2020届高中数学：函数零点个数的判断

函数零点的个数的几种判断方法
作者：陈锋
来源：《中学课程辅导·教师教育（中）》2018年第01期
【摘要】“函数零点”一节的教学，其重点是：一，函数零点的存在性定理，及定理的理解。

二，函数零点的个数的判断。

本人在“函数零点”一节的教学中，对于判断函数零点的个数问题，如函数y=f（x），我们把使方程f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点。

在判断一次或二次函数的零点，我们可直接利用公式求解；对于三次或四次或其它的一些函数，要判断函数零点的个数，学生就很难判断，本人在教学中总结了函数零点的个数的几种判定方法，而且学生很容易接受，下面举例说明。

【关键词】函数零点判断方法
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2018）01-126-01。

２０２４年２月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀利用函数图象确定零点个数◉江苏省南通市海门第一中学㊀曹㊀兵㊀㊀在高中必修课程体系中,判断函数零点的个数属于必学内容之一,函数零点个数的判断比较抽象,需要深入理解,与方程有关的根和函数的零点个数的内容主要包括两个理论以及由这两个理论推广出的一个理论．理论１:函数y＝f(x)有零点⇔方程f(x)＝０有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．理论２:如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)＜０,那么,函数y＝f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在cɪ(a,b),使得f(c)＝０,这个c也就是方程f(x)＝０的解．理论３:函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有交点⇔方程g(x)－f(x)＝０有解,即g(x)－f(x)＝０有实数根⇔函数g(x)－f(x)＝F(x)有零点．上面的分析以及相应的三个结论,如果从纯粹的数学知识的角度来看,属于高中数学知识体系当中的重要内容．学生掌握这些内容,一方面可以完善自己的认知体系,另一方面可以形成较强的问题分析与解决能力．但笔者以为仅有这样的认识是不够的,因为利用函数图象确定零点的个数,更是在一定程度上体现了数学学科的内在特点,同时也体现出了数学思想方法的应用[１]．其中,最典型的思想就是数形结合思想．根据笔者的调查研究发现,尽管几乎所有学生在数学知识学习与运用的过程当中都能体会数形结合思想,但很多时候学生的这种体会并没有上升为数学意识,这也就导致很多学生在学习新的数学知识或在解题的时候,难以有意识地将数形结合作为思维突破的切入口．说得直白一点,就是学生的体验没有上升为理性认识,这显然无助于数学核心素养的发展．因此,基于上面的分析,接下来结合实例来分析㊁研究函数零点的相关问题,融合数形结合思想和函数思想,培养学生数形结合的思维方式,体会数形结合方法的典型性和优点．例１㊀已知方程(１２)x＝l n x,则此方程的实根的个数为．方法１:这道题求的是方程根的个数,根据理论１可知,方程根的个数即是函数零点的个数,因此可以通过构造函数来求根的个数．先将方程左边移到方程右边,即l n x－(１２)x＝０,再令f(x)＝l n x－(１２)x,通过观察发现,代入１和e,那么就有f(１)＝－１２＜０, f(e)＝１－１２e＞０．符合有零点的条件,即在(１,e)内f(x)有零点．再根据在(０,＋ɕ)内f(x)是增函数,因此可得函数f(x)在(０,＋ɕ)内有且只有一个零点．故方程(１２)x＝l n x有且只有一个实根．方法２:这道题还可以结合函数的图象来求解．假设h(x)＝(１２)x,且g(x)＝l n x．在同一个直角坐标图１系中作出函数h(x)＝(１２)x和g(x)＝l n x的图象,如图１所示．观察图象可以发现,这两个函数图象有且只有一个交点,由此可以得到,方程(１２)x＝l n x有且只有一个实数根．评析:利用方法１求解的时候,不仅需要求出f(１)＜０和f(e)＞０,还要知道函数f(x)＝l n x－(１２)x 在定义域内是单调的(不同函数单调情况也不相同),把这两个条件结合起来才能说明方程有且只有一个实数根．例２㊀方程l o g２x＝－(x－１)２＋２实数根的个数为．图２这道题也可以采用图象法．设g(x)＝－(x－１)２＋２,f(x)＝l o g２x在同一直角坐标系中作出这两个函数的图象,如图２所示．根据图象分析可以得到,两个函数图象有且只有一个交点,因此方程l o g２x＝－(x－１)２＋２有且只有一个实５５学习指导２０２４年２月上半月㊀㊀㊀数根．评析:求方程实根的个数通常有两条途径．(１)转化为两个函数图象交点的个数,结合函数图象求解;(２)转化为一个函数零点的个数,结合零点存在定理求解．相较于利用零点存在定理,明显结合函数图象的方法更简单明了．例３㊀求方程l g (x －１)＋l g (３－x )＝l g (a －x )(a 是常数)的实数根个数．方法１:首先求出x 的范围,分析原方程可以知道x 的限制条件是x －１＞０,３－x ＞０,a －x ＞０,ìîíïïïï即１＜x ＜３,x ＜a ．{那么,将原方程等价变换,可以得到l g [(x －１)(３－x )]＝l g(a －x ),即a －x ＝(x －１)(３－x )．图３令f (x )＝(x －１)(３－x )(其中１＜x ＜３),g (x )＝a －x (x ＜a ),在同一直角坐标系中作出这两个函数图象,如图３所示．由方程(x －１)(３－x )＝a －x的Δ＝０,求出a ＝１３４,此时方程l g (x －１)＋l g (３－x )＝l g(a －x )有一个实数根．结合图象可以发现,方程没有实数根时,a ɤ１或者a ＞１３４;方程有一个实根时,１＜a ɤ３或a ＝１３４;当方程有两个实根时,３＜a ＜１３４．方法２:根据题意分析可知,原方程等价于(３－x )(x －１)＝a －x ,x －１＞０,３－x ＞０,ìîíïïïï即－３＋５x －x ２＝a ,１＜x ＜３．{在同一个直角坐标系中,作出函数h (x )＝－３＋５x －x ２(１＜x ＜３),g (x )＝a 的图象,如图４所示．图４根据图象,可以观察函数y ＝h (x )和y ＝g (x )图象交点的个数情况(略)．评析:结合函数图象求解与函数零点个数相关的问题,不仅可以省去较为复杂的运算,而且通过图象可以快速得出正确的答案．掌握确定函数零点个数的方法对于学生来说十分重要,结合图象确定零点个数是目前最常用㊁最简便的方法之一,它要求学生有良好的计算能力和基本的作图能力,对学生的逻辑思维有一定的要求,要求学生能全面分析问题,还要注意限制条件,作图要尽量准确．学好零点个数求解,可以有效提升数学素养[２]．对上述教学过程进行概括与反思,笔者以为在高中数学教学中,最直接的抓手当然是数学知识的建构与运用,这是由当前的考核评价机制决定的,教师的教学必须努力服务于学生思维能力的发展与解题能力的提升．与此同时,教师也必须关注学生数学学科核心素养的发展和学生对数学思想方法的领悟．无论是核心素养的发展还是数学思想方法的领悟,其实都不影响学生解题能力的提升,同时还能够为学生的可持续发展奠定基础．比如上面所强调的数形结合,是数学学科特征的直接体现,更是高中数学教学最不能忽视的思想方法之一．对于数形结合,不仅要让学生有实际的体验,还要让学生有真切的收获．这种收获对于学生来说应当是显性的,只有当学生明确认识到数形结合能够反映数学学科的特征时,才能够有意识地在数学知识学习与运用的过程当中自动激活数形结合思想,从而让数形结合真正成为学生数学解题的利器[３]．在这篇文章当中,函数图象与零点个数的研究是一个突破口,只是一条明线,数形结合思想是背后的暗线,是学生领悟的重点,这才是笔者想重点强调的．参考文献:[１]李志中．直击高考真题,掌握函数零点[J ]．中学数学,２０１９(２３):６７Ｇ６８．[２]孔欣怡．例谈高考对零点问题的考查[J ]．中学数学,２０１７(１):５８Ｇ６１．[３]潘良铭．浅析复合函数零点的个数问题[J ]．中学数学,２０２０(２１):５１Ｇ５２．Z ６５。

判断高中函数零点个数的三种方法要判断高中函数的零点个数，可以使用以下三种方法：方法一：图像法这种方法适用于已知函数的图像的情况。

我们可以将函数的图像绘制出来，并观察图像与x轴的交点来判断零点的个数。

具体步骤如下：1. 绘制函数的图像，根据函数的定义域和值域选择合适的比例和范围。

2. 观察图像与x轴的交点，交点的个数即为零点的个数。

3. 注意零点可能是实根或复根，复根可能出现时，通常画出的图像不会交叉，而是会出现弯曲。

方法二：代数法这种方法适用于已知函数的解析式的情况。

我们可以通过代数运算来寻找函数的零点。

具体步骤如下：1. 将函数化简为一般形式，如多项式函数可以化为多项式的标准形式，三角函数可以化为三角函数的表达式等。

2. 使用因式分解、配方法、求根公式等代数方法来求解方程。

3. 观察求解方程得到的根的个数，即为零点的个数。

方法三：函数的性质法这种方法适用于已知函数的性质的情况。

我们可以根据函数的性质来判断零点的个数。

具体步骤如下：1. 根据函数的定义域、奇偶性、单调性等性质，分析函数的零点可能的情况。

2. 运用性质所涉及的理论和定理，推导出函数零点的个数。

3. 注意常见的数学函数，如幂函数、指数函数、对数函数等，它们的零点个数的判断方法可能会有所不同。

除了以上三种方法，还可以结合使用，根据具体的函数形式、题目要求以及个人理解等来选择合适的方法求解。

在判断函数零点个数时，需要考虑函数的定义域和值域、函数的性质和性质所涉及的理论、图像与方程的关系等。

正确运用这些方法可以准确判断函数的零点个数。

4.5 函数的应用(二)思维导图常见考法考点一 零点的求解【例1】(2020·武威第六中学高二期末(文))若函数()f x ax b =+的零点是2(0a ≠)，则函数2()g x ax bx=+的零点是( ) A ．2 B ．2和0C ．0D ．2-和0【答案】B【解析】由条件知(2)0f =，∴2b a =-，∴2()(2)g x ax bx ax x =+=-的零点为0和2.故选B.【举一反三】1．(2020·全国高三课时练习(理))已知函数f (x )＝22111log 1x x x x ⎧-≤⎨+>⎩，，，则函数f (x )的零点为( )A ．，0B ．－2，0C ．D ．0【答案】D【解析】当1x ≤时，令f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当1x >时，令f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12， 又因为1x >，所以此时方程无解.综上所述，函数f (x )的零点只有0.故选：D（1）代数法：根据零点的定义，解方程()0f x =，它的实数解就是函数()y f x =的零点. （2）几何法：若方程()0f x =无法求解，可以根据函数()y f x =的性质及图象求出零点.2.已知函数221,1()1log ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，则函数()f x 的零点为________．【答案】0【解析】当1x ≤时，由()210xf x =-=，解得0x =；当1x >时，由2()1log 0f x x =+=，解得12x =，又因为1x >，所以此时方程无解． 综上，函数()f x 的零点为0.考点二 零点区间的判断【例2】(2020·湖南娄底·高二期末)函数3()ln 9f x x x =+-的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】C 【解析】可以求得，所以函数的零点在区间(2,3)内．故选C ．【举一反三】1．(2020·宁县第二中学高二期中(文))函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．(-2，-1) B ．(-1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)【答案】B【解析】因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f(0)=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为(-1,0)，选B ．2．(2020·甘肃省岷县第一中学高二月考(文))函数1()22xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点所在区间为( )判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】D 【解析】()12125f -=++=，()01023f =-+=，()1311222f =-+=， ()1122244f =-+=，()1733288f =-+=-，()()230f f ∴⋅<， 由零点存在定理可知：()f x 零点所在区间为()2,3.故选：D .3．(2020·浙江衢州·高一期末)函数()24xf x x =+-的零点所在的区间是( )A ．()1,0-B ．()2,3C ．()0,1D ．()1,2【答案】D 【解析】()19114022f -=--=-<，()010430f =+-=-<，()121410f =+-=-<，()242420f =+-=>，()38347f =+-=()()120f f ∴⋅< ()f x ∴零点所在区间为()1,2故选：D考点三 零点个数的判断【例3】(1)(2020·哈尔滨市第十二中学校高二期末(文))函数()212log 6y x x =-++的零点个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个(2)(2020·山东省枣庄市第十六中学高一期中)方程0lnx x +=的实数解的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】(1)C(2)A【解析】(1)令0y =，则()212log 60x x -++=，即250x x -++=，又Δ1200=+>，故该方程有两根，且均满足函数定义域.故该函数有两个零点.故选：C(2)方程0lnx x +=的实数解的个数，即为方程lnx x =-的实数解的个数， 即为函数ln y x =与函数y x =-图象的交点的个数，在同一坐标系中作出函数ln y x =与函数y x =-的图象，如图所示：只有一个交点，所以方程0lnx x+=的实数解的个数为1故选：A【举一反三】1．(2020·四川内江·高三三模(理))函数()()2ln14xf x x=⋅+-的零点个数为_______.【答案】2【解析】令()()2ln140xf x x=⋅+-=，则()24ln122xxx-+==，在同一直角坐标系中作出函数()ln1y x=+与22xy-=的图象，如图：由图象可知，函数()ln1y x=+当1x→-时，()ln1y x=+→+∞则与22xy-=的图象有必有两个交点，所以方程()24ln122xxx-+==有两个不同实根，所以函数()()2ln14xf x x=⋅+-的零点个数为2.判断函数零点个数的三种方法(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．(2)图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．(3)定理法：函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)<0即可判断函数y ＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．故答案为：2.2．(2020·浙江高一课时练习)方程21lg22x x-=的实根的个数为________．【答案】2个【解析】方程21lg22x x-=的实根个数可转为函数2122y x=-和lgy x=的交点个数，在同一坐标系中作出2122y x=-和lgy x=的图像，如图，可得交点个数为2个，故方程的实根个数是2个，故答案为：2个3.已知01a<<，则函数logxay a x=-的零点的个数为______.【答案】2【解析】函数logxay a x=-的零点的个数即为方程logxaa x=的解的个数，也就是函数()(01)xf x a a=<<与()log(01)ag x x a=<<的图象的交点的个数.画出函数图象如图所示，观察可得函数()(01)xf x a a=<<与()log(01)ag x x a=<<的图象的交点的个数为2，从而函数logxay a x=-的零点的个数为2考点四 根据零点求参数【例4】．(2020·山西应县一中高二期中(文))已知关于x 的方程21xm -=有两个不等实根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(,1]-∞- B ．(),1-∞-C ．[1,)+∞D ．()1,+∞【答案】D【解析】由题意,画出()2xf x m =-的图像如下图所示:由图像可知,若方程21x m -=有两个不等实根则函数图像在y 轴左侧的最大值大于等于1即可 所以1m 即(1,)m ∈+∞故选:D 【举一反三】1．(2020·江苏省海头高级中学高一月考)方程222(1)3110x k x k +-+-=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为( ) A ．(,3)(2,)-∞-⋃+∞ B ．(3,2)-C ．(2,3)-D ．(,2)(3,)-∞-⋃+∞【答案】B【解析】方程222(1)3110x k x k +-+-=中，令∆0>，得224(1)4(311)0k k --->，化简得260k k +-<，解得32k -<<，所以(3,2)k ∈-时，方程有两个不相等的实数根；故选：B. 2．(2020·内蒙古集宁一中高二月考(文))若函数()27x f x x =+-的零点所在的区间为(,1)()k k k +∈Z ,则k =( ) A ．3B ．4C ．1D ．2【答案】D【解析】∵(2)4270,(3)8370,ff=+-<⎧⎨=+->⎩且()f x单调递增,∴()f x的零点所在的区间为(2,3),∴2k=.故选：D 3．函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数a的取值范围．【答案】(1,2)【解析】由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2，因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点，画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示，观察图象可知，0<a－1<1，所以1<a<2.即a的取值范围为(1,2)．考点五二分法【例5】(2020·福建高一期中)设()338xf x x=+-，用二分法求方程3380x x+-=在(1,2)x∈内近似解的过程中得()10f<，()1.50f>，()1.250f<，则方程的根落在区间()A．(1,1.25)B．(1.25,1.5)C．(1.5,2)D．不能确定【答案】B【解析】()338xf x x=+-又(1.5)0,(1.25)0f f><∴(1.5)(1.25)0f f⋅<由零点存在定理可得()f x在区间(1.25,1.5)存在零点.3380x x+-=∴方程的根落在区间(1.25,1.5)故选：B．【举一反三】1．(2020·全国高一单元测试)在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是()A．[1,4]B．[－2,1]二分法的适用条件判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．C．5[2,]2-D．1[,1]2-【答案】D【解析】∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，∴第三次所取的区间可能为1155 [2,],[,1],[1,],[,4] 2222---.2．(2020·浙江高一单元测试)利用计算器，列出自变量的函数值的对应值如下表：0.20.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4…1.149 1.5162.0 2.6393.4824.595 6.0638.010.556…0.040.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.769.011.56…那么方程的一个根位于下列区间( )A．(0.6，1.0)B．(1.4，1.8)C．(1.8，2.2)D．(2.6，3.0)【答案】C【解析】构造f(x)＝2x－x2，则f(1.8)＝0.242，f(2.2)＝－0.245，故在(1.8,2.2)内存在一点使f(x)＝2x－x2＝0，所以方程2x＝x2的一个根就位于区间(1.8,2.2)上．选C3．(2019·海南龙华·海口一中高二月考)下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是() A．B．C．D．【答案】C【解析】解：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f(a)•f(b)＜0A、B中不存在f(x)＜0，D中函数不连续．故选C．考法六函数模型【例6】(2020·定远县育才学校)某科技股份有限公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2016年全年投入的研发资金为100万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.10.041,lg20.301==)A ．2022年B ．2023年C ．2024年D ．2025年【答案】C【解析】设从2016年后，第n 年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元， 由题意可得：()100110%200n⨯+≥，即1.12n ≥， 两边取对数可得：lg20.3017.3lg1.10.041n >=≈，则8n ≥， 即该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是2024年.故选C . 【举一反三】1．(2020·湖北郧阳·高二月考)一种药在病人血液中的量保持1500mg 以上才有效，而低于500mg 病人就有危险．现给某病人注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过( )小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．(附：1g20.301=，1g30.4771=，答案采取四舍五入精确到0.1h )A ．2.3小时B ．3.5小时C ．5.6小时D ．8.8小时【答案】A【解析】设从现在起经过x 小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效． 则25000.81500x ⨯=，0.80.6x =，lg 0.8lg 0.6x=，lg 0.8lg 0.6x =，6lglg 0.6lg 2lg310.3010.4771110 2.38lg 0.83lg 2130.3011lg 10x +-+-====≈-⨯-．故选：A ．2．(2020·重庆)某品牌牛奶的保质期y (单位：天)与储存温度x (单位：C ︒)满足函数关系()0,1kx b y a a a +=>≠.该品牌牛奶在0C ︒的保质期为270天，在8C ︒的保质期为180天，则该品牌牛奶在24C ︒的保质期是( )A ．60天B ．70天C ．80天D ．90天【答案】C【解析】由题意可知，0270ba+=，8180k ba+=，可得8823k b kb a aa +==，所以()332482270803k b k b a a a +⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，故该品牌牛奶在24C ︒的保质期是80天.故选：C3．(2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学)十三届全国人大一次会议《政府工作报告》指出：过去五年来，我国经济实力跃上新台阶．国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，年均增长7.1%，占世界经济比重从11.4%提高到15%左右，对世界经济增长贡献率超过30%，2018年发展的预期目标是国内生产总值增长6.5%左右．如果从2018年开始，以后每年的国内生产总值都按6.5%的增长率增长，那么2020年的国内生产总值约为( )(提示：31.065 1.208≈)A ．93.8万亿元B ．97万亿元C ．99.9万亿元D ．106.39万亿元 【答案】C【解析】依题意可得2020年的国内生产总值约为()382.71 6.5%82.7 1.20899.901699.9⨯+≈⨯=≈ 故选：C4．(2020·辽宁锦州)水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引入中国. 现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长. 某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积为218m ，经过3个月其覆盖面积为227m . 现水葫芦覆盖面积y (单位2m )与经过时间()x x N ∈个月的关系有两个函数模型(0,1)=>>x y ka k a 与12(0)=+>y px q p 可供选择. (参考数据：2 1.414,3 1.732,lg 20.3010,lg 30.4771≈≈≈≈ )(Ⅰ)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；(Ⅱ)求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍.【答案】(1)38()()2x y x N =∈(2)原先投放的水葫芦的面积为8m 2, 约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍.【解析】(Ⅰ)(0,1)x y ka k a =>>的增长速度越来越快，12(0)y px q p =+>的增长速度越来越慢. (0,1)x y ka k a ∴=>>依题意应选函数则有23=18=27ka ka ⎧⎨⎩， 解得3=2=8a k ⎧⎪⎨⎪⎩ ()382x y x N ⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭，(Ⅱ)当0x =时，8y =该经过x 个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍. 有 38810002x ⎛⎫⋅=⨯ ⎪⎝⎭32log 1000x ∴= lg10003lg 2=3lg3lg2=- 17.03≈ 答：原先投放的水葫芦的面积为8m 2, 约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍.。

高考数学《函数零点的个数问题》知识点讲解与分析一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。

（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续）① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =−,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。

由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。

（详见方法技巧）二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。

例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭即可判定其零点必在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭中 2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。

连续函数零点个数的判别准则什么是连续函数？在数学中，连续函数是一种特殊的函数，它在定义域内没有断点，也就是说，其图像没有突然的跳跃或断裂。

换句话说，连续函数是在定义域上保持相对平滑的函数。

例如，多项式函数、正弦函数、余弦函数、指数函数和对数函数都是连续函数。

什么是零点？零点是指函数在定义域内取值为零的点。

以 f(x) 为例，如果存在某个 x 使得 f(x) = 0，则称 x 是 f(x) 的零点。

简单地说，零点就是函数图像和 x 轴的交点。

对于连续函数 f(x)，我们可以通过以下定理，判断其零点的个数：定义：设 f(x) 为区间 [a,b] 上的连续函数，而 m 和 M 分别为 f(x) 在该区间上的最小值和最大值。

如果f(a)·f(b) < 0，即 f(a) 和 f(b) 的符号不同，则 f(x) 在区间 [a,b] 内至少有一个零点。

证明：1. 利用介值定理证明介值定理指出，如果 f(x) 是在 [a,b] 上的连续函数，那么对于介于 f(a) 和 f(b) 之间的任意实数 L，都存在一些 c ∈ [a, b] 使得 f(c) = L。

也就是说，如果 f(a) < L < f(b) 或 f(b) < L < f(a)，则 f(x) 在 [a,b] 上至少有一点 c 满足 f(c) = L。

零点定理指出，如果 f(x) 是在 [a,b] 上的连续函数，并且在该区间内有 k 个零点，则在该区间内至少存在 k-1 个实数 c1，c2，...，ck-1，使得 a ≤ c1 < c2 < ... < ck-1 ≤ b，并且f(c1)·f(c2) < 0，f(c2)·f(c3) < 0，...，f(ck-1)·f(b) < 0。

假设 f(x) 在 [a,b] 内只有一个零点 x0，那么f(a)·f(b) > 0，因此我们可以将[a,b] 分成两个子区间 [a,x0] 和 [x0,b]，在每个子区间内使用零点定理，得到 c1 和c2。

二轮复习小专题：判断函数零点个数的方法一方法总结：判断函数零点个数常见方法：（1） 直接法：届方程f(x)=0，方程有几个解，函数f(x)就有几个零点；（2） 图像法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x 轴的交点个数，即为函数f(x)的零点个数；（3） 将函数f(x)拆成两个常见函数h(x)和g(x)的差，从而()0()()0()(),f x h x g x h x g x =⇔-=⇔=则函数的零点个数即为y=h(x)与y=g(x)的图象的交点个数；（4） 二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式∆来判断。

二考题回顾：（2015江苏高考）已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 。

三例题精析：例1：关于x 的方程210x mx --=在区间(0,1)上有唯一实根，则实数m 的范围【变式】若函数2()(1)2(1)1f x m x m x =-++-的图象与x 轴只有一个交点，则实数m 的取值集合是例题2：已知函数32111(),(),323k f x x x g x kx +=-=-若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围例题3：已知函数22log (1),()2,0,x x o f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是 。

【变式】已知函数21,0,()(1),0x x f x f x x -⎧+≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+有且仅有两个不相等的实数根，则a 的取值范围例题4：已知函数254,0()22,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数()y f x a x =-恰有四个零点，则实数a 的取值范围例题5：若关于x 的方程x x a a -=有三个不同的实数根，则a 的取值范围为。

2020届高考数学命题猜想函数与方程﹑函数模型及其应用【考向解读】求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．【命题热点突破一】函数零点的存在性定理1．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．例1 、（2018年全国卷Ⅱ）已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点．【答案】见解析【解析】（2）由于，所以等价于．设=，则g ′（x ）=≥0，仅当x=0时g ′（x ）=0，所以g （x ）在（–∞，+∞）单调递增．故g （x ）至多有一个零点，从而f （x ）至多有一个零点．又f （3a –1）=，f （3a+1）=，故f （x ）有一个零点．综上，f （x ）只有一个零点．【感悟提升】新定义问题的本质是转化思想的应用，即把新定义问题转化为已知的问题加以解决，解题的关键是理解新定义，把新定义表达的问题转化为我们已经掌握的数学问题，然后根据题目的要求进行推理计算得出结论．【变式探究】给出定义：如果函数f(x)在[a ，b]上存在x1，x2(a<x1<x2<b)，满足f ′(x1)＝f （b ）－f （a ）b －a ，f ′(x2)＝f （b ）－f （a ）b －a ，则称实数x1，x2为[a ，b]上的“对望数”，函数f(x)为[a ，b]上的“对望函数”．已知函数f(x)＝13x3－x2＋m 是[0，m]上的“对望函数”，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，3 B ．(2，3) C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，2 3 D ．(2，2 3)【答案】A【命题热点突破三】 函数模型及其应用解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答．例3、(2017·江苏)设f(x)是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N*，则方程f(x)－lg x ＝0的解的个数是_____.【答案】8【变式探究】随着网络的发展，网校教育越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势．假设某网校每日的套题销售量y(单位：万套)与销售价格x(单位：元/套)满足关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，其中2<x<6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21万套．(1)求m 的值；(2)假设每套题的成本为2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)【解析】解：（1）因为x ＝4时，y ＝21，代入y ＝mx －2＋4（x －6）2，得m2＋16＝21，解得m ＝10.（2）由（1）可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4（x －6）2，所以每日销售套题所获得的利润f （x ）＝（x －2）·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10x －2＋4（x －6）2＝10＋4（x －6）2（x －2）＝4x3－56x2＋240x －278（2<x<6），从而f ′（x ）＝12x2－112x ＋240＝4（3x －10）（x －6）（2<x<6）.令f ′（x ）＝0，得x ＝103（x ＝6舍去），且在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，103上，f ′（x ）>0，函数f （x ）单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫103，6上，f ′（x ）<0，函数f （x ）单调递减，所以x ＝103是函数f （x ）在（2，6）内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f （x ）取得最大值，即当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.1 、(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x ＋a(ex －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a 等于 A.－12B.13C.12 D.1【解析】f(x)＝x2－2x ＋a(ex －1＋e －x ＋1) ＝(x －1)2＋a[ex －1＋e －(x －1)]－1，令t ＝x －1，则g(t)＝f(t ＋1)＝t2＋a(et ＋e －t)－1. ∵g(－t)＝(－t)2＋a(e －t ＋et)－1＝g(t)， ∴函数g(t)为偶函数.∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点. 又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝12 .【答案】C.2、(2017·江苏)设f(x)是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N*，则方程f(x)－lg x ＝0的解的个数是_____.【答案】81.【2016高考新课标1卷】函数在[]2,2-的图像大致为（A）（B）（C）（D）【答案】D2.【2016高考山东文数】已知函数其中0m>，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.【答案】() 3,+∞【解析】画出函数图象如下图所示：由图所示，要()f x b=有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即，解得3m >。

函数的零点问题一、题型选讲题型一 、运用函数图像判断函数零点个数可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。

作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。

例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上⎩⎨⎧<≤-<≤-=43,432,2)(x x x x x f 则函数x x f y log 5)(-=的零点的个数为 例2、(2017苏锡常镇调研）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x－1，x ＜1，ln xx 2，x ≥1，)则函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为________．例3、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________． 题型二、函数零点问题中参数的范围已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法．它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题．(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．例4、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知ln ,1()(2),1x x f x f x k x ≥⎧=⎨-+<⎩若函数()1y f x =-恰有一个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞例5、（2020·全国高三专题练习（文））函数()()22log ,1,1,1,x x f x f x x ≥⎧=⎨+<⎩，若方程()2f x x m =-+有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．(),4-∞B ．(],4-∞C ．()2,4-D ．(]2,4-例6、【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是 A ．1(,)(22,)2-∞-+∞ B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞ D ．(,0)(22,)-∞+∞例7、【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则A ．a <–1，b <0B ．a <–1，b >0C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >0例8、（2020·浙江学军中学高三3月月考）已知函数2(4),53()(2),3x x f x f x x ⎧+-≤<-=⎨-≥-⎩，若函数()()()1g x f x k x =-+有9个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1111,,4664⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．1111,,3553⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,64⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭例9、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）已知函数()()2,22,2,x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩()2g x kx =+，若函数()()()F x f x g x =-在[)0,+∞上只有两个零点，则实数k 的值不可能为A ．23- B ．12-C ．34-D ．1-二、达标训练1、（2019·山东师范大学附中高三月考）函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（ ） A ．()1,0-B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,22、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()e 0ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）3、（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）已知,a b ∈R ，函数(),0(),0x x a e ax x f x x x ⎧++≤=⎨>⎩，若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则（ ） A ．1,0a b >>B ．1,0a b ><C ．1,0a b <>D ．1,0a b <<4、（2020届山东实验中学高三上期中）设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a=-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（ ） A ．12BC ．2e D5、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数(01)()2(1)x f x x x⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x x a =-+有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是________．6、【2018年高考浙江】已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．7、【2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模】已知函数()222,01,03x x ax a x f x e ex a x x⎧++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若存在实数k ，使得函数()y f x k =-有6个零点，则实数a 的取值范围为__________.一、题型选讲题型一 、运用函数图像判断函数零点个数可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。