基本立体图形(精练)(解析版)

人教版高中数学必修第二册8.1基本立体图形第1课时多面体同步练习一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.下列几何体中,顶点总数最多的是()A.三棱柱B.四面体C.六棱锥D.四棱柱2.下列说法正确的是()A.有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱B.正四面体是特殊的正四棱锥C.有一个面是多边形,其余各个面都是三角形的多面体叫做棱锥D.正四棱柱是平行六面体3.下列说法正确的是()A.棱锥的各个面都是三角形B.棱柱的所有面都是四边形C.正棱锥的侧棱不一定相等D.—个棱柱至少有五个面4.棱台不具有的性质是()A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都平行D.侧棱延长后都交于一点5.某同学制作了一个对面图案均相同的正方形礼品盒,如图L8-1-1所示,则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)()图L8-1-1ABCD图L8-1-26.如图L8-1-3,若长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中存在三个面的面积分别是2,3,6,则该长方体中BD1的长是()图L8-1-3A.14B.27C.28D.327.在五棱柱中,不同在同一个侧面且不同在同一个底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱的对角线条数为()A.20B.15C.12D.108.如图L8-1-4所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,BD1=2,则AA1=()图L8-1-4A.1B.2C.2D.3二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.以三棱台的顶点为三棱锥的顶点,这样可以把一个三棱台分成个三棱锥.10.若棱台上、下底面的对应边长之比为1∶2,则上、下底面的面积之比是.11.底面边长为6,侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的高为.12.一个正三棱锥的底面边长为3,高为6,则它的侧棱长为.三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)如图L8-1-5,试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干,连接后构成以下空间几何体,并且用适当的符号表示出来.(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥;(2)四个面都是等边三角形的三棱锥;(3)三棱柱.图L8-1-514.(10分)如图L8-1-6所示,在一个长方体的容器中,里面装有少量水,现将容器绕着其底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中.(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗?(2)水的形状也不断变化,可以是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗?图L8-1-615.(5分)若长方体的长、宽、高分别为5cm ,4cm ,3cm ,把这样的两个长方体全等的面重合在一起组成一个大长方体,则大长方体的体对角线最长为.16.(15分)给出两块正三角形纸片(如图L8-1-7所示),要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型,另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型,请设计一种剪拼方案,分别用虚线标示在图中,并作简要说明.图L8-1-7参考答案与解析1.D[解析]三棱柱、四面体、六棱锥、四棱柱的顶点总数分别为6,4,7,8,因此,上述几种几何体中,顶点总数最多的是四棱柱,故选D.2.D[解析]当两个侧面是矩形且相邻时,四棱柱是直四棱柱,当两个侧面是矩形且不相邻时,四棱柱不一定是直四棱柱,故A错误;正四面体是三棱锥,故B错误;有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫作棱锥,故C错误;正四棱柱是平行六面体,故D正确.故选D.3.D[解析]棱锥的侧面都是三角形,底面不一定是三角形,故A错误;三棱柱的底面是三角形,故B错误;正棱锥的侧棱一定相等,故C错误;三棱柱的面最少,有三个侧面两个底面,共五个面,其他棱柱都多于五个面,故D正确.故选D.4.C[解析]根据棱台的定义可知棱台具有的性质是:上、下底面多边形相似,每个侧面都是梯形,侧棱延长后交于一点.故选项A,B,D排除,故选C.5.A[解析]其展开图是沿盒子的棱剪开的,无论从哪条棱剪开,剪开的相邻面在展开在图中可以不相邻,但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻.因为相同的图案是盒子相对的面,所以相同的图案展开后绝不能相邻.故选A.6.A[解析]设长方体ABCD-A1B1C1D1从一个顶点出发的三条棱的长分别为a,b,c,且ab=2,ac=3,bc=6,则a=1,b=2,c=3,所以长方体ABCD-A1B1C1D1中BD1的长为12+22+32=14,故选A.7.D[解析]如图,在五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中,从顶点A出发的对角线有两条:AC1,AD1.同理从点B,C,D,E出发的对角线均有两条,则共有2×5=10(条).8.B[解析]在长方体中,B12=AB2+AD2+A 12,则22=12+12+A 12,解得AA1=2,故选B.9.3[解析]如图,可分割为A1-ABC,B-A1CC1,C1-A1B1B,3个棱锥.10.1∶4[解析]由棱台的概念知,上、下两底面是相似的多边形,故它们的面积之比等于对应边长之比的平方.11.6[解析]如图,在正三棱锥P-ABC中,O为底面中心,∵侧面为等腰直角三角形,AC=6,∴PC=32,又OC=23,∴OP=18−12=6.12.3[解析]如图所示,在正三棱锥S-ABC中,点O为△ABC的中心,SO为正三棱锥的高,则SO=6,AB=3,易知OA=3,故在Rt△SOA中,SA= 2+ 2=3.13.解:(1)如图所示,三棱锥A1-AB1D1符合题意(答案不唯一).(2)如图所示,三棱锥B1-ACD1符合题意(答案不唯一).(3)如图所示,三棱柱A1B1D1-ABD符合题意(答案不唯一).14.解:(1)不对.水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状,因而可以是矩形,但不可能是其他非矩形的平行四边形.(2)不对.水的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后,剩余部分的几何体,此几何体是棱柱,水比较少时,是三棱柱,水比较多时,可能是四棱柱或五棱柱,但不可能是棱台或棱锥.15.55[解析]有以下三种组合方式:在第一种情况下,体对角线长l1=52+42+62=77;在第二种情况下,体对角线长l2=102+42+32=125=55;在第三种情况下,体对角线长l3=52+82+32=98=72.∴体对角线最长为55.16.解:如图(1)所示,沿正三角形三边中点连线折起,可拼得一个底面为正三角形的三棱锥.如图(2)所示,在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形,其较长的一组邻边边长为三角形边长的14,有一组对角为直角.余下部分按虚线折起,可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱,而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底.。

8.2 立体图形的直观图（精练）【题组一平面图形的直观图】1．（2020·全国高一课时练习）用斜二测画法画出下列水平放置的等腰直角三角形的直观图；（1）直角边横向；（2）斜边横向.【答案】见解析.【解析】（1）直角边横向如图①②.（2）斜边横向如图③2．（2020·全国高一课时练习）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）. （1）矩形；（2）平行四边形；（3）正三角形；（4）正五边形【答案】见解析【解析】（1）根据斜二测画法的规则，可得：（2）根据斜二测画法的规则，可得：（3）根据斜二测画法的规则，可得：（4）根据斜二测画法的规则，可得：3．（2020·全国高一课时练习）用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.【答案】见解析【解析】画法：（1）如图（1），在正六边形ABCDEF 中，取AD 所在直线为x 轴，AD 的垂直平分线MN为y 轴，两轴相交于点O .在图（2）中，画相应的x '轴与y '轴，两轴相交于点'O ，使'45x O y ''︒∠=.（2）在图（2）中，以O'为中点，在x轴上取A D AD''=，在'y轴上取12M N MN''=以点'N为中点，画B C''平行于x'轴，并且等于BC；再以'M为中点，画F E''平行于x'轴，并且等于FE.（3）连接',,,A B C D D E F A'''''''，并擦去辅助线'x轴和'y轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图'A B C D E F'''''图（3）.4．（2020·全国高一课时练习）如图所示是由正方形ABCD和正三角形CDE所构成的平面图形，请画出其水平放置的直观图.【答案】作图见解析【解析】（1）以AB所在直线为轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系（如图①所示），再建立坐标系x O y'''，使两坐标轴的夹角为45︒（如图②所示）.（2）以O'为中点，在x'轴上截取A B AB''=；分别过A'，B'作y'轴的平行线，截取12A E AE=''，12B C BC =''.在y '轴上截取12O D OD =''. （3）连接E D ''，E C ''，C D ''，得到平面图形A B C D E '''''.（4）去掉辅助线，就得到所求的直观图（如图③所示）5．（2020·全国高三专题练习（文））用斜二测画法画出图中水平放置的四边形OABC 的直观图．【答案】见解析【解析】画法：（1）画x '轴，y '轴，使45x o y '''∠=︒；（2）在o x ''轴上取D B ''、,使3,O D O B OB ''''==，在o y ''轴上取C '，使12O C OC ''=； 在o x ''轴下方过D 作D A ''平行于o y ''，使1D A ''=；(3) 连线，连接O A A B B C ''''''、、，所得四边形即为水平放置的四边形OABC 的直观图．如图【题组二 空间几何体的直观图】1．画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图并说明画法.【答案】答案见解析.【解析】(1)画轴：画Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴，45xOy ∠=(或135)，90xOz ∠=，如左图；(2)画底面：以O 为中心，在xOy 平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD ；(3)画顶点：在Oz 轴上截取OP ，使OP 的长度是原四棱锥的高；(4)成图：顺次连接PA 、PB 、PC 、PD ，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如下图.2．若给定长,宽,高分别为4cm ,3cm ,2cm 的长方体ABCD A B C D ''''-,如何用斜二测画法画出该长方体的直观图?【答案】见解析【解析】(1)画轴.如图(1),画x 轴､y 轴､z 轴,三轴相交于点O ,使45xOy ∠=︒,90xOz ∠=︒.(2)画底面.以点O 为中点,在x 轴上取线段MN ,使4cm MN =;以点O 为中点,在y 轴上取线段PQ ,使 1.5cm PQ =.分别过点M 和N 作y 轴的平行线,过点P 和Q 作x 轴的平行线,设它们的交点分别为A ,B ,C ,D ,则平面ABCD 就是长方体的底面,如图(1).(3)画侧棱.过A ,B ,C ,D 各点分别作z 轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2cm 长的线段AA ',BB ',CC ',DD ',如图(1).(4)成图.顺次连接A ',B ',C ',D ',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到了长方体的直观图,如图(2).3．（2020·全国高一课时练习）已知一棱柱的底面是边长为3cm 的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为4 cm ，试用斜二测画法画出此棱柱的直观图.【答案】见解析【解析】（1）画轴.画出x 轴、y 轴z 轴，三轴相交于点O ，使45xOy ∠=︒，90xOz ∠=︒.（2）画底面.以点O 为中点，在x 轴上画3MN cm =，在y 轴上画32PQ cm =，分别过点M ，N 作y 轴的平行线，过点P ，Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，则四边形ABCD 就是该棱柱的底面.（3）画侧棱.过点A ，B ，C ，D 分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取4cm 长的线段AA '，BB '，CC '，DD '，如图①所示.（4）成图.连接A B ''，B C ''，C D ''，D A ''，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到该棱柱的直观图，如图②所示.4．（2020·全国高一课时练习）画出一个上､下底面边长分别为1,2,高为2的正三棱台的直观图.【答案】见解析【解析】①建立空间直角坐标系,画x 轴､y 轴､z 轴相交于点O .使x 轴与y 轴的夹角为45°，y 轴与z 轴的夹角为90°，②底面在y 轴上取线段OD 取6OD =，且以D 为中点，作平行于x 轴的线段AB ,使2AB =,在y 轴上取线段OC ,使3OC =.连接,BC CA ,则ABC 为正三棱台的下底面的直观图. ③画上底面在z 轴上取OO ',使2OO '=,过点O '作//O x Ox '',//O y Oy '',建立坐标系x O y '''.在x O y '''中,类似步骤②的画法得上底面的直观图A B C '''.④连线成图连接AA ',BB ',CC ',去掉辅助线,将被遮住的部分画成虚线,则三棱台ABC A B C '''-即为要求画的正三棱台的直观图.5．（2020·全国高一课时练习）画出底面是正方形,高与底面边长相等且侧棱均相等的四棱锥的直观图.【答案】见解析【解析】(1)建系:先画x 轴､y 轴､z 轴,其交点为O ,使45xOy ∠=︒,90xOz ∠=︒.(2)画底面.以O 为中心,在xOy 平面内,画出正方形水平放置的直观图ABCD ,如图.(3)画顶点.在Oz 上截取OP ,使OP AB =.(4)成图.连接PA ,PB ,PC ,PD ,并擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,得四棱锥的直观图,如图.6．（2020·全国高一课时练习）已知一个圆锥由等腰直角三角形旋转形成，画出这个圆锥的直观图.【答案】见解析.【解析】圆锥直观图如下：⇒7．（2020·全国高一课时练习）一个简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个半球，并且半球的球心就是圆柱的上底面圆心，画出这个组合体的直观图.【答案】见解析【解析】如图所示，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和球共同的轴线上确定球的半径，最后画出圆柱和半球，并标注相关字母，就得到组合体的直观图.8．（2020·全国高三专题练习）如图为一几何体的平面展开图，按图中虚线将它折叠起来，画出它的直观图．【答案】见解析【解析】由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示.【题组三 直观图的面积周长】1．如图,ABC 的斜二测直观图为等腰'''Rt A B C ,其中''2A B =,则ABC ∆的面积为( )A ．2B ．4C ．D ．【答案】D 【解析】由题意，ABC 的斜二测直观图为等腰Rt A B C '''，45C A B ︒'''∠=//C O y A ''''∴，2A B ''=222A C A B C B ''''''∴=+A C ''∴=由已知直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，则2AB =，AC =AC AB ⊥11222ABC S AB AC ∆∴=⋅⋅=⨯⨯= ∴原平面图形的面积是故选：D ．2．用斜二测画法画水平放置的ABC 的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A B C '''.已知点O '是斜边B C ''的中点，且1A O ，则ABC 的边BC 边上的高为（ ）A ．1B ．2C D ．【答案】D【解析】∵直观图是等腰直角三角形A B C '''，90,1B A C A O，∴2A C，根据直观图中平行于y 轴的长度变为原来的一半, ∴△ABC 的边BC 上的高222ACA C .故选D.3．如图，正方形O A B C ''''的边长为2cm ，它是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，则原图形的周长是（ ）A ．16cmB ．12cmC ．10cmD ．18cm【答案】A【解析】将直观图还原为平面图形，如图所示.2OB O B ''=＝2OA O A ''==，所以6AB ==，所以原图形的周长为16cm ， 故选：A.4．已知用斜二测画法得到的某水平放置的平面图形的直观图是如图所示的等腰直角O B C '''，其中1O B ''=，则原平面图形中最大边长为（ ）A ．2B ．C ．3D ．【答案】D 【解析】由斜坐标系中作A C B C ''''⊥交x '轴于A '点，由1O B ''=，O B C '''等腰直角三角形，2A C由斜二测法的纵半横不变，可将直观图在直角坐标系中还原成原平面图形如下：∴222AC A C，1OA =，∴最长边BC ==，故选：D5．如图，平行四边形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中4O A ''=，2O C ''=，30A O C '''∠=︒，则下列叙述正确的是（ ）A ．原图形是正方形B ．原图形是非正方形的菱形C ．原图形的面积是D ．原图形的面积是【答案】C【解析】过C'作C'D//y'轴，交x'轴于D ,将DC'绕 D 逆时针旋转45°，并伸长到原来的两倍，得到实际图中的点C ,将C 沿O'A'方向和长度平移得到 B ,得到水平放置时直观图还原为实际的平面图形,如下图所示:30A O C ''∠=︒,∴90,4AOC OC ∠≠≠,故原图并不是正方形,也不是菱形,故A,B 均错误,又直观图的面积11242sin 3042S =⋅⋅⋅⋅=,所以原图的面积1S ==故选:C.6．把四边形ABCD 按斜二测画法得到平行四边形''''A B C D (如图所示)，其中''''2B O O C ==，''O D =，则四边形ABCD 一定是一个（ ）A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．梯形【答案】A【解析】把平行四边形''''A B C D 还原回原图形，过程如下： 在平面直角坐标系中，在x 轴上截取4BC =，且使O 为BC 的中点，在y 轴上截取OD =D 向左左x 轴的平行线段DA ，使4DA =， 连接AB ，CD ，可得平行四边形ABCD .∵2OC =，OD =4CD ==.∴平行四边形ABCD 为菱形. 故选：A .7．如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA B C '''的面积为4，则该平面图形的面积为（ ）A B ． C ．D ．【答案】C【解析】已知直观图OA B C '''的面积为4,所以原图的面积为4= 故选：C8．如图所示，正方形''''O A B C 的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）A ．6cmB ．8cmC ．2+D ．2+【答案】B【解析】先把水平放置的平面图形的直观图还原成原来的实际图形，如图：由斜二测画法得：'=1OA OA =，''=2OB O B ''=1BC BC =，=3AB OC ==，所以原图形周长为8.故选：B.9．如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形O A B C ''''，则原平面图形的周长和面积分别为（ ）A ．2a ，24a B ．8a ，2C ．a ，2aD ，22a【答案】B【解析】由直观图可得原图形，∴OA BC a ==，OB =，90BOA ∠=， ∴3AB OC a ==，原图形的周长为8a ，∴2S a =⋅=， 故选：B9．如图所示，正方形O A B C ''''的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（ ）A ．21 cmB ．2C ．2D ．2 cm 4【答案】B【解析】如图所示，由斜二测画法的规则知与x '轴平行的线段其长度不变， 正方形的对角线在y '轴上，，故在原平面图中其在y 轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为 所以原来的图形是平行四边形，其在横轴上的边长为1，高为所以它的面积是21)⨯=． 故选：B ．10．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45︒，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ）．A ．1B ．2+C ．122+D ．12+【答案】B【解析】如图，恢复后的原图形为一直角梯形，所以1(11)222S =⨯=+故选：B.11．如图，边长为1的正方形''''O A B C 是一个水平放置的平面图形OABC 的直观图，则图形OABC 的面积是（ ）A ．4B ．2C D ．【答案】D【解析】由直观图''''O A B C 画出原图OABC ，如图，因为''O B =OB =1OA =，则图形OABC 的面积是故选：D12．已知边长为1的菱形ABCD 中，3A π∠=，则用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为（ ）A B C D 【答案】D【解析】菱形ABCD 中，1AB =，3A π∠=，则菱形的面积为12211sin 23ABD ABCD S S π∆==⨯⨯⨯⨯=菱形；所以用斜二测画法画出这个菱形的直观图面积为8S S ===.故选D ．13．已知正三角形ABC 的边长为2，那么ΔABC 的直观图△A 1B 1C 1的面积为（ ）A B ．12C ．4D ．4【答案】C【解析】如图所示，直观图△A 1B 1C 1的高为11116sin 45sin 452sin 60sin 45224h C D CD ===⨯⨯=， 底边长为112A B AB ==； 所以△A 1B 1C 1的面积为：1116622244S A B h =⋅=⨯⨯=． 故选：C ．14．如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，则其原平面图形的面积为__________.【答案】4【解析】由斜二测画法可知原平面图形为两直角边分别为2,4的直角三角形.故面积为1244 2⨯⨯=.故答案为：4【题组四斜二测画法】1．（2020·全国高一单元测试）下列命题中正确的是（）A．正方形的直观图是正方形B．平行四边形的直观图是平行四边形C．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台【答案】B【解析】选项A，正方形的直观图是平行四边形，故A错误；选项B，由斜二测画法规则知平行性不变，即平行四边形的直观图是平行四边形，故②正确；选项C，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，要注意棱柱的每相邻两个四边形的公共边互相平行，故C错误；选项D，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故D错误．故选：B．2．（2020·全国高三专题练习）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（）A．原来相交的仍相交B．原来垂直的仍垂直C．原来平行的仍平行D．原来共点的仍共点【答案】B【解析】根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与x轴平行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜45︒，故原来垂直线段不一定垂直了；故选：B．3．（2020·包头市第九中学高一期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，下列结论中正确的个数是（）①平行的线段在直观图中仍然平行；②相等的线段在直观图中仍然相等；③相等的角在直观图中仍然相等；④正方形在直观图中仍然是正方形A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】对于①，平行的线段在直观图中仍然是平行线段，所以①正确；对于②，相等的线段在直观图中不一定相等，如平行于x轴的线段，长度不变，平行于y轴的线段，变为原来的12，所以②错误；对于③，相等的角在直观图中不一定相等，如直角坐标系内两个相邻的直角，在斜二测画法内是45︒和135︒，所以③错误；对于④，正方形在直观图中不是正方形，是平行四边形，所以④错误；综上，正确的命题序号是①，共1个．故选：A．4．（2019·安徽合肥市·合肥一中高二月考（理））下列说法正确的是（）A．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分称为棱台B．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等C．通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线D．相等的角在直观图中对应的角仍相等【答案】C【解析】对A，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分称为棱台，所以A错误；对B，空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，所以B错误；对C ，根据母线的定义可知，正确；对D ，如等腰直角三角形，画出直观图后，不是等腰三角形，所以D 错误．故选：C ．5．（2020·全国高一课时练习）在用斜二测画法画水平放置的ABC 的直观图时，若在直角坐标系中A ∠的两边分别平行于x 轴、y 轴，则在直观图中A '∠等于（ ）A ．45︒B ．135︒C ．90︒D ．45︒或135︒ 【答案】D【解析】因为A ∠的两边分别平行于x 轴、y 轴，所以90A ︒∠=在直观图中，由斜二测画法知45x O y '''︒∠=或135x O y ︒''∠='，即45A ︒'∠=或135A ︒'∠=.故选:D6．（2020·全国高一课时练习）利用斜二测画法画直观图时，下列说法中正确的是（ ）①两条相交直线的直观图是平行直线；②两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线；③正方形的直观图是平行四边形；④梯形的直观图是梯形.A ．①②B ．③④C ．①③D ．②③ 【答案】B【解析】两条相交直线的直观图仍然是相交直线，故①错；两条垂直直线的直观图是两条相交但不垂直的直线，故②错；③④正确.故选：B。

8.1基本立体图形第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体导学案编写:XXX 初审:谭光垠终审:谭光垠XXX【学习目标】1.记住圆柱、圆锥、圆台、球的定义及它们的结构特征2.能用圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征解答一些相关问题3.了解组合体的概念【自主学习】知识点1 圆柱1．以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．2．旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．3．棱柱和圆柱统称为柱体．知识点2 圆锥1．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．2．棱锥与圆锥统称为锥体．知识点3 圆台1．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台．2．棱台与圆台统称为台体．知识点4 球半圆以它的直径所在直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面叫做球面,球面所围成的旋转体叫做球体,简称球．半圆的圆心叫做球的球心;连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径;连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径．知识点5 简单组合体的结构特征1．定义:由简单几何体组合而成的几何体称为简单组合体．2．简单组合体构成的两种基本形式简单组合体⎩⎪⎨⎪⎧由简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一部分而成.【合作探究】探究一旋转体的结构特征【例1】下列命题正确的是________．①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;②圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的直线;③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;④以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥;⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内;⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段;⑦球面上任意三点可能在一条直线上;⑧用一个平面去截球,得到的截面是一个圆面．【答案】④⑥⑧[分析]准确理解旋转体的定义,在此基础上掌握各旋转体的性质,才能更好地把握它们的结构特征,以作出准确的判断．[详细解析]①以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周才可以得到圆锥,故①错误;②圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的线段,且这条线段与轴平行,故②错误;③它们的底面为圆面,故③错误;④正确;作球的一个截面,在截面的圆周上任意取四点,则这四点就在球面上,故⑤错误;根据球的半径定义可知⑥正确;球面上任意三点一定不共线,故⑦错误;用一个平面去截球,一定截得一个圆面,故⑧正确．归纳总结:简单旋转体判断问题的解题策略,(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键.,(2)解题时要注意两个明确:,①明确由哪个平面图形旋转而成;,②明确旋转轴是哪条直线【练习1】下列命题:①任意平面截圆柱,截面都是圆面;②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线;③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线,其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．②【答案】D详细解析:过圆柱两母线的截面为矩形,有时斜的截面为椭圆,故①错误;圆台的母线不是上底面和下底面上任意两点的连线,③错误;由圆锥母线的定义知②正确,故选D.探究二圆柱、圆锥、圆台的计算问题【例2】已知一个圆台的母线长为12 cm,两底面的面积分别为4πcm2和25πcm2,求:(1)圆台的高;(2)截得此圆台的圆锥的母线长．[分析]在解答有关台体的问题时,一般要把台体还原成锥体,这就是常应用的“还台为锥”的思想,不仅在作图时应用,而且在计算时也常应用此思想寻求元素间的关系,以便解决问题．[解] (1)设圆台的轴截面为等腰梯形ABCD(如图所示)．由题意可得上底的一半O 1A ＝2 cm ,下底的一半OB ＝5 cm ,腰长AB ＝12 cm ,所以圆台的高AM ＝122－(5－2)2＝315(cm )．(2)如图,延长BA,OO 1,CD,交于点S,设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm ,则由△SAO 1∽△SBO,得l －12l ＝25, 解得l ＝20.故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm .归纳总结:旋转体中有关底面半径、母线、高的计算,可利用轴截面求解,即将立体问题平面化.对于圆台的轴截面,可将两腰延长相交后在三角形中求解.这是解答圆台问题常用的方法【练习2】如图所示,用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为116,截去的圆锥的母线长是3 cm ,求圆台O ′O 的母线长．解:设圆台的母线长为l cm ,由截得圆台上、下底面面积之比为116,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r 、4r.过轴SO 作截面,如图所示．则△SO ′A ′∽△SOA,SA ′＝3 cm .∴SA ′SA ＝O ′A ′OA ,∴33＋l ＝r 4r ＝14. 解得l ＝9.即圆台的母线长为9 cm .探究三 球的截面问题【例3】已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12π和16π,求这两个截面间的距离．[分析] 画出球的截面图,球心与截面圆心连线垂直于截面所在的平面,构造直角三角形解决．对于球的两个平行截面要注意讨论它们在球心同侧还是异侧,否则容易漏解．[解] 设球的大圆为圆O,C,D 两点为两截面圆的圆心,AB 为经过C,O,D 三点的直径且两截面圆的半径分别是6和8.当两截面在球心同侧时,如图(1),此时CD ＝OC －OD ＝OE 2－EC 2－OF 2－DF 2＝8－6＝2.当两截面在球心两侧时,如图(2),此时CD＝OC＋OD＝OE2－EC2＋OF2－DF2＝8＋6＝14. 故两截面间的距离为2或14.归纳总结:利用球的截面,将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键【练习3】一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π,则球的直径为2 2.详细解析:设球心到平面的距离为d,截面圆的半径为r,则πr2＝π,∴r＝1,设球的半径为R,则R＝d2＋r2＝2,故球的直径为2 2.探究四简单组合体的结构特征【例4】(1)如图①所示的物体为燕尾槽工件,请说明该物体是由哪些几何体构成的．(2)指出图②中三个几何体的主要结构特征．[分析]由多面体和旋转体的结构特征进行判断．[解](1)题图①中的几何体可以看作是一个长方体割去一个四棱柱所得的几何体,也可以看成是一个长方体与两个四棱柱组合而成的几何体(如图所示)．(2)(A)中的几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱后剩余部分组合而成,其中圆柱内切于三棱柱．(B)中的几何体由一个圆锥挖去一个四棱柱后剩余部分组合而成,其中四棱柱内接于圆锥．(C)中的几何体由一个球挖去一个三棱锥后剩余部分组合而成．其中三棱锥内接于球．归纳总结:会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步,我们应注意观察周围的物体,然后将它们“分拆”成几个简单的几何体,进而培养我们的空间想象能力和识图能力【练习4】如图,绕虚线旋转一周后形成的旋转体是由哪些简单几何体组成的?解:如图所示,由一个圆锥O4O5,一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O1O2组成的．探究五与球有关的“切”与“接”问题【例5】已知正方体的棱长为a,分别求出它的内切球及与各棱都相切的球的半径．[分析]解决此题的关键是找准轴截面,建立半径与棱长的关系．[解](1)正方体的内切球与各面的切点为正方体各面的中心,故作出经过正方体相对两面的中心且与棱平行的截面,则球的一个大圆是其正方形截面的内切圆,如图(1)所示,设球的半径为R1,易得R1＝a2.(2)与正方体的各棱均相切的球与正方体相连接的点是正方体各棱的中点,故应作出经过正方体一组平行棱中点的截面,则球的轴截面是其正方形截面的外接圆,如图(2)所示,设球的半径为R2,易求得球的半径R2＝22 a.归纳总结:组合体问题应分清各部分之间是如何组合起来的,以便转化为平面图形进行计算．正方体的内切球直径等于正方体的棱长;外接球直径等于其体对角线的长;球与正方体各棱都相切,则球的直径等于正方体面对角线的长【练习5】正三棱锥内有一个内切球,经过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的图形是()【答案】C详细解析:正三棱锥的内切球与各个面的切点为正三棱锥各面的中心,所以过一条侧棱和高的截面必过该棱所对面的高线,故C正确．课后作业A组基础题一、选择题1．下列几何体中是旋转体的是()①圆柱;②六棱锥;③正方体;④球体;⑤四面体．A．①和⑤B．①和②C．③和④D．①和④【答案】D[根据旋转体的概念可知,①和④是旋转体．]2．图①②中的图形折叠后的图形分别是()①②A．圆锥、棱柱B．圆锥、棱锥C．球、棱锥D．圆锥、圆柱【答案】B[根据图①的底面为圆,侧面为扇形,得图①折叠后的图形是圆锥;根据图②的底面为三角形,侧面均为三角形,得图②折叠后的图形是棱锥．]3．圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面,那么此圆锥的轴截面是()A．等边三角形B．等腰直角三角形C．顶角为30°等腰三角形D．其他等腰三角形【答案】A [设圆锥底面圆的半径为r ,依题意可知2πr ＝π·a 2,则r ＝a 4,故轴截面是边长为a 2的等边三角形．]4．如图,在日常生活中,常用到的螺母可以看成一个组合体,其结构特征是( )A ．一个棱柱中挖去一个棱柱B ．一个棱柱中挖去一个圆柱C ．一个圆柱中挖去一个棱锥D ．一个棱台中挖去一个圆柱【答案】B [一个六棱柱挖去一个等高的圆柱,选B ．]5．用长为8,宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱,则圆柱的轴截面的面积为( )A ．32B ．32πC ．16πD ．8π【答案】B [若8为底面周长,则圆柱的高为4,此时圆柱的底面直径为8π,其轴截面的面积为32π;若4为底面周长,则圆柱的高为8,此时圆柱的底面直径为4π,其轴截面的面积为32π.] 二、填空题6．如图是一个几何体的表面展开图形,则这个几何体是________．【答案】圆柱[一个长方形和两个圆折叠后,能围成的几何体是圆柱．]7．下列命题中错误的是________．①过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径;②母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等;③圆台所有平行于底面的截面都是圆面;④圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形．【答案】②[因为圆锥的母线长一定,根据三角形面积公式,当两条母线的夹角为90°时,圆锥的轴截面面积最大．]8．一个半径为5 cm的球,被一平面所截,球心到截面圆心的距离为4 cm,则截面圆面积为________ cm2.【答案】9π[设截面圆半径为r cm,则r2＋42＝52,所以r＝3.所以截面圆面积为9π cm2.] 三、解答题9．如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,且AD<BC,当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时,其他各边旋转围成了一个几何体,试描述该几何体的结构特征．[解] 如图所示,旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．10．一个圆台的母线长为12 cm,两底面面积分别为4π cm 2和25π cm 2.求:(1)圆台的高;(2)截得此圆台的圆锥的母线长．[解] (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD (如图所示)．由已知可得上底面半径O 1A ＝2(cm),下底面半径OB ＝5(cm),又因为腰长为12 cm,所以高AM ＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)如图所示,延长BA ,OO 1,CD 交于点S ,设截得此圆台的圆锥的母线长为l ,则由△SAO 1∽△SBO 可得l －12l ＝25,解得l ＝20 (cm),即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.B组能力提升一、选择题1.在正方体ABCD-A′B′C′D′中,P为棱AA′上一动点,Q为底面ABCD上一动点,M是PQ的中点,若点P,Q都运动时,点M构成的点集是一个空间几何体,则这个几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱锥D．球的一部分【答案】A[由题意知,当P在A′处,Q在AB上运动时,M的轨迹为过AA′的中点,在平面AA′B′B内平行于AB的线段(靠近AA′),当P在A′处,Q在AD上运动时,M的轨迹为过AA′的中点,在平面AA′D′D内平行于AD的线段(靠近AA′), 当Q在B处,P在AA′上运动时,M的轨迹为过AB的中点,在平面AA′B′B内平行于AA′的线段(靠近AB), 当Q在D处,P在AA′上运动时,M的轨迹为过AD的中点,在平面AA′D′D内平行于AA′的线段(靠近AB), 当P在A处,Q 在BC上运动时,M的轨迹为过AB的中点,在平面ABCD内平行于AD的线段(靠近AB), 当P 在A处,Q在CD上运动时,M的轨迹为过AD的中点,在平面ABCD内平行于AB的线段(靠近AD), 同理得到:P在A′处,Q在BC上运动;P在A′处,Q在CD上运动;Q在C处,P在AA′上运动;P,Q都在AB,AD,AA′上运动的轨迹．进一步分析其他情形即可得到M的轨迹为棱柱体．故选A．]2. (多选题)对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法,其中说法正确的是()A ．由一个长方体割去一个四棱柱所构成的B ．由一个长方体与两个四棱柱组合而成的C ．由一个长方体挖去一个四棱台所构成的D ．由一个长方体与两个四棱台组合而成的【答案】AB [如图,该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成,也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成．故选项AB 正确．]二、填空题3．如图所示,已知圆锥SO 中,底面半径r ＝1,母线长l ＝4,M 为母线SA 上的一个点,且SM ＝x ,从点M 拉一根绳子,围绕圆锥侧面转到点A ．则绳子的最短长度的平方f (x )＝________.【答案】x 2＋16(0≤x ≤4) [将圆锥的侧面沿SA 展开在平面上,如图所示,则该图为扇形,且弧AA ′的长度L 就是圆O 的周长,所以L ＝2πr ＝2π,所以∠ASM ＝L l ＝π2. 由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM ,其值为AM ＝x 2＋16(0≤x ≤4)．所以f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)．]三、解答题4．球的两个平行截面的面积分别是5π,8π,两截面间的距离为1,求球的半径．[解]设两个平行截面圆的半径分别为r1,r2,球半径为R.由πr21＝5π,得r1＝ 5.由πr22＝8π,得r2＝2 2.(1)如图,当两个截面位于球心O的同侧时,有R2－r21－R2－r22＝1,即R2－5＝1＋R2－8,解得R＝3.(2)当两个截面位于球心O的异侧时,有R2－5＋R2－8＝1.此方程无解．由(1)(2)知球的半径为3.5．圆台上底面面积为π,下底面面积为16π,用一个平行于底面的平面去截圆台,该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1,求这个截面的面积．[解]圆台的轴截面如图,O1,O2,O3分别为上底面、下底面、截面圆心．过点D作DF⊥AB于点F,交GH于点E.由题意知DO1＝1,AO2＝4,∴AF＝3.∵DE＝2EF,∴DF＝3EF,∴GEAF＝DEDF＝23,∴GE＝2.∴⊙O3的半径为3. ∴这个截面面积为9π.。

第01讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 (精练）A 夯实基础一、单选题1．（2022·广西玉林·高一期末）若一个圆锥的轴截面是边长为3的正三角形，则这个圆锥的表面积为（ ） A ．274π B ．92πC ．3πD ．94π 【答案】A由题可知，该圆锥的底面半径为32，因此，该圆锥表面积为233273224πππ⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭故选：A2．（2022·广东梅州·高一期末）如图，A O B '''是水平放置的△AOB 的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知O '为坐标原点，顶点A '、B '均在坐标轴上，且△AOB 的面积为12，则O B ''的长度为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B画出△AOB 的原图为直角三角形，且6''==OA O A ， 因为1122⨯=OB OA ，所以4OB =，所以122''==O B OB .故选：B.3．（2022·广东茂名·高二期末）储粮所用“钢板仓”，可以看成由圆锥和圆柱两部分组成的.现有一种“钢板仓”，其中圆锥与圆柱的高分别是1m 和3m ，轴截面中等腰三角形的顶角为120°，若要储存3003m 的水稻，则需要准备这种“钢板仓”的个数是（ ）A ．6B ．9C ．10D ．11【答案】C因为圆锥的高为1，轴截面中等腰三角形的顶角为120°， 所以圆锥的母线长为2所以一个“钢板仓”的体积为22313110m 3πππ⨯⨯+⨯⨯⨯=，因为3009.510π≈ 所以要储存3003m 的水稻，则需要准备这种“钢板仓”的个数为10个， 故选：C4．（2022·辽宁锦州·高一期末）正三棱锥S ABC -的高为则该三棱锥的侧棱长为（ ）A ．B ．C ．D ．4【答案】D依题意作上图，其中E 是BC 的中点，D 是正三角形ABC 的中心， 并且SD ⊥ 平面ABC ，SE BC ⊥ ，则有SD SE ==，在Rt SDE 中，3ED AE ED ==AB BC AE ∴===，在Rt SBE 中，4SB = ；故选：D.5．（2022·上海·复旦附中高二期末）小明同学用两个全等的六边形木板和六根长度相同的木棍搭成一个直六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -，由于木棍和木板之间没有固定好，第二天他发现这个直六棱柱变成了斜六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -，如图所示.设直棱柱的体积和侧面积分别为1V 和1S ，斜棱柱的体积和侧面积分别为2V 和2S ，则（ ）.A ．1212V V S S > B ．1212V V S S < C ．1212V V S S = D ．11V S 与22V S 的大小关系无法确定 【答案】A设底面面积为S ，底面周长为C ， 则11V S AA =⋅，11S C AA =⋅，所以11V SS C=， 设斜棱柱的高为h ，则2V S h =⋅，2AB BC CD DE EF FA S AB h BC h CD h DE h EF h FA h =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ()AB BC CD DE EF FA h Ch >+++++⨯=,所以2121V V Sh S S Ch C S <==. 故选：A6．（2022·湖南常德·则该圆锥的内切球体积为（ ） A ．4π B ．43πC ．πD ．6π【答案】D轴截面如图所示，设内切球的半径为r ，则OD OE r ==， 由题意可得6OCD π∠=，CD =， 在Rt OCD △中，tan ODOCD CD∠=，所以1tan 2OD CD OCD =⋅∠==，即12r =，所以内切球体积为334413326r πππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选：D7．（2022·河南驻马店·高一期末）已知平面四边形ABCD ，连接对角线BD ，得到等边三角形ABD 和直角三角形BCD ，且3AB =，π2BDC ∠=，BC =将平面四边形ABCD 沿对角线BD 翻折，得到四面体A BC D ''，则当四面体A BC D ''的体积最大时，该四面体的外接球的表面积为（ ） A ．12π B ．18π C ．21π D ．28π【答案】C因为底面A BD '为正三角形，所以底面A BD '面积为定值， 所以当C BD '⊥平面A BD '时，四面体ABCD 的体积最大.设A BD '外接圆圆心为1O ,则四面体ABCD 的外接球的球心O 满足1//OO C D ',且11322OO C D '==，三角形A BD '的外接圆半径为32sin 60r r =⇒︒因此外接球的半径R 满足222223321()()()224R r =+=+=从而外接球的表面积为2421R ππ=. 故选：C.8．（2022·重庆市第七中学校高一期末）如图所示，在平面四边形ABCD 中，AD CD ⊥，AC BC ⊥，60B ∠=︒，3AD CD ==．现将ACD △沿AC 折起，并连接BD ，当三棱锥D ABC -的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）A ．16π3B ．C ．32π3D ．24π【答案】D因为ABC 的面积不变，要使体积最大，需 D 到平面ABC 的距离最大，即当平面ACD ⊥平面ABC 时，体积最大，因为ACD △等腰直角三角形，取AC 中点E ,则DE ⊥平面ABC ，高为DE AC =Rt ABC中，60B ︒∠=，BC ，AB =所以EB ，故Rt BDE 中BD 所以ABD △中222AD BD AB +=，即得空间中90ADB ACB ︒∠=∠=即AB 为球的直径，故半径22424R AB ==，所以外接球的表面积24π24πS R ==. 故选:D. 二、多选题9．（2022·重庆八中高一期末）某工厂生产出一种机械零件，如图所示零件的几何结构为圆台12O O ，在轴截面ABCD 中，AB ＝AD ＝BC ＝4cm ，CD ＝2AB ，则下列说法正确的有（ ）AB ．该圆台轴截面面积为2C 3D ．一只蚂蚁从点C 沿着该圆台的侧面爬行到AD 的中点，所经过的最短路程为10cm【答案】BCD如图，作BE CD ⊥交CD 于E ，易得22CD ABCE -==，则12224223B O E O ，则圆台的高为，A 错误；圆台的轴截面面积为21(48)2+⨯，B 正确；圆台的体积为31π(4168)cm 3=++⨯=V ，C 正确；将圆台一半侧面展开，如图中ABCD ，设P 为AD 中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形COD ，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为8cm ，底面半径为4cm ，侧面展开图的圆心角为2π4π8θ⋅==，连接CP ，可得∠COP ＝90°，OC ＝8，OP ＝4＋2＝6，则10CP =，所以沿着该圆台表面从点C 到AD 中点的最短距离为10cm ，故D 正确． 故选：BCD.10．（2022·安徽宣城·高一期末）已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点M 、N ，若线段MN） A ．正四面体的棱长为6B ．正四面体的内切球的表面积为6πC ．正四面体的外接球的体积为D ．线段MN 的最大值为【答案】ABD设这个四面体的棱长为a 的正方体截得的，所以四面体的外接球即为正方体的外接球，外接球直径为正方体的对角线长， 设外接球的半径为R ，内切球的半径为r ，则2R =，所以R =，四面体的高为h =，则等体积法可得 11433Sh Sr =⨯，所以14r h ==，由题意得R r -==6a = 所以A 正确，所以6R ==334433R ππ=⋅=⎝⎭，所以C 错误，因为内切球半径为6r ==22446r πππ=⋅=⎝⎭，所以B 正确，线段MN 的最大值为R r +=D 正确， 故选：ABD 三、填空题11．（2022·上海市青浦高级中学高一期末）设地球半径为R ，地球上北纬30°圈上有A ，B 两点，点A 在西经10°，点B 在东经110°，则点A 和B 两点东西方向的距离是___________.如图示，设O '为北纬30°圈的圆心，地球球心为O ，则60AOO '∠= ,故2AO R '=,即北纬30°R ， 由题意可知2π1203AO B '∠==, 故点A 和B 两点东西方向的距离即为北纬30°圈上的AB 的长，故AB 的长为2π3=,12．（2022·广东·高二期末）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖孺．如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，2AC BC ==，11AA =，则鳖臑11A CBC -的外接球的表面积为__________．【答案】9π堑堵111ABC A B C -的外接球即为鳖臑11A CBC -外接球，又可将堑堵111ABC A B C -补成长方体，长方体的外接球即为堑堵111ABC A B C -的外接球，长方体的外接球直径为13A B ==， 所以鳖臑11A CBC -的外接球的半径为32， ∴鳖臑11A CBC -的外接球表面积为234π×=9π2S ⎛⎫= ⎪⎝⎭．故答案为：9π. 四、解答题13．（2022·广东佛山·高一期末）如图，一个高为8的三棱柱形容器中盛有水，若侧面11AA B B 水平放置时，水面恰好过AC ，BC ，11B C ，11A C 的中点E ，F ，G ，H ．(1)直接写出直线FG 与直线1A H 的位置关系；(2)有人说有水的部分呈棱台形，你认为这种说法是否正确？并说明理由．(3)已知某三棱锥的底面与该三棱柱底面ABC 全等，若将这些水全部倒入此三棱锥形的容器中，则水恰好装满此三棱锥，求此三棱锥的高．【答案】(1)异面(2)不是棱台，理由见详解(3)18(1)因为水面恰好过AC ，BC ，11B C ，11A C 的中点E ，F ，G ，H ， 所以111111//,//,,,22HG A B EF AB HG A B EF AB == 又11//,A B AB 且11,A B AB =因此//HG EF ，且HG EF =，所以四边形EFGH 是平行四边形， 故//FG EH ，而1A H EH H =，所以直线FG 与直线1A H 不可能平行，而面EFGH平面111A B C HG =，所以直线FG 与直线1A H 不可能是相交直线，所以直线FG 与直线1A H 是异面直线； (2)因为棱台各侧棱交于一点，易知1AE A H 无交点，所以该几何体不是棱台；(3)设此三棱锥的高为h ，底面面积为S ， 容器中水的形状为棱柱，体积为3864SS ⨯= 所以有163S h S ⋅⋅=，解得18h =，即三棱锥的高为1814．（2022·重庆市巫山大昌中学校高一期末）如图，AB 是圆柱OO '的一条母线，BC 过底面圆心O ，D 是圆O 上一点．已知5,3AB BC CD ===，(1)求该圆柱的表面积；(2)将四面体ABCD 绕母线AB 所在的直线旋转一周，求ACD △的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积． 【答案】(1)75π2(2)15π (1)由题意知AB 是圆柱OO '的一条母线，BC 过底面圆心O ，且5AB BC ==， 可得圆柱的底面圆的半径为52R =， 则圆柱的底面积为221525πππ24S R ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，圆柱的侧面积为252π2π525π2S Rl ==⨯⨯=所以圆柱的表面积为12257522π25ππ42S S S =+=⨯+=． (2)由线段AC 绕AB 旋转一周所得几何体为以BC 为底面半径，以AB 为高的圆锥， 线段AD 绕AB 旋转一周所得的几何体为BD 为底面半径，以AB 为高的圆锥， 所以以ACD △绕AB 旋转一周而成的封闭几何体的体积为： 22221111πππ55π4515π3333V BC AB BD AB =⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=． B 能力提升1．(多选）（2022·海南·高一期末）已知正四棱台1111ABCD A B C D -，且1122AB A B ==，则（ ）A B ．侧棱与底面所成的角为60︒C ．正四棱台的侧面积为D 【答案】ABD设正四棱台的高为k ，由题意可知该四棱台的上下底面面积分别为1和4，则()11243V h =++=h =1A 作1A G ⊥底面ABCD ，易知点G 在线段AC 上，则1A G =又由11AC =AC =AG =，所以1AA =A 正确； 在1Rt A GA 中，111cos 2AG A AG A A ∠==，所以160A AG ∠=︒， 即侧棱与下底面所成的角为60︒，故B 正确；在梯形11ABB A 中，2AB =，111A B == 所以梯形11ABB A的面积为()1122⨯+=，4=，故C 错误； 设正方形ABCD 的中心为O ，易知1AA O 为等边三角形，11OA OA AA ==点O 到正四棱台的8则正四棱台的外接球体积为34π3⨯=，故D 正确． 故选：ABD2．（2022·江苏徐州·高一阶段练习）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，E ､F 分别是11A D ､1AA 的中点，平面CEF 截正方体所得的截面为多边形，则此多边形的边数为___________，截面多边形的周长为___________.【答案】 五, +解：延长EF 交DA 的延长线于M ,连接MC 交AB 于N , 延长FE 与DD1的延长线相交于点P,连接PC 交C1D1于Q ,连接EQ, 则五边形EFNCQ 即为平面CEF 截正方体所得的截面.如图所示：则有A1F=FA=AM=3,又因为MAN∆与MDC∆相似，所以MA ANMD CD=，解得AN=2,所以FN NC同理可得：QD1=2,QC1=4,所以QC==EQ，又因为EF=所以五边形EFNCQ的周长为故答案为：五；C综合素养1．（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的平行四边形ABCD由六个边长为1的正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中内切球半径为__________，体积为__________.【答案】 解：如图所示：易知该几何体是侧棱长为1，以边长为1的等边三角形ABD △为底的两个正三棱锥组成，O 为ABD △的中心，即内切球的球心，M 为FB 的中点，连接HM ，作ON HM ⊥，则ON 为内切球的半径，因为,,OM HM HO ====， 所以1122HOM S OH OM HM ON =⋅=⋅，所以内切球的半径为OH OM R ON HM ⋅===，内切球的体积为343V R ππ==，2．（2022·浙江宁波·高二期末）如图，D ，E ，F 分别是边长为4的正三角形三边,,CA AB BC 的中点，将ADE ，BEF ，CFD △分别沿,,DE EF FD 向上翻折至与平面DEF 均成直二面角，得到几何体ABC DEF -．则二面角C AB E --的余弦值为_____；几何体ABC DEF -的外接球表面积为_____．【答案】203π##203π 取DE 的中点P ，EF 的中点Q ，故,AP DE BQ EF ⊥⊥，根据面面垂直的性质可得AP ⊥平面DEF ，BQ ⊥平面DEF ，故//AP BQ ，且AP BQ =，故矩形APQB .所以112AB PQ FD ===.根据图形的对称性，易得ABC 为正三角形，取AB 中点G ，因为EA EB =，CA CB =，则CG AB ⊥，EG AB ⊥，则二面角C AB E --为CGE ∠，且GE GO PQ ⊥，易得GO AP ==CGE CGO OGE ∠=∠+∠，OE ===，故()cos cos 90sin CGE OGE OGE ∠=∠+=-∠==角C AB E --的余弦值为（2）设几何体ABC DEF -的外接球球心为O ，设ABC 中心为P ，DEF 中心为Q ，易得,,P O Q 共线，如图，设外接球半径OC OD R ==，根据正三角形中的关系，CP =DQ =.因为OP OQ PQ +==，=2214333R R -=+--2=253R =，故外接球表面积为22043S R ππ==故答案为：203π 3．（2022·山东菏泽·高一期中）在一个正方形1234PP P P 内有一个小正方形ABCD 和四个全等的等边三角形（如图1）．将四个等边三角形折起来，使1P 、2P 、3P 、4P 重合于点P ，且折叠后的四棱锥P ABCD -（如图2）的外接球的表面积是64π，则四棱锥P ABCD -的侧棱PA 的长为______；若在四棱锥P ABCD -内放一个正方体，使正方体可以在四棱锥P ABCD -内任意转动，则该正方体棱长的最大值为______．【答案】 4343连接AC ，BD 交于点O ，则易得,APC BPD 是等腰直角三角形，则O 是正四棱锥外接球的球心，正四棱锥的所有棱都相等，设其为x ，则外接球的半径是OA ，所以2464x ππ⎫=⎪⎪⎝⎭，x =PA =因此PO OA ==4x =，故四棱锥P －ABCD 的体积22111284333x PO ⋅=⨯⨯=. 设四棱锥P －ABCD 的内切球半径为R ，四棱锥的表面积：((224432PAB ABCD S S S =+=+=， 所以四棱锥的体积12811()333S ABCD SAB ABCD V S S R SR -==+=， 则R ==， 在四棱锥P －ABCD 内放一个正方体的体对角线不超过内切球直径时，便可以在四棱锥内部任意转动，设放入四棱锥S －ABCD 内部的小正方体棱长为a ，24R ≤==，故4a ≤ 故a 最大为4343，故答案为：4343. 4．（2022·湖北·华中师大一附中高一期中）半正多面体(semiregularsolid )亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.以正方体每条棱的中点为顶点构造一个半正多面体，如图，它由八个正三角形和六个正方形构成，若它的所有棱长都为1，则该半正多面体外接球的表面积为___________；若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该正四面体体积最小值为___________.【答案】 4π所以该半正多面体外接球的半径1R =，故其表面积为4π.若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该半正多面体的外接球是正四面体的内切球时，该正四面体体积最小.此时，设正四面体的棱长为a ，考查轴截面，则有22211⎫⎫-=+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得a =所以(2min 13V =⋅=⎝故答案为： 4π；。

8.1 基本立体图形（1）学习目标:1.掌握棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征.2.能够识别和区分多面体，培养空间思维能力和直观想象力.预习案一．空间几何体的定义： 在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.二．空间几何体的分类：1.多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫多面体.围成多面体的各个多边形叫多面体的面，如面ABE ；两个面的公共边叫做多面体的棱，如棱AE ；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点_，如顶点E .2.旋转体：一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.这条定直线叫旋转体的轴.三．常见的多面体（一）.棱柱1.定义： 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形；其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点_；两个底面之间的距离叫做棱柱的高.2.结构特征： （1）两个底面平行且全等_；（2）侧面是平行四边形，侧棱都平行且相等.（3）过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.3.表示： 棱柱用底面各顶点的字母表示，如棱柱''''''ABCDEF A B C D E F .4.分类：（1）按底面多边形的形状分类：底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱…….（2）按侧棱与底面的位置分类：①侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱；②侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱；特殊地：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；注：四棱柱的分类：（1）底面是四边形的棱柱叫四棱柱；（2）底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体；（3）侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体；（4）底面是矩形的直平行六面体叫长方体；（5）棱长都相等的长方体叫正方体；即时练习1：判断对错：（1）长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体. （×）（2）斜棱柱的侧面不可能是矩形. （×）（3）平行六面体的所有面都是平行四边形. （√）（4）正四棱柱是长方体.（√）（5）长方体是正四棱柱.（×）（6）正四棱柱是正方体. （×）（7）正方体是正四棱柱. （√）（二）棱锥1.定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的__侧棱_；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.2.结构特征：（1）底面是多边形，侧面都是三角形；（2）侧棱交于一点.3.表示：.棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母表示，如棱锥S ABCD4.分类：按底面多边形的形状分类，底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫三棱锥、四棱锥、五棱锥…….其中三棱锥又叫四面体.底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥. 即时练习2：（1）一个多面体最少 四 个面，此时这个多面体是三棱锥 .（2）正棱锥的侧面形状是 等腰三角形，并且这些三角形关系是 全等 .（三）棱台1.定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间那部分多面体叫棱台.原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.类似于棱柱、棱锥，棱台也有侧面、侧棱、顶点.2.结构特征：（1）两底面__平行_ 且 相似（2）侧棱延长后交于一点.3.表示：棱台用底面各顶点的_字母__表示，如_棱台''''ABCD A B C D .4.分类：按底面多边形的形状分类，底面是三角形、四边形、五边形……的棱台分别三棱台、四棱台、五棱台…….即时练习3：判断对错：（1） 棱台的侧面都是梯形. （ √ ）（2） 正棱台的侧面是等腰梯形. （ √ ）探究案1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”（1）长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体. （× ）（2）四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体. （ √ ）（3）一个棱柱至少有5个面. （ √ ）（4）平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形. （ √ ）（5）有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥. （ √ ）（6）正棱台的侧面是全等的等腰梯形. （ √ ）2.一个几何体由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其他各面都是全等的矩形，则这个几何体是正五棱柱.3.如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，指出经过顶点D 的棱和面.棱DA 、DC 、1DD面ABCD 、面11ADD A 、面11CDD C4. 如图，下列几何体中为棱柱的是___(1) (3)(5)___________（填写序号）。

专题13 立体图形专题测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(共12小题，每题4分，共计48分)1．(2018·牡丹区期末)下列4个平面图形中，哪一个是由图中正方体纸盒展开得到的( ) A．B．C．D．【答案】C【详解】解：把四个选项的展开图折叠，能复原的是C．故选：C．2．(2019·双清区期末)一个几何体由大小相同的小正方体搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在这个位置小正方体的个数．从左面看到的这个几何体的形状图的是()A．B．C．D．【答案】B【解析】详解：由俯视图及其小正方体的分布情况知，该几何体的主视图为：该几何体的左视图为：故选：B．3．(2018·梁子湖区期末)把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形(如图)，请根据各面上的图案判断这个正方体是( )A．B．C．D．【答案】C【详解】结合立体图形与平面图形的相互转化，即可得出两圆应该在几何体的上下，符合要求的只有C，D，再根据三角形的位置，即可排除D选项.故选：C．4．(2017·越秀区期末)三个立体图形的展开图如图①②③所示，则相应的立体图形是( )A．①圆柱，②圆锥，③三棱柱B．①圆柱，②球，③三棱柱C．①圆柱，②圆锥，③四棱柱D．①圆柱，②球，③四棱柱【答案】A【详解】观察图形，由立体图形及其表面展开图的特点可知相应的立体图形顺次是圆柱、圆锥、三棱柱．故选：A．5．(2018·未央区期中)如图是一个正方体的平面展开图，若将展开图折叠成正方体后，相对面上所标的两个数相等，则a﹣b﹣c的值为()A．2B．﹣2C．4D．﹣4【答案】A【详解】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“a”与“﹣1”是相对面，“b”与“﹣5”是相对面，“c”与“2”是相对面，∵相对面上的两个数相等，∴a＝﹣1，b＝﹣5，c＝2，∴a﹣b﹣c＝﹣1+5﹣2＝2．故选A．6．(2018·腾冲县期末)下列平面图形不能够围成正方体的是()A．B．C．D．【答案】B【详解】根据正方体展开图的特点可判断A属于“1、3、2”的格式，能围成正方体，D属于“1，4，1”格式，能围成正方体，C、属于“2，2，2”的格式也能围成正方体，B、不能围成正方体．故选B．【名师点睛】本题主要考查展开图折叠成几何体的知识点．能组成正方体的“一，四，一”“三，三”“二，二，二”“一，三，二”的基本形态要记牢．注意只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．7．(2018·郑州市期中)如图，将长方体的表面展开，得到的平面图形不可能是() A．B．C．D．【答案】C【详解】A选项中的展开图是长方体的展开图，所以不能选A；B选项中的展开图是长方体的展开图，所以不能选B；C选项中的展开图不是长方体的展开图，所以可以选C；D选项后的展开图是长方体的展开图，所以不能选D.故选C.8．(2017·深圳市期中)如图，下列图形全部属于柱体的是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】解：A、有一个是三棱锥，故不符合题意；B、有一个是不规则的多面体，故不符合题意；C、分别是一个圆柱体、两个四棱柱；D、有一个是圆台，故不符合题意．故选C．9．(2019·历下区期中)如图是一个正方体的展开图，则“数”字的对面的字是()A．核B．心C．素D．养【答案】D【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“学”与“核”是相对面，“数”与“养”是相对面，“心”与“素”是相对面．故选：D．10．(2018通州区期末)把图1所示的正方体的展开图围成正方体(文字露在外面)，再将这个正方体按照图2，依次翻滚到第1格，第2格，第3格，第4格，此时正方体朝上一面的文字为()A．富B．强C．文D．民【答案】A【解析】试题解析：由图1可得，“富”和“文”相对；“强”和“主”相对；“民”和“明”相对；由图2可得，小正方体从图2的位置依次翻到第4格时，“文”在下面，则这时小正方体朝上面的字是“富”，故选：A.11．(2019·荔城区期中)如图几何体，从正面看得到的图形是()A．B．C．D．【答案】A【详解】解：从正面看故选：A．12．(2018·唐山市期末)汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净属于的实际应用是( )A．点动成线B．线动成面C．面动成体D．以上答案都不对【答案】B【详解】汽车的雨刷实际上是一条线，通过运动把玻璃上的雨水刷干净，所以应是线动成面，故选B.二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)13．(2018·天河区期末)如图是一个三棱柱，用一个平面去截这个三棱柱，形状可能的截面的序号是_____．【答案】①②③【详解】用平面取截三棱柱，当横截时，截面为①三角形；竖着截时截面为②长方形或③梯形；因此选择①②③.故答案为：①②③.14．(2019·东营市期中)如图，用棱长为1cm的小立方块组成一个几何体，从正面看和从上面看得到的图形如图所示，则这样的几何体的表面积的最小值是__cm2．【答案】34【详解】搭这样的几何体最少需要6+2+1=9个小正方体，最多需要6+5+2=13个小正方体；故最多需要13个小正方体，最少需要9个小正方体．最少的小正方体搭成几何体的表面积是(6+6+5)×2=34．故答案为：34；15．(2018·扬州市期末)一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后“扬”字对面是______字．【答案】美【详解】对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由图形可知，“扬”字对面是“美”字，故答案为：美．16．(2018·苏州市期末)如图一个正方体的平面展开图，若将它折叠成正方体，相对的两个面上的数字互为相反数，则xy=______．【答案】8解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“y+2”与“2y-8”是相对面，“x+1”与“2x-11”是相对面，“3”与“-3”是相对面，所以，y+2+2y-8=0，则y=2．x+1+2x-11=0，则x=4．所以xy=2×4=8．故答案是：8．17．(2018·靖远县期末)上图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图,在这个几何体中,小正方体的个数是_______个.【答案】5【解析】根据三视图，主视图以及俯视图都是相同的，可以得出底层有4个小正方体，然后第2层有1个小正方体，故共5个小正方体．解：综合三视图，这个几何体中，底层有3+1=4个小正方体，第二层有1个小正方体，因此小正方体的个数为4+1=5个．故答案为：5．三、解答题(共4小题，每小题8分，共计32分)18．(2018·高平市期末)如图，在无阴影的方格中选出两个画出阴影，使它们与图中4个有阴影的正方形一起可以构成一个正方体的表面展开图．(在图1和图2中任选一个进行解答，只填出一种答案即可)【答案】答案见解析.试题分析：和正方体展开图的11种基本形式(如下图)相比较，从中选出符合要求的画出即可.试题解析：(1)图1中对照基本型，可选下面六种中的一种：(2)图2对照基本型，可选下面四种中的一种：19．(2018·郑州市期中)如图是由8个同样大小的小正方体搭成的几何体，请你在给定的方格纸内分别画出从左面和从上面观察得到的平面图形．【答案】【详解】 如图所示：20．(2018·衡阳市期末)如图是由5个相同的小正方体搭成的几何体，已知小正方体的棱长为1． (1)画出它的三视图； (2)求出它的表面积(含底面积).【答案】(1)见解析；(2)22S 表 【解析】试题解析：(1)如图，(2)表面积为：4+4+3+3+4+4=22.21．(2017·西安高新区期中)如图，这是一个由大小相同的小立方块塔成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数．请你画出它从正面和从左面看到的这个几何体的形状图．【答案】画图见解析.【解析】试题分析：根据三视图的法则可得：主视图从左往右小正方形的个数分别为3个，2个和4个，左视图从左往右小正方形的个数分别为2个，3个和4个.试题解析：如图所示：。

8.1 基本立体图形(精练)【题组一多面体】1．(2021·福建三明·高一期中)下列几何体的侧面展开图如图所示，其中是棱锥的为( ) A．B．C． D．【答案】B【解析】对于A选项，图形沿着折线翻折起来是一个五棱柱，故A选项不正确；对于B选项，图形沿着折线翻折起来是一个五棱锥，故B选项正确；对于C选项，图形沿着折线翻折起来是一个三棱台，故C选项不正确；对于D选项，图形沿着折线翻折起来是一个四棱柱，故D选项不正确；故选：B.2．(2021·全国·高一课时练习)下列说法中正确的是( )A．棱锥的侧面不一定是三角形B．棱锥的各侧棱长一定相等C．棱台的各侧棱的延长线交于一点D．用一平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，一个是棱台【答案】C【解析】棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，但是各侧棱长不一定相等，故A，B不正确；棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，故各条侧棱的延长线一定交于一点，C正确；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，得到的两个几何体才能一个是棱锥，一个是棱台，故D不正确.故选；C.3．(2021·全国·高一课时练习)下面图形中，为棱锥的是( )A．①③B．①③④C．①②④D．①②【答案】C【解析】一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，显然①②④满足棱锥定义，③不满足棱锥定义，所以①②④是棱锥，③不是棱锥.故选：C 4．(2021·全国·高一课时练习)一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥【答案】D【解析】正六棱锥的底面是个正六边形，正六边形共由6个等边三角形构成，设每个等边三角形的边长为r，正六棱锥的高为h，正六棱锥的侧棱长为l，由正六棱锥的高h、底面的半径r、侧棱长l构成直角三角形得，222+=，故侧棱长l和底面正六边形的边长r不可能相等.故选：D.h r l5．(2021·安徽·六安一中高一月考)给出下列命题∶①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台③棱台的侧棱延长后交于一点，且侧面是等腰梯形，其中正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】因为棱柱的侧面不一定全等，所以①错，用不平行与棱锥底面的平面解棱锥时，截面与底面之间的部分不是棱台，②错，棱台的侧面不一定是等腰梯形，③错，所以正确的命题个数为0，故选：A.6．(2021·山西柳林·高一期中)下列关于棱台的说法中错误的是( )A．所有的侧棱所在直线交于一点B．只有两个面互相平行C．上下两个底面全等D．所有的侧面不存在两个面互相平行【答案】C【解析】由棱台的定义可知：A.所有的侧棱所在直线交于一点，正确；B.只有两个面互相平行，就是上、下底面平行，正确；C.棱台的上下两个底面不全等，故C不正确；D.所有的侧面不存在两个面互相平行，正确.故选：C.7．(2021·山西高平·高一期中)《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点、以正八棱柱的侧棱为垂直于四棱锥底面的侧棱，则这样的阳马的个数是( )A．48 B．32 C．24 D．8【答案】A【解析】在正八棱柱的下底面中，根据正八边形的性质，其内接矩形共有6个，AHBG ADBC AFBE HDGC HFGE DFCE.分别为矩形,,,,,而每个矩形可以形成4个不同的阳马，所以这样的阳马个数是24，同理，以上底面中的矩形为底面的也有24个阳马，因此共48个不同的阳马．故选：A8．(2021·山西高平·高一期中)有以下命题：①以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台②棱台的两个底面一定是相似多边形③连接圆柱的上、下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线④用平行于底面的平面截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台其中的正确命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】对于①：以直角梯形较长的腰为轴旋转所得的几何体不是圆台，所以①错误；对于②：棱台的两个底面一定是相似多边形，所以②正确；对于③：圆柱的轴截面与其侧面的交线才是圆柱的母线，所以③错误；对于④：根据圆台的定义，可得④是正确的．故选：B9．(2021·山西高平·高一期中)下面四个几何体中，是棱台的是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】A是圆台，D是棱锥，C侧棱延长没有交于一点，故不是四棱台，B是三棱台．故选：B 10．(2021·全国·高一课时练习)(多选题)对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法，其中说法正确的是( )A．由一个长方体割去一个四棱柱所构成的B．由一个长方体与两个四棱柱组合而成的C．由一个长方体挖去一个四棱台所构成的D．由一个长方体与两个四棱台组合而成的【答案】AB【解析】如图，该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成，也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成，如下图所示：故选:AB.【题组二旋转体】1．(2021·全国·高一课时练习)下列命题中正确的有( )①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面；②圆柱不是旋转体；③半圆围绕直径旋转半周得到一个球；④圆台的轴截面是等腰梯形．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】①圆柱的纵截面是矩形，矩形的长是圆柱的高，矩形的宽是圆内的弦，轴截面的宽是过圆心的直径，故圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面，故①正确；②根据旋转体的概念可知圆柱是旋转体，故②错误；③半圆围绕直径旋转半周得到半个球，故③错误；④圆台的上下底面是平行且不相等的圆，且母线等长，所以其轴截面是等腰梯形，④正确.综上所述：正确的为①④故选：B2．(2021·全国·高一课时练习)下列命题中错误的是( )A ．圆柱的母线与轴平行B ．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C ．圆锥的所有轴截面是全等的等腰三角形D ．圆柱的所有平行于底面的截面都是圆面【答案】B【解析】A ：圆柱的母线即为圆柱的高线，与轴平行，即A 正确；B ：因为轴截面的顶角为α时，截面面积为21sin 2S l α=，当90α︒≤时，S 为最大的；当90α︒>时，S 不是最大的，因为存在不过定点的截面θ等于90︒，sin sin θα>，B 错误；C ：圆锥所有截面的顶角相等且两腰长均为母线，C 正确；D ：根据圆柱的性质可判断D 正确.故选：B3．(2021·全国·高一课时练习)如图是由哪个平面图形旋转得到的( )A．B．C．D．【答案】D【解析】A中图形旋转得到两个圆锥与一个圆柱，不合题意；B中图形旋转得到两个相同底面的圆锥，不合题意；C中图形旋转得到相同底面的圆柱与圆锥，不合题意；D中图形旋转得到一个圆台与一个圆锥，合题意.故选：D.4．(2021·全国·高一课时练习)如图所示的阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A．一个球体B．一个球体中间挖去一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个棱柱【答案】B【解析】由题意，根据球的定义，可得圆面旋转形成一个球，根据圆柱的概念，可得里面的长方形旋转形成一个圆柱，所以绕中间轴旋转一周，形成的几何体为一个球中间挖去一个圆柱，故选：B.5．(2021·广西百色·高一期末)将一个等腰梯形绕对称轴所在的直线旋转180，所得的几何体为( ) A．一个圆锥B．两个圆锥C．一个圆台D．一个圆柱【答案】C【解析】由题意根据旋转体的定义，可得将一个等腰梯形绕对称轴所在的直线旋转180得到一个圆台.故选：C.6．(2021·安徽·高一月考)有以下命题：①以半圆直径所在的直线为旋转轴旋转一周，其形成的面围成的旋转体是球；②用任意平面去截圆锥，所得的截面图形为圆；③若某圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则它的表面积为)(r r l π+；④以直角三角形的任意一边所在直线为旋转轴旋转一周，其余两边形成的面围成的旋转体是圆锥． 其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由基本概念可知，①正确；用不平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得的截面图形不是圆，②错误；根据圆锥的表面积公式可知③正确；以斜边所在直线为旋转轴旋转一周得到的旋转体不是圆锥，④错误， 故选B ．7．(2021·广东·西樵高中高一月考)(多选)下列关于圆柱的说法中正确的是( )A ．圆柱的所有母线长都相等B ．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面C ．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面D ．一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180︒所形成的几何体是圆柱【答案】ABD【解析】对于A ，圆柱的所有母线长都等于圆柱的高，且都相等，所以A 正确，对于B，用平行于圆柱底面的平面截圆柱，由圆柱的性质可知截面是与底面全等的圆面，所以B正确，对于C，用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是椭圆面或椭圆面的一部分，所以C错误，对于D，一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180 所形成的几何体是圆柱，所以D正确，故选：ABD【题组三简单的组合体】1．(2021·全国·高一课时练习)如图的组合体是由( )组合而成.A．两个棱柱B．棱柱和圆柱C．圆柱和棱台D．圆锥和棱柱【答案】B【解析】由图可知该组合体由圆柱和六棱柱组合而成，故选：B2(2021·全国·高一课时练习)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是由 ( )A．一个圆台、两个圆锥构成B．两个圆台、一个圆锥构成C．两个圆柱、一个圆锥构成D．一个圆柱、两个圆锥构成【答案】D【解析】旋转体如图，中间是一个圆柱，两端是相同的圆锥构成，故选D．3．(2021·全国·高一课时练习)如图所示的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是A．一个棱柱中挖去一个棱柱B．一个棱柱中挖去一个圆柱C．一个圆柱中挖去一个棱锥D．一个棱台中挖去一个圆柱【答案】B【解析】螺栓是圆柱，螺母的横截面是六边形内有一个圆，所以螺母可以看成一个棱柱中挖去一个圆柱.故选B.【题组四立体图形的截面】1．(2021·山西灵丘·高一期中)如图，几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】当截面不过旋转轴时﹐截面图形如选项A所示．故选：A．2．(2021·全国·高一课时练习)如图所示是一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由原正方体的特征可知，含有4,6,8的数字的三个面一定相交于一点，而选项B，C，D中,经过折叠后与含有4,6,8的数字的三个面一定相交于一点不符.故选：A3．(2021·全国·高一课时练习)水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是( )A．1 B．9 C．快D．乐【答案】B【解析】根据一个正方体的表面展开图以及图中“2”在正方体的上面，把该正方体还原，其直观图为：由直观图可得这个正方体的下面是9故选：B4．(2021·全国·高一课时练习)纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，里面朝上展平得到如图所示平面图形，则标“△”的面的方位是( )A ．南B ．北C ．西D ．下【答案】A【解析】由题意，正方体的表面展开图，相对面之间一定相隔一个正方形， 再由展开图是里面朝上展平得到的，根据“上北下南，左西右东”， 因此标“△”的面的方位是南. 故选：A5．(2021·贵州黔西·高一期末)在正方体1111ABCD A B C D -，中，M ，N 分别为正方形11AA D D 和1111D C B A 的中心，3AB =，则平面CMN 截正方体所得截面的周长是( )A ．10B ．40CD ．【答案】D【解析】如图所示，延长CM ，11B A 交于点P ，连接PN 并延长，分别交11A D ，11B C 于E ，F ，连接CF ，连接EM 并延长，交AD 于点G ，连接CG ，则四边形CGEF 为所求截面，因为M 是正方形11AA D D 的中心，所以12ME EG =， 由题意易证四边形CGEF 为菱形，所以//EG CF ，EG CF =，所以//ME CF ，12ME CF =，则E 为PF 的中点，则111A E C F ==，从而CF = 故选：D.6．(2021·山西·高一月考)如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，AB =2，E 为棱BC 的中点，F 为棱11A D 上的一动点，过点A ，E ，F 作该正方体的截面，则该截面不可能是( )A ．平行四边形B ．等腰梯形C ．五边形D ．六边形【答案】D【解析】当10A F =，即F 与1A 重合时，如图1，取11B C 的中点，截面为矩形1AEGA ； 当101A F <时，如图2，截面为平行四边形AEGF ； 当112A F <<时，如图3，截面为五边形AEGHF ，当12A F =，即F 与1D 重合时，如图4，截面为等腰梯形AEGF ．故选：D7．(2021·河北·高一期中)如图，在棱长为2的正方休1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为11A D ，11A B ，1BB ，的中点，过E ，F ，G 三点的平而截正方休1111ABCD A B C D -所得的截面面积为( )A ．4B ．CD ．【答案】D【解析】如图，分别取BC 的中点H ，CD 的中点I ,1DD 的中点K ，连接,,,GH HI IK KE ，因为该几何体为正方体，所以EF ∥HI ,FG ∥IK ,GH ∥KE ,且EF HI FG IK GH KE =====所以E ，F ，G 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为正六边形EFGHIK ，所以该正六边形的面积为26=故选：D8．(2021·全国·高一课时练习)用一个平面去截直三棱柱111ABC A B C -，交1111,,,AC B C BC AC 分别于点,,,E F G H .若111A A A C >，则截面的形状可以为________.(把你认为可能的结果的序号填在横线上)①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形. 【答案】②⑤【解析】由面111//A B C 面ABC 且111ABC A B C -为直三棱柱，易知截面中//EF HG ， 当1//FG B B 时，此时//EH FG ，四边形EFGH 为矩形； 当FG 不与1B B 平行时，四边形EFGH 为梯形. 故答案为：②⑤9．(2021·全国·高一课时练习)用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是________．(填序号) ①三角形；②四边形；③五边形． 【答案】①②【解析】如图：按图1所示用一个平面去截三棱锥，截面形状为三角形； 按图2所示用一个平面去截三棱锥，截面形状为四边形； 截面形状不可能为五边形， 所以①②正确， 故答案为：①②10．(2021·福建·高一期中)如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为111,CC B C 的中点，则过D ，P ，Q 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得截面的面积为________．【答案】92【解析】如图所示：过D ，P ，Q 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为等腰梯形1AQPD ，因为11AQ PD PQ AD ===所以1,A D PQ 之间的距离为h所以梯形1AQPD 的面积为()(1119222S A D PQ h =⨯+⨯=⨯=， 故答案为；92．11(2021·全国·高一课时练习)一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为_______．(只填写序号)【答案】① ② ③【解析】当截面与正方体的一个面平行时，截面图形如①，当截面不与正方体的一面平行时，截面图形可以为②③，对于④，四个顶点在球面上，且通过球心的截面只能为矩形，由于④中四边形为正方形，故④错误；故答案为：① ② ③【题组五 两点距离最短】1．(2021·河北张家口·高一期末)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AA =，AB BC ==1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为( )A B C ．1D ．3【答案】B【解析】连接1BC ，得11A BC ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，则有1AC AP PC +'≥. 当A P C '、、三点共线时，则AC '即为1AP PC +的最小值.在三角形ABC 中，AB BC ==1cos 3ABC ∠=，由余弦定理得：cos 2AC AB BC B ===,所以112A C =，即12A C '=在三角形1A AB 中，11AA =，AB =12A B ===,且160AA B ∠=︒. 同理可求：12C B =因为11112A B BC AC ===，所以11A BC 为等边三角形，所以1160BAC ∠=︒， 所以在三角形1AA C '中，111120AAC AA B BAC ''∠=∠+∠=︒,111,2AA AC '==,由余弦定理得：AC '=故选B.2．(2021·上海中学高一期末)在四面体ABCD 中，1AB BC CA ===，DA 与直线AB ，CA 均垂直，且DA =一只蚂蚁从ABC 的中心沿表面爬至点D ，则其爬过的路程最小值为( )A B C D 【答案】A【解析】因为,DA AB DA AC ⊥⊥，AB AC A ⋂=，所以DA ⊥平面ABC ，所以平面DAC ⊥平面ABC ，将底面ABC 旋转，以AC 为轴，旋转至平面DAC 与平面ABC 共面，如图，此时OD 的直线距离即为最短距离，设O 到直线AC 的距离为d ，则13==d ==OD . 故选：A3．(2021·河北·博野县实验中学高一期中)两平行平面截半径为13的球，若截面面积分别为25π和144π，则这两个平面间的距离是( ) A ．7 B ．17 C ．5或12 D ．7或17【答案】D【解析】球的半径为13R =，设两个截面圆的半径别为1r ，2r ，球心到截面的距离分别为1d ，2d ； 球的半径为R ，由2125r ππ=，得15r =； 由22144r ππ=，得212r =；如图①所示，当球的球心在两个平行平面的外侧时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差；即211257d d --=； 如图②所示，当球的球心在两个平行平面的之间时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和．即2112517d d ++=； 所以这两个平面间的距离为7或17． 故选：D ．4．(2021·贵州师大附中高一月考)在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 2PA PB PC PD ====．若点E 、F 、G 分别为棱PB 、PC 、PD 上的动点(不包含端点P )，则AE EF FG GA +++的最小值为( )A ．2B ．C ．D ．4【答案】C【解析】把四棱锥P ABCD -沿PA 展开，得到如图所示图形：AE EF FG GA +++的最小时，点,,E F G 与,A A '共线时，所以求AE EF FG GA +++的最小值即求AA '的长度，因为2PA PB ==，AB ，所以在ABP △中，结合余弦定理得222cos 222AP BP AB APB +-==⨯⨯6APB π∠=，因为ABP BCP CDP DA P '≅≅≅，所以23APA π'∠=，在APA '中，AA '==故选：C.5．(2021·湖北黄冈·高一期末)如图，正三棱锥A BCD -中，20BAD ∠=，侧棱长为2，过点C 的平面与侧棱,AB AD 相交于11,B D ，则△11CB D 的周长的最小值为( )A ．B ．C ．4D ．2【答案】D【解析】将正三棱锥A BCD -沿AC 剪开可得如下图形，∵20BAD ∠=，即3CAC π'∠=，又△11CB D 的周长为1111CD D B B C '++，∴要使△11CB D 的周长的最小，则11,,,C D B C '共线，即1111CD D B B C CC ''++=， 又正三棱锥A BCD -侧棱长为2，△CAC'是等边三角形， ∴1111min ()2CD D B B C '++=. 故选：D6．(2021·湖南·高一期末)已知，如图，正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，P 为1A B 上的动点，则1AP PD +的最小值为__________.【解析】如图，将11D A P 沿1A P 翻转，使点1D 转到的对应点2D 在平面1ABB 内．则211190D A B D A B ∠=∠=︒．故121124590135AA D AA B BA D ∠=∠+∠=︒+︒=︒．从而，122AP D P AP D P AD +=+≥==当且仅当P 为2AD 与1A B 的交点时，上式等号成立．7(2021·全国·高一课时练习)如图所示，有一圆锥形粮堆，母线与底面圆的直径构成边长为6m 的正三角形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程．(结果不取近似值)【答案】．【解析】如图所示，根据题意可得ABC 为边长为6的正三角形，所以6BC =，所以圆锥底面周长236(m)ππ=⨯=， 根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，可得66180n ππ⨯=，故180n ，则90B AC '∠=︒，所以B P =='，所以小猫所经过的最短路程是．8．(2021·全国·高一课时练习)如图所示，圆台母线AB 长为20cm ，上、下底面半径分别为5cm 和10cm ，从母线AB 的中点M 拉条绳子绕圆台侧面转到B 点，求这条绳长的最小值．【答案】50cm ．【解析】作出圆台的侧面展开图，如图所示，由轴截面中t R OPA 与t R OQB 相似，得510OA OA AB =+，可求得20cm OA =． 设BOB α∠'=，由于BB '的长与底面圆Q 的周长相等，而底面圆Q 的周长为210cm π⨯,扇形OBB '的半径为202040cm OA AB +=+=，扇形OBB '所在圆的周长为24080cm ππ⨯=．所以BB '的长度20cm π为所在圆周长的14，所以OB OB ⊥'． 所以在Rt B OM '△中，2224030B M ='+，所以50cm B M '=，即所求绳长的最小值为50cm ．9．(2021·山西·岢岚县中学校高一月考)如图，直四棱柱侧棱长为4cm ，底面是长为5cm 宽为3cm 的长方形．一只蚂蚁从顶点A 出发沿棱柱的表面爬到顶点B ．求：(1)蚂蚁经过的最短路程；(2)蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一条棱)的最长路程．【答案】；(2)30cm ．【解析】(1)将长方体与顶点,A B 相关的两个面展开，共有三种方式，如图所示：则AB 的长就为最短路线．若蚂蚁沿前侧面和上底面爬行，如图1，则经过的最短路程为)cm AB =，若蚂蚁沿侧面爬行，如图2，则经过的最短路程为)cm AB =，若蚂蚁沿左侧面和上底面爬行，如图3，则经过的最短路程为)cm AB =，74<；(2)最长的路线应该是依次经过棱长为5,4,5,4,3,4,5的路线，由()545434530cm ++++++=，所以最长路程是30cm ．。

8.1 基本立体图形(精练)【题组一多面体】1．(2020·广西崇左市·崇左高中)下列几何体中是棱锥的有( )A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】由棱锥的定义可得，只有几何体⑤、⑥为棱锥.故选：C.2．(2020·广西桂林市·桂林十八中)下列命题正确的是( )A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥的底面一定是三角形C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱【答案】D【解析】对于选项,A棱柱的底面也可以是三角形，五边形等，不一定是平行四边形，所以该选项错误；对于选项B，棱锥的底面不一定是三角形，也可以是四边形，五边形等，所以该选项错误；对于选项C，棱锥被平面分成的两部分可能都是棱锥，所以该选项错误；对于选项D，棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱，所以该选项正确.故选：D3．(2020·全国高三专题练习)一个棱锥所有的棱长都相等，则该棱锥一定不是( )A．正三棱锥B．正四棱锥C．正五棱锥D．正六棱锥【答案】D【解析】因为正六变形的中心到底面顶点的距离等于边长，所以正六棱锥的侧棱必大于底面棱长，故选：D.4．(2021·江苏高一课时练习)棱台不具备的特点是( )A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点【答案】C【解析】根据棱台的定义，由平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面与底面之间的部分叫棱台．棱台的两底面是相似多边形，A正确；侧面的上下底边平行，侧面都是梯形，B正确；侧棱延长后交于一点，D正确；由于棱锥的侧棱不一定相等，所以棱台的侧棱也不一定相等，C不一定成立，故选：C．5．(2021·河南焦作市)某几何体有6个顶点，则该几何体不可能是( )A．五棱锥B．三棱柱C．三棱台D．四棱台【答案】D【解析】四棱台有8个顶点，不符合题意.，其他都是6个顶点．故选：D．6．(2020·全国高三专题练习(文))下列说法中正确的是( )A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是梯形的几何体叫棱台D．有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥【答案】D【解析】因为有两个面平行，其余各面是相邻的公共边都相互平行的平行四边形的几何体叫棱柱，所以A、B错误；而一个平行于底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台，所以棱台各侧棱的延长线交于一点，所以C错误；因为有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体叫棱锥，所以D正确.故选：D.7．(2020·朝阳县柳城高级中学)下列说法正确的是( )A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台C．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直D．棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形【答案】C【解析】A. 棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形,但不一定全等，故错误；B.用一个平面去截棱锥，当棱锥底面与截面平行时，才是棱台，故错误；C.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直，如正方体共顶点的三个相邻平面，故正确；D.棱台的侧棱延长后交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，故错误；故选：C8．(2021·江苏高一课时练习)下列说法正确的是________(填序号).①底面是正多边形的棱锥为正棱锥；②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；③各侧面都是等腰三角形的棱锥为正棱锥；④各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；⑤底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥.【答案】⑤【解析】对于①，如果棱锥的顶点在底面上的射影不是正多边形的中心，则此棱锥不是正棱锥，故①错误.对于②，如图(1)，棱锥的顶点是圆锥的顶点，而底面多边形是圆锥底面圆的内接非正多边形，此时棱锥满足各侧棱都相等，但不是正棱锥，故②错误.对于③④，如图(2)，侧面都是等腰三角形，且它们全等，但该三棱锥不是正棱锥，故③④错误.对于⑤，因为底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥，故顶点底面上的射影O为正多边形的中心，此时棱锥为正棱锥，故⑤正确.故答案为：⑤9．(2020·全国高三专题练习)给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体.其中正确命题的序号是________.【答案】②③④【解析】①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体1111ABCD A B C D-中的三棱锥1C ABC-，四个面都是直角三角形.故答案为：②③④10．(2020·全国高三专题练习)下列关于棱锥、棱台的说法中，正确说法的序号是________ ①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③棱锥的侧面只能是三角形；④棱台的各侧棱延长后必交于一点；⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.【答案】②③④【解析】①错，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，则棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；②对，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；③对，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；④对，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点；⑤错，如图所示四棱锥被平面PBD截成的两部分都是棱锥.故答案为：②③④11．(2021·江苏高一课时练习)如图，下列几何体中，_______是棱柱，_______是棱锥，_______是棱台(仅填相应序号).【答案】①③④⑥⑤【解析】结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台.故答案为：①③④；⑥；⑤.【题组二旋转体】1．(2020·浙江)以下空间几何体是旋转体的是( )A．圆台B．棱台C．正方体D．三棱锥【答案】A【解析】由封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体可知，只有A项满足题意故选：A2．(2020·东台创新高级中学高一月考)给出下列命题：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是( )A．①③B．②④C．①④D．②③【答案】B【解析】圆柱的母线与它的轴平行，故①错误；圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形，故②正确；在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆台的母线，故③错误；圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的，故④正确；故选：B3．(2020·全国高一课时练习)如图所示，观察下面四个几何体，其中判断正确的是( )A．①是圆台B．②是圆台C．③是圆锥D．④是圆台【答案】C【解析】图①不是由圆锥截得的,所以①不是圆台;图②上下两个面不平行，所以②不是圆台;图④不是由圆锥截得的，所以④不是圆台;很明显③是圆锥，故选：C.4．(2032·上海市)有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点连线的长度是母线的长度；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点连线的长度是母线的长度；③圆柱的任意两条母线所在直线互相平行；④过球上任意两点有且只有一个大圆；其中正确命题的序号是_____【答案】②③【解析】①若上下顶面两点连线不垂直于底面，则两点连线长度不是母线的长度，①错误；②由圆锥的特点可知，圆锥顶点到底面圆周上任意一点长度相等，均为母线长度，②正确；③圆柱的母线均垂直于底面，所以任意两条母线所在直线互相平行，③正确；④若两点连线为球的直径，则过两点有两个大圆，④错误.故答案为②③【题组三组合体】1．(2020·全国高一课时练习)说出图中物体的主要结构特征.【答案】详见解析【解析】(1)一个圆柱与一个圆锥的组合体，上部分为圆锥，下部分为圆柱；(2)一个六棱柱里面挖去了一个圆柱.2．(2020·全国高一课时练习)如图，以直角梯形ABCD的下底AB所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出这个几何体的结构特征.【答案】详见解析【解析】几何体如图(2)所示，其中DE AB，垂足为E.这个几何体是由圆柱BE和圆锥AE组合而成的.其中圆柱BE的底面分别是B和E，侧面是由梯形的上底CD绕轴AB旋转形成的；圆锥AE的底面是E，侧面是由梯形的边AD绕轴AB旋转而成的. 3．(2020·全国高一课时练习)如图，说出图中两个几何体的结构特征.【答案】(1)由圆锥和圆台组合而成的简单组合体.(2)由四梭柱和四棱锥组合而成的简单组合体.【解析】几何体(1)是圆台上拼接了一个与圆台上底同底的圆锥；几何体(2)是长方体上拼接了一个同底的四棱锥；4．(2020·全国高一课时练习)试指出图中组成各几何体的基本元素.【答案】(1)几何体由6个顶点、12条棱和8个面组成(2)几何体由6个顶点、10条棱和6个面组成【解析】(1) 是由两个四棱锥组成的，有6个顶点、12条棱和8个面组成.(2)是由两个锥体组合而成，有6个顶点、10条棱和6个面组成.【题组四截面问题】1．(2020·江西吉安市·高三其他模拟(文))如图是一个正方体的表面展开图，则图中“0”在正方体中所在的面的对面上的是( )A．2 B．1 C．高D．考【答案】C【解析】将展开图还原成正方体可知，“0”在正方体中所在的面的对面上的是“高”，故选:C.2．(2021·江苏高一课时练习)如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是( )A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．组合体【答案】B【解析】根据棱锥的结构特征可判断，余下部分是四棱锥A′－BCC′B′．故选：B.3．(2020·唐山市第十一中学高二期中)用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形面，这个几何体不可能是( )A．棱锥B．圆锥C．圆柱D．正方体【答案】C【解析】圆柱的截面的图形只有矩形或圆形，如果截面是三角形，那么这个几何体不可能是圆柱.故选：C4．(2021·江苏高一课时练习)如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是( )A．①②B．①③C．①④D．①⑤【答案】D【解析】一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，当截面经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为三角形除去一条边，所以①正确；当截面不经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为抛物线的一部分，所以⑤正确；故选:D。

人教版高中数学必修第二册8.1基本立体图形同步精练【考点梳理】考点一：多面体、旋转体的定义类别多面体旋转体定义由若干个平面多边形围成的几何体一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体图形相关概念面：围成多面体的各个多边形棱：相邻两个面的公共边顶点：棱与棱的公共点轴：形成旋转体所绕的定直线考点二：棱柱的结构特征1.棱柱的概念名称定义图形及表示相关概念棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱如图可记作：棱柱ABCDEF —A ′B ′C ′D ′E ′F ′底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点2.棱柱的分类(1)按底面多边形边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……(2)按侧棱是否与底面垂直：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体.考点三棱锥的结构特征1.棱锥的概念名称定义图形及表示相关概念棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥如图可记作：棱锥S —ABCD底面(底)：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点2.棱锥的分类(1)按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……(2)底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.考点四：棱台的结构特征名称定义图形及表示相关概念分类棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台如图可记作：棱台ABCD —A ′B ′C ′D ′上底面：平行于棱锥底面的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……考点五：圆柱的结构特征圆柱图形及表示定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱图中圆柱表示为圆柱O ′O相关概念：圆柱的轴：旋转轴圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边考点六：圆锥的结构特征圆锥图形及表示定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体图中圆锥表示为圆锥SO相关概念：圆锥的轴：旋转轴圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边考点七：圆台的结构特征圆台图形及表示定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台图中圆台表示为圆台O ′O相关概念：圆台的轴：旋转轴圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边考点八：球的结构特征球图形及表示定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球相关概念：图中的球表示为球O 球心：半圆的圆心半径：连接球心和球面上任意一点的线段直径：连接球面上两点并经过球心的线段考点九：简单组合体的结构特征1.概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体.2.基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.【题型归纳】题型一：棱柱的结构特征1．（2021·全国·高一课时练习）下列命题正确的是（）A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱D．棱柱的侧面都是全等的平行四边形2．（2021·全国·高一课时练习）如图所示的几何体中棱柱的个数为（）A．1B．2C．3D．43．（2021·安徽安庆·高一期末）下列关于棱柱的命题中，真命题的个数是（）①同一棱柱的侧棱平行且相等；②一个棱柱至少有5个面；③当棱柱的底面是正多边形时，该棱柱一定是正棱柱；④当棱柱的底面是等腰梯形时，该棱柱一定是平行六面体.A．1B．2C．3D．4题型二：棱锥的结构特征4．（2021·全国·高一课时练习）以下关于正棱锥的叙述不正确的是（）A．正棱锥的高与底面的交点是底面的中心B．正四棱锥的各侧面都是锐角三角形C．正棱锥的各侧面都是等腰三角形D．底面是正多边形且各侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥5．（2021·全国·高一课前预习）下面图形中，为棱锥的是（）A．①③B．①③④C．①②④D．①②6．（2020·河南·南阳市第四中学高一阶段练习）给出下列四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是（）A．0B．1C．2D．3题型三：棱台的结构特征7．（2021·山西柳林·高一期中）下列关于棱台的说法中错误的是（）A．所有的侧棱所在直线交于一点B．只有两个面互相平行C．上下两个底面全等D．所有的侧面不存在两个面互相平行8．（2021·重庆市江津中学校高一开学考试）下列说法中正确的是（）A．棱台的侧棱延长后必交于一点B．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．棱台的底面是两个相似的正方形D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台9．（2019·天津·高一期中）下列命题中正确的是A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱题型四：圆柱、圆锥、圆台的结构特征10．（2020·全国·高一课时练习）下列命题中不正确的是（）A．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台B．以直角梯形的一腰为轴，另一腰旋转形成的面是圆台的侧面C．圆柱、圆锥、圆台的底面相似D．圆台的母线延长后交于一点11．（2021·全国·高一课时练习）给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的；⑤圆台所有母线的延长线交于一点其中正确的命题是（）A．①②④B．②③④C．①③⑤D．②④⑤12．（2021·全国·高一）下列说法正确的是（）A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥B．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D．一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台题型五：球的结构特征13．（2021·全国·高一课时练习）下列命题正确的是()①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；②球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径；③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；④球面上任意三点可能在一条直线上；⑤球的半径是球面上任意一点和球心的连线段.A．①②③B．②③④C．②③⑤D．①④⑤14．（2020·全国·高一课时练习）下列说法中正确的个数是（）①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；②球面上任意两点的连线是球的直径；③用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆；④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面；⑤以半圆的直径所在直线为轴旋转形成的曲面叫做球；⑥空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面.A．0B．1C．2D．315．（2019·全国·高一课时练习）给出下列四个命题：①空间中，到一定点距离等于定长的点的集合是球面；②球面上不同的三点不可能在同一直线上；③过球面上不同的两点只能作一个大圆；④球的表面积是球大圆面积的4倍．其中假命题的个数是A．0B．1C．2D．3题型六：简单组合体问题16．（2021·重庆一中高一阶段练习）如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（）A．一个六棱柱中挖去一个棱柱B．一个六棱柱中挖去一个棱锥C．一个六棱柱中挖去一个圆柱D．一个六棱柱中挖去一个圆台17．（2021·江苏徐州·高一期中）将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（）A．一个圆台、两个圆锥B．两个圆台、一个圆柱C．两个圆柱、一个圆台D．一个圆柱、两个圆锥18．（2018·湖北宜昌·高一期末（文））如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形题型七：基本立体图形的综合性问题19．（2022·内蒙古·呼和浩特市第十四中学高一期末）下列说法中正确的是（）A．斜棱柱的侧面中可能有矩形B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥C．直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．棱台各侧棱的延长线不一定交于一点20．（2021·安徽·六安一中高一阶段练习）给出下列命题∶①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台③棱台的侧棱延长后交于一点，且侧面是等腰梯形，其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3 21．（2021·河北大名·高一期中）下列结论错误的是（）A．圆柱的每个轴截面都是全等矩形B．一个棱锥至少有四个面C．一个棱柱至少有两个面平行D．用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台【双基达标】一、单选题22．（2021·河北省盐山中学高一阶段练习）棱台不具备的特点是（）A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱长都相等D．侧棱延长后都交于一点23．（2021·陕西师大附中高一阶段练习）下列判断正确的是（）A．正三棱锥一定是正四面体B．底面是正方形的四棱锥是正四棱锥C．底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱D．底面是正方形的棱台是正四棱台24．（2021·山西·怀仁市大地学校高中部高一阶段练习）如图是一个正方体的表面展开图，则图中“有”在正方体中所在的面的对面上的是（）A．者B．事C．竟D．成25．（2020·安徽六安·高一阶段练习）下列说法正确的是（）A．圆柱的母线长与圆柱的底面圆半径不可能相等B．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D．任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥26．（2021·河北·博野县实验中学高一期中）两平行平面截半径为13的球，若截面面积分别为25π和144π，则这两个平面间的距离是（）A．7B．17C．5或12D．7或1727．（2021·山西灵丘·高一期中）如图，几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（）A．B．C．D．【高分突破】一：单选题28．（2021·山西高平·高一期中）有以下命题：①以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台②棱台的两个底面一定是相似多边形③连接圆柱的上、下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线④用平行于底面的平面截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台其中的正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4 29．（2021·山西高平·高一期中）下面四个几何体中，是棱台的是（）A．B．C．D．30．（2021·河北·邯山区新思路学本文化辅导学校高一期中）下列命题中是假命题的是（）A．圆柱的任意两条母线平行B．棱台各侧棱的延长线交于一点C．经过圆锥侧面上一点，有无数条母线D．底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱31．（2021·内蒙古·集宁二中高一期末）下列结论正确的是（）A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥B．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D．底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体32．（2021·安徽宣城·高一期中）下列说法正确的是（）①棱柱的侧棱都相等；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得到旋转体是圆台；③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；④通过圆台侧面上一点有无数条母线．A．①②B．①③C．②④D．③④33．（2021·福建福州·高一期中）下列关于空间几何体的叙述，正确的是（）A．直角三角形绕它的一条边旋转得到的几何体是一个圆锥B．棱柱的侧面都是平行四边形C．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台D．直平行六面体是长方体34．（2021·广西钦州·高一期末）下列说法正确的有（）①棱台的各条侧棱所在的直线交于同一点；②经过球面上不同的两点只能作一个面积最大的截面圆；③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正四棱柱；④正三棱锥的各个侧面一定是全等的正三角形；A．1个B．2个C．3个D．4个35．（2021·重庆复旦中学高一期中）下面的几何体中棱柱有（）A．4个B．5个C．6个D．7个-中，侧棱长均为4，且相邻两条侧棱的夹角为30°，E，36．（2021·湖南·高一阶段练习）如图，在正四棱锥O ABCD++的最小值为（）F分别是线段OB，OC上的一点，则AE EF FDA ．4B ．4C ．42D ．2237．（2021·安徽·合肥市第六中学高一期中）给出下列四个命题：①底面是正多边形的棱柱是正棱柱；②四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体；③所有棱长相等的棱柱一定是直棱柱；④直角三角形绕其一条边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥．其中正确的命题个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题38．（2021·河北·博野县实验中学高一期中）如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在点A 处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由点A 爬到点B ，则蚂蚁爬行的最短路线的长是__________．39．（2021·山西高平·高一期中）在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D 中，E 是棱AB 的中点，过1,,E D C 作正方体的截面，则该截面的面积是___________．40．（2021·重庆·铜梁一中高一阶段练习）有下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；②球的直径是球面上任意两点间的连线；③半圆绕直径所在直线旋转后形成的几何体是球．其中正确说法的序号是_____________．41．（2021·吉林·长春外国语学校高一期中）下列说法正确的是_________．（填序号）．①有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥；②用一个平面去截棱锥，底面与截面之间部分所围成的几何体叫做棱台；③三棱锥的任何一个面都可看作底面．42．（2021·浙江·高一期末）已知圆锥的母线长为3cm，圆锥的底面圆半径为1cm，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上A 点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短路程为_______cm．【答案详解】1．C【解析】【分析】根据棱柱的特点进行辨析.【详解】有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体，A错；有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体如图所示，B错；棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形，D错；由棱柱的定义，C正确.故选：C.2．C【解析】【分析】根据棱柱的三个特征：①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③侧棱互相平行，判断即可．【详解】解：棱柱有三个特征：①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③侧棱互相平行，本题所给几何体中②⑤不符合棱柱的三个特征，而①③④符合，所以几何体中棱柱的个数为3个．故选：C．3．B【解析】【分析】根据棱柱的定义和特征，逐项分析即可求出结果.【详解】根据棱柱的特征，可知同一棱柱的侧棱平行且相等，故①正确；三棱柱有5个面，故②正确；根据正棱柱的定义，底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，所以③错误；根据平行六面体的定义可知，每个面都是平行四边形，所以④错误；故选：B.4．D【解析】【分析】利用正棱锥的几何性质可判断各选项的正误.【详解】对于A 选项，正棱锥的高与底面的交点是底面的中心，A 对；对于B 选项，在正四棱锥E ABCD -中，设点E 在底面ABCD 的射影点为点O ，如下图所示：设()20AB a a =>，EO h =，则2AO a =，22222BE AE AO OE h a ==+=+，2222cos 02AE BE AB h AEB AE BE AE BE+-∠==>⋅⋅，则AEB ∠为锐角，易知等腰三角形AEB 中，AE BE =，EAB ∠、EBA ∠均为锐角，即ABE △为锐角三角形，B 对；对于C 选项，因为正棱锥的侧棱长相等，故正棱锥的各侧面都是等腰三角形，C 对；对于D 选项，在三棱锥P ABC -中，ABC 是边长为3的等边三角形，5PA PB ==，3PC =，则三棱锥P ABC -的底面是等边三角形，且每个侧面均为等腰三角形，但该三棱锥不是正棱锥，D 错.故选：D.5．C【解析】【分析】利用棱锥的定义对所给4个图形逐一分析判断作答.【详解】一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，显然①②④满足棱锥定义，③不满足棱锥定义，所以①②④是棱锥，③不是棱锥.故选：C6．A【解析】【分析】利用底面为菱形的直四棱柱可判断①的正误；利用底面为等腰梯形的直四棱柱可判断②的正误；利用正六棱锥的几何特征可判断③的正误；取长、宽、高都不相等的长方体可判断④的正误.【详解】对于①，底面是菱形（不是正方形）的直四棱柱满足条件，但它不是正棱柱，①错误；对于②，底面为等腰梯形的直四棱柱的对角面全等，但它不是长方体，②错误；对于③，如下图所示：在正六棱锥P ABCDEF -中，六边形ABCDEF 为正六边形，设O 为正六边形的中心，则PO ⊥平面ABCDEF ，OA ⊂平面ABCDEF ，则PO OA ⊥，由正六边形的几何性质可知，OAB 为等边三角形，则AB OA =，22PA PO OA OA ∴=+>，③错误；对于④，在长方体1111ABCD A B C D -中，若AB 、AD 、1AA 的长两两不相等，则长方体1111ABCD A B C D -不是正四棱柱，④错误.故选：A.7．C【解析】【分析】根据棱台的定义可判断各选项的正误.【详解】由棱台的定义可知：A.所有的侧棱所在直线交于一点，正确；B.只有两个面互相平行，就是上、下底面平行，正确；C.棱台的上下两个底面不全等，故C 不正确；D.所有的侧面不存在两个面互相平行，正确.故选：C.8．A【解析】【分析】根据棱台的定义以及结构特征逐项判定，即可得出结论.【详解】因为棱台是棱锥被平行底面的平面所截，截面和底面间的部分，选项D 不正确；棱台各侧棱延长后必相交，选项A 正确；两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体中，侧棱延长不一定会相交，所以不一定是棱台，选项B不正确；棱台的底面不一定是正方形，选项C不正确.故选：A.9．B【解析】利用棱柱、棱台、棱锥的概念即可对逐个选项的正误作出判断【详解】在A中，如图的几何体，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不是棱柱，故A错误；在B中，由棱柱的定义得：有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故B正确；在C中，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故C错误；在D中，如图的几何体，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不是棱柱，故D错误．故选B．【点睛】本题考查棱台、棱锥和棱柱的定义，属于简单题10．B【解析】根据旋转体的结构特征进行判断.【详解】，，均正确.由圆柱、圆锥、圆台的概念及结构特征知A C D以直角梯形的直角腰为轴，另一腰旋转形成的面是圆台的侧面，以直角梯形的非直角腰为轴，另一腰旋转形成的面不是圆台的侧面.故选B.【点睛】本题主要考查旋转体的特征性质，明确它们的特征性质是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.11．D【解析】圆柱母线所在的直线互相平行且与旋转轴平行，判断①错误，④正确；由圆锥母线的定义知②正确；根据圆台定义，判断③错误，⑤正确.【详解】由于圆柱母线所在的直线互相平行且与旋转轴平行，而在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线与旋转轴不一定平行，故①错误，④正确；由圆锥母线的定义知②正确；在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是母线，且圆台所有母线的延长线交于一点，故③错误，⑤正确.故选：D.【点睛】本题考查圆柱、圆锥、圆台的定义，以及几何结构特征，属于基础题.12．C【解析】【分析】根据旋转体的定义判断.【详解】以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以斜边为轴旋转一周所得的旋转体是是两个同底圆锥的组合体，A错；以直角梯形的直角腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体才是圆台，B错；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，正确；平行于圆锥底面平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台，如果截面不平行于底面，则截得的不是圆锥和圆台，D错.故选：C.【点睛】本题考查旋转体的定义，掌握圆柱、圆锥、圆台的定义是解题的关键.13．C【解析】【分析】根据球体概念和性质即可求解.【详解】由球的概念与性质，当任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个圆，故①错；②正确；③正确；球面上任意三点一定不共线，故④错误；根据球的半径的定义可知⑤正确.故选：C.14．D【解析】依次判断每个选项：两点的连线经过球心时才满足，②错误；截面是圆面，③错误；几何体叫做球，故⑤错误；得到答案.【详解】①正确；当球面上两点的连线经过球心时，这两点的连线才是球的直径，故②错误；③用一个平面截一个球，得到的截面是圆面，而不是一个圆，故③错误；④正确；曲面所围成的几何体叫做球，故⑤错误；⑥正确；故正确说法为①④⑥，共3个.故选：D【点睛】本题考查了与球相关命题的判断，意在考查学生的推断能力.15．B【解析】【分析】通过球的定义判断①的正误;利用球的性质判断②的正误;通过大圆的特征判断③的正误;通过球的表面积公式判断④的正误.【详解】解:对于①空间中,到一定点距离等于定长的点的集合是球面;满足球的定义,①正确.对于②,球面上不同的三点不可能在同一直线上;因为球的表面是曲面,过球面上不同的三点可以做一个截面圆,三点不可能在同一直线上,②正确;对于③过球面上不同的两点只能作一个大圆;如果两点是球的直径的两个端点,大圆有无数个,③不正确;4rπ,半径相同的圆面积是:2rπ,二者是4倍关系,④正确.对于④,球的表面积是2综上错误的命题有:③所以B选项是正确的.【点睛】。

第01讲基本立体图形、简单几何体的表面积与体积目录题型一：直观图............................................................................................................................................................1题型二：空间几何体的表面积（侧面积）................................................................................................................6题型三：空间几何体的体积......................................................................................................................................10题型四：空间几何体表面距离最短问题..................................................................................................................13题型五：空间几何体外接球问题（补形法）..........................................................................................................19题型六：空间几何体外接球问题（对棱相等型）..................................................................................................23题型七：空间几何体外接球问题（单（双）面定球心法）.................................................................................25题型八：空间几何体内切球问题（独立截面法）..................................................................................................32题型九：空间几何体内切球问题（等体积法） (36)题型一：直观图A．3B．23【答案】D【详解】在直观图中，O B ''=又因为2A B A C ''''==，则A 故A B C ''' 为等腰直角三角形，所以，延长BA 至点D ，使得由题意可知，OB 所以，//BD OC 且取BC 的中点E ，连接因为A 、E 分别为故选：D.A．A B C ''' 为锐角三角形B．A B C ''' 的面积为26cm C．A B C ''' 的周长为(26+故选：CD.例题3．（2023·江苏·高一专题练习）一水平放置的平面图形1111D C B A ，该直观图1111D C B A 是一个等腰梯形，且1111A B B C =AB =.【答案】2823-【详解】分别过11,B C 作1B E ⊥因为111111112A B B C C D D A ===精练核心考点1．（2023春·河南南阳·高一社旗县第一高级中学校联考期末）如图，一个水平放置的平行四边形斜二测画法的直观图为矩形A B C D ''''，若4A B ''=，A ．3B ．32【答案】D【详解】在直观图A B C D ''''中，把直观图还原为原图，如图，则根据斜二测画法规则得故选：D.2．（2023春·辽宁·高一校联考期末）其中4,O B A D O C ''''''=为平行四边形，则原【答案】4417+【详解】由平面图形的直观图的斜二测画法原理可知，原其中2OB O B OD ==''所以OA AB OD ==所以原AOB 的周长为故答案为：4417+3．（2023春·贵州六盘水【答案】17其中2==AB A B''⊥交过C作CE AD中，CE在Rt CED所以2=+CD CE ED将直角梯形ABCD其上底面圆的半径为题型二：空间几何体的表面积（侧面积）+B．A．152π37π【答案】C【详解】依题意，几何体是多边形绕线段为3的圆锥，和以线段CD、BE分别为上下底直径，高为A．3B．23【答案】B【详解】如图，-中，SO⊥底面正三棱锥S ABC连接AO并延长交BC于E，则SO=，正三角形ABC 依题意，1o，OE所以2sin603AE==精练核心考点1．（2023春·浙江台州·高一校联考期中）如图，已知一个直四棱柱的侧棱长为和13的菱形，则这个四棱柱的侧面积是（A ．3010【答案】D【详解】如图，连接AC 则对角线13AC =，BD =因为直四棱柱的底面是菱形，所以所以22AB AO BO =+=圆台的上底面半径为1r则243PAPA=+，解得PA所以该圆锥的侧面积为故选：B.3．（2023春·福建南平的表面积为又正四棱台的上、下底面的边长分别是所以侧面梯形的斜高为题型三：空间几何体的体积A．23πB．【答案】B∠即为圆台母线与底面所成角，即所以DAB分别过点C、D在平面ABCDCD EF，则四边形CDEF因为//【答案】41015/41015【详解】依题可得，四面体P BCD-的外接球的球心90︒，即AM与球O相切时，rMAOAO∠=,中，222cosAB BO AB BO ABO+-⋅⋅∠精练核心考点A．16π【答案】BSO【详解】设圆锥1SO的体积为因此圆锥1题型四：空间几何体表面距离最短问题典型例题例题1．（2023春·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期末）如图，在三棱锥P ABC -中，2AB AC ==，1ABC S =△，A 为锐角，侧棱2PA PB PC ===，一只小虫从A 点出发，沿侧面绕棱锥爬行一周后回到A 点，则小虫爬行的最短距离为（）A．22C．62-【答案】D【详解】根据题意，在三棱锥则有1sin2ABCS AB AC=⋅⋅而ABC PBC△≌，则CPB∠根据余弦定理，最短距离d=故选：D．例题2．（2022秋·上海崇明·高二统考期末）如图，已知圆锥的顶点为面圆周上两点，6PB=，OA【答案】33【详解】将圆锥的侧面沿母线所以一只蚂蚁沿着圆锥表面从点则弧长为248ππ⨯=，所以8463APA ππ'∠==，因为所以在扇形APA '中，APB ∠(1)该几何体的表面积与体积；(2)从点1D 沿几何体表面到点C 的最短距离【答案】(1)2π28V m m =+；2π4m S ⎛=+ ⎝(2)()222281, π4π81,04π4m m f m m m ⎧+>⎪-⎪=⎨⎪+<≤⎪-⎩精练核心考点A．1C．23【答案】C【详解】由题意可知，圆锥的母线长为所以圆锥底面周长为2πr=在AOB 中，2π,3AOB AO ∠==由余弦定理可知，22AB AO =+所以23AB =,A ．23【答案】B【详解】已知圆锥的侧面展开图为半径是一只蚂蚁从A 点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点圆锥底面周长为2π，所以在SAA ' 中，由SA SA ='=(1)求该几何体的表面积；(2)一只蚂蚁在形成的几何体上从点【答案】(1)14π(2)63）如图所示，满足题意的直角梯形ABCD ，以形成一个上底面半径为11r CD ==，下底面半径()(2221212ππ1r r rl r l =+++=+）将圆台的侧面沿母线AD 展开，得到如图所示的一个扇环，∵圆台上下底面半径的关系为2r =113A D =，∴16OA =，1OD =题型五：空间几何体外接球问题（补形法）三棱锥的外接球即长方体的外接球，长方体的对角线是外接球的直径，设外接球的半径为则()22222R AD DC BD =++=故选：C ．例题2．（2023·全国·高一专题练习）据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱A．10πB．12【答案】B【详解】如图，将三棱锥补形为正方体，则外接球半径2222PCAP AB R +==所以三棱锥外接球表面积24S R π==故选：B.例题3．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形BD 将△ABD 折起，使得△ABC 与△BAD 全等，【答案】24精练核心考点1．（2021春·江西上饶·高二校联考阶段练习）且4BC =，三棱锥-P ABC 的外接球表面积为（A ．16πB ．20π【答案】D【答案】12π【详解】根据题意PA ⊥底面22221223,3,4R a a a R S R π=++====故答案为：12π.3．（2021春·江苏常州·高二统考期末）据《九章算术》中记载，的四棱锥．现有一个“阳马”，PA ⊥底面四棱锥外接球表面积为.【答案】50π【详解】如图，由题意可知，即求长方体题型六：空间几何体外接球问题（对棱相等型）例题1．（2023春·广东湛江·高一湛江二十一中校考期中）在四面体-的外接球的直径为长方体的体对角线，即所以此四面体A BCD-外接球表面积是所以四面体A BCD故答案为：B.例题2．（2023·全国·高一专题练习）设从同一个顶点出发的三条边长分别为222222855x y x z y z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得：221x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【答案】23π/23π设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为则222222749a ba cb c⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得abc⎧⎪⎨⎪⎩又因为三棱锥A BCD-'是长方体切掉四个角的余下部分，题型七：空间几何体外接球问题（单（双）面定球心法）例题2．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知三棱锥S ABC-的四个顶点都在半径为E F､分别是AC和SC的中点，90BEF∠= ，1,2AB BC==，当SC取得最大值时，三棱锥积为（）A．26B．262C．263D．【答案】D【详解】依题意，当SC为外接球直径时，SC最大，例题3．（2023春·湖南·高二校联考期末）为加强学生对平面图形翻折到空间图形的认识，某数学老师充分利用习题素材开展活动，现有一个求外接球表面积的问题，活动分为三个步骤，第一步认识平面图形：如图（一）所示的四边形PABC折痕将PAC△折起，得到三棱锥则活动结束后计算得到三棱锥【答案】529π/529π【详解】从第一步活动中可知ABC是边长为2第二步活动中可知三棱锥-P ABC外接球的球心是过底面因ABC 为正三角形，所以因PAC △为以AC 为斜边的直角三角形，所以三棱锥-P ABC 外接球的球心为因2AB BC ==，PA PC =根据正弦定理可得32πsin 3AD ==根据题意可知1OD =，1AD =，根据勾股定理可知球的半径所以球O 的表面积为24π8πS R ==故答案为：8π.精练核心考点1．（2023春·安徽·高一安徽省郎溪中学校联考阶段练习）A ．2πB ．【答案】C【详解】连接BD ，AC 交于224442==+=BD AC ，所以O 到P ，A ，B ，C ，2．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二葫芦岛第一高级中学校考期末）已知正三棱锥面ABC 为等边三角形且其面积为A ．25π4B ．【答案】A设1O 为等边三角形ABC 的中心，连接正三棱锥D ABC -的外接球的球心设外接球的半径为R ，连接AO ABC 为等边三角形且其面积为233434AB ∴=，3AB ∴=，∴DO A 中，因为PAD为等边三角形，2AD=，所以圆因为PAD为等边三角形，F是AD因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD所以PF⊥平面ABCD，因为底面ABCD是矩形，所以E是底面取BC 中点G ，连接AG,DG ，则分别取ABC 与DBC 的外心A BCD -的球心，由AB AC DB DC BC =====2213122AG DG ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭所以正方形OEGF 的边长为13四面体球题型八：空间几何体内切球问题（独立截面法）典型例题例题1．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）表面积为4π的球内切于圆锥，则该圆锥的表面积的最小值为（）A．4πB．8πC．12πD．16π【答案】B【详解】设圆锥的内切球半径为r ，则24π4πr =，解得1r =，设圆锥顶点为A ，底面圆周上一点为B ，底面圆心为C ，内切球球心为D ，轴截面如下图示，内切球切母线AB 于E ，底面半径1BC R =>，BDC θ∠=，则tan R θ=，又π2ADE θ∠=-，故tan(π2)tan 2AB BE AE R R θθ=+=+-=-，例题2．（2023·湖南·校联考模拟预测）定义：与圆锥的底面和各母线均相切的球，称为圆锥的内切球，此圆锥称为球的外切圆锥．已知某圆锥的内切球半径等于A．59π【答案】C设该圆锥的内切球球心为底面半径为R ，高为法一：由等面积法可得：化简得：22R h R =-题意得1311sin6024 ABCS=⨯⨯⨯︒=底面ABC的外接圆半径为112sin60r=点P到平面ABC的距离为21d=-精练核心考点故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的底面半径为（球与圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为【答案】4π【详解】有题意可知，所以该圆锥的内切球的表面积为4π.故答案为：4π题型九：空间几何体内切球问题（等体积法）【详解】因为四面体ABCD 四个面都为直角三角形，,,BD AB BC BC CD ⊥⊥⊥，ABCD 内切球的球心为O ，半径为O ABC O ABD O ACD V V V V ---=+++3ABCD VS ，精练核心考点A．() 2313-【答案】B所以该三棱锥的外接球的直径为正方体的体对角线的长，即243R =，所以23R =，外接球的表面积为设该三棱锥的内切球的半径为则1133C BAD BAD V CA S r -=⋅= 即111444323r ⎛⨯⨯⨯⨯= ⎝。