，恨不得有个指南针指给我们方向，牛顿法正是那种智慧的指南针。

有趣的是，牛顿法并不是总能直达目的地。

走着走着就会发现，哎，这条路可能不是咱想要的，结果反而越走越偏。

像极了生活中的小插曲，不是每一次决定都是正确的，有时还得灵活应变。

就像咱们逛街，看到一家新店，心里想着“去试试吧”，结果发现店里的衣服并不合适，没关系，咱们转身去找下一个宝藏。

牛顿法也有这样的韧性，失败的时候可以重新调整，继续朝着目标前进。

再说说牛顿法的效率，真的是一绝。

它能迅速收敛，像是在山谷里找到一条捷径，省去不少麻烦。

想象一下，咱们在爬山，看到其他人还在兜圈子，自己已经踩到了平坦的地方，心里那个美呀，简直是“心花怒放”。

这种效率让人觉得，牛顿法真的是个了不起的伙伴，仿佛一位资深的向导，把我们带到了最好的位置。

最优化问题最优化问题(一)例1：一只平底锅上只能剪两只饼。

用它剪1只饼需要2分钟（正面、反面各1分钟）。

问剪3只饼需要几分钟？怎样剪？例2：6个人各拿一只水桶到水龙头接水。

水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟。

现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这6个人的打水次序，可使他们总的等候最短？这个最短时间是多少？例3：小红放学回家，想让爸爸、妈妈下班后就能吃上晚饭。

她准备做大米饭和炒鸡蛋。

小红家有两个炉灶。

估计一下，洗锅要用1分钟，淘米要用5分钟，做大米饭要用30分钟，打蛋要用1分钟，洗炒勺要用1分钟，烧油要1分钟，炒鸡蛋要3分钟。

你认为最合理的安排要几分钟能做好饭菜？例4：在公路上，每隔100千米有一个仓库，共有5个仓库。

1号仓库里有10吨货物，2号仓库里有20吨货物，5号仓库里有40吨货物，其余两个仓库都是空的。

现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，若每吨货物运输一千米要0.5元运输费，那么至少要花费多少元运费才行？例5：沿铁路有5个工厂，A，B，C，D，E（如图），各厂每天都有10吨货物要外运。

现在想建一座车站，使这5个工厂的货物运到车站的行程总和越小越好。

车站应建在何处？如果在E的右侧增加一个工厂，车站建在何处总行程最小呢？例6：在公路干线的附近，有5个工厂A，B，C，D，E（如图），各厂每天都有10吨货物要存库。

现在想在公路干线上建一座库房，使这5个工厂的货物运到库房的行程总和越小越好，库房应建在何处？例7：工地上有手推车20辆,其中10辆从A1到B1运垃圾,要60车次运完。

另外10辆从A2到B2运砖头，要40车次运完。

工地上的可行道路及路程如图（单位：米）所示。

有人说上面的安排不合理，因为跑空车的路程还可以更少些。

那么，怎样安排才算合理呢？【练习题】1、有7个满杯水、7个半杯水和7个空杯。

不许倒水，你能把这些东西平均分给3个人，使得每人有7只杯子和3杯半水吗？2、有8个人在交通事故中受伤，救援人员1人可以救护2人，而1辆救护车只可以坐4个人。

第7讲最优化问题一、知识要点在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做到用的时间最少，效果最佳。

这类问题在数学中称为统筹问题。

我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小）值，这类问题在数学中称为极值问题。

以上的问题实际上都是“最优化问题”。

二、精讲精练【例题1】用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，剪一个饼需要2分钟（规定正反面各需要1分钟）。

问煎3个饼至少需要多少分钟？练习1：1、烤面包时，第一面需要2分钟，第二面只要烤1分钟，即烤一片面包需要3分钟。

小丽用来烤面包的架子，一次只能放两片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分钟？2、用一只平底锅烙大饼，锅里只能同时放两个。

烙熟大饼的一面需要3分钟，现在要烙3个大饼，最少要用几分钟？【例题2】妈妈让小明给客人烧水沏茶。

洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟。

要让客人喝上茶，最少需要多少分钟？练习2：1、小虎早晨要完成这样几件事：烧一壶开水需要10分钟，把开水灌进热水瓶需要2分钟，取奶需要5分钟，整理书包需要4分钟。

他完成这几件事最少需要多少分钟？2、小强给客人沏茶，烧开水需要12分钟，洗茶杯要2分钟，买茶叶要8分钟，放茶叶泡茶要1分钟。

为了让客人早点喝上茶，你认为最合理的安排，多少分钟就可以了？【例题3】五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。

赵明打针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水需要1分钟。

卫生室只有一位校医，校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短？练习3：1、甲、乙、丙三人分别拿着2个、3个、1个热水瓶同时到达开水供应点打热水。

热水龙头只有一个，怎样安排他们打水的次序，可以使他们打热水所花的总时间最少？2、甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务，甲、乙、丙三人需要的时间分别是10分钟、16分钟和8分钟。

绳子捆3圆木问题经典例题
“绳子捆三圆木”是一个经典的几何问题，也可以看作是一个最优化问题。

经典例题：
假设有三根绳子，长度分别为5米、8米和10米。

现在要用这三根绳子捆绑三个同样大小的圆木，使得圆木的直径最大。

圆木之间不能相互交叉，而且每根绳子只能用于捆绑一个圆木。

请确定如何将每根绳子分配给三个圆木，以获得最大的直径。

解答：
设三个圆木的直径分别为D 1，D 2，D 3，对应的绳子长度为L 1，L 2，L 3。

我们知道，圆周长与直径的关系是 ∁=π×D ，因此直径与圆周长的关系是 D=∁π。

要使得直径之和最大，即要使得D 1+D 2+D 3最大，可以考虑最大化它们的圆周长之和，即要最大化L 1×1π+L 2×2π+L 3×3π。

但是，每根绳子只能用于捆绑一个圆木，因此有L 1+L 2+L 3=总绳长。

在这个例子中，总绳长为5+8+10=23米。

所以，这个问题的解答是：使用全部三根绳子，每根绳子分别围绕一个圆木，以获得最大直径。

而具体的绳子分配可以通过每根绳子的长度与总绳长的比例来确定。

1、小李阿姨要出门，出门之前她要完成以下几件事：整理房间5分钟，把衣服和水放入洗衣机要1分钟，洗衣机自动洗涤要12分钟，擦鞋要3分钟，怎样合理安排，小李阿姨在多少分钟后就可以出发了？2、小强给客人沏茶，烧开水要12分钟，洗茶杯要2分钟，买茶叶要8分钟，放茶叶泡茶要1分钟，为了使客人能早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？3、星期天中午，小明的爸爸要做炒鸡蛋这道菜，要做的事情及时间是：敲蛋10秒，切葱花20秒，撑蛋20秒，洗锅30秒，烧热油1分钟，炒蛋3分钟，装盘10秒，爸爸最少要用多长时间才能把鸡蛋炒好？4、用一只平底锅煎饼，每一次只能放两只饼，煎一只需要2分钟（规定正反面各需要1分钟），问煎3只至少需要几分钟？5、用长26厘米的铁丝围成各种长方形，要求长和宽都是整厘米数，围成的长方形的面积最大是多少？6、甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务，甲10分钟就能洽谈完，乙16分钟就能洽谈完，丙8分钟能洽谈完。

怎样安排三人谈话的先后次序，使3人所花的总时间最少？最少时间是多少？7、用1~4这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。

8、理发店同时进来三位顾客，甲理发、刮胡子不吹风，乙只刮胡子不更改，丙理发、吹风还刮胡子，店里只有一位理发师，请你安排一个合理的先后顺序。

9、一个长方形的面积是36平方厘米，并且长和宽的长度都是整厘米数。

这个长方形的周长最长是多少厘米？10、 小王要骑自行车外出，外出之前必须要做完下面几件事：自行车打气用2分钟，整理宿舍用7分钟，擦皮革用2分钟，放水把衣服放进洗衣机里用1分钟，洗衣机自动洗涤用12分钟，再把衣服用水冲净，挤干，晒出用5分钟，这几件事情加起来共需29分钟，结果小王合理安排，节省了好多时间，问小王是怎样安排的？用了多少时间？11、 用一只平底锅煎饼，每次能同时煎两块饼，如果煎一个饼需要4分钟（假定正、反面各需2分钟），问煎1999个饼至少需要几分钟？12、 赵乡长下村召集甲、乙、丙、丁四个村的干部会议，这四个村子每两个村子都是相距5千米。

小学数学优化问题怎样最省时间例题例1:爸爸用平底锅煎蛋给小明吃，平底锅每次能同时放2个鸡蛋。

煎熟一个鸡蛋需要2分钟（正反面各需要一分钟），爸爸要煎好3个鸡蛋至少需要几分钟?解析：观察题目告诉我们的信息，平底锅里面同时可以放2个鸡蛋，并且煎熟一个鸡蛋需要2分钟，而且正反面各需要一分钟。

那我们可以先给这三个鸡蛋标上序号，分别是煎蛋1，煎蛋2，煎蛋3。

题目中问的是至少需要几分钟，也就是需要在最少的时间内把它们煎熟，让平底锅的利用率达到最高。

在每一分钟里，平底锅里有两个鸡蛋。

第一分钟，先把煎蛋1，2放入平底锅内，这两个鸡蛋在这一分钟内已经煎熟了一半。

第二分钟，我们把煎蛋2拿出来，将煎蛋3放入锅内，并且把煎蛋1翻面，第二分钟结束后，煎蛋1这时已经熟了，因为它已经煎了2分钟。

煎蛋3熟了一半。

第三分钟，我们再把熟了一半的煎蛋2再次放入平底锅内，和煎蛋3一起将没有煎熟的那面煎熟即可。

这样的话，在这三分钟内，三个煎蛋就只花费了三分钟。

本来需要4分钟的一个问题，通过我们合理的时间安排（始终保持锅内同时有两个煎蛋）将时间缩短了1分钟。

所以我们可以这样解答。

答：爸爸煎3个鸡蛋至少需要3分钟。

例2:圆圆早上起床，穿衣用3分钟，刷牙洗脸用4分钟，烧开水用15分钟，吃饭用7分钟，洗碗筷用2分钟，整理书包用2分钟，冲奶粉用1分钟，请你安排一下，用尽可能短的时间做完全部事情。

解析:由题意可知，圆圆起床要做6件事，穿衣服刷牙时不能做其他事，而烧开水时可以吃早饭，洗碗筷，整理书包，最后再冲奶粉。

我们安排做事程序如下：（1）穿衣3分钟（2）刷牙洗脸4分钟（3）烧开水15分钟(同时吃早饭7分钟，洗碗筷2分钟，整理书包2分钟)（4）冲奶粉1分钟。

一共用去23分钟。

解：根据解析3+4+15+1=23（分钟）答:圆圆要花23分钟才能尽快做完全部事情。

例3:朱阿姨家有9张凳子，请油漆师傅来刷两次，第一次要刷2分钟，但必须等15分钟后オ能刷第二次，请问刷完9张凳子至少要几分钟?解析:由题意可知，一张凳子，第一次刷需2分钟，再等15分钟才能刷第二次，其实在等时，油漆师傅可以刷其他凳子，全部第一次刷完后，一共需要2×9=18（分钟）。

matlab最优化问题的经典例题MATLAB最优化问题的经典例题之一是线性规划问题。

线性规划是一种数学优化方法，用于寻找一组给定线性约束条件下使得目标函数达到最大或最小值的变量值。

假设有以下线性规划问题：最大化目标函数：Z = c1*x1 + c2*x2 + ... + cn*xn在满足约束条件：A*x <= bx >= 0下，求解变量x1, x2, ..., xn的最优解。

使用MATLAB求解该线性规划问题的代码如下：```% 定义目标函数系数向量cc = [c1; c2; ...; cn];% 定义不等式约束条件系数矩阵A和右侧常数向量bA = [A11, A12, ..., A1n;A21, A22, ..., A2n;...,Am1, Am2, ..., Amn];b = [b1; b2; ...; bm];% 定义变量的下界和上界lb = zeros(n, 1); % 下界为0，即 x >= 0ub = Inf(n, 1); % 上界为无穷大，即无上界% 求解线性规划问题[x, fval] = linprog(-c, A, b, [], [], lb, ub);% 输出最优解和最优值disp('最优解：')disp(x)disp('最优值：')disp(-fval)```在上述代码中，我们将目标函数系数向量c、不等式约束条件系数矩阵A和右侧常数向量b、变量的下界和上界lb、ub传递给linprog函数进行求解。

linprog函数返回最优解x和最优值-fval（由于linprog默认求解最小化问题，我们使用-c作为目标函数系数向量，将最大化问题转化为最小化问题）。

通过以上代码，我们可以求解线性规划问题的最优解和最优值，并使用MATLAB进行验证和分析。

这个例题可以帮助我们理解和掌握MATLAB中最优化问题的求解方法。